核嬗变方程式的平衡：HSC 物理指南

假设你得知镭-226 会放出一个 α 粒子，但缺少了子核的资讯：

\[ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra}\rightarrow ?+{}^{4}_{2}\mathrm{He} \]

继续阅读之前，先试著预测缺少的是哪个原子核。你只需要知道两个事实：核子的总数不会改变，而总电荷也不会改变。因此，子核必须具有

\[ A=226-4=222 \]

以及

\[ Z=88-2=86. \]

原子序 86 的元素是氡，因此缺少的原子核是 \({}^{222}_{86}\mathrm{Rn}\)。

这就是平衡核嬗变方程式的基本概念。粒子的种类可以改变，但各项数量的核算必须吻合。

01两套守恒帐目

将核反应方程式视为两套分开的帐目，会让解题容易得多。

在以下符号表示法中：

\[ {}^{A}_{Z}X, \]

• \(A\) 是核子数：质子数 + 中子数。
• \(Z\) 是电荷数：质子数。
• \(X\) 是元素，其种类由 \(Z\) 决定。

你可以把 \(A\) 想成原子核内核子的总人数，而把 \(Z\) 想成带有正电荷的徽章数量。粒子离开原子核时，必须带走相应数量的两者。

当你开始思考能量时，这个比喻就不再适用。核子的数量并不能告诉你原子核有多重。这需要稍后进行质能检验。

对于任何核反应方程式，

\[ \sum A_{\text{反应前}} = \sum A_{\text{反应后}} \]

以及

\[ \sum Z_{\text{反应前}} = \sum Z_{\text{反应后}}. \]

这是你首先要进行的两项检查。

各种辐射会造成什么变化

β 衰变的两列一开始可能看起来有点奇怪。放出的 β 粒子具有 \(A=0\)，因为电子或正电子并不是核子。它下方的数字代表它在核反应方程式中的电荷贡献，而不是原子序。

例如，β⁻ 衰变在核子层级上可以表示为

\[ {}^{1}_{0}n \rightarrow {}^{1}_{1}p + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

中子变成质子，因此核子的总数仍然是 1，而核电荷增加 1。反中微子具有 \(A=0\) 和 \(Z=0\)，所以不会影响这两项守恒关系。

对于 β⁺ 衰变，情况则相反：

\[ {}^{1}_{1}p \rightarrow {}^{1}_{0}n + {}^{0}_{+1}e + \nu_e. \]

核子的数量同样保持不变，但核电荷减少 1。

如果你经常混淆 β 衰变的符号表示法，可以参考 β 衰变指南，其中分别说明了各种粒子的变化。

γ 衰变又有所不同。γ 光子会携带能量，但不带有核子数或电荷：

\[ {}^{A}_{Z}X^\* \rightarrow {}^{A}_{Z}X+\gamma. \]

星号表示原子核处于激发能态。原子核放出 γ 射线时，不会因此变成另一种元素。

02平衡任何核反应方程式的可靠方法

当方程式中缺少某个粒子或原子核时，请依照以下顺序处理。

步骤 1：写出所有已知粒子的 \(A\) 和 \(Z\) 数值。

步骤 2：平衡 \(A\)。
找出缺少的核子数。

步骤 3：平衡 \(Z\)。
找出缺少的电荷数。

步骤 4：辨认元素。
利用元素周期表，根据缺少的 \(Z\) 找出对应元素。

步骤 5：检查粒子种类。
结果是否对应 α 粒子、β 粒子、中子、质子或其他原子核？

步骤 6：如果题目提供质量或能量数据，进行质能检验。

许多原本正确的答案，往往就在最后这一步出错。

03平衡质能：质量本身并不守恒

这里有一项重要的修正。

说核反应中的质量守恒并不正确。

总质能守恒。

核反应产生的产物，其静止质量总和可能小于原来系统的静止质量。减少的静止质量已转化为其他形式的能量，例如动能或光子能量。

物体的静止能量为

\[ E_0=mc^2, \]

其中 \(m\) 是质量，而 \(c\) 是光速。

对于核反应，一个实用的物理量是 Q 值：

\[ Q= \left( \sum m_{\text{反应前}} - \sum m_{\text{反应后}} \right)c^2. \]

如果 \(Q>0\)，反应会释放能量。

如果 \(Q<0\)，反应需要从外界输入能量。

因此，一个反应即使通过 \(A\) 和 \(Z\) 的检验，仍然可能是吸热反应。

这就是不能混淆 \(A\) 与实际质量的原因。质量数 \(A\) 是核子数量的整数计数，并不是以原子质量单位测得的质量。

实际原子核质量之间的微小差异，与核束缚能及质量亏损有关。若要深入了解两者的关系，请参阅质量亏损：缺失的质量如何转化为核束缚能。

\(Q\) 的正负号究竟代表什么？

正的 \(Q\) 表示产物的静止质量总和小于反应物，因此有能量可以释放。

负的 \(Q\) 表示产物的静止质量总和较大，因此必须输入额外能量。

然而，\(Q>0\)并不代表衰变发生得有多快。即使某种衰变在能量上可行，其半衰期仍然可能非常长。

对于初始动能可忽略的衰变，释放的能量可以表现为：

• 子核的动能，
• α 或 β 粒子的动能，
• 中微子或反中微子的能量，
• γ 射线能量，
• 或以上几种形式的组合。

因此，不要自动假设全部的 \(Q\) 值都由 α 或 β 粒子带走。

04范例：α 衰变与释放的能量

一个钋-210 原子核经历 α 衰变，形成铅-206。

已知：

• \(m({}^{210}\mathrm{Po})=209.982874\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Pb})=205.974465\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)
• \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)

写出平衡的方程式，并计算释放的能量。

步骤 1：平衡核子数。

α 衰变会移除四个核子：

\[ 210=206+4. \]

步骤 2：平衡电荷数。

α 粒子的电荷数为 \(+2\)：

\[ 84=82+2. \]

因此，平衡后的方程式为

\[ {}^{210}_{84}\mathrm{Po} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

步骤 3：求出质量差。

\[ \begin{aligned} \Delta m &= 209.982874 - (205.974465+4.002603)\\ &=0.005806\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

步骤 4：将质量差转换为能量。

\[ \begin{aligned} Q &=\Delta m c^2\\ &=(0.005806)(931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=5.41\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 5：解释结果。

这次衰变释放 \(5.41\,\mathrm{MeV}\) 的能量。这是由静止质量差所提供的总能量，但不一定全部由 α 粒子带走；子核也必须产生反冲，而处于激发态的子核还可能进一步放出辐射。

05范例：平衡后仍需要能量的反应

一个 α 粒子撞击铝-27，产生磷-30 和一个中子。

已知：

• \(m({}^{27}\mathrm{Al})=26.981539\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{30}\mathrm{P})=29.978314\,\mathrm{u}\)
• \(m(n)=1.008665\,\mathrm{u}\)
• \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)

写出平衡的方程式，并判断反应是释放能量还是吸收能量。

步骤 1：平衡核子数。

反应物包含

\[ 27+4=31 \]

个核子。如果中子的 \(A=1\)，磷原子核的 \(A\) 必须是 30。

步骤 2：平衡电荷数。

反应物的总电荷数为

\[ 13+2=15. \]

磷的 \(Z=15\)，而中子的 \(Z=0\)，所以电荷守恒。

方程式为

\[ {}^{27}_{13}\mathrm{Al} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{30}_{15}\mathrm{P} + {}^{1}_{0}n. \]

步骤 3：比较总质量。

\[ \begin{aligned} m_{\text{反应前}} &=26.981539+4.002603\\ &=30.984142\,\mathrm{u}, \end{aligned} \]

而

\[ \begin{aligned} m_{\text{反应后}} &=29.978314+1.008665\\ &=30.986979\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

产物的静止质量总和较大。

步骤 4：计算 \(Q\)。

\[ \begin{aligned} Q &=(30.984142-30.986979) (931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=(-0.002837)(931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=-2.64\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 5：解释正负号。

这是吸热反应。在整体能量收支中，至少需要额外提供 \(2.64\,\mathrm{MeV}\) 的能量。

请注意这里的陷阱：\(A\) 和 \(Z\) 都完全守恒。这并不代表反应会释放能量。守恒定律告诉你哪些物理量必须守恒；质能计算则告诉你所提出的变化究竟有能量盈余还是能量不足。

06继续之前，值得先检查的常见错误

一个特别有用的考试习惯，是在思考时将以下两个问题分开：

\(A\) 和 \(Z\)： 方程式是否平衡？

\(Q\)： 能量收支是否可行？能量会流向哪里？

这两项检查彼此相关，但并不是同一项检查。

07题目与解答

题目 1

完成核反应方程式，并辨认缺少的原子核：

\[ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \rightarrow {}^{A}_{Z}X + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

解答 1

缺少的原子核是 \({}^{222}_{86}\mathrm{Rn}\)。

平衡核子数：

\[ 226=A+4 \]

因此

\[ A=222. \]

接著平衡电荷数：

\[ 88=Z+2 \]

因此

\[ Z=86. \]

原子序 86 的元素是氡，所以

\[ \boxed{ {}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \rightarrow {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} } \]

直接认出镭-226 是 α 衰变的放射性核种，或许是很诱人的捷径；但利用守恒定律的方法更可靠，因为即使你不熟悉某种同位素，也能使用这种方法。

题目 2

磷-32 经历 β⁻ 衰变。

1. 写出完整的核反应方程式，包括反中微子。
2. 已知 \(m({}^{32}\mathrm{P})=31.9739073\,\mathrm{u}\) 和 \(m({}^{32}\mathrm{S})=31.9720712\,\mathrm{u}\)，计算 \(Q\) 值。
3. 解释为什么质量数保持为 32，而原子序由 15 增加至 16。

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。

解答 2

平衡后的方程式为

\[ {}^{32}_{15}\mathrm{P} \rightarrow {}^{32}_{16}\mathrm{S} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e, \]

这次衰变会释放 \(1.71\,\mathrm{MeV}\) 的能量。

步骤 1：平衡 \(A\)。

\[ 32=32+0+0. \]

因此，核子数保持不变。

步骤 2：平衡 \(Z\)。

\[ 15=16-1+0. \]

子核多了一个质子，但放出的电子具有 \(-1\) 的电荷数，因此总电荷守恒。

步骤 3：计算质能差。

对于 β⁻ 衰变，使用原子质量时，电子的质量核算已包含在表列的原子质量中，因此

\[ Q= \left[ m({}^{32}\mathrm{P}) - m({}^{32}\mathrm{S}) \right]c^2. \]

因此，

\[ \begin{aligned} Q &=(31.9739073-31.9720712) (931.5\,\mathrm{MeV})\\ &=(0.0018361\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.71\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

这次衰变释放 \(1.71\,\mathrm{MeV}\) 的能量。能量会由 β 粒子、反中微子和子核的反冲共同分配。因此，假设电子的动能必定是 \(1.71\,\mathrm{MeV}\)，是错误的。

关键的物理变化是中子变成质子。核子并没有凭空产生；只是其中一个中子转变成了一个质子。

题目 3

一个 α 粒子射向氮-14，产生氧-17 和一个未知粒子：

\[ {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O} + ? \]

1. 辨认未知粒子。
2. 已知原子质量为

\[ m({}^{14}\mathrm{N})=14.003074\,\mathrm{u}, \]

\[ m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}, \]

\[ m({}^{17}\mathrm{O})=16.999132\,\mathrm{u}, \]

以及

\[ m({}^{1}\mathrm{H})=1.007825\,\mathrm{u}, \]

计算 \(Q\) 值。
3. 一名学生说：「这个反应不可能成立，因为 \(Q\) 值是负的。」请解释这个说法的错误。

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。

解答 3

未知粒子是质子 \({}^{1}_{1}p\)，而反应的 \(Q=-1.19\,\mathrm{MeV}\)，因此这是一个吸热反应，但并不代表它违反守恒定律或禁止发生。

步骤 1：平衡 \(A\)。

反应物包含

\[ 14+4=18 \]

个核子。

氧-17 包含 17 个核子，因此缺少的粒子必须具有

\[ A=18-17=1. \]

步骤 2：平衡 \(Z\)。

反应物的总电荷数为

\[ 7+2=9. \]

氧-17 的 \(Z=8\)，因此缺少的粒子必须具有

\[ Z=9-8=1. \]

具有 \(A=1\) 和 \(Z=1\) 的粒子是质子：

\[ {}^{1}_{1}p. \]

因此，平衡后的方程式为

\[ {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O} + {}^{1}_{1}p. \]

步骤 3：计算质量差。

由于题目提供的是原子质量，可以一致地使用氢-1 原子的质量作为质子项的质量；方程式两侧的电子核算会互相抵消。

\[ \begin{aligned} m_{\text{反应前}} &=14.003074+4.002603\\ &=18.005677\,\mathrm{u}, \end{aligned} \]

而

\[ \begin{aligned} m_{\text{反应后}} &=16.999132+1.007825\\ &=18.006957\,\mathrm{u}. \end{aligned} \]

因此

\[ \Delta m = 18.005677-18.006957 = -0.001280\,\mathrm{u}. \]

步骤 4：计算 \(Q\)。

\[ \begin{aligned} Q &=(-0.001280\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=-1.19\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 5：解释结果。

负号表示必须额外提供 \(1.19\,\mathrm{MeV}\) 的能量，才能使反应在能量上可行。

这名学生的错误，是把守恒定律与能量释放视为同一件事。这个反应确实遵守核子数和电荷守恒，只是存在静止质量能量不足的情况。

题目 4

某次 α 衰变的 \(Q\) 值为 \(5.60\,\mathrm{MeV}\)，假设子核处于基态。

在实验中，测得 α 粒子的动能为 \(4.90\,\mathrm{MeV}\)，随后还观测到一个 \(0.70\,\mathrm{MeV}\) 的 γ 射线。忽略原子核的反冲。

1. 子核最初是否处于基态？
2. 子核的激发态比基态高多少能量？
3. 解释为什么加入 γ 射线不会改变 \(A\) 或 \(Z\) 的平衡。

解答 4

子核最初处于高出基态 \(0.70\,\mathrm{MeV}\) 的激发态，而 γ 射线带走了这部分激发能。

步骤 1：比较可用能量与 α 粒子的能量。

总 \(Q\) 值为

\[ 5.60\,\mathrm{MeV}. \]

α 粒子带走

\[ 4.90\,\mathrm{MeV}. \]

因此，剩余能量为

\[ 5.60-4.90=0.70\,\mathrm{MeV}. \]

由于忽略反冲，这部分剩余能量储存在激发态的子核中，之后以 γ 光子的形式释放。

因此，子核最初所处的能态比基态高

\[ 0.70\,\mathrm{MeV} \]

。

衰变过程为

\[ {}^{A}_{Z}X \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y^\* + {}^{4}_{2}\mathrm{He}, \]

接著

\[ {}^{A-4}_{Z-2}Y^\* \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+\gamma. \]

步骤 2：检查 γ 射线。

光子的

\[ A=0 \]

而且

\[ Z=0. \]

因此，在方程式中加入 \(\gamma\)，不会改变核子数或核电荷的平衡。

一个很容易想到的答案是：α 粒子应该获得全部 \(5.60\,\mathrm{MeV}\)。但这忽略了一个关键：原子核可以将能量以激发能的形式储存在内部。即使 \(A\) 和 \(Z\) 保持不变，质能守恒仍然会将这部分能量计算在内。

题目 5

原子核 \({}^{210}_{83}\mathrm{Bi}\) 可以经历一次 α 衰变和一次 β⁻ 衰变，最终形成 \({}^{206}_{82}\mathrm{Pb}\)。题目没有指定两次衰变的先后次序。

本题使用以下四舍五入后的原子质量：

• \(m({}^{210}\mathrm{Bi})=209.984120\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{210}\mathrm{Po})=209.982873\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Tl})=205.976110\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{206}\mathrm{Pb})=205.974465\,\mathrm{u}\)
• \(m({}^{4}\mathrm{He})=4.002603\,\mathrm{u}\)

使用 \(1\,\mathrm{u}c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。假设所有原子核均处于基态，并忽略中微子质量及反冲。这些同位素质量是经四舍五入的标准核数据值。

求出：

1. 两种可能的衰变顺序。
2. 每种顺序中各次衰变的 \(Q\) 值。
3. 沿每条路径释放的总能量。
4. 为什么两条路径在每个步骤中释放的能量可能不同，但总能量释放量却相同。

解答 5

两种衰变顺序在能量上都可行，但它们将总共 \(6.57\,\mathrm{MeV}\) 的能量分配到两个步骤的方式不同。

步骤 1：先尝试 β⁻ 衰变。

β⁻ 衰变会使 \(A\) 保持不变，而 \(Z\) 增加 1：

\[ {}^{210}_{83}\mathrm{Bi} \rightarrow {}^{210}_{84}\mathrm{Po} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

接著，钋-210 经历 α 衰变：

\[ {}^{210}_{84}\mathrm{Po} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

因此，第一条路径为

\[ \boxed{\mathrm{Bi\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Po\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Pb\!- \!206}}. \]

步骤 2：计算第一条路径中 β⁻ 衰变的 \(Q\) 值。

使用原子质量，

\[ \begin{aligned} Q_{\beta^-} &= (209.984120-209.982873) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.001247\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.16\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 3：计算 α 衰变的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\alpha} &= (209.982873 -205.974465 -4.002603) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.005805\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=5.41\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

因此，第一条路径释放

\[ 1.16+5.41=6.57\,\mathrm{MeV}. \]

步骤 4：现在尝试先进行 α 衰变。

α 衰变会使

\[ A\rightarrow A-4 \]

以及

\[ Z\rightarrow Z-2. \]

因此，

\[ {}^{210}_{83}\mathrm{Bi} \rightarrow {}^{206}_{81}\mathrm{Tl} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}. \]

接著，β⁻ 衰变会产生

\[ {}^{206}_{81}\mathrm{Tl} \rightarrow {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e. \]

因此，第二条路径为

\[ \boxed{\mathrm{Bi\!- \!210} \rightarrow \mathrm{Tl\!- \!206} \rightarrow \mathrm{Pb\!- \!206}}. \]

步骤 5：计算第二条路径中 α 衰变的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\alpha} &= (209.984120 -205.976110 -4.002603) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.005407\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=5.04\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

步骤 6：计算 β⁻ 衰变的 \(Q\) 值。

\[ \begin{aligned} Q_{\beta^-} &= (205.976110-205.974465) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=(0.001645\,\mathrm{u}) (931.5\,\mathrm{MeV/u})\\ &=1.53\,\mathrm{MeV}. \end{aligned} \]

因此，这条路径释放

\[ 5.04+1.53=6.57\,\mathrm{MeV}. \]

步骤 7：解释这个看似矛盾的结果。

两条路径的总能量相同：

\[ \boxed{Q_{\text{总}}\approx6.57\,\mathrm{MeV}} \]

。

然而，每个步骤的能量不同，因为中间产物是不同的原子核。

在先进行 β 衰变的路径中，中间产物是 Po-210，因此第一步的质量差取决于 Bi-210 和 Po-210 的质量。

在先进行 α 衰变的路径中，中间产物是 Tl-206，因此第一步的质量差取决于 Bi-210、Tl-206 以及 α 粒子的质量。

一个容易产生的错误论点是：「起始和结束的原子核相同，所以每一步释放的能量也应该相同。」这忽略了中间态。能量取决于该特定步骤所涉及的各个状态的质量。

总能量仍然相同的原因其实很简单：将两个步骤的 \(Q\) 值相加时，中间原子核的质量会互相抵消。最后只剩下初始状态、最终状态，以及整个过程中总共放出的粒子。

这正是质能守恒在整条核嬗变链中发挥作用的方式，而不只是逐一套用在每个方程式上。

当这种核算方式变得熟练之后，下一个值得学习的步骤，就是运用相同的 \(Q\) 值概念，理解为什么核分裂、核融合和放射性衰变会释放能量，即使核子本身并没有消失。