普朗克必须解决的问题
高温物体会发光，是因为它会发出电磁辐射。当物体的温度升高，辐射光谱便会向较短的波长移动。到目前为止，这一切都很合理。 然而，古典物理学却作出了一个严重错误的预测：在足够高的频率下，高温物体应该会发出愈来愈多的辐射，而且没有上限。如果把计算延伸至紫外线波段，预测的总能量甚至会变成无限大。 现实中的物体显然不会这样。 究竟哪个观念需要改变？马克斯・普朗克（Max Planck）的关键突破，是不再把能量
高温物体会发光，是因为它会发出电磁辐射。当物体的温度升高，辐射光谱便会向较短的波长移动。到目前为止，这一切都很合理。
然而，古典物理学却作出了一个严重错误的预测：在足够高的频率下，高温物体应该会发出愈来愈多的辐射，而且没有上限。如果把计算延伸至紫外线波段，预测的总能量甚至会变成无限大。
现实中的物体显然不会这样。
究竟哪个观念需要改变？马克斯・普朗克（Max Planck）的关键突破，是不再把能量交换视为完全连续的过程。能量只能以离散的份量传递。正是这项改变，成功解释了黑体辐射光谱，并为光的量子模型开启了大门。
01普朗克必须解决的问题
想像一个中空的高温物体，内部困住了电磁辐射。空腔的内壁不断吸收和发射辐射，而腔内则形成电磁驻波。
古典物理学认为，这些波可以获得或失去任意大小的能量。同时，古典理论也预测，随著频率增加，可能存在的波动模态数量也会增加。
这两个假设结合起来，就造成了问题。高频模态的数量极为庞大，而古典理论并没有充分的理由解释为何这些模态不会获得能量。把所有模态的预测能量加起来，光谱紫外线部分的能量便会无限制地增加。
这个理论上的失败称为「紫外灾难」（ultraviolet catastrophe）。你可以阅读 tutorgum 的黑体辐射与紫外灾难指南，了解完整的推论过程。
在了解普朗克的解决方法之前，先试著作出一个预测。
假设低频辐射可以用很小的能量单位进行交换，而高频辐射则必须以大得多的能量单位交换。在固定温度下，高温物质应该比较容易产生哪一种辐射？
答案是低频辐射。
有限的热能可以相对容易地促成许多小幅度的能量跃迁，但要促成非常大的能量跃迁就困难得多。这就是普朗克解决方法背后的基本概念。
02普朗克的突破：让能量交换变成一份一份的
想像一台只接受完整代币的街机。你不能投入 0.37 枚代币来玩游戏。
现在把这个比喻再延伸一点：每台机器要求的代币面额都不同。低频机器接受面额较小的代币，而高频机器则要求面额较大的代币。
普朗克对物质中与辐射交换能量的微观振荡子，提出了类似的概念。频率为 \(f\) 的振荡子不能拥有任意大小的能量，其允许的能量值之间相隔固定的份量：
\[ E_n = nhf \]
其中：
- \(E_n\) 是振荡子允许具有的能量，单位为焦耳（J），
- \(n\) 可取 \(0,1,2,3,\ldots\)，
- \(h\) 是普朗克常数，约为 \(6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\)，以及
- \(f\) 是频率，单位为赫兹（Hz）。
因此，每一个能量阶梯的大小为
\[ \Delta E = hf. \]
这个能量阶梯称为一个能量量子（energy quantum）。
街机代币的比喻很有用，因为它能表达能量以不可再分的单位交换这个概念。不过，这个比喻也有其局限。量子并不是微小的金属物体，而且普朗克最初的假设是关于物质中振荡子所允许的能量交换，而不是把光直接描述成一颗颗在空中飞行的微小粒子。
当频率增加时，会发生甚么事？
观察以下公式：
\[ \Delta E=hf. \]
普朗克常数 \(h\) 不会改变。因此，如果频率增加一倍，每个量子的能量也会增加一倍。
频率为 \(2f\) 的振荡子，必须以 \(2hf\) 为单位获得或失去能量。它不能吸收 \(0.4hf\) 或 \(1.7hf\)，因为这两种能量变化都无法让它停留在允许的能阶上。
这使高频辐射受到一项内在限制：频率愈高，涉及的最小能量单位就愈大。
03从普朗克的能量量子到光子
这里有一项重要的历史细节，在简化的 HSC 说明中很容易被忽略。
普朗克在 1900 年引入量子化的概念，是为了描述物质中振荡子的能量交换。他最初并没有主张，传播中的光束本身是由粒子组成的。
1905 年，阿尔伯特・爱因斯坦（Albert Einstein）把这个概念进一步发展，认为辐射本身是以离散的光量子形式存在。以现代术语来说，我们称这些量子为光子（photons）。
在 HSC 计算中，实用的公式是
\[ E=hf, \]
其中 \(E\) 是单一光子的能量。
由于电磁波也符合
\[ c=f\lambda, \]
我们可以用 \(c/\lambda\) 代替 \(f\)：
\[ E=\frac{hc}{\lambda}, \]
其中 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\) 是真空中的光速，而 \(\lambda\) 是以米为单位的波长。
这立即带出一项重要预测：
- 频率愈高 \(\rightarrow\) 光子能量愈大，
- 波长愈短 \(\rightarrow\) 光子能量愈大。
例题：求蓝光光子的能量
蓝光的波长为 \(450\ \text{nm}\)。计算一个光子的能量。
步骤 1
\[ 450\ \text{nm}=450\times10^{-9}\ \text{m} =4.50\times10^{-7}\ \text{m}. \]
步骤 2
\[ E=\frac{hc}{\lambda}. \]
步骤 3
\[ E= \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {4.50\times10^{-7}} =4.42\times10^{-19}\ \text{J}. \]
步骤 4
每个波长为 \(450\ \text{nm}\) 的光子，携带的能量约为
\[ 4.42\times10^{-19}\ \text{J}. \]
这个数值看起来非常小，是因为一道可见光束包含极大量的光子。能量量子化并不代表一般光束的总能量很小，而是指能量以微观的离散单位进行交换。
04为甚么量子化能解决紫外灾难？
现在回到高温空腔的例子。
在古典物理学中，能量可以连续地分配到不同的电磁模态。古典理论对高频模态所能获得的能量估计过高，因此预测的光谱会随著波长缩短而持续上升。
普朗克改变了这套规则。
对低频振荡子而言，\(hf\) 很小。从一个允许能阶移动到下一个能阶，只需要相对少量的能量。
对高频振荡子而言，\(hf\) 很大。在固定温度下，要提供足够能量促成较大的能量跃迁，会变得愈来愈困难。
因此，高频模态受到强烈抑制，而不会像古典理论预测的那样获得大量能量。
这样便产生了一条先上升、到达峰值，然后在极高频率下下降的光谱曲线。发出的总能量也维持在有限值。
重要的推理过程是：
\[ \text{较高的 }f \rightarrow \text{较大的能量量子 }hf \rightarrow \text{较难透过热能激发} \rightarrow \text{较少的高频辐射}. \]
普朗克并不是单纯修改古典方程式，直到图像看起来正确为止。这个成功的模型需要对能量如何交换作出根本不同的假设。
05能量量子化不代表频率量子化
一个很容易犯的错误，是听到「能量是量子化的」，便推断光只能具有某些特定频率。
这并不是 \(E=hf\) 的意思。
光可以具有许多不同的频率。不过，一旦选定某个频率 \(f\)，该频率下每个光子的能量就必定是特定的 \(hf\)。
还有另一个概念容易在这里造成混淆。由于边界条件的限制，空腔内只能形成某些特定频率的驻波。这项限制源自波动行为和空腔的几何形状，与普朗克提出的能量只能以离散份量交换，是两个不同的概念。
请把以下概念清楚区分：
| 概念 | 受到限制的是甚么？ | 原因 |
|---|---|---|
| 空腔驻波模态 | 该空腔内可能存在的频率 | 边界条件 |
| 普朗克量子化 | 与特定振荡子频率相关的能量 | 能量以 \(hf\) 为单位逐级变化 |
| 光子模型 | 频率为 \(f\) 的单一光子的能量 | \(E=hf\) |
06光子能量与光束强度是不同的概念
假设你有一束昏暗的紫光，以及一束明亮的红光。
哪一束光的单个光子能量较高？
答案是紫光。
那么，哪一束光每秒必定传递更多总能量？
单凭颜色无法判断。
这项区别在量子物理学中非常重要。频率决定每个光子的能量：
\[ E_{\text{光子}}=hf. \]
一个简单的单色光脉冲，其总能量还取决于包含多少个光子：
\[ E_{\text{总}}=NE_{\text{光子}}=Nhf, \]
其中 \(N\) 是光子的数量。
同样地，如果一个单色光源以 \(\dot N\) 的速率发射光子，其功率为
\[ P=\dot N hf. \]
因此，在频率相同的情况下，较明亮的光束通常代表每秒到达的光子数量较多，而不是每个光子的能量较高。
这是学习光电效应时最值得掌握的区别之一。
例题：一个雷射脉冲包含多少个光子？
一台波长为 \(650\ \text{nm}\) 的雷射器，以 \(2.00\ \text{mW}\) 的功率发出持续 \(3.00\ \text{ms}\) 的脉冲。估算脉冲期间发出的光子数量。
步骤 1
先换算波长：
\[ 650\ \text{nm}=6.50\times10^{-7}\ \text{m}. \]
然后
\[ E_{\text{光子}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {6.50\times10^{-7}} = 3.06\times10^{-19}\ \text{J}. \]
步骤 2
功率是每单位时间传递的能量：
\[ P=\frac{E_{\text{脉冲}}}{t}. \]
因此，
\[ E_{\text{脉冲}}=Pt. \]
使用 \(2.00\ \text{mW}=2.00\times10^{-3}\ \text{W}\) 和 \(3.00\ \text{ms}=3.00\times10^{-3}\ \text{s}\)，
\[ E_{\text{脉冲}} = (2.00\times10^{-3})(3.00\times10^{-3}) = 6.00\times10^{-6}\ \text{J}. \]
步骤 3
\[ N = \frac{E_{\text{脉冲}}}{E_{\text{光子}}} = \frac{6.00\times10^{-6}} {3.06\times10^{-19}} = 1.96\times10^{13}. \]
步骤 4
这个脉冲包含约
\[ 1.96\times10^{13} \]
个光子。
每个光子携带的能量极少，但这个短暂的脉冲却包含接近二十兆个光子。这就是为甚么即使微观层面的能量交换是量子化的，宏观的光仍然可以呈现出平滑、连续变化的特性。
07光的模型究竟改变了甚么？
普朗克的研究并没有证明古典波动模型毫无用处。
光仍然会发生绕射，也仍然会产生干涉。马克士威的电磁波理论，至今仍能非常准确地描述极广泛的观察结果。
真正改变的是「能量必须始终以连续方式交换」这个假设。
古典观点大致认为：「振荡子可以向辐射传递任意大小的能量。」
普朗克的模型则认为：「对频率为 \(f\) 的振荡子而言，允许的能量变化必须以与 \(hf\) 相关的单位进行。」
爱因斯坦的光子模型进一步提出更强的主张：每个独立的辐射量子都携带 \(hf\) 的能量。
因此，量子理论并不是简单地把「光是波」改成「光是粒子」。更准确的理解是，单靠古典波动模型并不足以完整描述光的行为。某些相互作用需要以能量量子化的方式来解释。
08问题与解答
问题 1
一个光子的频率为 \(5.00\times10^{14}\ \text{Hz}\)。
计算它的能量。
解答 1
光子的能量为 \(3.32\times10^{-19}\ \text{J}\)。
对光子而言，
\[ E=hf. \]
代入数值，
\[ E = (6.63\times10^{-34})(5.00\times10^{14}) = 3.315\times10^{-19}\ \text{J}. \]
保留三位有效数字，
\[ E=3.32\times10^{-19}\ \text{J}. \]
关键概念是：频率本身已经能告诉我们每个独立光子的能量。除非需要求波长，否则不必使用 \(c=f\lambda\)。
一个常见错误是以为 \(5.00\times10^{14}\ \text{Hz}\) 代表每秒到达的光子数量。事实并非如此。频率描述的是电磁振荡，而光子到达率是另一个独立的物理量。
问题 2
两个单色光源的功率均为 \(1.00\ \text{mW}\)。
光源 A 发出的光波长为 \(400\ \text{nm}\)，光源 B 发出的光波长为 \(800\ \text{nm}\)。
计算每个光源的光子发射率，并判断哪个光源每秒发出更多光子。
解答 2
波长为 \(800\ \text{nm}\) 的光源每秒发出的光子数量是另一个光源的两倍：约为 \(4.02\times10^{15}\ \text{s}^{-1}\)，而 \(400\ \text{nm}\) 光源则为 \(2.01\times10^{15}\ \text{s}^{-1}\)。
首先计算一个 \(400\ \text{nm}\) 光子的能量：
\[ E_{400} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}} = 4.97\times10^{-19}\ \text{J}. \]
对于 \(800\ \text{nm}\)，
\[ E_{800} = \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {800\times10^{-9}} = 2.49\times10^{-19}\ \text{J}. \]
功率是每秒传递的能量，因此
\[ P=\dot N E_{\text{光子}}, \]
整理得
\[ \dot N=\frac{P}{E_{\text{光子}}}. \]
对光源 A，
\[ \dot N_A = \frac{1.00\times10^{-3}} {4.97\times10^{-19}} = 2.01\times10^{15}\ \text{s}^{-1}. \]
对光源 B，
\[ \dot N_B = \frac{1.00\times10^{-3}} {2.49\times10^{-19}} = 4.02\times10^{15}\ \text{s}^{-1}. \]
由于两个光源的功率相同，它们每秒传递的总能量也相同。差别在于这些能量如何分配成一个个量子。
一个看似合理的预测是：波长较短的光源，其光子能量较高，因此必定会发出「更多光」。但这个想法忽略了两者功率相同的条件。如果每个 \(400\ \text{nm}\) 光子携带的能量是另一种光子的两倍，那么每秒只需要一半数量的光子，就能传递相同的能量。
问题 3
一个脉冲恰好包含 \(3.00\times10^{12}\) 个光子。每个光子的波长不是 \(400\ \text{nm}\)，就是 \(800\ \text{nm}\)。
脉冲携带的总能量为 \(9.95\times10^{-7}\ \text{J}\)。
求出每种波长的光子数量。
解答 3
这个脉冲约包含 \(1.00\times10^{12}\) 个波长为 \(400\ \text{nm}\) 的光子，以及 \(2.00\times10^{12}\) 个波长为 \(800\ \text{nm}\) 的光子。
根据前面的关系式，
\[ E_{400}=4.97\times10^{-19}\ \text{J} \]
以及
\[ E_{800}=2.49\times10^{-19}\ \text{J}. \]
设 \(x\) 为 \(400\ \text{nm}\) 光子的数量，\(y\) 为 \(800\ \text{nm}\) 光子的数量。
由光子总数可得
\[ x+y=3.00\times10^{12}. \]
由总能量可得
\[ (4.97\times10^{-19})x + (2.49\times10^{-19})y = 9.95\times10^{-7}. \]
利用
\[ y=3.00\times10^{12}-x, \]
可得
\[ (4.97\times10^{-19})x + (2.49\times10^{-19})(3.00\times10^{12}-x) = 9.95\times10^{-7}. \]
解方程，并按题目所给数据的精确度表示，
\[ x\approx1.00\times10^{12}, \]
因此
\[ y\approx2.00\times10^{12}. \]
一个看似方便的捷径，是把总能量除以 \(3.00\times10^{12}\)，然后把所得平均值当成每个光子的能量。这样会得到一个对应于 \(400\) 至 \(800\ \text{nm}\) 之间某个波长的能量。
但题目已明确指出，每个光子都属于两个离散群组之一。平均能量描述的是整个光子集合，并不代表存在第三种类型的光子。
问题 4
考虑两个理想的普朗克振荡子，它们只能彼此交换能量。
振荡子 A 的频率为 \(f=4.00\times10^{14}\ \text{Hz}\)，因此其允许的能量为
\[ E_A=m hf, \]
其中 \(m\) 是非负整数。
振荡子 B 的频率为
\[ \frac{3}{2}f, \]
因此其允许的能量为
\[ E_B=n\,h\left(\frac{3}{2}f\right), \]
其中 \(n\) 是非负整数。
起初，A 的能量为 \(6hf\)，而 B 的能量为零。
假设能量严格守恒，而且不存在其他能量储存系统：
- 从 A 传递到 B 的最小非零能量是多少？
- B 最后可能具有哪些能量？
解答 4
最小的非零能量传递为 \(3hf=7.96\times10^{-19}\ \text{J}\)，而 B 最后可能具有的能量为 \(0\)、\(3hf\) 或 \(6hf\)。
A 只能以 \(hf\) 的整数倍失去能量：
\[ \Delta E_A=m'hf, \]
其中 \(m'\) 是正整数。
B 只能以
\[ \frac{3}{2}hf. \]
的整数倍获得能量。
要使能量传递符合规则，A 失去的能量必须恰好等于 B 获得的能量：
\[ m'hf = n'\left(\frac{3}{2}hf\right). \]
两边约去 \(hf\)：
\[ m'=\frac{3}{2}n'. \]
满足此方程式的最小正整数为
\[ m'=3,\qquad n'=2. \]
因此，
\[ \Delta E_{\min}=3hf. \]
代入数值，
\[ \Delta E_{\min} = 3(6.63\times10^{-34})(4.00\times10^{14}) = 7.96\times10^{-19}\ \text{J}. \]
A 起初具有 \(6hf\) 的能量，因此它可以传递一次 \(3hf\)，或总共传递 \(6hf\)，同时仍停留在允许的能阶上。
因此，B 最后可能具有的能量为
\[ 0,\qquad3hf,\qquad6hf. \]
一个容易误选的答案是：B 应该能获得一个属于自己的能量量子，即 \(1.5hf\)。B 的确有一个位于该能量的能阶，但 A 无法恰好失去 \(1.5hf\) 的能量。
单靠能量守恒还不足够。能量传递必须同时满足两个系统的量子化规则。
问题 5
一个无能量损耗的黑箱每秒接收 \(4.00\times10^{15}\) 个光子，所有光子的波长均为 \(600\ \text{nm}\)。
输出只包含 \(600\ \text{nm}\) 和 \(300\ \text{nm}\) 两种波长的光子。输出的总光子率为 \(3.00\times10^{15}\ \text{s}^{-1}\)，而且没有其他能量进入或离开黑箱。
- 求输出中 \(300\ \text{nm}\) 光子和 \(600\ \text{nm}\) 光子的发射率。
- 有多少比例的入射光子必须参与能量转换？
- 一名学生把总输出功率除以总输出光子率，得到一个对应于 \(450\ \text{nm}\) 波长的平均光子能量。他因此认为，输出实际上相当于 \(450\ \text{nm}\) 的光。解释这个推论的错误。
- 接著，输出光照射到一个理想探测器。只有当单一光子的能量至少达到 \(5.00\times10^{-19}\ \text{J}\) 时，探测器才会产生反应。假设每个符合条件的光子都会被探测到，计算探测器的计数率。
解答 5
输出必须包含每秒 \(1.00\times10^{15}\) 个 \(300\ \text{nm}\) 光子，以及每秒 \(2.00\times10^{15}\) 个 \(600\ \text{nm}\) 光子。一半的入射光子参与能量转换；认为输出是 \(450\ \text{nm}\) 光的结论并不正确；探测器每秒记录 \(1.00\times10^{15}\) 次计数。
首先计算一个 \(600\ \text{nm}\) 光子的能量，并以 \(E\) 表示：
\[ E=\frac{hc}{600\times10^{-9}}. \]
一个 \(300\ \text{nm}\) 光子的波长只有一半，因此能量是两倍：
\[ E_{300}=2E. \]
设 \(x\) 为每秒发出的 \(300\ \text{nm}\) 光子数量，\(y\) 为每秒发出的 \(600\ \text{nm}\) 光子数量。
根据测得的输出光子率，
\[ x+y=3.00\times10^{15}. \]
每秒输入的能量为
\[ (4.00\times10^{15})E. \]
由于黑箱没有能量损耗，输出功率必须等于输入功率：
\[ 2Ex+Ey=(4.00\times10^{15})E. \]
两边约去 \(E\)：
\[ 2x+y=4.00\times10^{15}. \]
减去
\[ x+y=3.00\times10^{15} \]
便得到
\[ x=1.00\times10^{15}\ \text{s}^{-1}. \]
因此，
\[ y=2.00\times10^{15}\ \text{s}^{-1}. \]
每个 \(300\ \text{nm}\) 光子所含的能量，等于两个 \(600\ \text{nm}\) 光子的能量。在没有外部能量来源的情况下，按照能量收支计算，每产生一个 \(300\ \text{nm}\) 光子，就需要两个入射的 \(600\ \text{nm}\) 光子所提供的能量。
因此，每秒产生
\[ 1.00\times10^{15} \]
个高能量光子，需要每秒有
\[ 2.00\times10^{15} \]
个入射光子参与。
参与转换的比例为
\[ \frac{2.00\times10^{15}} {4.00\times10^{15}} =0.500, \]
即 \(50.0\%\)。
现在考虑该学生关于平均能量的论点。
输出中每个光子的平均能量确实为
\[ \frac{\text{每秒输出的总能量}} {\text{每秒输出的光子总数}} = \frac{4E}{3}. \]
由于 \(E\) 对应 \(600\ \text{nm}\)，能量为 \(4E/3\) 的光子会对应以下波长：
\[ \lambda = 600\ \text{nm}\times\frac{3}{4} = 450\ \text{nm}. \]
但这只是整个光子群体的平均值。实际输出包含两个群组：\(600\ \text{nm}\) 光子和 \(300\ \text{nm}\) 光子。输出中不一定存在任何一个 \(450\ \text{nm}\) 光子。
这一点对探测器尤其重要。
对于 \(600\ \text{nm}\)，
\[ E_{600} = \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {600\times10^{-9}} = 3.32\times10^{-19}\ \text{J}. \]
这低于探测器的阈值。
对于 \(300\ \text{nm}\)，
\[ E_{300} = 6.63\times10^{-19}\ \text{J}, \]
这高于阈值。
因此，只有 \(300\ \text{nm}\) 光子会产生计数：
\[ \text{计数率} = 1.00\times10^{15}\ \text{s}^{-1}. \]
这正是本题最容易出错的地方。平均光子能量
\[ \frac{4E}{3}\approx4.42\times10^{-19}\ \text{J}, \]
低于探测器的阈值。如果你把真实的混合光子群体，换成假想的 \(450\ \text{nm}\) 光子，就会预测探测器完全没有计数。
这个预测将会完全错误。
每当一种相互作用取决於单一量子的能量时，对大量光子取平均值，反而可能掩盖最关键的资讯。
09普朗克的概念能帮助你接下来理解甚么？
一旦接受能量以量子形式存在，许多在古典物理学中看似奇怪的结果，就变得容易预测得多。
光电效应取决于光子能量 \(hf\)，而不只是光束的总亮度。原子发射光谱之所以能得到合理解释，是因为原子会在离散能阶之间跃迁。高频辐射与低频辐射的行为不同，是因为高频辐射的每个量子携带更多能量。
对热辐射而言，普朗克模型也解释了为甚么光谱会出现有限的峰值，而不是永远持续上升。下一个值得探讨的问题，就是这个峰值出现在哪个位置。维恩位移定律把峰值波长直接与温度联系起来。
接下来解题时，可以遵循一项简单的判断原则：每当问题涉及吸收、发射或具有阈值的相互作用，都要把两个问题分开考虑。每个量子携带多少能量？又有多少个量子参与其中？古典物理学倾向把两者合并成一股连续的能量流。普朗克的深刻洞见在于：在微观层面上，区分这两件事，可能会彻底改变物理学的预测。