比色法：計算濃度並評估數據
了解比色法如何利用校準關係把吸光度與濃度連結起來，並運用稀釋計算及可靠的數據判讀來求出未知濃度。
淡藍色溶液和深藍色溶液含有相同的有色物質。哪一種濃度較高？
你大概會選較深色的那一種，而這通常是正確的起點。光路中有更多有色粒子，表示光在到達偵測器之前會有更多被吸收。但你的眼睛並不是良好的測量儀器。眼睛會適應亮度、難以分辨細微差異，也無法把「深了一點」轉化為可靠的濃度數值。
比色法解決了這個問題。它把顏色強度轉化為數值測量結果，再利用已知濃度的溶液求出未知樣品的濃度。
01從顏色到濃度
想像把光照射穿過兩個裝有有色溶液、完全相同的容器。
在較稀的溶液中，光路上的吸光粒子相對較少，因此有更多光可以穿過。
在較濃的溶液中，相同體積內有更多吸光粒子。更多光被吸收，因此到達偵測器的光較少。
一個有用的初步模型，是把吸光粒子想像成站在門口前的人。門口幾乎沒有人時，大部分人都能通過。要是門口擠滿了剛聽說外面有免費香腸卷的學生，那麼能順利通過的人就少得多。
在這個比喻中：
- 門口代表光穿過溶液的光路
- 人群代表吸光粒子
- 嘗試穿過的人代表入射光
這個類比有其限制。分子並不是像微小的牆壁一樣實際阻擋光線。它們是透過電子的相互作用，吸收特定波長的電磁輻射。不過，人群模型正確表達了重要關係：吸光粒子越多，通常代表透射光越少。
02比色計實際測量甚麼？
比色計讓選定波長的光穿過樣品，並測量有多少光能夠透射出來。
常用的兩個相關量是：
- 透射率，描述入射光中有多少比例能穿過樣品
- 吸光度，描述樣品吸收光的程度
若 \(I_0\) 是進入樣品的光強度，而 \(I\) 是離開樣品的光強度，則透射率 \(T\) 為
\[ T = \frac{I}{I_0} \]
吸光度 \(A\) 與透射率的關係為
\[ A = -\log_{10}(T) \]
因此，如果有一半的光穿過，\(T = 0.50\)，則
\[ A = -\log_{10}(0.50) = 0.301 \]
吸光度越高，表示溶液吸收了越大比例的所選波長光線。
為甚麼不直接使用百分比透射率？
因為吸光度與濃度之間具有特別有用的關係。
在適當條件下，Beer-Lambert 關係式為
\[ A = \varepsilon lc \]
其中：
- \(A\) 是吸光度，沒有單位
- \(\varepsilon\) 是摩爾吸光係數，通常以 \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\) 表示
- \(l\) 是光穿過溶液的光程長度，通常以 \(\mathrm{cm}\) 表示
- \(c\) 是濃度，通常以 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 表示
對於固定的物質、波長和比色皿，\(\varepsilon\) 和 \(l\) 都保持不變。因此
\[ A \propto c \]
所以，在此方法的有效範圍內，濃度加倍時，吸光度也應約為原來的兩倍。
正是這種線性關係，使比色法適合用於定量分析。
03為甚麼要使用校準曲線？
你可能會想，只量度未知樣品一次，然後直接把它的吸光度代入 \(A = \varepsilon lc\)。
有時候確實可以這樣做。不過，在 HSC 類型的實驗分析中，你通常會利用一組已知濃度的標準溶液來求濃度。
假設你配製了數種已知濃度的銅(II)溶液，並量度它們的吸光度：
| 濃度（\(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)） | 吸光度 |
|---|---|
| 0.020 | 0.12 |
| 0.040 | 0.24 |
| 0.060 | 0.36 |
| 0.080 | 0.48 |
| 0.100 | 0.60 |
在縱軸繪出吸光度，在橫軸繪出濃度。
斜率為
\[ \frac{0.60-0.12}{0.100-0.020} = 6.0\ \mathrm{L\,mol^{-1}} \]
因此校準關係為
\[ A = 6.0c \]
所以，一個吸光度為 \(0.42\) 的未知溶液，其濃度為
\[ c = \frac{A}{6.0} = \frac{0.42}{6.0} = 0.070\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]
重要概念不只是「從圖上讀數」。標準溶液建立了這套特定測量系統對已知濃度的反應關係，再把未知樣品與這個由實驗建立的關係作比較。
04選擇合適的波長
假設你的溶液呈藍色。你應該用哪種光照射它：藍光還是橙紅光？
常見的第一個猜測是藍光，因為溶液本身是藍色。但這正好把顏色所提供的資訊理解反了。
溶液看起來呈藍色，是因為與它所吸收的波長相比，藍色波長更強地透射到你的眼睛。為了更容易偵測濃度差異，比色計應使用該物種能強烈吸收的波長。
對藍色溶液而言，這通常是互補色的橙紅光區域。
這樣能提高靈敏度。濃度的小幅變化便能產生較大的、可測量的吸光度變化。
實際最佳波長取決於該物種的吸收光譜，因此「總是使用互補色」只是一個有用的近似原則，而不是普遍適用的規則。更準確地說，通常應選擇接近吸收峰值的波長，因為在該處吸光度較高，而且會隨濃度明顯改變。
05空白樣品：量度溶質，而不是容器
比色計並不知道哪些吸收來自你真正關心的化學物質。
比色皿本身可能會吸收或散射部分光線。溶劑也可能吸收一些光。其他試劑也可能有所貢獻。
空白樣品包含除被測分析物以外的所有成分。利用空白樣品調整儀器，可把這些背景效應納入考慮。
例如，如果你的有色分析物溶解在水中，而且沒有其他會吸光的試劑，空白樣品就可以只含相同的水，並裝在相同類型的比色皿中。
因此，「使用空的比色計」並不是適當的空白校正程序。你要扣除的是樣品環境所造成的光學效應，而不是把整個樣品環境移除。
06例題：利用校準方程求未知濃度
一名學生得到以下校準關係：
\[ A = 4.80c + 0.010 \]
其中 \(A\) 是吸光度，\(c\) 是以 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 表示的濃度。一個未知溶液的吸光度為 \(0.394\)。求它的濃度。
步驟 1
量得的吸光度 \(A\) 與濃度 \(c\) 有關。我們知道 \(A = 0.394\)，因此代入此數值。
\[ 0.394 = 4.80c + 0.010 \]
步驟 2
\[ 0.394 - 0.010 = 4.80c \]
\[ 0.384 = 4.80c \]
步驟 3
\[ c = \frac{0.384}{4.80} = 0.0800\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]
因此未知溶液的濃度為
\[ \boxed{c = 8.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}} \]
這個很小但非零的截距，表示實驗所得的校準線並沒有完全通過原點。這可能源於儀器背景、空白校正不完全，或一般的實驗不確定度。你應使用實際量得的校準關係，而不是在沒有說明的情況下強迫直線通過原點。
07稀釋很重要
比色法通常給你的是實際放入比色皿中的溶液濃度。這個濃度未必等於原始樣品的濃度。
假設一個環境水樣濃度太高，超出了校準範圍。你先把它稀釋，再量度稀釋後的溶液，卻忘了最後把稀釋因素還原。
你的比色法計算可以完全正確，但最終答案仍然可能錯誤。
對於稀釋，
\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]
其中：
- \(c_1\) 是原始濃度
- \(V_1\) 是從原始溶液取出的體積
- \(c_2\) 是稀釋後的濃度
- \(V_2\) 是稀釋後的最終體積
例題：求稀釋前的濃度
取 10.0 mL 樣品並稀釋至 50.0 mL。稀釋後溶液的吸光度為 \(0.328\)。其校準關係為
\[ A = 3.20c + 0.008 \]
其中 \(c\) 的單位是 \(\mathrm{mmol\,L^{-1}}\)。求原始樣品的濃度。
步驟 1
\[ 0.328 = 3.20c + 0.008 \]
\[ 0.320 = 3.20c \]
\[ c = 0.100\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} \]
所以，比色計中的溶液濃度為 \(0.100\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}\)。
步驟 2
使用
\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]
\[ c_1(10.0\ \mathrm{mL}) = (0.100\ \mathrm{mmol\,L^{-1}})(50.0\ \mathrm{mL}) \]
\[ c_1 = 0.500\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} \]
因此，原始樣品的濃度為
\[ \boxed{0.500\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}} \]
五倍稀釋會使濃度降至原來的五分之一。因此，最終答案必須是稀釋後樣品量得濃度的五倍。
08內插比外推更可靠
假設你的標準溶液涵蓋 \(0.020\) 至 \(0.100\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的濃度範圍，但未知樣品的吸光度對應於 \(0.160\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。
你可以直接把直線延伸出去嗎？
數學上可以。實驗上則有風險。
在已量度的標準值之間使用校準關係，稱為內插。在已量度範圍之外使用它，稱為外推。
問題在於，在較高濃度下，線性關係可能不再可靠。此外，當只有很少光到達偵測器時，儀器的反應也可能變得較不可靠。
更好的做法通常是把未知樣品稀釋，直到它的吸光度落在校準範圍內，再重新量度，最後把稀釋因素計算回去。
這種習慣在更廣泛的化學監測中同樣重要：只有在取得數值的方法本身有效時，數值結果才有意義。當分析結果被用來作出環境決策時，這點尤其重要，詳見 環境化學監測：從結果到決策。
09當校準圖不像預期那樣表現
教科書中的理想校準圖是一條直線。真實數據未必如此。
考慮以下結果：
| 濃度（\(\mathrm{mg\,L^{-1}}\)） | 吸光度 |
|---|---|
| 2.0 | 0.11 |
| 4.0 | 0.22 |
| 6.0 | 0.33 |
| 8.0 | 0.44 |
| 10.0 | 0.46 |
前四個數據點顯示出清楚的線性趨勢。第五個數據點則不是。
較薄弱的回答會是：「10.0 mg L\(^{-1}\) 的結果是錯的。」
這樣的判斷過於肯定。數據顯示它與趨勢不一致，但單憑這些數據並不能證明原因。
可能的解釋包括：
- 該標準溶液配製錯誤
- 污染
- 比色皿上有指紋或液滴
- 比色皿每次放置方向不一致
- 光路中有氣泡
- 儀器限制
- 在較高濃度下偏離線性行為
下一步應採取甚麼實驗措施，要視乎懷疑的原因而定。重複量度可以幫助區分隨機讀數問題和可重現的效應。重新配製標準溶液則可以檢驗是否溶液本身配製錯誤。
10最容易出現的誤解：顏色越深，濃度就按比例越高
如果一種溶液看起來比另一種深兩倍，它的濃度是否也是兩倍？
不一定。
人眼對顏色深淺的感知並不是定量的吸光度刻度。即使使用儀器，簡單的線性關係也只在適當的實驗條件下成立。
較穩妥的推理方式是：
- 顏色告訴你正在發生光吸收
- 比色計把透射光轉化為測量值
- 標準溶液建立吸光度與濃度之間的關係
- 未知樣品最好落在已校準的線性範圍內
因此，「顏色較深代表濃度較高」可以作為定性判斷。「顏色深兩倍就代表濃度是兩倍」則不是有效的測量規則。
11評估比色法數據
HSC 題目通常不只要求計算濃度。你也可能需要判斷結果是否可信。
分析比色法實驗時，一個有用的方法是把問題分成四個方面：
| 問題 | 應檢查甚麼 |
|---|---|
| 關係是否合適？ | 在所使用的範圍內，標準溶液是否顯示近似線性的校準關係？ |
| 未知樣品是否位於該範圍內？ | 優先使用內插，而不是外推 |
| 變量是否受到控制？ | 使用相同的波長、比色皿光程長度、溶劑條件和測量程序 |
| 結果是否可重現？ | 重複讀數應該相當一致 |
準確度與精密度也有所不同。
精密度是指重複測量結果彼此有多接近。
準確度是指結果與公認值或真值有多接近。
一組吸光度數據可以非常集中，因此具有高精密度，但同時全部受到相同的系統誤差影響而發生偏移。例如，配製不當的空白樣品可能使所有讀數都向同一方向偏差。
因此，重複量度並不會自動消除系統誤差。
12如果比色皿改變了會怎樣？
Beer-Lambert 關係式包含光程長度：
\[ A = \varepsilon lc \]
假設濃度完全不變，但光在溶液中行進的距離變成原來的兩倍。
會發生甚麼？
如果 Beer-Lambert 關係適用，吸光度會加倍，因為 \(l\) 加倍了。
這就是為甚麼標準溶液和未知樣品應使用相同的比色皿幾何條件來量度。校準曲線並不只取決於「該化學物質」。它也取決於建立這條曲線時所使用的測量條件。
13問題與解答
問題 1
某有色離子的校準關係為
\[ A = 5.00c \]
其中 \(c\) 的單位為 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。一個未知溶液的吸光度為 \(0.350\)。
計算其濃度。
解答 1
濃度為 \(0.0700\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。
校準關係直接連結吸光度和濃度：
\[ A = 5.00c \]
代入 \(A = 0.350\)：
\[ 0.350 = 5.00c \]
\[ c = \frac{0.350}{5.00} = 0.0700\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]
因此，
\[ \boxed{c = 7.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}} \]
常見錯誤是把 \(0.350\) 乘以 \(5.00\)。斜率告訴我們每單位濃度會產生多少吸光度，因此要以吸光度除以斜率來求濃度。
問題 2
一名學生配製了以下校準標準溶液。
| 濃度（\(\mathrm{mg\,L^{-1}}\)） | 吸光度 |
|---|---|
| 1.0 | 0.080 |
| 2.0 | 0.159 |
| 3.0 | 0.241 |
| 4.0 | 0.320 |
一個未知樣品的吸光度為 \(0.280\)。
估算其濃度，並解釋為甚麼這個估算比使用同一條校準線來處理吸光度為 \(0.700\) 的未知樣品更可靠。
解答 2
第一個未知樣品的濃度約為 \(3.5\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)，而這個估算較可靠，因為它是在已校準範圍內以內插法求得。
這些數據非常接近以下關係：
\[ A \approx 0.080c \]
其中 \(c\) 的單位為 \(\mathrm{mg\,L^{-1}}\)。
當 \(A = 0.280\)：
\[ c = \frac{0.280}{0.080} = 3.5\ \mathrm{mg\,L^{-1}} \]
所以，
\[ \boxed{c \approx 3.5\ \mathrm{mg\,L^{-1}}} \]
這個數值位於 \(3.0\) 和 \(4.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\) 的標準溶液之間，因此屬於內插。
吸光度 \(0.700\) 則會對應於
\[ c = \frac{0.700}{0.080} = 8.75\ \mathrm{mg\,L^{-1}} \]
但校準數據只延伸至 \(4.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)。因此，在 \(8.75\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\) 使用這條直線屬於外推。
很容易讓人誤以為兩個計算都使用同一條方程，所以同樣有效。問題不在代數，而在實驗：標準溶液只證明了所量度範圍內的線性行為。吸光度為 \(0.700\) 的未知樣品最好先稀釋，再在該範圍內重新量度。
問題 3
取 5.00 mL 未知溶液，稀釋至 25.00 mL。稀釋後的溶液測得吸光度 \(0.410\)。
校準關係為
\[ A = 2.00c + 0.010 \]
其中 \(c\) 的單位為 \(\mathrm{mmol\,L^{-1}}\)。
計算原始溶液的濃度。
解答 3
原始濃度為 \(1.00\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}\)。
先求稀釋後溶液的濃度：
\[ 0.410 = 2.00c + 0.010 \]
\[ 0.400 = 2.00c \]
\[ c = 0.200\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} \]
現在使用稀釋關係
\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]
其中：
- \(c_1\) = 原始濃度
- \(V_1 = 5.00\ \mathrm{mL}\)
- \(c_2 = 0.200\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}\)
- \(V_2 = 25.00\ \mathrm{mL}\)
\[ c_1(5.00) = (0.200)(25.00) \]
\[ c_1 = 1.00\ \mathrm{mmol\,L^{-1}} \]
因此，
\[ \boxed{c_1 = 1.00\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}} \]
很容易出現的錯誤是把 \(0.200\ \mathrm{mmol\,L^{-1}}\) 當成答案。那只是稀釋後的濃度。由於原來的 5.00 mL 被稀釋至 25.00 mL，其濃度減少了五倍。
問題 4
一名學生配製了五種相同有色配合物的標準溶液，並各量度一次。
| 濃度（\(\mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\)） | 吸光度 |
|---|---|
| 10 | 0.102 |
| 20 | 0.201 |
| 30 | 0.301 |
| 40 | 0.399 |
| 50 | 0.356 |
學生說：
「\(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 的數據點一定是離群值，所以我要刪除它，只使用前四個數據點。」
評估這個決定，並描述一個更有力的實驗處理方法。
解答 4
學生不應自動刪除 \(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 的結果。它明顯與趨勢不一致，但單次測量不足以確定原因。
前四個標準溶液大約符合
\[ A \approx 0.0100c \]
其中 \(c\) 的單位為 \(\mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\)。如果這個關係繼續成立，在 \(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 時預期的吸光度約為
\[ A \approx (0.0100)(50) = 0.500 \]
因此，量得的數值 \(0.356\) 明顯低於預期。
懷疑出現問題是合理的，但仍有多種可能解釋。\(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 的溶液可能配製錯誤，比色皿中可能有氣泡或污染，儀器可能產生錯誤讀數，或者該系統可能真的開始偏離線性行為。
更有力的處理方法是重複量度，並且最好重新配製一份 \(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 的標準溶液。也可以在範圍的較高濃度部分加入更多標準溶液，以測試校準曲線是否開始彎曲。
很容易出現的做法，是把「不符合直線」直接等同於「不良數據」。這其實假設了直線模型在 \(50\ \mathrm{\mu mol\,L^{-1}}\) 時已確定正確。但校準實驗本身的一部分目的，正是在檢驗這個假設。
如果重複量度並正確配製的高濃度標準溶液仍持續低於線性預測，那麼適當的結論就是：線性校準範圍在到達該濃度之前已經結束。
問題 5
某實驗室使用 \(0\) 至 \(8.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\) 的標準溶液，得到一條直線校準關係
\[ A = 0.100c \]
其中 \(c\) 的單位為 \(\mathrm{mg\,L^{-1}}\)。
一個未知樣品最初測得 \(A = 1.20\)。由於這高於校準範圍，一名學生取 10.0 mL 未知樣品稀釋至 20.0 mL。
稀釋後樣品測得 \(A = 0.58\)。
另一名學生認為：
「第一次讀數預測濃度為 \(12.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)。經過兩倍稀釋後，吸光度應該正好是 \(0.60\)。我們量得 \(0.58\)，所以稀釋一定不準確。」
這個結論是否合理？求出此實驗所支持的最佳濃度估計，並解釋推理過程。
解答 5
不合理。最有力的估計是原始樣品濃度為 \(11.6\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)，這是根據稀釋後的量度所得，而 \(0.60\) 與 \(0.58\) 之間的差異本身並不能證明稀釋不準確。
原始吸光度為 \(1.20\)。如果把校準方程延伸至已建立範圍之外，
\[ 1.20 = 0.100c \]
會得到
\[ c = 12.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}} \]
然而，標準溶液只延伸至 \(8.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)，其對應的最大已校準吸光度為
\[ A = (0.100)(8.0) = 0.80 \]
因此，原始讀數 \(1.20\) 位於已驗證的校準範圍之外。\(12.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\) 是外推結果，而不是有充分測量依據的濃度。
現在使用位於校準範圍內的稀釋後讀數：
\[ 0.58 = 0.100c_{\text{稀釋後}} \]
\[ c_{\text{稀釋後}} = 5.8\ \mathrm{mg\,L^{-1}} \]
樣品由 10.0 mL 稀釋至 20.0 mL，所以稀釋倍數為
\[ \frac{20.0}{10.0}=2.00 \]
因此，
\[ c_{\text{原始}} = (5.8\ \mathrm{mg\,L^{-1}})(2.00) = 11.6\ \mathrm{mg\,L^{-1}} \]
所以，
\[ \boxed{c_{\text{原始}} = 11.6\ \mathrm{mg\,L^{-1}}} \]
這裡較隱晦的陷阱，是把外推得到的 \(12.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\) 當成基準，再用它來判斷稀釋後的結果。這顛倒了兩次量度在證據上的可靠程度。
\(0.58\) 的讀數是在已建立的校準範圍內取得，因此是較有力的證據。原始的 \(1.20\) 讀數告訴我們樣品對現有校準而言濃度過高，但並不能證明它的濃度恰好是 \(12.0\ \mathrm{mg\,L^{-1}}\)。
如果線性關係碰巧在校準範圍以外仍完全成立，那麼理想的兩倍稀釋確實會得到 \(A = 0.60\)。但這項實驗並未證實這個假設。\(0.60\) 與 \(0.58\) 之間的差異可能來自一般測量不確定度、稀釋不確定度，或原始高吸光度區域中的非線性行為。
關鍵原則是：一個計算在數學上可以非常整齊，卻仍可能建立在缺乏實驗支持的假設上。
14比色法之後的延伸
比色法提供了一個在 HSC Chemistry 中反覆出現的通用分析模式：
已知標準溶液 → 測量訊號 → 校準關係 → 未知濃度 → 評估可靠性
儀器可能不同，但推理方式仍然適用。你需要知道實際量度的是甚麼、校準關係是否適用於未知樣品，以及樣品在量度前的處理是否改變了其濃度。
在學習其他定量方法時，區分「量得的訊號」與「你真正想知道的化學量」同樣十分有用。例如，沉澱滴定：計算未知濃度 使用的是完全不同的實驗訊號，但核心工作相似：必須足夠謹慎地把觀察結果與化學計量或校準關係連結起來，才能確保最終所得的濃度確實代表你以為它所代表的意義。