馬克士威對電磁波的預測：HSC 物理

無線電發射器可以將能量傳送到數公里外的空曠空間。發射器和你的收音機之間沒有導線，而且中間也不需要有空氣。那麼，實際上在傳播的是什麼？

在馬克士威之前，電學與磁學看起來可能是兩個彼此相關、卻又各自獨立的主題。電荷會產生電場。電流會產生磁場。法拉第也已經證明，變化的磁場能產生電效應。

現在來做一個預測。如果變化的磁場能產生電場，那麼變化的電場是否也能反過來產生磁場？

馬克士威意識到，答案必然是肯定的。補上這個缺失的部分後，方程式便得出了一個非凡的結果：電場與磁場中的擾動能以波的形式穿越空無一物的空間。

這種波就是電磁輻射。光就是其中一個例子。

01馬克士威必須解決的問題

先從兩個已確立的觀念開始。

靜止電荷會產生電場。穩定電流會產生磁場。

法拉第的實驗還揭示了一個較不直觀的現象：當磁通量改變時，就會出現電場。這正是電磁感應背後的物理原理。

你可以閱讀馬克士威對電與磁的統一，回顧馬克士威如何將這些觀念整合起來。

然而，這裡存在一種不對稱性。

變化的磁場能產生電場，但最初用來描述磁學的方程式，卻將電流視為產生環繞磁場的唯一來源。

馬克士威懷疑，這套描述並不完整。

02電容器揭示了問題

想像一個正由電池充電的電容器。

電流沿著導線流向其中一塊電容器極板。電子在一塊極板上累積，並從另一塊極板離開。

然而，沒有電荷穿過兩塊極板之間的絕緣間隙。

現在，想像你在導線周圍畫出一個迴路，並問：是什麼產生了這個迴路周圍的磁場？

如果你在迴路上張開一個假想曲面，讓它穿過導線，那麼電流就會穿過這個曲面。

沒有問題。

但你也可以將同一個曲面延伸到電容器的兩塊極板之間。此時，沒有傳導電流穿過這個曲面。

磁場不可能取決於你選擇哪一個假想曲面。因此，馬克士威需要在電容器的間隙中找到某種效應，讓它扮演類似電流在磁學中所扮演的角色。

這種效應確實存在：兩塊極板之間的電場正在改變。

馬克士威加入了一個與變化的電通量有關的項。這個項通常稱為位移電流項。

HSC 物理的核心概念其實比這個名稱聽起來簡單：

變化的電場會產生磁場。

這就補足了我們理解電磁波所需的對稱性。

03電場與磁場如何形成傳播中的波？

想像一根發射天線，其中的電荷不斷來回加速運動。

這種運動會在天線周圍產生變化的電場。

這個變化的電場與變化的磁場有關。

磁場也會改變，因此根據法拉第定律，會產生環流電場。

這種擾動不會只停留在天線旁邊。馬克士威方程式允許彼此耦合的電場與磁場向外傳播。

一個有用的初步比喻是體育場中的人浪。一個人開始移動，接著附近的人作出反應，再接著更遠處的人也作出反應。這個圖樣會向前傳播，即使每個人本身並沒有繞著整座體育場移動。

對於電磁波而言，穿越空間移動的是電磁擾動。

不過，這個比喻有一個重要的限制。體育場中的人會因為看到鄰近的人而作出反應，但電場與磁場並不是會互相觀察的微小物體。精確的描述由馬克士威方程式給出：電場與磁場在空間及時間上的變化彼此耦合，因而允許波向外傳播。

04兩個關鍵要素

對於在真空中傳播的電磁波：

1. 變化的磁場與環流電場有關。
2. 變化的電場與環流磁場有關。

第一點來自法拉第定律。第二點則來自馬克士威對安培定律所作的修正。

人們通常將這個觀念概括為：變化的電場與磁場會「彼此維持」。

這種說法很有用，但需要謹慎理解。它並不是指電場先消失、等待一段時間，再製造出磁場，而磁場之後又製造出一個新的電場。

兩種場都是同一個電磁系統的一部分。馬克士威方程式描述它們的數值如何隨著空間與時間共同變化。

05電磁波的形態是什麼？

假設一個電磁波沿著 \(\,x\,\) 方向傳播。

它的電場可能沿著 \(\,y\,\) 方向振盪，而磁場則沿著 \(\,z\,\) 方向振盪。

這三個方向彼此垂直：

• 電場 \(\vec E\)；
• 磁場 \(\vec B\)；以及
• 波的傳播方向。

因此，電磁波是橫波。

對於在真空中傳播的平面電磁波，傳播方向由下列向量的方向決定：

\[ \vec E \times \vec B \]

其中，\(\vec E\) 是電場，\(\vec B\) 是磁場。

你不需要想像這些場像繩子一樣實際擺動。代表場強度與方向的箭頭，會隨著位置與時間而改變。

06馬克士威的驚人預測

馬克士威將變化的電場項納入方程式後，預測電磁擾動應以以下速度傳播：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

其中：

• \(v\) 是預測的波速，單位為公尺每秒；
• \(\mu_0\) 是真空磁導率；以及
• \(\varepsilon_0\) 是真空介電常數。

使用

\[ \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1} \]

以及近似值

\[ \varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{F m}^{-1}, \]

預測的波速約為

\[ 3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}. \]

當時人們已經知道，這大約就是光速。

這個結論具有重大意義：光可能是一種電磁波。

如今，我們已經知道，無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X 射線和伽馬射線，全都屬於電磁輻射。它們的差異在於頻率與波長，而不是它們在真空中傳播的基本機制。

07電場與磁場的大小也彼此相關

對於在真空中傳播的電磁波，電場與磁場的大小滿足以下關係：

\[ E=cB, \]

或等價地，

\[ \frac{E}{B}=c, \]

其中：

• \(E\) 是電場強度，單位為 \(\text{V m}^{-1}\)；
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉；
• \(c\) 是真空中的光速，約為 \(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

這告訴我們一件重要的事。

電場與磁場並不是兩個碰巧並排傳播、彼此獨立的波。它們的大小受到同一個關係式的限制。

08為什麼電荷的加速運動很重要？

一個常見的簡化說法是：「移動的電荷會產生電磁波。」

這個說法過於籠統。

以恆定速度移動的電荷具有電場與磁場，但單靠穩定的等速運動，並不等於持續輻射電磁波。

輻射與加速運動的電荷有關。

在發射天線中，電荷會來回振盪。由於它們的速度不斷改變，因此一直處於加速狀態。

這會產生隨時間變化的電磁擾動，而這種擾動可以從源頭向外傳播。

這就是為什麼交流電可以用於無線電發射器。振盪的電荷會以驅動頻率產生電磁輻射。

09為什麼電磁波不需要介質？

機械波涉及物質。

聲波是物質中粒子的位置與壓力發生擾動的結果。如果移除物質，就沒有粒子可以傳遞聲音。

因此，人們很自然地可能預測，光也需要某種看不見的物質來振動。

然而，馬克士威方程式指出，情況並非如此。

電磁波中發生變化的是電場與磁場本身。因此，電磁波可以在真空中傳播。

這並不代表空無一物的空間裡「什麼事也沒有發生」。電磁場具有可測量的性質，並且能攜帶能量與動量。

10最容易令人誤解的觀念

一張常見的示意圖會畫出兩個互相垂直、呈正弦曲線的電場與磁場。看著這張圖，很容易想像出以下過程：

電場達到峰值 → 磁場開始增強 → 磁場達到峰值 → 電場又開始增強。

但平面電磁波並不是這樣運作的。

在理想的正弦電磁波中，於某個特定位置，電場 \(E\) 和磁場 \(B\) 會同時降至零，也會同時達到各自的最大強度。它們是同相的。

那麼，如果兩個場同時達到最大值，為什麼還會涉及變化的場？

因為馬克士威方程式同時涉及時間與空間上的變化。

在場達到最大值時，該位置的瞬時時間變化率可以為零，但傳播中波的空間結構仍然符合耦合場方程式。

因此，「一個變化的場會產生另一個場」是一種有用的入門說法，而不是逐幀描述的機械過程。

11頻率、波長與波速

一旦我們將電磁輻射理解為波，就可以使用熟悉的波動關係式：

\[ v=f\lambda, \]

其中：

• \(v\) 是波速，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(f\) 是頻率，單位為赫茲；
• \(\lambda\) 是波長，單位為公尺。

在真空中，

\[ c=f\lambda. \]

由於波速固定為 \(c\)，頻率愈高，波長就愈短。

12馬克士威實際上預測了什麼？

將以下三項主張區分開來會很有幫助。

預測的速度與實測光速一致。

後來的實驗，尤其是赫茲產生並偵測無線電波的實驗，為可見光以外的電磁波提供了直接的實驗證據。

因此，馬克士威的成就並不只是注意到光的速度很快。他的方程式將電學、磁學與光學整合在同一套理論中，並由此預測電磁波的存在。

13題目與解答

題目 1

一個電磁波在真空中傳播。其電場的最大強度為 \(150\ \text{V m}^{-1}\)。

計算磁場的最大強度。

解答 1

磁場的最大強度為 \(5.00\times10^{-7}\ \text{T}\)。

對於在真空中傳播的電磁波，

\[ E=cB. \]

整理得：

\[ B=\frac{E}{c}. \]

代入 \(E=150\ \text{V m}^{-1}\) 及 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)：

\[ B= \frac{150} {3.00\times10^8} =5.00\times10^{-7}\ \text{T}. \]

因此，

\[ B=5.00\times10^{-7}\ \text{T}. \]

一個容易犯的錯誤，是將 \(E\) 和 \(B\) 視為互不相關的振幅。在真空中的平面電磁波裡，它們的大小受到 \(E/B=c\) 的限制。

題目 2

一名學生說：

「電磁波在真空中最終一定會消失，因為電場會消耗部分能量來產生磁場，而磁場又會消耗更多能量來重新產生電場。」

請解釋這個模型為什麼不正確。你的答案應同時提及馬克士威方程式與能量守恆。

解答 2

這個模型不正確，因為電場與磁場是同一個傳播中電磁場的相互耦合部分，而不是兩個反覆消耗能量來重新創造對方的系統。

馬克士威方程式將 \(\vec E\) 與 \(\vec B\) 在空間及時間上的變化聯繫起來。在真空中，這些耦合方程式允許存在傳播中的波動解。

「變化的電場產生磁場，而磁場又產生電場」這句話有助於建立直觀理解，但如果將它解讀成反覆付出能量的過程，就會產生誤導。

理想電磁波在真空中傳播時，不會僅僅因為電場與磁場持續變化而失去能量。能量是由電磁場傳輸的。

如果電磁波與物質互相作用，能量就可能被吸收、散射，或以其他方式轉移。但單純在真空中傳播，並不需要電磁波不斷犧牲能量來維持自身存在。

一個容易令人誤入歧途的比喻，是想像兩個人來回借用同一張二十美元鈔票，卻彷彿每次都要支付手續費。馬克士威方程式描述的並不是這種過程，而是一個彼此耦合的場結構在空間中傳播。

題目 3

一個平面電磁波向東傳播。在某個位置與瞬間，它的電場垂直向上。

判斷磁場的方向，並解釋你的判斷依據。

解答 3

磁場必須水平指向北方或南方，具體取決於座標慣例；正確的方向應使 \(\vec E\times\vec B\) 指向東方。

令東方為 \(+x\)、北方為 \(+y\)，向上為 \(+z\)。

電場向上，因此

\[ \vec E\parallel +z. \]

我們需要滿足

\[ \vec E\times\vec B\parallel +x. \]

使用右手定則，

\[ \hat z\times(-\hat y)=\hat x. \]

因此，磁場指向南方。

所以，這三個方向彼此垂直：

• \(\vec E\)：向上；
• \(\vec B\)：向南；
• 傳播方向：向東。

一個容易犯的錯誤，是只說磁場必須與電場垂直。這是必要條件，但並不足夠。無論向北或向南，都與向上的方向垂直。必須利用 \(\vec E\times\vec B\) 所決定的傳播方向，才能選出正確的方向。

題目 4

現在考慮兩台擬議中的發射器。

發射器 A 內的電荷以正弦方式來回振盪。

發射器 B 則以某種方式，讓一群電荷以恆定速度通過裝置中的一段長直區域，而且每秒通過每個位置的電荷數量保持不變。

一名學生認為，兩台發射器都必定會持續輻射，因為兩者都涉及移動電荷，因此都會產生磁場。

評估這個論點。解釋這兩個系統的電磁場在本質上有何不同。

解答 4

只有發射器 A 必然具有持續產生電磁輻射所需的、隨時間變化的源頭行為。這名學生將磁場的存在與傳播中電磁波的產生混為一談。

在發射器 A 中，電荷會振盪。它們的速度不斷改變，這代表它們正在加速。

因此，電荷與電流的分布會隨時間變化。源頭周圍的電磁場也會隨之改變，而這個變化的場有一部分可以作為電磁輻射向外傳播。

發射器 B 的情況則不同。在題目所描述的理想穩定狀態下，每個位置的電流都不會隨時間改變。由於移動的電荷構成電流，這個系統可以具有磁場，但穩定的磁場本身並不是向外傳播的電磁波。

因此，關鍵區別並不是

\[ \text{電荷移動} \quad \text{與} \quad \text{電荷靜止}. \]

而是源頭是否產生了與輻射相關、會隨時間改變的電磁場結構。

這裡有一個細節值得注意。在真實裝置中，個別電荷在進入、離開或改變運動方向時，必然會在某些地方加速，而這些區域可能產生輻射。然而，題目指定的是一段電荷以恆定速度通過、電流保持不變的長直區域。這個穩定區域不會僅僅因為周圍存在磁場，就持續產生輻射。

一個容易令人誤入歧途的推理是：

\[ \text{移動電荷}\rightarrow\text{磁場}\rightarrow\text{電磁波}. \]

其中缺少的關鍵條件是：靜態或穩定的場，並不等於傳播中的擾動。電磁輻射與源頭隨時間變化的行為有關，尤其是加速運動的電荷。

題目 5

考慮一個在真空中沿著 \(+x\) 方向傳播的理想平面電磁波。在位置 \(x=0\) 處，電場可表示為

\[ E_y=E_0\cos(\omega t). \]

一名學生觀察 \(t=0\) 的瞬間，並提出以下論點：

「電場正處於最大值，所以 \(dE/dt=0\)。因此，電場並沒有變化。馬克士威說變化的電場會產生磁場，所以此刻磁場必定為零。」

然而，對於平面電磁波而言，在同一位置與同一時間，磁場實際上也正處於其最大強度。

請在不否定上述任何一項陳述的前提下，解決這個表面上的矛盾。解釋為什麼只考慮單一位置的 \(dE/dt\)，無法完整呈現馬克士威理論。

解答 5

這並不矛盾：當電場達到最大值時，磁場也可以同時達到最大值，因為馬克士威方程式將時間與空間上的變化聯繫起來，而不只是考慮單一位置的 \(dE/dt\) 數值。

對於傳播中的平面波，電場可以表示為

\[ E_y(x,t)=E_0\cos(kx-\omega t), \]

其中：

• \(E_0\) 是電場的最大值；
• \(k\) 是波數；
• \(x\) 是位置；
• \(\omega\) 是角頻率；
• \(t\) 是時間。

與之相關的磁場與電場同相：

\[ B_z(x,t)=B_0\cos(kx-\omega t). \]

在 \(x=0\) 且 \(t=0\) 時，

\[ E_y=E_0 \]

以及

\[ B_z=B_0. \]

因此，兩個場都處於各自的最大值。

同時，在那個確切事件發生的瞬間，\(E_y\) 對時間的導數確實為零：

\[ \frac{\partial E_y}{\partial t} = \omega E_0\sin(kx-\omega t), \]

因此在 \(x=0,\ t=0\) 時，

\[ \frac{\partial E_y}{\partial t}=0. \]

學生的錯誤在於假設，某個位置的磁場只取決於同一位置、同一瞬間的電場時間導數。

馬克士威方程式是描述空間中場分布的方程式。例如，它們將場在空間中的旋度與其他場隨時間的變化聯繫起來。因此，傳播中的電磁波必須被視為橫跨鄰近位置的完整圖樣，而不是某個瞬間觀察到的一支孤立箭頭。

在波峰處，場的數值達到最大值，而該位置的瞬時時間變化率為零。經過一段週期後，波峰已經移動。整個空間圖樣在任何時刻都持續符合馬克士威方程式。

這正是對「變化的電場會產生磁場」這個簡化說法更深入的修正。這句話指出了正確的方向，但精確的物理描述是兩個場在空間與時間上的變化彼此耦合。

一旦理解了這項區別，馬克士威的預測就會顯得更加有力。這套理論不僅解釋了電效應與磁效應為何彼此相關，還預測了一種能夠傳播的電磁結構，確定了它在真空中的速度，建立了電場與磁場的大小及方向之間的關係，並為理解天線如何產生輻射，以及電磁波如何在空間中傳輸能量奠定了基礎。