HSC 物理：臨界角與全內反射
學習如何計算臨界角、判斷何時會發生全內反射，以及避免常見的角度與折射率錯誤。
一束在玻璃內傳播的光線射到玻璃－空氣界面。當入射角為 \(40^\circ\) 時，有部分光能進入空氣。把角度增加到 \(45^\circ\)，突然間便沒有任何光射出。光線會反射回玻璃內。
因此，在這兩個角度之間的某個位置，光的行為發生了改變。這個臨界值是由甚麼決定的？
這個臨界值就是臨界角。它告訴你折射何時達到極限，以及全內反射何時開始。
01先從折射時會發生甚麼說起
假設光從玻璃進入空氣。玻璃的折射率比空氣高，因此光穿過界面時速度會增加。
那麼光線應該怎樣偏折？
它會偏離法線。
法線是一條與表面成 \(90^\circ\) 的假想直線。在光學中，角度是從這條法線量起，而不是從表面量起。
這一點很重要，因為斯涅爾定律使用的就是這些角度：
\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]
其中：
- \(n_1\) 是光最初所在介質的折射率
- \(n_2\) 是第二種介質的折射率
- \(\theta_1\) 是入射角
- \(\theta_2\) 是折射角
現在想像在兩種材料保持不變的情況下，逐漸增大 \(\theta_1\)。
由於光是從較高的 \(n\) 進入較低的 \(n\)，折射光線會愈來愈偏離法線。這表示 \(\theta_2\) 會持續增大。
但這裡有一個問題。\(\theta_2\) 最大可以有多大？
相對法線所能形成的最大角度是 \(90^\circ\)。到達這個角度時，折射光線會沿着界面本身傳播。
這就是臨界角出現的地方。
02臨界角實際上代表甚麼
臨界角 \(\theta_c\) 是指光在較高折射率介質中的某個入射角；在這個入射角下，折射光線的折射角為 \(90^\circ\)。
在臨界角時：
\[
\theta_1=\theta_c
\]
而且：
\[
\theta_2=90^\circ
\]
把這些代入斯涅爾定律：
\[
n_1\sin\theta_c=n_2\sin90^\circ
\]
由於 \(\sin90^\circ=1\)，
\[
n_1\sin\theta_c=n_2
\]
所以：
\[
\boxed{\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}}
\]
因此：
\[
\boxed{\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)}
\]
這條方程中隱含了一個重要條件：
\[
n_1>n_2
\]
只有當光從較高折射率進入較低折射率時，臨界角才存在。
光從空氣進入玻璃時，不可能在這個界面發生全內反射，因為它的傳播方向不符合條件。
03低於、等於和高於臨界角時會發生甚麼？
臨界角是一個臨界值，而不是全內反射已經開始發生的角度。
| 入射角 | 會發生甚麼？ |
|---|---|
| \(\theta_1<\theta_c\) | 光可以折射進入第二種介質。通常也會同時發生部分反射。 |
| \(\theta_1=\theta_c\) | 折射光線沿着界面傳播，與法線成 \(90^\circ\)。 |
| \(\theta_1>\theta_c\) | 發生全內反射。 |
中間那一列是常見的陷阱。
當入射角恰好等於臨界角時，折射光線仍然存在於這個模型中。只有當入射角大於臨界角時，才會發生全內反射。
例題：求玻璃的臨界角
一束光從折射率為 \(1.50\) 的玻璃進入折射率為 \(1.00\) 的空氣。計算臨界角。
步驟 1
光由 \(n_1=1.50\) 傳播至 \(n_2=1.00\)。
由於 \(1.50>1.00\)，光是從較高折射率進入較低折射率，因此有可能發生全內反射。
步驟 2
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
=\frac{1.00}{1.50}
=0.6667
\]
步驟 3
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.6667)=41.8^\circ
\]
所以：
\[
\boxed{\theta_c=41.8^\circ}
\]
這個結果表示，如果光線射到玻璃－空氣界面時相對法線的角度大於 \(41.8^\circ\)，便會發生全內反射。
按照理想光線模型，入射角為 \(40^\circ\) 的光線仍可以射出，而入射角為 \(45^\circ\) 的光線則不能。
04為甚麼會發生全內反射
我們可以用一個很有用的數學方法理解為甚麼折射會突然停止。
重新整理斯涅爾定律：
\[
\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1
\]
如果 \(n_1>n_2\)，那麼 \(n_1/n_2\) 這個因子便大於 1。
隨着 \(\theta_1\) 增大，計算得到的 \(\sin\theta_2\) 最終會達到 1。這正是在臨界角時發生的情況。
如果再進一步增大 \(\theta_1\)，方程便會要求：
\[
\sin\theta_2>1
\]
但不存在正弦值大於 1 的實數角度。
這並不表示斯涅爾定律神秘地失效了，而是表示不存在能夠滿足邊界條件的普通透射光線。在 HSC 的光線模型中，光會發生全內反射。
更完整的波動描述還包括一個延伸到第二種介質中的非常微弱電磁場，稱為倏逝場。計算 HSC 的臨界角並不需要知道這個細節，但值得了解的是，「全內反射」這個模型背後其實還有更深入的波動物理。
05全內反射的兩個條件
學生常常記得臨界角公式，卻忘記全內反射需要同時滿足兩個條件。
兩者都必須成立：
- 光必須從折射率較高的介質傳向折射率較低的介質。
- 入射角必須大於臨界角。
只有很大的入射角並不足夠。
例如，光從空氣以 \(80^\circ\) 的入射角進入玻璃時，不會發生全內反射。空氣的折射率較低，因此第一個條件不成立。
你可以把它想像成試圖經過一道有着奇怪而嚴格離場規則的門離開派對。就算你很誇張地以極大的角度走向門口，如果你其實是在進入派對，而不是離開派對，也沒有用。首先要看的是你在兩種介質之間移動的方向。
當然，這個比喻有其局限，因為光並不會「選擇」是否離開。真正的行為來自邊界上的電磁波。
06小心題目給的是哪一個角度
假設一幅圖說某條光線以 \(12^\circ\) 射向一個表面。
這個說法並不完整。這個 \(12^\circ\) 是從法線量起，還是從表面量起？
斯涅爾定律和臨界角所使用的角度，永遠都是相對法線的角度。
由於表面與法線互相垂直：
\[
\theta_{\text{法線}}=90^\circ-\theta_{\text{表面}}
\]
所以，一條與表面成 \(12^\circ\) 的光線，與法線所成的角度為：
\[
90^\circ-12^\circ=78^\circ
\]
這個差異可以完全改變是否會發生全內反射的判斷。
例題：光纖內的一束光線
一條光纖的纖芯折射率為 \(1.48\)，外面由折射率為 \(1.44\) 的包層包圍。纖芯內的一束光線到達纖芯－包層界面時，與界面表面成 \(12^\circ\)。判斷是否會發生全內反射。
步驟 1
光線與表面成 \(12^\circ\)，所以入射角為：
\[
\theta_1=90^\circ-12^\circ=78^\circ
\]
步驟 2
光線從折射率 \(n_1=1.48\) 的纖芯傳向折射率 \(n_2=1.44\) 的包層。
由於：
\[
1.48>1.44
\]
因此存在臨界角。
步驟 3
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
=\frac{1.44}{1.48}
=0.9730
\]
因此：
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.9730)=76.7^\circ
\]
步驟 4
\[
78^\circ>76.7^\circ
\]
因此：
\[
\boxed{\text{發生全內反射}}
\]
這束光線只比臨界角大約 \(1.3^\circ\)。如果你錯誤地把題目給出的 \(12^\circ\) 當作入射角，便會得出完全相反的判斷。
07改變材料會如何改變臨界角
再看看：
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
\]
假設 \(n_1\) 保持不變，而 \(n_2\) 增加。
預測一下 \(\theta_c\) 會怎樣改變。
分數 \(n_2/n_1\) 會變大，所以 \(\sin\theta_c\) 也會變大。因此，臨界角也會增大。
這表示能夠發生全內反射的入射角範圍會縮小。
例如，如果臨界角由 \(40^\circ\) 增加到 \(70^\circ\)，一束入射角為 \(60^\circ\) 的光線便會由原本發生全內反射，變成能夠折射出去。
這裡有一個很有用的極限情況。想像 \(n_2\) 愈來愈接近 \(n_1\)：
\[
\frac{n_2}{n_1}\rightarrow1
\]
所以：
\[
\theta_c\rightarrow90^\circ
\]
大於臨界角的角度範圍會逐漸縮小至零。
如果兩種材料的折射率變得相同，那麼它們之間便不存在有實際意義的折射界面，也不會因該界面而產生全內反射。
08最容易令人誤解的概念
學生可能會說：
「如果光到達臨界角，就會完全反射。」
這聽起來似乎合理，因為「臨界角」這個名稱很容易讓人以為它就是全內反射開始的那一點。
但準確的臨界條件十分重要：
- 低於 \(\theta_c\)：可以發生折射
- 等於 \(\theta_c\)：折射光線的角度為 \(90^\circ\)
- 高於 \(\theta_c\)：發生全內反射
另一個很容易犯的錯誤，是在檢查光線從哪種介質出發之前，就先把入射角與臨界角比較。一定要先檢查折射率。
一個可靠的判斷流程是：
- 找出 \(n_1\)，即光正在其中傳播的介質。
- 找出 \(n_2\)，即光即將進入的介質。
- 檢查是否有 \(n_1>n_2\)。
- 如果有，計算 \(\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)\)。
- 確認入射角是從法線量起。
- 比較 \(\theta_1\) 與 \(\theta_c\)。
09問題與解答
問題 1
光在折射率為 \(1.33\) 的水中傳播，並射向折射率為 \(1.00\) 的空氣界面。
計算臨界角。入射角為 \(50.0^\circ\) 的光線會發生全內反射嗎？
解答 1
臨界角為 \(48.8^\circ\)，所以入射角為 \(50.0^\circ\) 的光線會發生全內反射。
光從較高折射率傳向較低折射率，因為：
\[
1.33>1.00
\]
所以臨界角存在。
使用：
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
\]
得到：
\[
\sin\theta_c=\frac{1.00}{1.33}=0.7519
\]
因此：
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.7519)=48.8^\circ
\]
實際入射角為：
\[
50.0^\circ>48.8^\circ
\]
所以光線高於臨界值：
\[
\boxed{\text{發生全內反射}}
\]
重要的是，要比較從法線量起的角度。
問題 2
一束光從折射率為 \(1.52\) 的玻璃進入折射率為 \(1.33\) 的水。入射角為 \(58.0^\circ\)。
判斷是否會發生全內反射。如果不會，計算折射角。
解答 2
不會發生全內反射。光線會折射進入水中，折射角約為相對法線 \(75.6^\circ\)。
先計算臨界角：
\[
\sin\theta_c=\frac{1.33}{1.52}=0.8750
\]
所以：
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.8750)=61.0^\circ
\]
入射角只有 \(58.0^\circ\)：
\[
58.0^\circ<61.0^\circ
\]
因此，光線尚未達到臨界角。
使用斯涅爾定律求折射角：
\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]
代入：
\[
1.52\sin58.0^\circ=1.33\sin\theta_2
\]
所以：
\[
\sin\theta_2
=\frac{1.52\sin58.0^\circ}{1.33}
\approx0.969
\]
因此：
\[
\theta_2\approx75.6^\circ
\]
所以：
\[
\boxed{\theta_2\approx75.6^\circ}
\]
這個很大的折射角是合理的。光正從較高折射率進入較低折射率，因此會偏離法線，而且已經相當接近定義臨界角的 \(90^\circ\) 條件。
問題 3
一種透明固體的折射率為 \(1.62\)。當它與一種未知液體接觸時，測得固體－液體界面的臨界角為 \(57.0^\circ\)。
計算該液體的折射率。並說明當一束光以恰好 \(57.0^\circ\) 的入射角射到界面時會發生甚麼。
解答 3
該液體的折射率約為 \(1.36\)。當入射角恰好為 \(57.0^\circ\) 時，折射光線會沿着界面傳播，因此尚未發生全內反射。
由以下公式開始：
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
\]
整理公式以求 \(n_2\)：
\[
n_2=n_1\sin\theta_c
\]
代入：
\[
n_2=1.62\sin57.0^\circ
\]
\[
n_2\approx1.36
\]
因此：
\[
\boxed{n_2\approx1.36}
\]
在臨界角時：
\[
\theta_2=90^\circ
\]
所以透射光線會沿着界面傳播。
陷阱在於把臨界角本身誤認為會發生全內反射的角度。只有當入射角大於 \(57.0^\circ\) 時，才會發生全內反射。
問題 4
一名學生聲稱：
「如果第二種介質的折射率增加，而第一種介質保持不變，全內反射會更容易發生，因為第二種介質會令光線偏折得更厲害。」
這名學生的結論正確嗎？使用臨界角方程解釋，並描述當 \(n_2\) 接近 \(n_1\) 時會發生甚麼。
解答 4
這個結論不正確。增加 \(n_2\) 會令臨界角增大，因此能發生全內反射的入射角範圍會縮小。
對於從 \(n_1\) 傳向較低折射率 \(n_2\) 的光：
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
\]
如果 \(n_1\) 保持不變而 \(n_2\) 增加，那麼 \(n_2/n_1\) 也會增加。
因此：
\[
\sin\theta_c\text{ 增加}
\]
所以：
\[
\theta_c\text{ 增加}
\]
全內反射要求：
\[
\theta_1>\theta_c
\]
因此，增加臨界角會使這個條件更難滿足。
當 \(n_2\) 接近 \(n_1\) 時：
\[
\frac{n_2}{n_1}\rightarrow1
\]
因此：
\[
\theta_c\rightarrow90^\circ
\]
所以，高於臨界角的可用入射角範圍會趨近於零。
學生所說的「令光線偏折得更厲害」掩蓋了真正重要的一點。關鍵在於兩個折射率的比值，以及這個比值如何決定可能達到的最大折射角。
問題 5
一束光在折射率為 \(1.60\) 的透明平板內傳播。它到達上表面時，與表面本身成 \(25.0^\circ\)。
最初，平板上方是折射率為 \(1.00\) 的空氣。
- 判斷是否會發生全內反射。
- 把空氣換成折射率為 \(1.40\) 的液體。判斷是否仍會發生全內反射。
- 計算在同一束光線的情況下，能夠防止全內反射的液體最小折射率。
解答 5
無論上方是空氣還是 \(n=1.40\) 的液體，這束光線都會發生全內反射。要防止這束光線發生全內反射，液體的折射率至少需要約為 \(1.45\)。
首先要留意隱藏的角度問題。題目給出的 \(25.0^\circ\) 是從表面量起，而不是從法線量起。
因此，入射角為：
\[
\theta_1=90.0^\circ-25.0^\circ=65.0^\circ
\]
第 1 部分，當上方是空氣時：
\[
\sin\theta_c=\frac{1.00}{1.60}=0.625
\]
所以：
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.625)=38.7^\circ
\]
由於：
\[
65.0^\circ>38.7^\circ
\]
光線會發生全內反射。
第 2 部分，把空氣換成折射率為 \(1.40\) 的液體：
\[
\sin\theta_c=\frac{1.40}{1.60}=0.875
\]
所以：
\[
\theta_c=\sin^{-1}(0.875)=61.0^\circ
\]
光線的入射角仍然是 \(65.0^\circ\)，所以：
\[
65.0^\circ>61.0^\circ
\]
因此仍會發生全內反射。
第 3 部分，防止全內反射的臨界情況是這束光線恰好處於臨界角：
\[
\theta_c=65.0^\circ
\]
使用：
\[
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}
\]
得到：
\[
n_2=n_1\sin\theta_c
\]
代入：
\[
n_2=1.60\sin65.0^\circ
\]
\[
n_2\approx1.45
\]
因此：
\[
\boxed{n_2\approx1.45}
\]
當第二種介質的折射率 \(n_2\geq1.45\) 時，臨界角至少為 \(65.0^\circ\)，所以這一束特定光線便不再高於臨界角。
這道題揭示了兩個很容易犯的錯誤：直接使用相對表面的角度而沒有先轉換，以及假設只要把空氣換成任何折射率較低的材料，就一定仍會發生全內反射。
10接下來你可以理解甚麼
臨界角給出了折射與全內反射之間的分界。這正是利用光纖和其他透明結構引導光線的關鍵概念。
下一步是把光纖內光線的傳播方向，與它在纖芯－包層界面的入射角聯繫起來。一旦你能做到這一點，就可以預測哪些光線會被限制在光纖內、哪些會逸出，以及為甚麼纖芯與包層折射率的選擇十分重要。