行星表面的重力場強度

假設一顆新發現的行星質量是地球的兩倍。你會預期它的表面重力也是地球的兩倍嗎？

這個推測很容易讓人信服，但現在還不能下結論。如果這顆行星也大得多，那麼它的表面就會離全部質量更遠。重力場強度同時取決於行星的質量和半徑。

這就是我們要解決的整個問題：已知一顆行星的質量和半徑，它表面的重力有多強？

01為什麼半徑很重要

想像你站在一顆球形行星上。重力會把你拉向行星的中心。

對於球對稱的行星，行星外部的重力場表現得就像它的全部質量都集中在中心一樣。因此，重要的距離不是你離地面的高度，而是你離行星中心的距離。

在表面上，這個距離就是行星的半徑 \(R\)。

現在想像行星的質量保持不變，但讓行星變得更膨大。你站的位置會離行星中心更遠，因此表面的重力場會變弱。

一個有用的想像方式，是把相同的重力影響看成分布在愈來愈大的球面上。半徑增加為兩倍的球，其表面積會變成四倍，這暗示了為什麼重力場會隨距離的平方而減弱。重力當然不是真的像某種物質一樣被「攤開」，所以這個想像有其限制，但它能呈現正確的平方反比關係。

02從萬有引力到重力場強度

牛頓萬有引力定律給出質量為 \(M\) 的行星與質量為 \(m\) 的物體之間的作用力：

\[ F = \frac{GMm}{r^2} \]

其中：

• \(F\) 是重力，單位為牛頓 \(\mathrm{N}\)，
• \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\) 是萬有引力常數，
• \(M\) 是行星的質量，單位為公斤，
• \(m\) 是受到吸引的物體質量，單位為公斤，而
• \(r\) 是兩者質心之間的距離，單位為公尺。

重力場強度 \(g\) 表示每公斤質量所受到的重力：

\[ g = \frac{F}{m} \]

把牛頓萬有引力代入這個定義：

\[ g = \frac{1}{m}\left(\frac{GMm}{r^2}\right) \]

物體的質量可以約去：

\[ g = \frac{GM}{r^2} \]

在行星表面，\(r=R\)，因此：

\[ \boxed{g = \frac{GM}{R^2}} \]

這裡的 \(R\) 必須是以公尺表示的行星半徑。

這個約去的過程說明了一個重要結果。一個 \(2\ \mathrm{kg}\) 的物體所受重力，是 \(1\ \mathrm{kg}\) 物體的兩倍，但它的慣性也同樣是兩倍。因此，如果重力是唯一作用力，兩個物體的加速度會相同。

重力場強度的單位是 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\)。由於 \(1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}\)，

\[ 1\ \mathrm{N\,kg^{-1}} = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]

因此，\(9.8\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\) 的重力場強度也表示自由落體會以 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度運動，前提是重力是唯一顯著的作用力。

如果你想重新了解重力公式的由來，請參閱 HSC Physics 的牛頓萬有引力定律。

03質量和半徑實際上有什麼作用

方程式

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

包含兩個互相競爭的影響。

最後一列特別值得注意。

一顆行星的質量可以是另一顆行星的四倍，但只要它的半徑也是兩倍，兩者的表面重力就可以完全相同。

所以，「質量更大的行星」並不會自動代表「表面重力更強」。

04一套可靠的計算方法

在 HSC 計算題中，可以依照以下步驟：

1. 找出行星的質量 \(M\)。
2. 找出它的半徑 \(R\)。
3. 如有需要，把半徑換算成公尺。
4. 將半徑平方。
5. 代入 \(g=GM/R^2\)。
6. 以 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) 或 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) 表示 \(g\)。
7. 檢查答案在物理上是否合理。

最常見的計算機錯誤，是沒有正確處理 \(R^2\)。

例如，

\[ (5.0\times10^6)^2 = 25\times10^{12} = 2.5\times10^{13} \]

數值和 10 的次方都必須平方。

範例：計算一顆行星上的重力

一顆球形行星的質量為 \(5.20\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半徑為 \(5.80\times10^6\ \mathrm{m}\)。計算它表面的重力場強度。

步驟 1：找出適用的方程式。

在行星表面，

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

步驟 2：代入數值，包括單位。

\[ g= \frac{(6.67\times10^{-11})(5.20\times10^{24})} {(5.80\times10^6)^2} \]

步驟 3：計算半徑的平方，並求出結果。

\[ \begin{aligned} R^2 &= 3.364\times10^{13}\ \mathrm{m^2} \\ g &= \frac{3.4684\times10^{14}} {3.364\times10^{13}} \\ &=10.31\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取三位有效數字，

\[ g=10.3\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \]

步驟 4：解釋結果。

在表面上，每公斤質量大約受到 \(10.3\ \mathrm{N}\) 的重力。忽略空氣阻力和行星自轉等影響時，在表面附近自由落下的物體會以約 \(10.3\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度運動。

05不使用 \(G\) 比較行星

有時題目會以另一顆行星作為基準，給出某顆行星的相對質量和相對半徑。

在這種情況下，沒有必要分別計算每一個數值。

對兩顆行星而言，

\[ g_1=\frac{GM_1}{R_1^2} \]

以及

\[ g_2=\frac{GM_2}{R_2^2} \]

用第二個方程式除以第一個：

\[ \frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2}{M_1} \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \]

常數 \(G\) 會約去。

這種比值方法通常更快，也更容易看出其中的物理關係。

範例：質量更大的行星，重力反而更弱？

行星 X 的質量是地球的 \(3.20\) 倍，半徑是地球的 \(1.80\) 倍。取地球表面重力場強度為 \(9.81\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。計算行星 X 的表面重力場強度。

在計算之前，先作出預測。行星 X 的質量超過地球的三倍，所以它的表面重力是否應該強很多？

不一定。較大的半徑使它的表面離行星中心遠得多。

步驟 1：寫出比值方程式。

\[ \frac{g_X}{g_E} = \frac{M_X}{M_E} \left(\frac{R_E}{R_X}\right)^2 \]

步驟 2：代入相對質量和相對半徑。

\[ \frac{g_X}{g_E} = 3.20\left(\frac{1}{1.80}\right)^2 = \frac{3.20}{3.24} = 0.988 \]

步驟 3：計算行星 X 的重力場強度。

\[ \begin{aligned} g_X &=0.988(9.81)\\ &=9.69\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

雖然行星 X 的質量是地球的 \(3.20\) 倍，但因為它的半徑也大得多，所以表面重力反而略弱。

半徑的平方在這裡產生了很大的影響。

06迷思：「質量更大的行星有更強的表面重力」

這個說法並不完整。

假設行星 B 的質量是行星 A 的四倍。你可能會立刻預測，它的表面重力也是四倍。

現在再假設行星 B 的半徑也是兩倍。

那麼

\[ \frac{g_B}{g_A} = 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \]

兩顆行星的表面重力場強度完全相同。

問題在於，「質量更大」只告訴了你一半的資訊。表面重力取決於有多少質量，以及表面距離那些質量有多遠。

一個有點滑稽的記憶方式，是把重力想像成有人隔著房間想引起你的注意。更多人一起大喊會讓效果更強，但如果你移得遠很多，傳到你這裡的效果就會變弱。這個類比並不完全成立，因為重力遵循精確的平方反比定律，而房間裡的聲音行為要複雜得多；不過，「來源增加」與「距離增加」之間的競爭關係仍然很有幫助。

07要準確理解「表面」的意思

方程式

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

使用的是到行星中心的距離。

當題目出現高度時，這一點非常重要。

如果一顆行星的半徑為 \(R\)，太空船位於高度 \(h\)，那麼它到行星中心的距離為

\[ r=R+h \]

因此該處的重力場為

\[ g=\frac{GM}{(R+h)^2} \]

不要只把 \(h\) 放進分母。

例如，一艘太空船位於等於一個行星半徑的高度時，它並不是距離行星中心 \(R\)。它到中心的距離是

\[ R+R=2R \]

因此，它所處位置的重力場強度為

\[ g=\frac{GM}{(2R)^2} =\frac{1}{4}\frac{GM}{R^2} \]

所以重力是表面值的四分之一，而不是二分之一。

當你從表面重力進一步學習衛星和軌道運動時，這種平方反比關係會變得非常重要。

08表面重力模型有哪些限制

在一般的 HSC 題目中，行星通常被視為球形，而且具有球對稱的質量分布。

在這個模型下，行星外部的重力場表現得就像全部質量都集中在行星中心一樣。

有幾個限制值得清楚掌握：

• \(R\) 是從中心量起，而不是從地面量起。
• 這個簡單方程式給出的是行星本身產生的重力場。行星自轉可能會改變站在表面上的人所測得的有效重量。
• 方程式 \(GM/r^2\) 適用於球形行星外部。在行星內部，不能直接假設整顆行星的全部質量仍集中在中心，並原封不動地使用相同計算。
• 局部密度差異、山脈和不規則形狀，都可能使真實重力場出現微小差異。HSC 計算通常會忽略這些因素，除非題目另有說明。

這些限制並不是不用這個模型的理由。它們反而清楚告訴你這個模型在什麼情況下適用。

09問題與解答

問題 1

一顆球形行星的質量為 \(4.80\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半徑為 \(5.50\times10^6\ \mathrm{m}\)。

計算它表面的重力場強度。

解答 1

表面重力場強度為 \(10.6\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。

使用

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

其中 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

\[ \begin{aligned} g &= \frac{(6.67\times10^{-11})(4.80\times10^{24})} {(5.50\times10^6)^2}\\ &= \frac{3.2016\times10^{14}} {3.025\times10^{13}}\\ &=10.58\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取三位有效數字，

\[ g=10.6\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \]

這表示位於表面的 \(1.00\ \mathrm{kg}\) 物體受到約 \(10.6\ \mathrm{N}\) 的重力。

一個很容易犯的錯誤，是只平方 \(5.50\)，或只平方 \(10^6\)。整個半徑 \(5.50\times10^6\) 都必須平方。

問題 2

行星 B 的半徑是行星 A 半徑的 \(1.50\) 倍。

行星 B 表面的重力場強度是行星 A 表面重力場強度的 \(80.0\%\)。

求比值 \(M_B/M_A\)。

說明為什麼行星 B 可以比行星 A 質量更大，但表面重力仍然較弱。

解答 2

雖然行星 B 的表面重力較弱，但它的質量是行星 A 的 \(1.80\) 倍。

先從比值開始：

\[ \frac{g_B}{g_A} = \frac{M_B}{M_A} \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \]

題目給出

\[ \frac{g_B}{g_A}=0.800 \]

以及

\[ \frac{R_B}{R_A}=1.50 \]

所以

\[ \frac{R_A}{R_B}=\frac{1}{1.50} \]

因此，

\[ 0.800 = \frac{M_B}{M_A} \left(\frac{1}{1.50}\right)^2 \]

整理可得，

\[ \begin{aligned} \frac{M_B}{M_A} &=0.800(1.50)^2\\ &=0.800(2.25)\\ &=1.80 \end{aligned} \]

所以

\[ \frac{M_B}{M_A}=1.80 \]

行星 B 的質量較大，但它的表面距離中心也是 \(1.50\) 倍。因為距離在重力場方程式中要平方，所以這個較大的半徑足以抵銷並超過額外質量所帶來的影響。

很容易走錯的思路，是假設質量較大一定代表表面重力較大。只有當兩顆行星半徑相同時，這才成立。

問題 3

一顆行星的半徑為 \(7.00\times10^6\ \mathrm{m}\)，表面重力場強度為 \(9.53\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。

一個 \(75.0\ \mathrm{kg}\) 的探測器上升到距離表面 \(7.00\times10^6\ \mathrm{m}\) 的高度。

計算：

a. 探測器在新位置的重力場強度，以及
b. 探測器在表面和新位置所受的重力。

一名學生聲稱，由於探測器向上移動了一個行星半徑，所以重力場應該變成原來的一半。解釋這個錯誤。

解答 3

探測器所在位置的重力場為 \(2.38\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，而它所受的重力則由約 \(715\ \mathrm{N}\) 降至 \(179\ \mathrm{N}\)。

高度是一個行星半徑，但計算重力所用的距離是從行星中心量起。

在表面，

\[ r=R \]

在新位置，

\[ r=R+h=R+R=2R \]

由於重力場強度遵循平方反比關係，

\[ \frac{g_{\text{新位置}}}{g_{\text{表面}}} = \left(\frac{R}{2R}\right)^2 = \frac14 \]

因此，

\[ \begin{aligned} g_{\text{新位置}} &=\frac{9.53}{4}\\ &=2.3825\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\\ &\approx2.38\ \mathrm{N\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

對探測器所受的重力，使用

\[ F=mg \]

在表面，

\[ \begin{aligned} F_{\text{表面}} &=(75.0)(9.53)\\ &=714.75\ \mathrm{N}\\ &\approx715\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

在新位置，

\[ \begin{aligned} F_{\text{新位置}} &=(75.0)(2.3825)\\ &=178.7\ \mathrm{N}\\ &\approx179\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

這名學生預測重力會變成一半，是把重力誤認為與距離成反比。事實上，重力與距離的平方成反比。因此，到中心的距離加倍會使重力場降至四分之一。

「向上移動一個半徑」這句話就是陷阱。真正相關的距離是由 \(R\) 變成 \(2R\)。

問題 4

一顆球形行星最初的質量為 \(M\)、半徑為 \(R\)，表面重力場強度為 \(g_0\)。

行星收縮，直到半徑變為 \(R/2\)，而且沒有損失任何質量。

行星收縮後立即考慮兩個小物體：

• 物體 A 保持在原本的位置，即距離行星中心 \(R\)。
• 物體 B 靜止在行星的新表面，即距離中心 \(R/2\)。

忽略自轉以及收縮過程本身造成的任何影響。

以 \(g_0\) 表示 A 和 B 所在位置的重力場強度。

物體 A 原本懸停，是因為推進器提供的向上推力恰好等於它的重量。如果推進器的推力維持不變，判斷行星收縮後 A 在最初瞬間會向內加速、向外加速，還是繼續懸停。

解答 4

物體 A 仍然受到 \(g_0\) 的重力場，物體 B 則受到 \(4g_0\) 的重力場；如果 A 的推進器推力保持不變，它會繼續懸停。

原本，

\[ g_0=\frac{GM}{R^2} \]

行星雖然收縮，但質量仍然是 \(M\)。

物體 A 仍然距離中心 \(R\)。因此，

\[ g_A=\frac{GM}{R^2}=g_0 \]

它所在位置的重力場沒有改變。

物體 B 位於新的表面，而此處

\[ r=\frac{R}{2} \]

所以

\[ \begin{aligned} g_B &= \frac{GM}{(R/2)^2}\\ &= \frac{GM}{R^2/4}\\ &= 4\frac{GM}{R^2}\\ &=4g_0 \end{aligned} \]

在收縮之前，物體 A 的推進器提供的向上推力為

\[ F_{\text{推力}}=mg_0 \]

收縮之後，A 仍然位於距離相同總質量相同距離的位置，所以它受到的重力仍然是

\[ F_g=mg_0 \]

因此，兩個力仍然平衡，初始加速度為零。

一個很容易產生的錯誤預測是：既然行星變得更密，行星外部各處的重力一定都會變強。但對球形質量而言，牛頓模型並不是這樣。

收縮會大幅增加新表面的重力，因為新表面離中心更近。但在固定的外部距離 \(r=R\) 上，總質量和距離都沒有改變，所以重力場也保持不變。

關鍵在於追蹤到行星中心的距離，而不是離表面的高度。

問題 5

兩顆球形行星 A 和 B 的表面重力場強度都相同，為 \(g_0\)。

行星 A 的半徑為 \(R\)。行星 B 的半徑為 \(2R\)。

從兩顆行星的表面，分別將相同的物體以相同初速度 \(v\) 垂直向上發射，其中

\[ v^2=\frac12g_0R \]

忽略大氣和行星自轉。

利用機械能守恆以及重力位能

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

判斷哪一個物體相對於其行星表面能到達較大的最大高度。

一名學生認為，兩個物體到達的高度一定相同，因為它們的初速度相同，而且兩顆行星表面的 \(g\) 值也相同。準確解釋這個推理為什麼不成立。

解答 5

從較小的行星 A 發射的物體上升得更高：它能上升至表面上方 \(R/3\)，而從行星 B 發射的物體只能上升至表面上方 \(2R/7\)。

只有在整個飛行過程中重力場強度保持不變時，這名學生認為高度相等的論點才會成立。實際上並非如此。當物體遠離各自的行星時，重力會減弱，而這種變化的速率取決於行星半徑。

對行星 A，機械能守恆給出

\[ \frac12mv^2-\frac{GM_Am}{R} = -\frac{GM_Am}{R+h_A} \]

其中 \(h_A\) 是相對於表面的最大高度。

約去 \(m\)：

\[ \frac12v^2 = GM_A \left( \frac1R-\frac{1}{R+h_A} \right) \]

因為行星 A 的表面重力是 \(g_0\)，

\[ g_0=\frac{GM_A}{R^2} \]

所以

\[ GM_A=g_0R^2 \]

發射條件為

\[ v^2=\frac12g_0R \]

因此

\[ \frac12v^2=\frac14g_0R \]

代入這些結果：

\[ \frac14g_0R = g_0R^2 \left( \frac1R-\frac1{R+h_A} \right) \]

約去 \(g_0R\)：

\[ \frac14 = 1-\frac{R}{R+h_A} \]

因此，

\[ \frac{R}{R+h_A}=\frac34 \]

所以

\[ R+h_A=\frac43R \]

而

\[ h_A=\frac13R \]

現在考慮行星 B。

它的半徑是

\[ R_B=2R \]

而且它的表面重力同樣是 \(g_0\)。因此，

\[ GM_B=g_0R_B^2 =g_0(2R)^2 =4g_0R^2 \]

由能量守恆可得

\[ \frac12v^2 = GM_B \left( \frac1{2R}-\frac1{2R+h_B} \right) \]

代入 \(\frac12v^2=\frac14g_0R\) 和 \(GM_B=4g_0R^2\)，

\[ \frac14g_0R = 4g_0R^2 \left( \frac1{2R}-\frac1{2R+h_B} \right) \]

等價而且更簡潔的形式為

\[ \frac14g_0R = 2g_0R\frac{h_B}{2R+h_B} \]

約去 \(g_0R\)：

\[ \frac14 = \frac{2h_B}{2R+h_B} \]

因此，

\[ \begin{aligned} 2R+h_B&=8h_B\\ 2R&=7h_B\\ h_B&=\frac{2R}{7} \end{aligned} \]

比較兩個高度：

\[ h_A=\frac{R}{3}\approx0.333R \]

以及

\[ h_B=\frac{2R}{7}\approx0.286R \]

所以行星 A 上的最大高度較大。

容易讓人誤用的定 \(g\) 方法會使用

\[ v^2=2gh \]

並因為 \(v\) 和 \(g_0\) 都相同，而預測兩顆行星上的高度相同。但這個方程式假設在整段位移中 \(g\) 實際上可以視為常數。

在這裡，物體上升的距離是行星半徑的相當大一部分。因此，重力場在運動過程中會發生顯著變化。

行星 A 較小，所以同樣的向上位移，會對應到相對於行星中心距離更大的比例增幅。因此，它的重力場在上升過程中減弱得更快。與定 \(g\) 模型的預測相比，物體的動能因重力而減少得較慢，所以能上升得更高。

這就是重要的結果：表面重力相同，並不表示兩顆行星在各自表面上方的所有位置都具有相同的重力場。

10從表面重力還可以進一步求出什麼

一旦你會使用

\[ g=\frac{GM}{R^2}, \]

表面重力就不再是每顆行星都必須個別背誦的一項數據。你可以根據行星的物理性質預測它。

下一步，是把固定的表面距離 \(R\) 換成會改變的距離 \(r\)。這樣你就能分析重力場如何隨高度增加而減弱、太空船如何繞行星運動，以及為什麼軌道運動同時取決於距離和中心天體的質量。

同一個平方反比重力場會直接延伸到軌道速度、軌道週期，以及 HSC Physics 的克卜勒行星運動三定律。