HSC 物理中的力矩：力臂與轉動效果

你在靠近門鉸鏈處推一扇沉重的門，幾乎沒有任何動靜。用相同的力推門把手，門卻很容易地轉開。同一扇門。同樣的力。結果卻大不相同。

為什麼？

繼續閱讀之前，先預測一下。假設你在門把手處推門，但你不是沿著橫跨門面的方向推，而是幾乎直接朝門鉸鏈方向推。門會明顯轉動嗎？

不會。力使物體轉動的能力取決於三件事：力有多大、作用點離支點有多遠，以及實際上有多少力是沿著垂直於支點至作用點連線的方向作用。

這種轉動效果就是力矩。

01從轉動效果開始

想像從上方俯視一扇門。門鉸鏈形成支點。門把手離支點很遠。

如果你在門把手處垂直於門面推，幾乎所有施加的力都能用來使門轉動。如果你在同一位置推，但方向朝向門鉸鏈，門幾乎不會轉動，因為你的力沿著門的方向，而不是橫向推門。

這讓我們先建立一個有用的初步模型：

• 較大的力可以產生較大的轉動效果，
• 在離支點更遠的位置施力，可以產生較大的轉動效果，
• 與朝向或背離支點的力相比，垂直於物體的力通常更有效。

這個模型很有用，但有一個重要之處需要修正。力矩實際上並不取決於力是否「垂直於物體」。它取決於力與位置向量之間的夾角，而位置向量是從支點畫到力的作用點。

當桿、樑、扳手或施加的力呈傾斜時，這個區別就很重要。

02力矩與公式 \(\tau = rF\sin\theta\)

力所產生的力矩大小為

\[ \tau = rF\sin\theta \]

其中：

• \(\tau\) 是力矩，單位為牛頓公尺，\(\mathrm{N\,m}\)，
• \(r\) 是從支點到施力點的距離，單位為公尺，
• \(F\) 是力，單位為牛頓，
• \(\theta\) 是位置向量 \(r\) 與力 \(F\) 之間的夾角。

位置向量由支點指向力的作用點。

\(\sin\theta\) 代表一個具體的物理意義。它選出力中垂直於 \(r\) 的部分。

因此，你也可以寫成

\[ \tau = rF_\perp \]

其中

\[ F_\perp = F\sin\theta \]

是力中垂直於 \(r\) 的分量。

一個力即使非常大，如果它直接朝向支點，則 \(F_\perp=0\)，所以它的力矩為零。

不同角度會有什麼結果？

假設 \(r\) 和 \(F\) 都保持不變。

在 \(90^\circ\) 時，

\[ \tau_{\max}=rF \]

因為整個力都垂直於位置向量。

在 \(0^\circ\) 或 \(180^\circ\) 時，力的作用線會通過支點，因此不會產生轉動效果。

03力臂：從另一個角度理解力矩

力矩公式還有另一種形式，通常更容易使用：

\[ \tau = Fd \]

其中 \(d\) 是從支點到力的作用線之間的垂直距離。

這個距離稱為力臂，或垂直力臂。

這兩個公式是等價的，因為

\[ d=r\sin\theta \]

所以

\[ \tau=F(r\sin\theta)=rF\sin\theta \]

與其死記硬背，不如在腦中想像這個情境。

把力的作用線想像成一條無限長的細繩。力臂就是支點到這條細繩的最短距離。如果細繩直接穿過支點，力臂就是零。

這裡有個有點傻氣的比喻：假設力矩就像你站在某人側邊叫他的名字，讓他轉頭的能力。站在側邊遠一點的位置，會有不錯的「讓人轉頭的機會」；直接站在他正前方則不會。這個比喻並不完全成立，因為真正的力矩是由力造成的，而不是社交上的尷尬，但其中有用的是幾何概念：側向的距離很重要。

該使用哪一種形式？

當你知道距離 \(r\)、力的大小，以及兩者之間的夾角時，使用

\[ \tau=rF\sin\theta \]

當力的作用線到支點的垂直距離更容易看出來時，使用

\[ \tau=Fd \]

除非你要檢查答案，否則不必兩種都算。

04範例解析：以傾斜角度推動扳手

一名技工在一支長度為 \(0.80\,\mathrm{m}\) 的扳手末端施加 \(120\,\mathrm{N}\) 的力。施力方向與扳手呈 \(60^\circ\)。求此力對螺帽所產生的力矩。

步驟 1：找出支點以及支點到施力點的距離。

螺帽是支點，而施力點距離支點 \(0.80\,\mathrm{m}\)，因此

\[ r=0.80\,\mathrm{m} \]

步驟 2：找出 \(r\) 與 \(F\) 之間的夾角。

力的方向與扳手呈 \(60^\circ\)，因此

\[ \theta=60^\circ \]

步驟 3：使用力矩公式。

\[ \begin{aligned} \tau &= rF\sin\theta\\ &=(0.80)(120)\sin60^\circ\\ &=83.1\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

力矩約為

\[ \tau=83\,\mathrm{N\,m} \]

這個結果表示，這個呈傾斜方向的 \(120\,\mathrm{N}\) 力，所產生的轉動效果相當於在同一位置施加約 \(104\,\mathrm{N}\) 的垂直力，因為只有垂直分量會對力矩有所貢獻。

請注意，答案不是 \(96\,\mathrm{N\,m}\)。那是直接使用 \(rF\)，並在沒有說明的情況下假設力與扳手垂直所得到的結果。

05順時針與逆時針力矩

力矩具有方向。

在大多數涉及平面內轉動的 HSC 題目中，你可以將方向描述為：

• 順時針力矩，
• 逆時針力矩。

當有多個力同時作用時，先選定正負號慣例，並始終遵守。例如：

• 逆時針：正值，
• 順時針：負值。

實際選擇哪一種慣例並不重要，前後一致才重要。

合力矩是所有個別力矩的總和：

\[ \tau_{\text{net}}=\sum\tau \]

如果順時針力矩與逆時針力矩恰好平衡，

\[ \tau_{\text{net}}=0 \]

這相當於轉動情況下的合力平衡。合力矩為零的物體沒有角加速度。它可能處於靜止狀態，也可能已經以固定角速度轉動。

合力矩為零，不代表每個個別力矩都必須為零。

06範例解析：具有相反力矩的樑

一根均勻的水平樑長 \(2.0\,\mathrm{m}\)，左端為支點。樑的重量為 \(120\,\mathrm{N}\)，作用於樑的中心。在右端施加一個 \(80\,\mathrm{N}\) 的力，方向在樑的上方 \(50^\circ\)。

計算此力對支點產生的合力矩，並指出其方向。

步驟 1：計算樑的重量所產生的力矩。

樑是均勻的，因此重量作用於中心，也就是距離支點 \(1.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

重量垂直向下，與水平樑垂直。

以逆時針為正，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{weight}} &=-(1.0)(120)\sin90^\circ\\ &=-120\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

負號代表順時針方向。

步驟 2：計算傾斜力所產生的力矩。

這個 \(80\,\mathrm{N}\) 的力作用於距離支點 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置，方向與樑呈 \(50^\circ\)。

\[ \begin{aligned} \tau_F &=(2.0)(80)\sin50^\circ\\ &=122.6\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

這個力會使樑逆時針轉動，因此其力矩為正。

步驟 3：將力矩相加。

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{net}} &=122.6-120\\ &=2.6\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

合力矩約為

\[ \tau_{\text{net}}=2.6\,\mathrm{N\,m} \]

方向為逆時針。

有趣之處不在於這個很小的答案，而在於它為何如此小。兩個很大的轉動效果幾乎完全抵銷。

只計算 \(80\,\mathrm{N}\) 力的學生，忽略了樑本身的重量。只比較 \(120\,\mathrm{N}\) 和 \(80\,\mathrm{N}\) 的學生，則忽略了距離和角度。

07最容易讓人犯的力矩錯誤

錯誤 1：「最大的力會產生最大的力矩」

不一定。

比較以下兩種情況：

• 在距離支點 \(0.10\,\mathrm{m}\) 處施加 \(200\,\mathrm{N}\) 的力，且力與 \(r\) 垂直，
• 在距離支點 \(0.50\,\mathrm{m}\) 處施加 \(80\,\mathrm{N}\) 的力，且力與 \(r\) 垂直。

兩者的力矩分別為

\[ \tau_1=(0.10)(200)=20\,\mathrm{N\,m} \]

以及

\[ \tau_2=(0.50)(80)=40\,\mathrm{N\,m} \]

較小的力產生了兩倍的力矩，因為它作用的位置離支點遠得多。

錯誤 2：「只要施力點離支點很遠，就一定會產生很大的力矩」

同樣不一定。

如果力指向支點，

\[ \theta=180^\circ \]

因此

\[ \tau=rF\sin180^\circ=0 \]

施力點可能離支點很遠，但垂直力臂仍然為零。

錯誤 3：使用錯誤的角度

在

\[ \tau=rF\sin\theta \]

中，角度是 \(r\) 與 \(F\) 之間的夾角。

它不一定是相對於水平、垂直、地面，或圖中任何看起來方便的線所量得的角度。

從支點畫出指向施力點的 \(r\)，然後找出這個向量與力之間的夾角。

錯誤 4：因為力矩和能量都使用 \(\mathrm{N\,m}\)，就把力矩當成能量

力矩和能量都可以用牛頓公尺的量綱表示，但它們是不同的物理量。

力矩使用 \(\mathrm{N\,m}\)。

能量的 SI 導出單位是焦耳，符號為 \(\mathrm{J}\)。

\(20\,\mathrm{N\,m}\) 的力矩，與 \(20\,\mathrm{J}\) 的能量並不是同一種物理敘述。

08快速分析任何力矩示意圖的方法

當力矩題目看起來很複雜時，不要一開始就把數字代入 \(\tau=rF\sin\theta\)。

依照以下順序處理：

1. 標出支點。
2. 分別處理每一個力。
3. 畫出或想像從支點到該力作用點的 \(r\)。
4. 判斷該力的作用線是否通過支點。如果是，該力的力矩為零。
5. 否則，找出 \(r\) 與 \(\theta\)，或垂直力臂 \(d\)。
6. 判斷該力會使物體順時針還是逆時針轉動。
7. 將帶有正負號的力矩相加。

第三和第四個步驟可以避免許多意想不到的錯誤。

09題目與解答

題目 1

一名學生使用長 \(0.35\,\mathrm{m}\) 的扳手轉動螺栓。他施加一個與扳手垂直的 \(65\,\mathrm{N}\) 力。

計算此力對螺栓產生的力矩。

解答 1

力矩為 \(22.8\,\mathrm{N\,m}\)。

因為力與扳手垂直，\(r\) 與 \(F\) 之間的夾角是 \(90^\circ\)。因此，

\[ \begin{aligned} \tau&=rF\sin\theta\\ &=(0.35)(65)\sin90^\circ\\ &=22.75\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

所以，以適當的有效數字表示，

\[ \tau=23\,\mathrm{N\,m} \]

常見的陷阱是，明明力已經垂直，卻還以為需要額外使用三角函數。由於 \(\sin90^\circ=1\)，力矩就是 \(rF\)。

題目 2

一根均勻的水平樑長 \(3.0\,\mathrm{m}\)，左端以鉸鏈固定。樑的重量為 \(200\,\mathrm{N}\)。一個 \(350\,\mathrm{N}\) 的負載懸掛在距離鉸鏈 \(2.4\,\mathrm{m}\) 的位置。

一條連接樑遠端的纜線向上拉，方向在樑的上方 \(30^\circ\)。

假設樑處於轉動平衡，計算纜線的張力。

解答 2

纜線的張力為 \(760\,\mathrm{N}\)。

對於轉動平衡，

\[ \tau_{\text{net}}=0 \]

因此，纜線產生的逆時針力矩必須等於順時針力矩的總和。

樑的重量作用於中心，也就是距離鉸鏈 \(1.5\,\mathrm{m}\) 的位置：

\[ \tau_{\text{beam}}=(1.5)(200)=300\,\mathrm{N\,m} \]

懸掛的負載產生

\[ \tau_{\text{load}}=(2.4)(350)=840\,\mathrm{N\,m} \]

因此，順時針力矩總和為

\[ 300+840=1140\,\mathrm{N\,m} \]

纜線作用於距離鉸鏈 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置，且與樑呈 \(30^\circ\)：

\[ \tau_{\text{cable}}=(3.0)T\sin30^\circ \]

在平衡條件下，

\[ \begin{aligned} (3.0)T\sin30^\circ&=1140\\ (3.0)T(0.5)&=1140\\ 1.5T&=1140\\ T&=760\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

最容易犯的錯誤是把纜線的力矩寫成 \(3.0T\)，彷彿整個張力都垂直於樑。實際上並非如此。只有垂直分量 \(T\sin30^\circ\) 才會對鉸鏈產生力矩。

纜線的水平分量不會產生力矩，因為它沿著樑的方向作用，所以它的作用線會通過鉸鏈。

題目 3

一名學生可以用以下兩種方式之一，對扳手施加 \(120\,\mathrm{N}\) 的力。

• 方法 A：在距離支點 \(0.50\,\mathrm{m}\) 的位置施力，方向與扳手呈 \(25^\circ\)。
• 方法 B：在距離支點 \(0.35\,\mathrm{m}\) 的位置施加相同的力，方向與扳手垂直。

哪一種方法產生的力矩較大？

接著，求出 \(120\,\mathrm{N}\) 的力若作用於距離支點 \(0.50\,\mathrm{m}\) 的位置，需要與扳手呈多大的銳角，才能產生與方法 B 相同的力矩。

解答 3

方法 B 產生的力矩較大，而方法 A 需要使用約 \(44^\circ\) 的角度才能與方法 B 相同。

對於方法 A，

\[ \begin{aligned} \tau_A &=rF\sin\theta\\ &=(0.50)(120)\sin25^\circ\\ &=25.4\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

對於方法 B，

\[ \begin{aligned} \tau_B &=(0.35)(120)\sin90^\circ\\ &=42.0\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

因此，儘管施力點更靠近支點，方法 B 產生的力矩仍然較大。

要找出在 \(0.50\,\mathrm{m}\) 處所需的角度，令力矩等於 \(42.0\,\mathrm{N\,m}\)：

\[ \begin{aligned} (0.50)(120)\sin\theta&=42.0\\ 60\sin\theta&=42.0\\ \sin\theta&=0.700 \end{aligned} \]

依題意取銳角，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.700)=44.4^\circ \]

所以

\[ \theta\approx44^\circ \]

一個很容易出現的錯誤預測是：只要施力點離支點更遠，力矩就一定比較大。距離確實有幫助，但只有力的垂直分量才會產生力矩。在方法 A 中，不理想的角度使 \(120\,\mathrm{N}\) 的力有相當一部分無法發揮作用，因此方法 B 勝出。

題目 4

一根長 \(4.0\,\mathrm{m}\) 的水平樑以鉸鏈固定在牆上。一條纜線將樑的外端連接到牆上鉸鏈上方 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

樑的重量為 \(200\,\mathrm{N}\)，作用於樑的中心；另有一個 \(600\,\mathrm{N}\) 的負載懸掛在距離鉸鏈 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

首先，計算使樑達到轉動平衡所需的纜線張力。

接著，將纜線從樑的外端拆下，改接在距離鉸鏈 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置，同時仍連接到鉸鏈上方 \(3.0\,\mathrm{m}\) 的同一個牆上固定點。樑和負載的位置保持不變。

計算新的纜線張力。

一名學生認為，第二種情況下的張力一定較小，因為纜線現在更接近與樑垂直。請解釋這個論點為何不成立。

解答 4

原本的纜線張力約為 \(917\,\mathrm{N}\)，新的張力約為 \(1.32\,\mathrm{kN}\)。第二種情況下的張力較大，即使纜線的角度更有利也是如此。

樑的重量所造成的順時針力矩為

\[ \tau_{\text{beam}}=(2.0)(200)=400\,\mathrm{N\,m} \]

負載產生

\[ \tau_{\text{load}}=(3.0)(600)=1800\,\mathrm{N\,m} \]

因此，纜線必須提供

\[ \tau_{\text{cable}}=400+1800=2200\,\mathrm{N\,m} \]

的逆時針力矩。

對於原本的纜線，幾何形狀形成一個 \(3\)-\(4\)-\(5\) 三角形，因此

\[ \sin\theta=\frac{3}{5} \]

纜線作用於距離鉸鏈 \(4.0\,\mathrm{m}\) 的位置：

\[ \begin{aligned} (4.0)T_1\left(\frac35\right)&=2200\\ 2.4T_1&=2200\\ T_1&=916.7\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

因此

\[ T_1\approx917\,\mathrm{N} \]

移動纜線後，它與牆之間的水平距離為 \(2.0\,\mathrm{m}\)，垂直距離為 \(3.0\,\mathrm{m}\)。因此，纜線長度為

\[ \sqrt{2.0^2+3.0^2}=\sqrt{13}\,\mathrm{m} \]

所以

\[ \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{13}} \]

新的力矩方程式為

\[ \begin{aligned} (2.0)T_2\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)&=2200\\ T_2&=\frac{2200\sqrt{13}}{6}\\ &=1322\,\mathrm{N} \end{aligned} \]

因此

\[ T_2\approx1.32\,\mathrm{kN} \]

學生的論點注意到了一個真實存在的影響，卻忽略了另一個影響。

沒錯，第二條纜線更接近與樑垂直，因此它的張力有更大比例會對力矩有所貢獻。但它的連接點也從距離鉸鏈 \(4.0\,\mathrm{m}\) 處，移到了只有 \(2.0\,\mathrm{m}\) 的位置。

真正有用的量不是角度本身，而是完整的力臂：

\[ d=r\sin\theta \]

原本的力臂為

\[ d_1=(4.0)\left(\frac35\right)=2.40\,\mathrm{m} \]

移動纜線後，

\[ d_2=(2.0)\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=1.66\,\mathrm{m} \]

纜線雖然變得更接近垂直於樑，但它的垂直力臂仍然縮短了。若要用較短的力臂產生相同的 \(2200\,\mathrm{N\,m}\) 力矩，就必須增加張力。

這就是為什麼只比較角度，可能會讓人很有把握地得出錯誤答案。

題目 5

一塊正方形板的邊長為 \(0.40\,\mathrm{m}\)。

一個 \(50\,\mathrm{N}\) 的水平力作用於左上角，方向向右。另一個 \(50\,\mathrm{N}\) 的水平力作用於右下角，方向向左。

因此，這兩個力的大小相等、方向相反。

1. 求作用於板上的合力。
2. 計算以正方形中心為參考點的合力矩。
3. 計算以左下角為參考點的合力矩。
4. 一名學生說：「力矩取決於支點，所以兩個合力矩一定不同。」請解釋為什麼這個規則對單一力成立，卻不適用於這一對力。

假設順時針力矩為負。

解答 5

合力為零，而以正方形中心或左下角為參考點計算的合力矩，都是 \(20\,\mathrm{N\,m}\)，方向為順時針。

令人意外的是，對於這一對特定的力，改變計算力矩的參考點並不會改變合力矩。

首先，兩個力大小相等、方向相反：

\[ F_{\text{net}}=50-50=0\,\mathrm{N} \]

它們不會產生合力。

現在計算以中心為參考點的力矩。

每個水平力的垂直力臂都是 \(0.20\,\mathrm{m}\)，因為兩個力的作用線分別位於中心上方或下方 \(0.20\,\mathrm{m}\) 處。

上方的力產生順時針力矩：

\[ \tau_{\text{top}}=-(50)(0.20)=-10\,\mathrm{N\,m} \]

下方的力也產生順時針力矩：

\[ \tau_{\text{bottom}}=-(50)(0.20)=-10\,\mathrm{N\,m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{net}} &=-10-10\\ &=-20\,\mathrm{N\,m} \end{aligned} \]

所以合力矩為

\[ 20\,\mathrm{N\,m} \]

方向為順時針。

現在改用左下角作為參考點。

上方的力沿著一條位於此點上方 \(0.40\,\mathrm{m}\) 的水平線作用，因此

\[ \tau_{\text{top}}=-(50)(0.40)=-20\,\mathrm{N\,m} \]

下方的力之作用線直接通過左下角這個參考點。因此，它的垂直力臂為零：

\[ \tau_{\text{bottom}}=0 \]

所以

\[ \tau_{\text{net}}=-20+0=-20\,\mathrm{N\,m} \]

同樣地，板所受到的合力矩為

\[ 20\,\mathrm{N\,m} \]

方向為順時針。

容易讓人誤以為，參考點一改變，力矩就一定會改變。對單一力而言，這通常是對的：改變參考點會改變該力的垂直力臂。

但這兩個力形成一種特殊的組合，稱為力偶。它們大小相等、方向相反，而且作用線彼此平行但不重合。

當參考點移動時，一個力的力臂可能增加，而另一個力的力臂可能減少。由於合力為零，這些變化會恰好抵銷。因此，力偶的合力矩保持不變。

如果移除下方的力，就能看出兩者的差異。只保留上方的 \(50\,\mathrm{N}\) 力時，它對中心產生的力矩會是 \(10\,\mathrm{N\,m}\)，方向為順時針；但對左下角產生的力矩則會是 \(20\,\mathrm{N\,m}\)，方向同樣為順時針。單一力的力矩確實會隨所選參考點而改變。

更深一層的重點是，力矩並不只是「力乘以距離支點的距離」。它取決於每個力及其作用線的完整幾何關係。

10力矩能幫助你進一步理解什麼？

公式

\[ \tau=rF\sin\theta \]

其實是在說明：力中哪一部分能改變轉動運動。徑向分量朝向或背離支點，因此不會對該支點產生力矩。垂直分量則是能夠產生轉動效果的部分。

這個概念與圓周運動有很直接的關聯。純粹的向心力指向圓心，因此它對圓心的力矩為零，即使它會持續改變物體速度的方向。如果你想更深入釐清這個區別，可以參閱向心力：如何在 HSC 物理中辨認真正的力以及向心加速度：為什麼它在 HSC 物理中指向內側。

下一個值得學習的步驟是轉動平衡：同時運用 \(\sum\tau=0\) 和力平衡，分析樑、支撐物、鉸鏈及其他必須避免滑動與轉動的系統。