HSC 化學：理想氣體定律與氣體關係

把氣體密封在一個堅硬的金屬瓶中並加熱。瓶子不會變大，也沒有氣體進出。壓力會發生甚麼變化？

一個很容易想到的預測是：壓力會保持不變，因為同樣數量的氣體仍然佔據相同的空間。但實際上，壓力會上升。加熱令粒子移動得更快，因此它們撞擊瓶壁的次數增加，而且每次碰撞造成的動量改變也更大。

現在改變實驗。把氣體放在一個有可移動活塞的注射器中。在保持壓力不變的情況下加熱。這一次，氣體可以膨脹。

同一種氣體會有不同的表現，是因為壓力、體積、溫度和氣體的量彼此相關。理想氣體定律提供了一個能把這四個量連繫起來的模型。

01從粒子開始理解

想像氣體粒子在容器內隨機運動。在兩次碰撞之間，粒子會穿過大部分都是空間的區域。

有三個概念立即很重要：

• 壓力來自粒子與容器壁的碰撞。
• 溫度反映粒子的平均動能。
• 體積決定這些粒子有多少空間可以運動。

氣體的量也很重要。粒子越多，與容器壁碰撞的機會就越多。

由此可以作出一些有用的預測。

如果在不改變溫度的情況下，把氣體壓縮到較小的體積，壓力應該會怎樣？

粒子到達容器壁前需要移動的距離縮短，因此與容器壁碰撞得更頻繁。壓力上升。

如果在體積不能改變的情況下加熱氣體，粒子會移動得更快。它們與容器壁碰撞得更頻繁，而且每次碰撞涉及的動量改變也更大。因此，壓力同樣會上升。

這個粒子模型可以告訴我們每種關係的變化方向。方程式則能準確告訴我們，對於理想氣體而言，變化應有多大。

02理想氣體定律

對於理想氣體，

\[ PV=nRT \]

其中：

• \(P\) 是氣體壓力
• \(V\) 是氣體體積
• \(n\) 是氣體的物質的量，以莫耳為單位
• \(R\) 是理想氣體常數
• \(T\) 是以開爾文表示的絕對溫度

在 HSC 計算中，一個非常方便的數值是

\[ R=8.314\ \text{kPa L mol}^{-1}\text{K}^{-1} \]

前提是壓力以千帕表示，而體積以公升表示。

這是因為 \(1\ \text{kPa L}=1\ \text{J}\)。

如果把這條方程式理解成一種關係，而不是需要死記的公式，它會更加實用：

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

在以下情況下，壓力會增加：

• \(n\) 增加
• \(T\) 增加
• \(V\) 減少

這與我們的粒子模型一致。

開爾文不是可有可無的

氣體定律的計算使用絕對溫度，所以溫度必須以開爾文表示。

換算公式為

\[ T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273.15 \]

例如，

\[ 25.0^{\circ}\text{C}=298.15\ \text{K} \]

為甚麼不能直接使用攝氏溫度？

假設某氣體由 \(10^{\circ}\text{C}\) 升溫至 \(20^{\circ}\text{C}\)。以攝氏數值來看，溫度數字變成了兩倍。粒子的平均動能也變成兩倍了嗎？

不是。

這兩個溫度約為 \(283\ \text{K}\) 和 \(293\ \text{K}\)，所以絕對溫度其實只增加了約 3.5%。

氣體定律取決於絕對溫度，而不是攝氏溫標零點的位置。

03「理想」究竟是甚麼意思？

理想氣體定律是一個模型。它把氣體粒子視為：

• 每個粒子本身的體積相對於容器體積可以忽略
• 除了碰撞期間之外，粒子之間沒有顯著的吸引力或排斥力
• 碰撞是彈性碰撞

真實分子確實佔有空間，而且它們之間確實會互相吸引。

一般而言，當氣體處於相對低壓和高溫的情況時，理想模型會更加準確。在這些條件下，粒子彼此相距較遠，分子間吸引力對整體行為的影響較小。

在高壓下，粒子排列得更緊密，因此粒子本身的體積變得更重要。在低溫下，粒子之間的吸引力也會變得更重要。

因此，\(PV=nRT\) 並不是在聲稱真實氣體粒子是微小、彼此完全沒有相互作用的數學點。它是一個在許多一般條件下都非常有效的模型。

05四條常見氣體定律都來自同一條方程式

你可能會把波以耳定律、查理定律、蓋-呂薩克定律和阿伏加德羅定律當作四條獨立的規則來學習。

其實它們並不是四個互不相關的事實。每一條都是

\[ PV=nRT \]

在某些變數保持不變時的特殊情況。

真正重要的能力不是記住四個名稱，而是留意哪些量保持不變。

06波以耳定律：壓力與體積

假設溫度和氣體的量保持不變。

由

\[ PV=nRT \]

可知右方是常數，因此

\[ PV=\text{常數} \]

對於同一氣體的兩個狀態，

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

這就是波以耳定律。

壓力與體積成反比。如果體積減半，壓力會加倍，前提是溫度和氣體的量保持不變。

想像你堵住單車泵的出口，同時把活塞向內推。氣體粒子被壓縮到較小的空間，因此它們會更頻繁地撞擊容器壁。

這個簡單圖像很有用，但也有一個限制：壓縮真實氣體也可能令其溫度改變。波以耳定律只適用於所比較的兩個狀態之間溫度保持不變的情況。

07查理定律：體積與溫度

現在假設壓力和氣體的量保持不變。

由

\[ PV=nRT \]

可得

\[ V\propto T \]

因此

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

這就是查理定律。

如果絕對溫度上升 10%，體積也會上升 10%，前提是壓力和氣體的量保持不變。

想像氣體位於一個可以自由移動的活塞下方。加熱使粒子移動得更快，最初會令壓力增加。較高的壓力隨後把活塞向外推。氣體持續膨脹，直到內部壓力再次與外部壓力相等。

所以，「加熱使氣體膨脹」這句話並不完整。氣體加熱時會膨脹，是在條件容許其體積改變，同時壓力保持不變時。

08蓋-呂薩克定律：壓力與溫度

假設體積和氣體的量保持不變。

那麼

\[ P\propto T \]

所以

\[ \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} \]

這就是蓋-呂薩克定律。

這正是文章開頭堅硬瓶子的情況。

如果把一個密封的剛性容器由 \(300\ \text{K}\) 加熱到 \(330\ \text{K}\)，它的絕對溫度上升 10%。假設氣體符合理想行為，它的壓力也會上升 10%。

同樣，這個說法取決於隱含的條件：體積必須固定，而且不能有氣體進出。

09阿伏加德羅定律：體積與氣體的量

假設壓力和溫度保持不變。

那麼

\[ V\propto n \]

或

\[ \frac{V_1}{n_1}=\frac{V_2}{n_2} \]

這就是阿伏加德羅定律。

如果在保持壓力和溫度不變的情況下，把理想氣體的物質的量加倍，它的體積也會加倍。

為甚麼？加入粒子最初會增加碰撞頻率，因此令壓力增加。如果壓力必須保持不變，氣體就必須佔據更大的體積。

一個稍微有點荒謬的想像方式是：一群人在一個安靜的聚會中，而更多人不斷加入，但每個人都堅持維持相同的個人空間。如果人數加倍，房間大約也需要變成原來的兩倍大。

這個比喻並不完全成立，因為氣體粒子不會有意識地保持個人空間，而且真實粒子會透過分子間作用力彼此相互作用。真正有用的部分只是粒子數目與所需體積之間的比例關係。

10一條關係式可以處理多個條件同時改變

當兩個變數保持不變時，這些有名稱的氣體定律很有用。

但有時候會有超過兩個量同時改變。

由

\[ PV=nRT \]

開始，兩邊同除以 \(nT\)：

\[ \frac{PV}{nT}=R \]

對於兩個狀態，

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

這是理想氣體最一般的兩狀態關係式。

如果氣體的量沒有改變，\(n_1=n_2\)，所以 \(n\) 項可以消去：

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

這通常稱為綜合氣體定律。

11一個實用的判斷方法

在選擇方程式之前，先寫出哪些量改變，以及哪些量保持不變。

你不需要強迫每一道題都套用某一條有名稱的定律。先從實際物理條件出發，再把理想氣體定律簡化。

13為甚麼比例推理很有用

你往往可以在計算之前先預測變化的方向。

由

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

假設氣體的量保持不變。

如果溫度加倍，同時體積也加倍，

\[ P_2=P_1 \]

因為兩個變化互相抵消。

如果溫度加倍，而體積減半，

\[ P_2=4P_1 \]

因為溫度帶來一個 \(2\) 倍因子，而體積除以 \(2\) 又帶來另一個 \(2\) 倍因子。

這種思考方式在較困難的題目中特別有用。它讓你在進行任何算術運算之前，先估計答案應該落在哪個範圍。

14最常見的誤解：只追蹤一個變數

假設一個密封氣球被加熱。

學生可能會說：「溫度越高，壓力就越高。」

如果體積固定，這個預測是合理的。但氣球可以膨脹。

當氣體升溫時，壓力和體積都可能改變。最終結果取決於外部壓力、氣球的彈性，以及它膨脹了多少。

只有在體積和氣體的量保持不變時，\(P\propto T\) 才適用。

這是氣體定律中最大的陷阱：每一個比例關係背後都有隱含條件。

不要寫下

\[ P\propto T \]

之後就在腦中忘記「在體積和氣體的量保持不變時」這個條件。

15第二個陷阱：壓力必須是絕對壓力

在理想氣體定律中，壓力指的是絕對壓力。

壓力計通常顯示相對於大氣壓力的壓力。這稱為表壓。

如果輪胎壓力計顯示 \(220\ \text{kPa}\)，而大氣壓力為 \(101\ \text{kPa}\)，則絕對壓力約為

\[ P_{\text{absolute}} = 220+101 = 321\ \text{kPa} \]

如果 \(220\ \text{kPa}\) 是表壓，那麼在理想氣體計算中直接使用這個數值就是錯誤的。

氣體定律以真正的零壓力為基準，就像溫度關係需要以真正的零溫度為基準一樣。

16問題與解答

問題 1

某氣體在 \(120\ \text{kPa}\) 下佔有 \(3.00\ \text{L}\) 的體積。它在恆溫下被壓縮至 \(2.40\ \text{L}\)。氣體的量沒有改變。

計算最終壓力。

解答 1

最終壓力為

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

因為溫度和氣體的量保持不變，所以適用波以耳定律：

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

整理得

\[ P_2=\frac{P_1V_1}{V_2} \]

代入：

\[ P_2 = \frac{(120\ \text{kPa})(3.00\ \text{L})} {2.40\ \text{L}} = 150\ \text{kPa} \]

氣體被壓縮到較小的體積，因此壓力增加在物理上是合理的。

問題 2

某氣體在 \(15.0^{\circ}\text{C}\) 時佔有 \(850\ \text{mL}\) 的體積。它在恆壓下被加熱，直到溫度達到 \(45.0^{\circ}\text{C}\)。氣體的量保持不變。

計算最終體積。

有一名學生認為，由於 \(45\) 是 \(15\) 的三倍，因此最終體積應該是 \(2550\ \text{mL}\)。解釋這個錯誤。

解答 2

最終體積約為

\[ \boxed{939\ \text{mL}} \]

學生所提出的三倍關係是錯誤的，因為氣體定律中的溫度比必須使用開爾文，而不是攝氏度。

在壓力和氣體的量保持不變時，適用查理定律：

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

換算溫度：

\[ T_1=15.0+273.15=288.15\ \text{K} \]

\[ T_2=45.0+273.15=318.15\ \text{K} \]

整理：

\[ V_2=V_1\frac{T_2}{T_1} \]

代入：

\[ \begin{aligned} V_2 &=(850\ \text{mL}) \frac{318.15\ \text{K}}{288.15\ \text{K}} \\ &=939\ \text{mL} \end{aligned} \]

絕對溫度只上升了約 10.4%，因此體積也上升相同的百分比。

這個容易出現的誤解，是把 \(0^{\circ}\text{C}\) 當作熱能為零。事實並非如此。\(0^{\circ}\text{C}\) 等於 \(273.15\ \text{K}\)。

問題 3

一個剛性的 \(5.00\ \text{L}\) 容器內含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的理想氣體，溫度為 \(300\ \text{K}\)。

在把容器加熱至 \(360\ \text{K}\) 的同時，再加入 \(0.0500\ \text{mol}\) 的氣體。體積保持固定。

初始壓力為 \(99.8\ \text{kPa}\)。

在不先使用理想氣體常數的情況下，預測最終壓力會小於、等於還是大於 \(120\ \text{kPa}\)。然後計算最終壓力。

解答 3

最終壓力為

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

所以它大於 \(120\ \text{kPa}\)。

由於體積固定，

\[ P\propto nT \]

氣體的量由 \(0.200\ \text{mol}\) 增加至

\[ n_2=0.250\ \text{mol} \]

即增加了一個

\[ \frac{0.250}{0.200}=1.25 \]

倍的因子。

溫度增加了一個

\[ \frac{360}{300}=1.20 \]

倍的因子。

因此，壓力應增加

\[ 1.25\times1.20=1.50 \]

倍。

所以即使在精確計算之前，

\[ P_2=1.50P_1 \]

已經很明顯會大於 \(120\ \text{kPa}\)。

使用一般的兩狀態關係式，

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

消去沒有改變的體積，可得

\[ \frac{P_1}{n_1T_1} = \frac{P_2}{n_2T_2} \]

因此，

\[ P_2 = P_1 \frac{n_2T_2}{n_1T_1} \]

代入：

\[ \begin{aligned} P_2 &= (99.8\ \text{kPa}) \frac{(0.250\ \text{mol})(360\ \text{K})} {(0.200\ \text{mol})(300\ \text{K})} \\ &=149.7\ \text{kPa} \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{P_2\approx150\ \text{kPa}} \]

關鍵概念是，有兩種效應同時令壓力上升：粒子數目增加，而且這些粒子的平均動能也增加。

問題 4

兩個密封的剛性容器具有相同體積，並處於相同溫度。

容器 A 含有 \(0.40\ \text{mol}\) 的氦。容器 B 含有 \(0.40\ \text{mol}\) 的二氧化碳。

一名學生聲稱，容器 B 的壓力一定較高，因為二氧化碳分子的摩爾質量比氦原子大得多。

使用理想氣體模型，判斷這名學生是否正確，並從分子層面解釋原因。

解答 4

這名學生並不正確。根據理想氣體模型，兩個容器的壓力相同。

對每個容器而言，

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

\(n\)、\(R\)、\(T\) 和 \(V\) 的數值完全相同，因此計算所得的壓力也必須相同。

摩爾質量並沒有出現在理想氣體方程式中。

在相同溫度下，由於氦粒子較輕，氦原子的平均速率會高於二氧化碳分子。不過，一個高速運動的輕粒子在單次碰撞中造成的動量改變，會小於一個移動較慢但質量較大的粒子。

對理想氣體而言，這些效應結合起來，使具有相同物質的量、體積和溫度的氣體產生相同的壓力。

這個容易出現的誤解，是認為較重的分子一定會更「猛烈」地撞擊容器壁，所以一定產生較高壓力。這種想法只考慮了粒子的質量，卻沒有同時考慮在相同溫度下分子速率如何隨質量而改變。

問題 5

一個密封圓筒裝有一個無摩擦、可移動的活塞，內含理想氣體。初始狀態為

\[ P_1=100\ \text{kPa},\quad V_1=2.00\ \text{L},\quad T_1=300\ \text{K} \]

氣體被加熱至 \(450\ \text{K}\)。加熱期間，活塞向外移動，直到體積變為 \(3.00\ \text{L}\)。

一名學生說：「溫度增加了 50%，所以壓力也一定增加 50%。」

求最終壓力，並準確解釋為甚麼這個推理不成立。

解答 5

最終壓力為

\[ \boxed{100\ \text{kPa}} \]

所以壓力完全沒有增加。

氣體的量保持不變，但體積和溫度都有改變。因此，我們使用

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

整理得

\[ P_2 = P_1 \frac{V_1T_2}{T_1V_2} \]

代入：

\[ \begin{aligned} P_2 &= (100\ \text{kPa}) \frac{(2.00\ \text{L})(450\ \text{K})} {(300\ \text{K})(3.00\ \text{L})} \\ &=100\ \text{kPa} \end{aligned} \]

溫度增加了一個

\[ \frac{450}{300}=1.50 \]

倍的因子，

但體積也增加了一個

\[ \frac{3.00}{2.00}=1.50 \]

倍的因子。

由於對固定物質的量的氣體而言，

\[ P\propto \frac{T}{V} \]

所以這兩個因子恰好完全抵消。

這名學生使用了蓋-呂薩克關係 \(P\propto T\)，但這個關係要求體積保持不變。在這裡，活塞可以自由移動，所以體積並不固定。

問題 6

一份密封的理想氣體樣本起初處於 \(300\ \text{K}\)。

它在加熱的同時，體積被減小。變化後，它的壓力恰好變成原來的兩倍。

一名學生因此認為最終溫度一定是 \(600\ \text{K}\)。

這個結論合理嗎？如果不合理，推導最終溫度與最終體積之間的關係，並給出一個可能的最終狀態。

解答 6

這個結論並不合理，因為溫度和體積都發生了改變。僅僅知道壓力加倍，並不能告訴我們絕對溫度也加倍。

對固定物質的量的氣體，

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

已知

\[ P_2=2P_1 \]

而且

\[ T_1=300\ \text{K} \]

代入這些關係：

\[ \frac{P_1V_1}{300} = \frac{(2P_1)V_2}{T_2} \]

消去 \(P_1\)：

\[ \frac{V_1}{300} = \frac{2V_2}{T_2} \]

整理得

\[ T_2 = 600\frac{V_2}{V_1} \]

由於氣體被壓縮，

\[ V_2<V_1 \]

所以

\[ T_2<600\ \text{K} \]

一個可能的最終狀態是

\[ V_2=0.75V_1 \]

那麼

\[ T_2 = 600(0.75) = 450\ \text{K} \]

所以，一個可能的最終條件是

\[ \boxed{T_2=450\ \text{K},\quad V_2=0.75V_1} \]

而壓力則變為原來的兩倍。

最直觀的方法之所以失敗，是因為 \(P\propto T\) 只在體積保持不變時才成立。當多個變數同時改變時，就必須考慮完整的關係式。

17接下來可以延伸到甚麼

理想氣體定律不只是把四個變數連繫起來。它還提供了一種方法，把氣體的宏觀測量數據與其中所含物質的量連結起來。

一旦知道 \(n\)，你就可以把氣體測量值進一步連繫到摩爾質量、化學方程式、反應物質的量和化學平衡計算。真正值得保持的習慣仍然相同：先判斷哪些物理量正在改變，再判斷哪些量保持不變，最後才選擇方程式。