HSC 物理狹義相對論：清晰易懂的詳解指南

一艘太空船以 \(0.80c\) 的速度飛越地球。地球測得太空船時鐘兩次滴答之間的時間間隔，比太空人測得的更長。另一方面，太空人則認為地球上的時鐘走得比較慢。繼續閱讀之前，先預測一下：是否有一位觀察者單純地弄錯了？沒有。兩人各自使用不同的慣性參考系，而這種分歧源於高速運動下時間與空間的測量方式。

01參考系：每位觀察者實際上測量的是什麼？

參考系是一種座標系統，用來為事件指定位置與時間。它可以用尺和一組彼此同步的時鐘來表示。

慣性參考系 是指沒有加速或旋轉的參考系。在本指南中，假設重力的影響可以忽略不計，而且當我們比較太空船與地球時，兩者之間的相對速度保持不變。

在日常生活中，我們通常可以把時間視為普遍一致的。如果兩件事在你看來同時發生，你會預期其他人也會認為它們同時發生。

狹義相對論對這項假設提出了挑戰。它以兩項原則為基礎：

• 物理定律在每個慣性參考系中都相同。
• 無論光源或觀察者如何運動，每位慣性觀察者測得的真空光速都相同。

光速為

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

假設你朝一道光束移動。你可能會預期自己測得的光速是 \(c+v\)，其中 \(v\) 是你朝光束移動的速度。但事實並非如此，你測得的光速仍然是 \(c\)。

要使這項原則成立，彼此相對運動的觀察者就不可能總是對時間間隔、長度，或相距遙遠的事件是否同時發生達成一致。

這與他們的眼睛恰好看見什麼無關。相對論中的測量會使用同步時鐘，並將光線傳播所需的時間納入考量。即使完成這項修正，觀察者之間的分歧依然存在。

02同時性的相對性：兩個事件在不同參考系中可能發生於不同時間

想像有兩盞燈，A 和 B，分別位於一條長月台的兩端。相對月台靜止的時鐘彼此同步，而兩盞燈都在月台時間 \(t=0\) 時閃亮。

繼續閱讀之前，先預測一下：一枚火箭經過月台時，是否一定會認為兩次閃光同時發生？

不一定。火箭可以為這兩次閃光指定不同的發生時間。

同時發生 是指兩個事件在指定參考系中的時間座標相同。這並不代表每個慣性參考系都會為它們指定相同的時間。

為了更精確地描述這個情況，假設：

• 燈 A 位於 \(x=0\)。
• 燈 B 位於 \(x=600\text{ m}\)。
• 月台在參考系 \(S\) 中靜止。
• 火箭的參考系 \(S'\) 相對於 \(S\) 沿正 \(x\) 方向以速度 \(v\) 移動。

在月台參考系中，兩次閃光同時發生。在火箭參考系中，B 處的閃光會比 A 處的閃光早發生。

為什麼先後順序會是這樣？這兩個事件的時間座標轉換公式為

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

其中

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

這裡，\(\Delta t=t_B-t_A\) 和 \(\Delta x=x_B-x_A\) 分別是參考系 \(S\) 測得的時間差與位置差。帶撇號的時間差則是在參考系 \(S'\) 中測得；該參考系相對於 \(S\) 沿正 \(x\) 方向移動。

對於在月台參考系中同時發生的兩次閃光，

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

因此，

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

負號表示在火箭參考系中，B 處的閃光較早發生。

有一項重要的限制需要注意：觀察者接收到兩次閃光的先後順序，本身並不能證明兩個事件的實際發生時間。光需要時間才能傳到觀察者，而且兩次閃光到觀察者的距離可能不同。同時性的相對性探討的是：在考慮光線傳播時間後，使用同步時鐘所指定的事件發生時間。

當題目涉及兩個相距遙遠的事件，而不是同一個時鐘的兩次滴答時，這項區別尤其重要。

03時間膨脹：運動中的時鐘具有較長的測得滴答間隔

現在考慮一個固定在太空船上的單一時鐘所產生的兩次滴答。

這兩次滴答發生在太空船靜止參考系中的同一位置。由該時鐘測得的經過時間稱為固有時間，以 \(\Delta\tau\) 表示。

在另一個慣性參考系中，太空船以速度 \(v\) 移動，該參考系的觀察者會為同一對事件指定較長的時間間隔。這就是時間膨脹。

公式為

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

其中：

• \(\Delta t\) 是在時鐘正在移動的參考系中測得的時間間隔。
• \(\Delta\tau\) 是時鐘在其靜止參考系中測得的固有時間。
• \(\gamma\) 是洛倫茲因子。
• \(v\) 是兩個參考系之間的相對速度。
• \(c\) 是光速。

由於 \(\gamma\geq1\)，運動中的時鐘所對應的測得滴答間隔，絕不會短於它的固有時間間隔。

例如，當 \(v=0.80c\) 時，

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

另一個參考系測得的時間間隔，是該時鐘自身時間間隔的 \(1.67\) 倍。

計算範例：高速太空船上的時鐘

一艘太空船相對於地球以 \(0.80c\) 的速度移動。船上的時鐘測得兩次滴答之間相隔 \(10.0\text{ min}\)。地球會為同一對滴答指定多長的時間間隔？

步驟 1：找出固有時間。

兩次滴答發生在太空船靜止參考系中的同一位置，因此船上時鐘的讀數就是固有時間：

\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]

步驟 2：計算洛倫茲因子。

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]

步驟 3：套用時間膨脹公式。

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]

地球指定的時間間隔為 \(16.7\text{ min}\)，而太空船時鐘測得的時間間隔為 \(10.0\text{ min}\)。太空人的時鐘在自身靜止參考系中運作正常；兩者的差異來自兩個參考系對時間間隔的指定不同。

為什麼兩位觀察者都可以說對方的時鐘走得比較慢？

這聽起來似乎自相矛盾，但兩位觀察者並不是直接比較兩個時鐘上完全相同的一對滴答。

地球使用自己的同步時鐘網絡，為太空船上的滴答指定時間。太空人則使用另一組同步時鐘網絡，為地球上遠處時鐘的滴答指定時間。由於同時性取決於參考系，兩者的比較並沒有使用相同的遠距事件時間指定方式。

如果太空人轉身，之後再與地球會合，情況又會有所不同。這趟旅程涉及慣性參考系的改變，因此兩位觀察者的完整旅程不再等價。他們累積的固有時間可能不同。

關鍵規則很簡單：時間膨脹適用於同一對事件，而固有時間間隔是在這兩個事件發生於同一位置的參考系中測得的。

04長度收縮：運動物體的測得長度會改變

時間膨脹涉及事件之間的時間間隔。長度收縮則涉及物體兩端之間的距離。

想像一艘靜止的太空船。你用尺測量它的長度，得到 \(150\text{ m}\)。這就是它的固有長度 \(L_0\)，因為測量是在太空船的靜止參考系中進行的。

現在假設太空船以高速經過地球。地球要測量它的長度，就必須在同一個地球參考系時間，記錄太空船前端與後端的位置。

最後這項條件十分重要。在某個參考系中測量長度時，必須在該參考系中同時記錄物體兩端的位置。

運動中的太空船，其測得長度為

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

或者等價地，

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

其中：

• \(L\) 是在物體正在運動的參考系中測得的長度。
• \(L_0\) 是物體的固有長度，即在其靜止參考系中測得的長度。
• \(v\) 是物體相對於測量參考系的速度。
• \(\gamma\) 是洛倫茲因子。

只有與運動方向平行的尺寸會收縮。依據這個長度收縮關係，物體垂直於運動方向的尺寸不會改變。

一個常見的錯誤觀念是，以為太空船會感覺自己受到擠壓，導致實際尺寸縮小。事實並非如此。太空船在自身靜止參考系中測得的長度不會變短。這種差異來自不同參考系的長度測量使用了不同組、彼此同時的端點位置。

計算範例：太空船通過探測器

一艘探測船的固有長度為 \(150\text{ m}\)，並以 \(0.80c\) 的速度通過一個靜止的探測器。

計算：

• 地球測得的長度；
• 在地球參考系中，探測船頭部與尾部通過探測器的時間間隔；
• 在探測船參考系中，同一對事件之間的時間間隔。

步驟 1：計算洛倫茲因子。

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

步驟 2：計算地球測得的長度。

\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]

地球測得運動中的探測船長 \(90.0\text{ m}\)。

步驟 3：計算地球參考系中的時間間隔。

探測船的速度為

\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

在地球參考系中，探測船頭部與尾部相距 \(90.0\text{ m}\)。因此，它們通過靜止探測器的時間間隔為

\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

步驟 4：計算探測船參考系中的時間間隔。

在探測船參考系中，探測器以相同的相對速度移過探測船完整的 \(150\text{ m}\) 固有長度。因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

兩個通過事件在地球參考系中發生於同一位置，因此探測器測得的 \(0.375\,\mu\text{s}\) 間隔是固有時間間隔。在探測船參考系中，探測器正在移動，所以時間間隔較長：

\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]

計算結果一致。同一對事件在兩個參考系中具有不同的時間間隔，而探測船的測得長度則取決於在哪個參考系中同時記錄兩端的位置。

05質能關係：\(E=mc^2\) 究竟代表什麼？

考慮一個原子核由分開的質子與中子結合而成的情況。原子核形成後，其靜止質量會略小於這些分離粒子的靜止質量總和。

是否有一些物質就這樣消失了？

沒有。這個系統釋放了能量，而釋出的能量必須納入整體計算。質量與能量彼此相關。

物體的靜止能量為

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

其中：

• \(E_0\) 是靜止能量。
• \(m\) 是不變質量，也就是靜止質量。
• \(c\) 是光速。

如果靜止質量發生變化，相應的靜止能量變化為

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

因子 \(c^2\) 的數值極大。僅僅 \(1.0\text{ g}\) 的質量差，就相當於以下的靜止能量差：

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

對於如此微小的質量差而言，這是非常龐大的能量。

當能量進入或離開系統時，會發生什麼變化？

如果能量從系統中逸出，剩餘系統的靜止質量就可能降低。如果能量加入系統並保留在系統內部，只要比較的是系統加入能量前後都處於靜止狀態的情況，其靜止質量就會增加。

這並不代表質量減少時，能量就被摧毀了。對於孤立系統而言，總能量守恆。能量可能以輻射或動能的形式離開剩餘物體，但它仍然存在。

束縛原子核就是一個很好的例子。分離核子的靜止質量總和與束縛原子核靜止質量之間的差異，稱為質量虧損。相應的能量差則稱為束縛能。

一項必要的限制：靜止質量不等於總能量

公式 \(E_0=mc^2\) 表示靜止能量。對於以速度 \(v\) 運動的物體，其總能量為

\[ E=\gamma mc^2, \]

而其動能為

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

這裡的 \(m\) 仍然是物體的不變靜止質量。因子 \(\gamma\) 改變的是物體的總能量，而不是其不變質量。

某些較早期的教材會使用「相對論質量」一詞，表示 \(\gamma m\)。現代慣例通常將質量視為不變量，並以能量與動量來描述相關的增加。

例如，光子雖然沒有靜止質量，仍然具有能量與動量。因此，不應將 \(E=mc^2\) 解讀為每一種能量形式都必須屬於具有非零靜止質量的粒子。

計算範例：根據質量差求能量

一個靜止的輻射源釋放輻射，其剩餘靜止質量減少了 \(0.50\text{ mg}\)。假設整個質量差都對應於輻射帶走的能量，估算釋放的能量。

步驟 1：將質量差換算成公斤。

\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]

步驟 2：套用質能等價關係。

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]

步驟 3：解釋結果。

釋放的能量為 \(4.5\times10^{10}\text{ J}\)。僅僅 \(0.50\text{ mg}\) 的質量差，就相當於龐大的能量。

輻射源剩餘部分的靜止質量雖然減少，但能量並沒有消失。將發射出的輻射也納入計算後，總能量的計算仍然符合能量守恆。

06如何選擇正確的關係式

解答狹義相對論題目時，最可靠的方法是在選擇公式之前，先確認題目要測量的是什麼。

以下四項檢查可以避免許多常見錯誤：

• 檢查洛倫茲因子。 當 \(0\leq v<c\) 時，\(\gamma\geq1\)。
• 檢查事件。 時間膨脹並不適用於任意一對事件，固有時間的條件十分重要。
• 檢查測量方式。 長度收縮只適用於運動方向上的尺寸，而測量長度時，必須在測量參考系中同時記錄兩端的位置。
• 檢查能量的計算。 一個物體的靜止質量減少，並不代表孤立系統的總能量消失了。

07問題與解答

問題 1

固定在探測船上的時鐘測得兩次滴答之間相隔 \(3.0\text{ s}\)。探測船相對於實驗室以 \(0.60c\) 的速度移動。

計算實驗室為同一對滴答指定的時間間隔。

解答 1

實驗室指定的時間間隔為 \(3.75\text{ s}\)，以兩位有效數字表示則為 \(3.8\text{ s}\)。

船上的時鐘測得的是固有時間，因為兩次滴答都發生在探測船靜止參考系中的同一位置。

步驟 1：計算洛倫茲因子。

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

步驟 2：套用時間膨脹公式。

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

實驗室測得的時間間隔比探測船時鐘測得的更長。這個結果符合時間膨脹的原理。

問題 2

一艘探測船的固有長度為 \(80\text{ m}\)。機庫在自身靜止參考系中的長度為 \(60\text{ m}\)。探測船以 \(0.80c\) 的速度通過機庫。

一名工程師認為，因為探測船收縮後的長度比機庫短，所以探測船可以在某一瞬間完全位於機庫內。駕駛員則認為這不可能，因為在駕駛員的參考系中，機庫比探測船短。

假設機庫的理想化艙門可以瞬間開啟及關閉，並忽略材料損壞的情況。

兩位觀察者的長度計算是否都正確？探測船能否在某一瞬間完全位於機庫內？請解釋這兩種描述為何能夠相容。

解答 2

兩位觀察者的長度計算都正確。分歧在於探測船是否能夠「在某一瞬間」完全位於機庫內，因為同時性取決於參考系。

步驟 1：計算洛倫茲因子。

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

步驟 2：計算在機庫參考系中探測船的長度。

探測船的固有長度為 \(L_0=80\text{ m}\)。

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

由於 \(48\text{ m}<60\text{ m}\)，工程師的說法正確：只要探測船的位置適當，它就能在機庫參考系的某一瞬間完全位於機庫內。

步驟 3：計算在探測船參考系中機庫的長度。

機庫的固有長度為 \(60\text{ m}\)。在探測船參考系中，機庫正在移動，因此其測得長度為

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

駕駛員的說法同樣正確：運動中的機庫在探測船參考系中只有 \(36\text{ m}\) 長，而探測船的固有長度仍然是 \(80\text{ m}\)。

步驟 4：解決表面上的矛盾。

「在某一瞬間完全位於機庫內」是指，在指定參考系中的同一時間，探測船兩端的位置都位於機庫內。

在機庫參考系中，確實存在一個兩端都位於機庫內的瞬間。在探測船參考系中，則不存在任何一個瞬間，能讓整艘長 \(80\text{ m}\) 的探測船完全位於長 \(36\text{ m}\) 的機庫內。

關鍵在於：在機庫參考系中同時發生的兩扇艙門關閉事件，在探測船參考系中並不同時發生。兩位觀察者描述的並不是同一對同時發生的事件。這兩種描述都不代表探測船在自身靜止參考系中遭到實際摧毀或壓縮。

問題 3

某束縛原子的靜止質量，比其分離核子的靜止質量總和少 \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\)。

假設兩種狀態都是在靜止時進行比較，而且束縛過程中釋放的能量會離開原子核。

計算釋放的束縛能，以焦耳表示，並解釋為什麼最終原子核的靜止質量較低，並不違反能量守恆。

解答 3

與質量差相對應的束縛能為 \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\)。靜止質量降低符合能量守恆，因為釋出的能量離開了系統。

步驟 1：找出質量差。

質量虧損的大小為

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

步驟 2：套用質能等價關係。

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

步驟 3：解釋能量的計算。

束縛原子的靜止能量低於分離核子的靜止能量總和。兩者的差額會以束縛過程中釋放的能量形式出現，例如輻射，或由其他產物帶走的動能。

最終原子核的靜止質量較低，是因為能量已經離開原子核。將釋放的能量納入計算後，總能量仍然守恆。

問題 4

一艘太空船的不變靜止質量為 \(1.0\text{ kg}\)，相對於地球以 \(0.80c\) 的速度移動。

一名學生計算出 \(\gamma=1.67\)，並聲稱太空船的質量已增加到 \(1.67\text{ kg}\)。

使用以下公式：

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

計算太空船的靜止能量、總能量與動能，並評估這名學生的說法。

解答 4

靜止能量為 \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)，總能量為 \(1.5\times10^{17}\text{ J}\)，動能為 \(6.0\times10^{16}\text{ J}\)。按照不變質量的慣例，太空船的靜止質量仍然是 \(1.0\text{ kg}\)。

步驟 1：計算靜止能量。

靜止質量為 \(m=1.0\text{ kg}\)。

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

步驟 2：計算總能量。

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

步驟 3：計算動能。

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

這些結果彼此一致，因為總能量等於靜止能量加上動能：

\[ E=E_0+K. \]

步驟 4：評估學生的說法。

學生正確地指出，總能量等於靜止能量乘以 \(\gamma\)。錯誤之處在於把這個因子解讀為不變靜止質量的增加。

太空船的動能會隨速度增加，但其不變靜止質量仍然是 \(1.0\text{ kg}\)。當題目同時涉及質能等價關係與運動物體的能量時，這項區別十分重要。

問題 5

一座月台在其靜止參考系 \(S\) 中長 \(600\text{ m}\)。兩盞燈 A 和 B 分別安裝在月台兩端，其中 A 位於 \(x=0\)，B 位於 \(x=+600\text{ m}\)。兩盞燈在 \(S\) 中的 \(t=0\) 時同時閃亮。

每次閃光都會發出一道朝月台中點傳播的光脈衝。在參考系 \(S\) 中，兩道光脈衝會在中點相遇。

一枚火箭的靜止參考系 \(S'\) 相對於 \(S\) 沿正 \(x\) 方向以 \(0.80c\) 的速度移動。

本題請使用以下時間座標關係式：

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

其中 \(\Delta t=t_B-t_A\) 和 \(\Delta x=x_B-x_A\) 是在 \(S\) 中測得的數值。

(a) 在 \(S'\) 中，哪一次閃光先發生？兩次閃光相差多少時間？

(b) 月台在 \(S'\) 中的長度為 \(360\text{ m}\)。一名學生聲稱，兩次閃光之間的時間差必定是 \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\)。請精確解釋這項推理的錯誤之處。

(c) 兩道光脈衝在 \(S'\) 中是否仍然會在同一事件相遇？請解釋為什麼即使兩次閃光不再同時發生，這仍然可能成立。

解答 5

在 \(S'\) 中，B 處的閃光會先發生，比 A 處早 \(2.67\,\mu\text{s}\)。兩道光脈衝仍然會在同一事件相遇，因為所有慣性參考系都同意兩道光脈衝的交會事件，即使它們為發射事件指定了不同的時間。

步驟 1：計算洛倫茲因子，並找出事件之間的差值。

相對速度為 \(v=0.80c\)，因此

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

在 \(S\) 中，兩次閃光同時發生，而且 B 的位置座標較大。因此，

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

步驟 2：計算 \(S'\) 中的時間差。

將數值代入題目提供的時間座標關係式：

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

負值表示 \(t'_B<t'_A\)。在火箭參考系中，B 處的閃光比 A 處早 \(2.67\,\mu\text{s}\) 發生。

步驟 3：解釋為什麼 \(360\text{ m}/c\) 的計算不成立。

學生的計算結果為

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

算術運算本身是正確的，但它回答了錯誤的問題。

\(360\text{ m}\) 是在 \(S'\) 中測得的月台長度，這個長度是透過在火箭參考系的同一時間測量兩端的位置而得到的。兩次閃光事件在 \(S'\) 中並不同時，因此不能把這兩個事件的位置當作這項同時長度測量中的兩個端點。

兩個事件之間的時間差，一般而言並不等於測得的長度除以 \(c\)。學生混淆了使用同時端點位置測得的長度，以及在同一參考系中發生於不同時間的兩個事件。

步驟 4：解釋為什麼兩道光脈衝仍然會相遇。

在 \(S\) 中，每道光脈衝都傳播 \(300\text{ m}\) 才到達中點。因此，相遇事件發生於

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

這是時空中的同一個事件。每個慣性參考系都同意兩道光脈衝在這個事件相遇，即使它們為該事件指定的座標有所不同。

我們可以檢查火箭參考系中的時間。使用題目提供的關係式，計算從閃光 A 到相遇事件的時間座標：

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

閃光 A 發生於 \(t'_A=0\)，因此它發出的光脈衝需要 \(0.333\,\mu\text{s}\) 的火箭參考系座標時間，才能到達相遇事件。

閃光 B 發生於 \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\)，因此它發出的光脈衝需要

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

才能到達同一事件。

不同的發射時間與傳播時間，完全可以與同一個相遇事件相容。真正的錯誤在於假設：如果兩道光在某個參考系中同時發射，那麼它們在所有參考系中也必定同時發射。

接下來值得學習的是如何在時空圖上表示事件。對於 HSC 的題目，首先要找出所使用的參考系，並確認事件在該參考系中是否發生於同一位置。這項判斷有助於你在開始計算前，正確選擇時間膨脹、長度收縮或同時性的相對性。