為甚麼繞射光柵會在特定方向產生亮紋？

繞射光柵可以將兩個原本看起來混成一片模糊顏色的波長，分離成兩條清晰的亮線。這正是繞射光柵的主要用途：它不只是產生干涉圖樣，還能精確地分離不同波長，讓光譜儀能夠辨別它們。

假設兩種黃光的波長相差不到 \(1\text{ nm}\)。你認為，使用兩條狹縫，還是兩千條等間距的狹縫，能更清楚地將它們分開？狹縫間距固然重要，但還有另一個因素。當狹縫數量很多時，明亮的干涉極大值會變得非常狹窄，因此相近波長的光較不容易重疊成同一個峰值。

因此，我們需要理解兩件不同的事：光譜極大值會出現在哪些位置，以及光柵能多精確地分辨相近的波長。

01為甚麼繞射光柵會在特定方向產生亮紋？

先考慮光柵中兩條相鄰的狹縫。來自兩條狹縫的光都朝向遠處的同一點傳播，但其中一條光線通常需要走稍長的距離。

兩條光線的額外路程差為

\[ d\sin\theta \]

其中：

• \(d\) 是相鄰狹縫之間的距離，單位為米，
• \(\theta\) 是出射光線與光柵法線之間的夾角。

現在試著預測：甚麼情況下，兩列波會同相到達並互相增強？是路程差為半個波長，還是整數倍波長？

答案是整數倍波長。如果第二列波比第一列波多走了剛好 \(1\lambda\)、\(2\lambda\)、\(3\lambda\)，如此類推，那麼波峰仍會與波峰同時到達。

因此，明亮的主極大值滿足

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中：

• \(\lambda\) 是光的波長，單位為米，
• \(m\) 是極大值的級次：\(0,\pm1,\pm2,\ldots\)。

中央極大值的 \(m=0\)，因此 \(\theta=0^\circ\)。第一級極大值的 \(m=\pm1\)，第二級極大值的 \(m=\pm2\)，如此類推。

這與雙狹縫干涉中的相長干涉條件相同。如果你對這部分的概念有點生疏，可以閱讀 雙狹縫干涉指南 複習。

我們可以用一個簡單的比喻來理解光柵：想像一大群人嘗試同步拍手。在某些特定方向上，來自每條狹縫的波都恰好「同步拍手」，因此各波的振幅會強烈疊加。只要稍微偏離這些方向，整組波的相位便會逐漸出現差異。

這個比喻有助理解相位，但也有其局限。狹縫並不是各自決定何時發光的獨立小物體。光柵實際上是將同一個相干波前分開，而產生的各個波振幅會互相疊加。

02如何將每毫米刻線數轉換為狹縫間距

題目經常會以「每毫米 500 條刻線」等方式描述光柵，而不是直接給出 \(d\)。

如果刻線密度為 \(n\)，則

\[ d=\frac{1}{n} \]

前提是 \(n\) 和 \(d\) 所使用的單位必須一致。

例如，每毫米 \(500\) 條刻線表示

\[ 500\text{ 條刻線 mm}^{-1} =500\,000\text{ 條刻線 m}^{-1}. \]

因此，

\[ d=\frac{1}{500\,000} =2.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

一個非常常見的錯誤，是直接將 \(500\) 代入 \(d=1/n\)，然後把計算結果當成以米為單位的數值。必須先完成單位轉換。

03快速求出可能出現的最高級次

由於

\[ \sin\theta\leq1, \]

光柵方程式必須滿足

\[ \frac{m\lambda}{d}\leq1. \]

因此，

\[ m\leq\frac{d}{\lambda}. \]

符合此條件的最大整數，就是可能出現的最高級次。

以上一個例子為例，

\[ \frac{d}{\lambda} =\frac{2.00\times10^{-6}}{6.00\times10^{-7}} =3.33, \]

因此最高級次為 \(m=3\)。

還有一個值得注意的實際情況。如果計算結果恰好是 \(\sin\theta=1\)，則 \(\theta=90^\circ\)。這在數學上是允許的，但光線會沿著平行於光柵表面的方向傳播，因此通常無法在實際光譜儀中有效利用。

04為甚麼光柵能分離不同波長？

現在想像兩種不同波長的光通過同一個光柵。

對於固定的級次 \(m\)，

\[ d\sin\theta=m\lambda. \]

如果 \(d\) 和 \(m\) 保持不變，而 \(\lambda\) 增加，\(\sin\theta\) 就必須增加。因此，波長較長的光會出現在較大的角度。

這就是光柵能將白光分散成光譜的原因。在同一級光譜中，紅光與中央的夾角比紫光更大。

留意 \(m=0\) 有一個特別之處：

\[ d\sin0^\circ=0. \]

所有波長都符合這個條件。因此，中央極大值不會將不同波長分開。光譜分離只會在非零級次開始出現。

對於兩個相近的波長，可以使用以下近似式：

\[ \Delta\theta\approx \frac{m\Delta\lambda}{d\cos\theta}, \]

其中 \(\Delta\lambda\) 是兩者的波長差，而 \(\Delta\theta\) 是它們之間以弧度表示的微小角度差。

這告訴我們，在一般情況下，以下因素會使相近波長的角度分離更加明顯：

• 級次 \(m\) 較大，
• 狹縫間距 \(d\) 較小，
• 繞射角較大。

較小的 \(d\) 代表每毫米有更多光柵刻線。

但角度分離只是問題的一半。

05分離程度不等於解析度

想像兩條光譜線的極大值相距 \(0.05^\circ\)。

聽起來似乎不錯。但如果每個亮峰的寬度都是 \(0.10^\circ\)，會怎樣？兩個峰會嚴重重疊，看起來很可能只是一條線。

現在假設兩個極大值仍然相距 \(0.05^\circ\)，但每個峰都非常狹窄。這時便可以分辨出兩條線。

這就是解析度所涉及的關鍵區別。

繞射光柵能提高波長解析度，是因為大量等間距狹縫所形成的主極大值，比雙狹縫裝置產生的主極大值狹窄得多。

為甚麼會這樣？

在主極大值的確切方向上，來自每條狹縫的波都同相到達。只要稍微偏離這個角度，相鄰狹縫的波之間便會出現微小的相位差。

如果只有兩條狹縫，這種微小的相位不匹配不會立即令亮紋消失。

但如果有數百甚至數千條狹縫，這種相位不匹配便會在整個光柵上逐漸累積。來自光柵不同位置的波因而產生強烈的相消干涉，使強度在主極大值兩側迅速下降。

這帶出一個重要區別：

單狹縫繞射圖樣仍然很重要，因為每條狹縫都有有限的寬度。它會形成整體的繞射包絡線，影響各個光柵極大值的強度。光的繞射指南 對這部分有更詳細的解釋。

06理想繞射光柵的分辨本領

對於理想光柵，其分辨本領可表示為

\[ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}}=mN \]

其中：

• \(R\) 是分辨本領，
• \(\lambda\) 是正在觀察的光波長，
• \(\Delta\lambda_{\min}\) 是剛好能被分辨的最小波長差，
• \(m\) 是繞射級次，
• \(N\) 是受光照射的光柵刻線總數。

因此，

\[ \Delta\lambda_{\min} =\frac{\lambda}{mN}. \]

\(mN\) 的數值越大，波長解析度就越高。

不要將 \(N\)（受光照射的刻線總數）與刻線密度混淆。

如果光柵的刻線密度為 \(n\)，而受光照射的寬度為 \(W\)，則近似有

\[ N=nW, \]

前提是各單位一致。

例如，某光柵每毫米有 \(600\) 條刻線，而受光照射的寬度為 \(4.0\text{ mm}\)，則

\[ N=(600)(4.0)=2400 \]

即共有 \(2400\) 條刻線受到光照射。

這個分辨本領公式描述的是理想光柵。實際光譜儀的表現還可能受到入射狹縫、探測器解析度、光學像差、對準情況及其他因素限制。

07不要假設每毫米刻線數越多就一定「越好」

這是一個很容易令人採用的簡化判斷。

較高的刻線密度代表較小的間距 \(d\)。根據

\[ d\sin\theta=m\lambda, \]

在同一級次中，這通常會產生較大的繞射角，以及相近波長之間更大的角度分離。

到目前為止，這個推論沒有問題。

但較小的 \(d\) 同時會限制可出現的級次，因為

\[ m\lambda\leq d. \]

因此，刻線密度非常高的光柵，可能完全無法產生第二級、第三級或更高級的極大值。

這一點很重要，因為分辨本領為

\[ R=mN. \]

刻線密度較低的光柵，雖然受光照射的刻線數量可能較少，卻可能容許更高的繞射級次。在某些情況下，它的分辨本領可以等於甚至超過刻線密度較高的光柵。

因此，正確的問題不是「哪個光柵每毫米有更多刻線？」

而是「實際上可以使用甚麼級次，以及有多少條刻線受到光照射？」

08其他值得留意的常見陷阱

只要弄清楚每個物理量控制甚麼，光柵題目通常就會容易得多。

另外，也要留意以下常見誤解。

繞射角並不會與級次成正比增加。真正與級次成正比的是 \(\sin\theta\)：

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}. \]

因此，將 \(m\) 加倍，通常不會令 \(\theta\) 加倍。

光柵間距 \(d\) 也不是單一狹縫的寬度。狹縫間距決定干涉極大值的位置，而每條狹縫本身的寬度則有助決定繞射包絡線。

最後，如果題目涉及屏幕，就必須考慮幾何關係。如果屏幕與光柵之間的垂直距離為 \(L\)，而某個極大值與中央位置的位移為 \(x\)，則

\[ x=L\tan\theta. \]

除非有充分理由使用小角度近似，否則不要將 \(\tan\theta\) 直接替換為 \(\sin\theta\)。

09題目與解答

題目 1

某繞射光柵每毫米有 \(400\) 條刻線。波長為 \(500\text{ nm}\) 的光垂直入射光柵。

計算第一級極大值的繞射角。

解答 1

第一級極大值出現在與法線約成 \(11.5^\circ\) 的方向。

首先轉換刻線密度：

\[ n=400\times1000 =4.00\times10^5\text{ m}^{-1}. \]

因此，

\[ d=\frac{1}{n} =\frac{1}{4.00\times10^5} =2.50\times10^{-6}\text{ m}. \]

對於第一級，\(m=1\)，而

\[ \lambda=500\text{ nm} =5.00\times10^{-7}\text{ m}. \]

利用

\[ d\sin\theta=m\lambda, \]

可得

\[ \sin\theta =\frac{(1)(5.00\times10^{-7})}{2.50\times10^{-6}} =0.200. \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.200)=11.5^\circ. \]

常見陷阱是將 \(400\text{ 條刻線 mm}^{-1}\) 誤當成 \(400\text{ m}^{-1}\)。在計算 \(d\) 之前先轉換刻線密度，就能避免這個錯誤。

題目 2

某光柵每毫米有 \(600\) 條刻線。入射光包含波長為 \(450\text{ nm}\) 和 \(650\text{ nm}\) 的光。

探測器只能接收中央兩側繞射角不超過 \(50^\circ\) 的光。

對每個波長，判斷實際上會記錄到哪些非零級次的繞射極大值。

解答 2

對於 \(450\text{ nm}\) 的光，探測器會記錄到第一級和第二級極大值；但對於 \(650\text{ nm}\) 的光，只會記錄到第一級極大值。

首先求光柵間距：

\[ n=600\times1000 =6.00\times10^5\text{ m}^{-1}, \]

因此

\[ d=\frac{1}{6.00\times10^5} =1.667\times10^{-6}\text{ m}. \]

對於 \(450\text{ nm}\)，第一級為

\[ \sin\theta_1 =\frac{450\times10^{-9}}{1.667\times10^{-6}} =0.270, \]

得到

\[ \theta_1=15.7^\circ. \]

第二級為

\[ \sin\theta_2 =\frac{2(450\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.540, \]

因此

\[ \theta_2=32.7^\circ. \]

第三級為

\[ \sin\theta_3 =\frac{3(450\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.810, \]

因此

\[ \theta_3=54.1^\circ. \]

第三級極大值在物理上確實存在，但它超出了探測器的 \(50^\circ\) 接收範圍。因此，對於 \(450\text{ nm}\) 的光，探測器只會記錄 \(m=1\) 和 \(m=2\)。

對於 \(650\text{ nm}\)，

\[ \sin\theta_1 =\frac{650\times10^{-9}}{1.667\times10^{-6}} =0.390, \]

因此

\[ \theta_1=23.0^\circ. \]

對於第二級，

\[ \sin\theta_2 =\frac{2(650\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.780, \]

得到

\[ \theta_2=51.3^\circ. \]

這個極大值同樣存在，但剛好超出了探測器的接收角度限制。

容易犯的錯誤，是只考慮某個級次在數學上是否可能存在。即使某個級次符合 \(\sin\theta\leq1\)，如果儀器無法接收該角度的光，仍然可能無法探測到它。

題目 3

某光柵對波長為 \(520\text{ nm}\) 的光，在 \(20.0^\circ\) 方向產生第一級極大值。

求出：

• 光柵間距，
• 以每毫米刻線數表示的刻線密度，
• 波長為 \(650\text{ nm}\) 的光的第一級繞射角，
• 波長為 \(520\text{ nm}\) 的光的第二級極大值角度。

一名學生聲稱，最後一題的答案必定是 \(40.0^\circ\)，因為級次加倍了。解釋他的錯誤。

解答 3

光柵間距為 \(1.52\times10^{-6}\text{ m}\)，刻線密度約為 \(658\text{ 條刻線 mm}^{-1}\)，\(650\text{ nm}\) 光的第一級極大值約位於 \(25.3^\circ\)，而 \(520\text{ nm}\) 光的第二級極大值約位於 \(43.2^\circ\)，並不是 \(40.0^\circ\)。

對於已知的第一級極大值，

\[ d\sin20.0^\circ=(1)(520\times10^{-9}\text{ m}). \]

因此，

\[ d =\frac{520\times10^{-9}}{\sin20.0^\circ} =1.52\times10^{-6}\text{ m}. \]

刻線密度為

\[ n=\frac{1}{d} =\frac{1}{1.52\times10^{-6}} \approx6.58\times10^5\text{ m}^{-1}. \]

由於 \(1000\text{ mm}=1\text{ m}\)，

\[ n\approx658\text{ 條刻線 mm}^{-1}. \]

對於 \(650\text{ nm}\) 的第一級，

\[ \sin\theta =\frac{650\times10^{-9}}{1.52\times10^{-6}} \approx0.428, \]

因此

\[ \theta\approx25.3^\circ. \]

對於 \(520\text{ nm}\) 的第二級，

\[ \sin\theta =\frac{2(520\times10^{-9})}{1.52\times10^{-6}} \approx0.684, \]

得到

\[ \theta\approx43.2^\circ. \]

這名學生的預測看起來合理，因為 \(m\) 直接出現在光柵方程式中。然而，方程式實際表示的是

\[ \sin\theta\propto m, \]

而不是

\[ \theta\propto m. \]

將級次加倍，會使 \(\sin\theta\) 加倍，而不是令角度本身加倍。正是 \(\theta\) 與 \(\sin\theta\) 之間的非線性關係，導致計算結果不同。

題目 4

現有兩個光柵，可用來分離接近 \(500\text{ nm}\) 的光譜線。

光柵 A 每毫米有 \(600\) 條刻線。

光柵 B 每毫米有 \(1200\) 條刻線。

兩個光柵各有 \(2.0\text{ mm}\) 的寬度受到光照射。光譜儀可以接收任何滿足 \(\theta<80^\circ\) 的極大值。

兩條光譜線的波長分別為 \(500.00\text{ nm}\) 和 \(500.18\text{ nm}\)。

對每個光柵：

• 求出最高可用繞射級次，
• 計算該級次的理想分辨本領，
• 判斷能否分辨這兩個波長。

解釋為甚麼單純選擇刻線密度較高的光柵，會得出錯誤的結論。

解答 4

光柵 A 在理想情況下可以利用第三級分辨這兩個波長，而光柵 B 即使使用其最高可用級次，也無法分辨它們。這裏刻線密度較低的光柵表現更好，因為它能使用更高的繞射級次，而這個優勢足以彌補其受光照射刻線數量較少的不足。

對於光柵 A，

\[ n_A=600\text{ 條刻線 mm}^{-1}, \]

因此

\[ d_A=\frac{1}{600\,000} =1.667\times10^{-6}\text{ m}. \]

對於接近 \(500\text{ nm}\) 的光，可能出現的最高級次須滿足

\[ m\leq\frac{d_A}{\lambda} =\frac{1.667\times10^{-6}}{500\times10^{-9}} =3.33. \]

因此最高級次為 \(m=3\)。

檢查儀器能否接收這個級次：

\[ \sin\theta =\frac{3(500\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.900, \]

因此

\[ \theta=64.2^\circ, \]

小於 \(80^\circ\)。

受光照射的刻線數量為

\[ N_A=(600)(2.0)=1200. \]

因此，

\[ R_A=mN=(3)(1200)=3600. \]

最小可分辨波長差約為

\[ \Delta\lambda_{\min,A} =\frac{500\text{ nm}}{3600} =0.139\text{ nm}. \]

由於

\[ 0.180\text{ nm}>0.139\text{ nm}, \]

光柵 A 在理想情況下可以分辨這兩條光譜線。

對於光柵 B，

\[ d_B =\frac{1}{1.20\times10^6} =8.33\times10^{-7}\text{ m}. \]

允許的級次須滿足

\[ m\leq \frac{8.33\times10^{-7}}{500\times10^{-9}} =1.67. \]

因此只有 \(m=1\) 可用。

受光照射的刻線數量為

\[ N_B=(1200)(2.0)=2400. \]

所以

\[ R_B=(1)(2400)=2400. \]

其最小可分辨波長差為

\[ \Delta\lambda_{\min,B} =\frac{500\text{ nm}}{2400} =0.208\text{ nm}. \]

由於

\[ 0.180\text{ nm}<0.208\text{ nm}, \]

光柵 B 在理想情況下無法分辨這兩個波長。

一個很容易令人採用的解題方法，是注意到光柵 B 每毫米的刻線數是光柵 A 的兩倍，因此受光照射的刻線數也是兩倍。這確實正確，但並不完整。

光柵 B 的狹縫間距較小，使第二級和第三級無法出現。由於分辨本領取決於 \(mN\) 的乘積，光柵 A 的第三級可達到

\[ 3\times1200=3600, \]

而光柵 B 只能達到

\[ 1\times2400=2400. \]

繞射級次絕不是無關緊要的細節，它會直接改變結果。

題目 5

三個光柵均有相同的受光照射寬度 \(10.0\text{ mm}\)。現考慮使用它們分辨兩條接近 \(480\text{ nm}\)、波長相差 \(0.030\text{ nm}\) 的光譜線。

• 光柵 A：每毫米 \(500\) 條刻線
• 光柵 B：每毫米 \(1000\) 條刻線
• 光柵 C：每毫米 \(1250\) 條刻線

假設光柵是理想的，並且可以使用物理上允許的最高非零級次。

對每個光柵，求出最高允許級次及最大理想分辨本領。判斷哪些光柵能夠分辨這兩條光譜線。

然後利用 \(d\sin\theta=m\lambda\) 和 \(R=mN\)，解釋為甚麼當受光照射的寬度固定時，增加刻線密度並不保證最大可能分辨本領會提高。

解答 5

光柵 A 和 B 的最大理想分辨本領相同，均為 \(20\,000\)，因此可以分辨 \(0.030\text{ nm}\) 的波長差；光柵 C 的最大分辨本領則較低，只有 \(12\,500\)，因此無法分辨。關鍵限制在於，增加刻線密度雖然會增加 \(N\)，卻也可能同時迫使最高可用級次 \(m\) 降低。

對於光柵 A，

\[ d_A =\frac{1}{500\,000} =2.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

當 \(\lambda=480\text{ nm}\) 時，

\[ m\leq \frac{2.00\times10^{-6}}{480\times10^{-9}} =4.17. \]

因此，

\[ m_{\max,A}=4. \]

受光照射的刻線數量為

\[ N_A=(500)(10.0)=5000. \]

所以

\[ R_{\max,A}=mN=(4)(5000)=20\,000. \]

因此

\[ \Delta\lambda_{\min,A} =\frac{480\text{ nm}}{20\,000} =0.0240\text{ nm}. \]

由於 \(0.030\text{ nm}>0.0240\text{ nm}\)，光柵 A 在理想情況下可以分辨這兩條光譜線。

對於光柵 B，

\[ d_B =\frac{1}{1.00\times10^6} =1.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

因此，

\[ m\leq \frac{1.00\times10^{-6}}{480\times10^{-9}} =2.08, \]

所以

\[ m_{\max,B}=2. \]

受光照射的刻線數量為

\[ N_B=(1000)(10.0)=10\,000. \]

因此，

\[ R_{\max,B} =(2)(10\,000) =20\,000. \]

同樣地，

\[ \Delta\lambda_{\min,B} =\frac{480\text{ nm}}{20\,000} =0.0240\text{ nm}. \]

因此，光柵 B 也能分辨 \(0.030\text{ nm}\) 的波長差。

對於光柵 C，

\[ d_C =\frac{1}{1.25\times10^6} =8.00\times10^{-7}\text{ m}. \]

級次必須滿足

\[ m\leq \frac{8.00\times10^{-7}}{480\times10^{-9}} =1.67. \]

因此，

\[ m_{\max,C}=1. \]

受光照射的刻線數量為

\[ N_C=(1250)(10.0)=12\,500. \]

其最大理想分辨本領為

\[ R_{\max,C} =(1)(12\,500) =12\,500. \]

因此，

\[ \Delta\lambda_{\min,C} =\frac{480\text{ nm}}{12\,500} =0.0384\text{ nm}. \]

由於

\[ 0.030\text{ nm}<0.0384\text{ nm}, \]

光柵 C 在理想情況下無法分辨這兩條光譜線。

更深一層的結論，可以透過結合兩個主要限制條件得出。

對於任何可能存在的級次，

\[ m\lambda\leq d, \]

因此

\[ m\leq\frac{d}{\lambda}. \]

如果受光照射的光柵寬度為 \(W\)，則受光照射的刻線數量近似為

\[ N=\frac{W}{d}. \]

由於

\[ R=mN, \]

最大可能值受到以下關係限制：

\[ R \leq \frac{d}{\lambda}\frac{W}{d} =\frac{W}{\lambda}. \]

間距 \(d\) 在式中互相抵消。

這就是整個推論的關鍵。在相同寬度內排列更多刻線，會提高 \(N\)，但較小的間距也會減少能夠存在的繞射級次。在理想化的連續變化分析中，這兩種影響可以互相抵消。但在實際光柵中，\(m\) 必須是整數，因此可達到的分辨本領會呈階梯式變化。

這就解釋了起初看似奇怪的結果。光柵 B 的刻線密度是 A 的兩倍，但其最高級次只有 A 的一半，因此兩者的 \(mN\) 乘積完全相同：

\[ (4)(5000)=(2)(10\,000)=20\,000. \]

光柵 C 進一步提高了刻線密度，但其第二級已經不可能在物理上出現。額外增加的受光照射刻線數量，仍不足以彌補失去的繞射級次。

10接下來可以進一步理解甚麼？

光柵方程式告訴我們每個波長的光會出現在哪個方向。分辨本領則告訴我們，當兩個相近波長的光到達各自的位置後，是否仍然能夠被區分。

下一步值得學習的是，將這些現象與一般的干涉和繞射概念連繫起來。光柵狹窄而尖銳的主極大值來自多狹縫干涉，而它們的整體亮度則部分受到每條狹縫各自產生的繞射圖樣控制。結合這些概念，我們不但能解釋光譜出現的位置，還能理解為甚麼某些級次可能很明亮、很微弱，甚至實際上完全看不見。