哈伯定律與宇宙膨脹的證據：HSC 物理指南

一個星系正遠離地球。它發出的光抵達我們時，波長已向光譜的紅端伸長。但這裡有個問題：我們如何判斷一個遙遠的星系是否真的正在遠離我們？又如何知道整個宇宙正在膨脹，而不是星系只是在一片固定、空曠的空間中飛行？

關鍵概念來自比較兩項測量：

1. 星系光線的紅移（redshift），這能告訴我們星系遠離我們的速度有多快；以及
2. 該星系的距離，這能告訴我們它離我們有多遠。

將這兩項測量結合後，就會出現一種規律：星系距離我們越遠，通常遠離我們的速度就越快。

01改變問題方向的觀測

想像你正看著一列騎單車的人逐漸遠離你。離你最近的騎車者，與遠處的騎車者正以相同的速度前進。

你會預期最遠的騎車者看起來遠離你的速度更快嗎？

不會。在這種情況下，距離與速度並沒有關聯。每位騎車者的速度都相同。

天文學家在星系中發現的情況卻有所不同。平均而言，一個距離我們兩倍遠的星系，其遠離速度大約也是兩倍。

在接受這個結論之前，先預測一下：如果宇宙沒有膨脹，你會預期觀察到什麼？

如果宇宙是靜態的，就沒有理由認為遙遠星系的距離與退行速度之間會呈現系統性的關係。有些星系可能朝我們移動，有些可能遠離我們，但整體而言，不會出現明確的趨勢。

這些證據指出一個更宏大的現象：空間本身正在膨脹。

02從星光判讀運動

要理解這些證據，我們首先需要了解天文學家如何在不前往星系的情況下測量它們的運動。

恆星和星系會發出具有特定波長的光。這些波長形成的圖樣稱為譜線（spectral lines）。每種元素都有自己的譜線圖樣，幾乎就像條碼一樣。

例如，氫會產生一組已知的譜線。天文學家可以將從遙遠星系測得的波長，與在地球實驗室中測得的氫譜線波長進行比較。

如果譜線移向較長的波長，這道光就稱為發生了紅移（redshift）。

紅移表示光源相對於觀測者正在遠離。

這與都卜勒效應有關。你可能已經從聲音中注意過類似的現象：救護車接近時，警笛音調較高；當它遠離時，音調則較低。

光的情況並不完全相同，因為光不像聲音那樣需要空氣等介質傳播，但波長伸長的概念是相似的。

一個實用的初步模型是：

• 星系朝地球移動 → 波長被壓縮 → 藍移
• 星系遠離地球 → 波長被拉長 → 紅移

這個模型很有幫助，但仍需要進一步修正。對於非常遙遠的星系，紅移並不只是星系在空間中移動所造成的結果。光波在傳播過程中，也會因為空間本身的膨脹而被拉長。

03測量紅移

紅移的程度可以用紅移值 \(z\) 表示：

\[ z = \frac{\lambda_{\text{observed}}-\lambda_{\text{rest}}}{\lambda_{\text{rest}}} \]

其中：

• \(z\) 是紅移值，
• \(\lambda_{\text{observed}}\) 是從遙遠星系測得的波長，
• \(\lambda_{\text{rest}}\) 是在實驗室中測得的已知波長。

\(z\) 的值越大，代表波長的偏移越大。

當速度遠低於光速時，可以使用以下公式估算退行速度：

\[ v = cz \]

其中：

• \(v\) 是星系的退行速度，單位為公尺每秒，
• \(c\) 是光速，即 \(3.00 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\)，
• \(z\) 是紅移值。

這個公式是 HSC 課程中實用的近似方法。對於距離極其遙遠的星系，天文學家會使用以廣義相對論為基礎的進階模型。

04測量距離：證據的另一半

紅移本身只能告訴我們星系遠離的速度有多快，卻無法告訴我們它距離我們有多遠。

天文學家需要測量距離。

其中一種方法是使用標準燭光（standard candles）。這些天體具有已知的真實亮度。透過比較它們的真實亮度與觀測亮度，天文學家便能估算距離。

一個簡單的類比是在夜間觀察兩支完全相同的手電筒。

看起來較暗的那支手電筒，很可能距離較遠。

但這個類比並不完全適用，因為恆星並不是亮度完全相同的手電筒。天文學家需要仔細校準，才能確定天體的真實亮度。

結合距離測量與紅移測量後，天文學家便能繪製退行速度對距離的關係圖。

05哈伯定律：數據中的規律

這種關係稱為哈伯定律（Hubble’s law）：

\[ v = H_0 d \]

其中：

• \(v\) 是退行速度，
• \(H_0\) 是哈伯常數，
• \(d\) 是星系的距離。

哈伯常數描述宇宙目前的膨脹速率。

重要的不只是這條公式，更是它所代表的意義：

距離增加，退行速度也隨之增加。

一個常見的錯誤觀念是：由於每個星系看起來都在遠離我們，因此地球一定位於膨脹的中心。

但試著想像在一個正在充氣的氣球表面畫上許多點。當氣球膨脹時，每個點都會看到其他點逐漸遠離。沒有任何一個點是表面膨脹的中心。

氣球類比有助於說明為何每個位置的觀測者都能觀察到膨脹。然而，這個類比並不完整，因為真實的宇宙並不像氣球那樣向周圍的空間膨脹。實際上，正在改變的是空間本身。

08最容易令人誤解的觀念：「星系是在空間中移動」

我們很自然會把星系想像成從某個中心點爆炸散開，並在固定的空間中飛行。

這種想法看似合理，因為許多日常物體都是以這種方式移動。例如，球被拋過田野時，會在田野的空間中移動。

然而，哈伯觀測所得的證據指向另一種模型。大尺度的膨脹是由空間本身的伸展造成的。隨著星系之間的空間膨脹，星系之間的距離也隨之增加。

局部運動仍然存在。例如，星系可能因為重力而互相靠近。在距離較遠的尺度上，整體膨脹的效應會更明顯，因為此時整體趨勢佔據主導地位。

這就是為甚麼仙女座星系可以正朝銀河系移動，即使宇宙整體正在膨脹。

09將哈伯定律的證據與其他恆星觀測連結起來

紅移測量取決於能否正確辨認譜線。這與天文學家如何利用光譜來分類恆星有直接關係。

你可以在這裡複習相關內容：

利用恆星光譜分類恆星：HSC 物理指南

當天文學家了解如何解讀恆星與星系發出的光後，也能將恆星標示在赫羅圖上，以研究恆星的演化：

赫羅圖：如何解讀恆星演化

10問題與解答

問題 1

某星系的紅移值為 \(0.0015\)。估算它的退行速度。

解答 1

退行速度約為 \(4.50 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}\)。

對於較小的紅移，使用：

\[ v = cz \]

其中：

• \(c = 3.00 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\)，
• \(z = 0.0015\)。

代入：

\[ v=(3.00 \times 10^8)(0.0015) \]

\[ v=4.50 \times 10^5 \text{ m s}^{-1} \]

該星系正以約 \(450 \text{ km s}^{-1}\) 的速度遠離地球。

常見的錯誤是把紅移值本身當作速度。紅移值只是衡量波長變化的數值。

問題 2

兩個星系的觀測數據如下：

• 星系 A：距離 \(50\) Mpc，退行速度 \(3500 \text{ km s}^{-1}\)
• 星系 B：距離 \(100\) Mpc，退行速度 \(7000 \text{ km s}^{-1}\)

解釋這些數據對宇宙膨脹有甚麼啟示。

解答 2

這些觀測結果顯示，退行速度與距離成正比。

對於星系 A：

\[ H_0=\frac{3500}{50}=70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} \]

對於星系 B：

\[ H_0=\frac{7000}{100}=70 \text{ km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} \]

兩者得出的 \(H_0\) 值相同。

這支持哈伯定律：

\[ v=H_0d \]

一個看似合理的結論是，星系 B「因為有更強大的引擎，所以移動得更快」。但更合理的解釋是，由於距離更遠，地球與星系 B 之間存在更多正在膨脹的空間。

問題 3

一名學生說：

「因為每個星系看起來都在遠離地球，所以地球一定位於宇宙的中心。」

解釋為甚麼這個推理不正確。

解答 3

這個結論不正確，因為膨脹發生在整個空間中，而不是從空曠空間中的某個單一爆炸點向外擴散。

氣球類比有助於理解這一點：膨脹中的氣球表面上，每個點都會看到其他點逐漸遠離。沒有任何一個點是表面膨脹的中心。

容易產生的誤解是套用日常運動的經驗，認為物體遠離我們通常表示我們接近運動的中心。真正改變結論的關鍵在於，膨脹是空間本身的伸展，因此每位觀測者都會測得遙遠星系正在遠離。

問題 4

某個遙遠星系的紅移比一個鄰近星系更大。一名學生因此得出結論：

「這個遙遠星系在其整個歷史中，一定一直以更快的速度在空間中移動。」

評估這項說法。

解答 4

這項說法並不完整，因為較大的紅移主要表示光在穿越空間的過程中，經歷了更大程度的膨脹效應。

在膨脹中的宇宙裡，遙遠星系通常具有較大的退行速度，因為它們距離我們更遠，符合以下規律：

\[ v=H_0d \]

容易產生的誤解是把星系想像成火箭，認為它只是以更快的速度飛行。當中忽略了一個關鍵因素：觀測到的紅移包含星系與地球之間的空間膨脹效應，而不僅僅反映星系的局部運動。

更準確的解釋是，距離越遠，對觀測到的分離程度產生影響的膨脹空間就越多。

問題 5

兩位天文學家正在測量宇宙。

天文學家 A 觀測到一個具有較大紅移的星系，並得出結論，認為該星系正快速遠離我們。

天文學家 B 則認為，單憑較大的紅移，不能證明該星系目前具有很大的速度，因為光可能已在膨脹中的宇宙裡傳播了數十億年。

哪位天文學家的論點較有說服力？還需要哪些額外證據，才能支持這項結論？

解答 5

天文學家 B 的論點較有說服力，因為單憑紅移，無法完全確定一個非常遙遠的星系目前的運動狀態。

容易產生的誤解是直接套用簡單的都卜勒模型：波長偏移越大，速度就越快。這個方法對鄰近天體相當有效，但在宇宙學尺度的距離上便不再完整。

對於非常遙遠的星系，觀測到的紅移包含光在傳播過程中，空間膨脹所造成的效應。

若要支持宇宙整體正在膨脹的結論，天文學家需要結合以下證據：

1. 可靠的距離測量，
2. 紅移測量，
3. 觀測到的距離與退行速度之間的關係。

關鍵在於，單一星系的紅移無法揭示宇宙膨脹的完整歷史。許多星系呈現出的整體規律，才是支持哈伯定律與膨脹宇宙模型的證據。

這個概念自然引出天文學家接下來會提出的問題：如果宇宙現在正在膨脹，那麼我們可以從中得知宇宙的過去、年齡，以及支持大爆炸模型的證據嗎？