衛星改變軌道時的能量變化：HSC 物理

一次引擎點火把衛星提升到更高的圓形軌道。當衛星穩定在該軌道後，它的運動速度反而比之前慢。那麼，引擎究竟是增加了能量，還是移除了能量？

在繼續閱讀前先預測一下。很容易會認為，既然衛星的動能下降，它就失去了能量。但事實正好相反。位於較高圓形軌道上的衛星，總軌道能量更大，即使它的動能較小。

要理解原因，就必須把三種能量清楚區分：重力勢能、動能和總機械能。

01為甚麼較高的軌道可以有較低的速度

想像地球位於一個重力勢阱的底部。靠近地球的衛星處於這個勢阱較深的位置。把衛星移得更遠，它便爬到勢阱較淺的位置，因此它的重力勢能增加。

這個圖像很有幫助，但地球周圍並不真的存在一個碗狀結構。質量為 \(m\) 的衛星，距離一個質量大得多的中心天體 \(M\) 的中心為 \(r\) 時，其精確重力勢能為

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力勢能，單位為焦耳 \(\mathrm{J}\)，
• \(G\) 是萬有引力常數，\(6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)，
• \(M\) 是中心天體的質量，單位為公斤，
• \(m\) 是衛星的質量，單位為公斤，而
• \(r\) 是兩者中心之間的距離，單位為米。

負號經常令人困惑。重力勢能的零點定義在兩個物體相距無限遠的位置。因此，被地球束縛的衛星有 \(U<0\)。

可以把它想像成一個透支的銀行戶口。從 \(-100\) 元變成 \(-60\) 元，是增加了 \(40\) 元，即使餘額仍然是負數。同樣地，遠離地球會使 \(U\) 變得較不負，也就是說 \(U\) 增加了。銀行戶口的比喻只用來幫助理解正負號；重力勢能仍然嚴格遵循上面的反 \(r\) 方程。

如想更完整理解負號以及零點的選擇，可參閱徑向場中的重力勢能。

現在考慮衛星的速度。

對於圓形軌道，重力提供所需的向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

約去 \(m\) 和一個 \(r\) 因子後，

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

因此

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

這在進行任何能量計算之前已告訴我們一件重要的事：當圓形軌道半徑增加時，軌道速度會下降。

這個結果在軌道速度：推導與計算中有更詳細的說明。

02圓形軌道的總能量

動能為

\[ K=\frac{1}{2}mv^2 \]

對圓形軌道代入 \(v^2=GM/r\)：

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

總軌道機械能為

\[ E=K+U \]

所以

\[ E=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r} =-\frac{GMm}{2r} \]

因此，任何圓形軌道都有以下三個有用關係：

\[ U=-\frac{GMm}{r},\qquad K=\frac{GMm}{2r},\qquad E=-\frac{GMm}{2r} \]

所以，

\[ U=-2K \]

以及

\[ E=-K=\frac{U}{2} \]

這些關係只保證適用於圓形軌道。不要在橢圓轉移軌道上的任意一點自動套用它們。

圓形軌道的這個規律，最好作為一個互相關聯的整體概念來理解，而不是死記四個彼此獨立的事實。

那麼，當衛星被提升到更高位置時，加入的能量去了哪裏？

對兩個圓形軌道而言，\(U=-2K\)。重力勢能的增加量，是動能減少量的兩倍。剩餘的增加量就表現為總機械能的增加。

只看速度的論證，正正漏掉了這一點。

03計算兩個圓形軌道之間的能量變化

假設衛星最初位於半徑為 \(r_i\) 的圓形軌道，最後位於另一個半徑為 \(r_f\) 的圓形軌道。

它的初始能量為

\[ E_i=-\frac{GMm}{2r_i} \]

最後能量為

\[ E_f=-\frac{GMm}{2r_f} \]

因此，

\[ \Delta E=E_f-E_i \]

得到

\[ \Delta E = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

正負號會告訴你能量轉移的方向。

• 如果 \(r_f>r_i\)，那麼 \(\Delta E>0\)。軌道能量增加了。
• 如果 \(r_f<r_i\)，那麼 \(\Delta E<0\)。軌道能量減少了。

這裏所說的軌道「能級」，只是指與某條軌道相對應的機械能。這些並不是離散的量子能級。

不要把高度當成 \(r\)

這是最容易失分的錯誤之一。

如果一顆衛星位於地球表面上方 \(400\,\mathrm{km}\)，它的軌道半徑並不是 \(400\,\mathrm{km}\)。你需要的是從地心量起的距離：

\[ r=R_E+h \]

其中 \(R_E\) 是地球半徑，而 \(h\) 是衛星的高度。

以下例子會使用

\[ R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m} \]

以及

\[ GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}} \]

其中 \(M_E\) 是地球的質量。

04軌道改變期間實際發生了甚麼？

\(\Delta E\) 的方程比較的是初始和最終的圓形軌道狀態。它並不表示衛星會以某種方式直接從一個圓形軌道「跳」到另一個圓形軌道。

考慮一種常見的兩次點火轉移：從較低的圓形軌道轉移到較高的圓形軌道。

在較低軌道上，衛星首先沿着原本的運動方向點燃引擎。這稱為順行點火。

在一次短暫點火期間，我們通常近似認為衛星的位置不變。這表示 \(r\)，因此 \(U\)，在點火期間幾乎沒有改變。即時效果是速度、動能和總機械能增加。

這時，衛星移動得太快，無法繼續停留在原本的圓形路徑上。它進入一條轉移軌道，並開始遠離地球。

引擎關閉後會發生甚麼？

繼續之前先預測一下。衛星愈升愈高，它的總能量會不會因此繼續增加？

不會。在引擎關閉的滑行階段，重力是保守力，因此總機械能保持不變。當衛星向外移動時：

• \(U\) 增加，
• \(K\) 減少，
• \(E\) 保持不變，而
• 衛星減速。

在轉移軌道的最高點，另一次順行點火可以把衛星的速度提高到足以使軌道圓化。第二次點火再次增加 \(K\) 和 \(E\)。

這裏有一個看似矛盾的現象：

衛星在兩次點火時都會加速，但它最終在較高圓形軌道上的速度，仍然可能低於它原先在較低圓形軌道上的速度。

這並不矛盾。點火期間的比較，和初末狀態之間的比較，是兩種不同的比較。

05降低軌道會產生看似相反的悖論

假設衛星由較高的圓形軌道移到較低的圓形軌道。

它最後的圓形軌道速度會較大：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

較小的 \(r\) 意味着較大的 \(v\)。

然而，衛星的總機械能必須下降，因為

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

會隨着 \(r\) 減少而變得更負。

典型的轉移會先進行一次逆行點火，也就是引擎降低衛星的速度。這會降低它的動能和總機械能。

衛星接着向內墜落。在這段引擎關閉的過程中，總能量保持不變，但重力勢能下降，而動能增加。重力使衛星加速。

之後可再進行一次逆行點火，使較低的軌道圓化。

因此，一顆衛星最後可以移動得更快，即使它的引擎整體上移除了軌道機械能。

06圓形軌道能量公式並不適用於軌道上的每一點

方程

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

含有 \(r\)，但這並不表示只要衛星恰好位於距離 \(r\) 的位置，你就可以使用它。

它是利用圓形軌道條件

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

推導出來的，所以只有當衛星確實位於半徑為 \(r\) 的圓形軌道時才適用。

在橢圓轉移軌道上，如果你知道衛星的速度和位置，就應使用一般機械能公式：

\[ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \]

這個區別在轉移軌道的最高點和最低點尤其重要。衛星可以在某一瞬間位於與某條圓形軌道完全相同的半徑，但它的速度卻不符合該圓形軌道所需的速度。

單憑半徑並不能確定軌道。

07實用判斷規則

遇到軌道能量問題時，首先判斷衛星實際處於甚麼狀態。

還有一個值得區分的概念。衛星軌道機械能的改變，並不等同於火箭所消耗的化學能。

例如，如果

\[ \Delta E=+3.0\times10^9\,\mathrm{J} \]

那麼衛星-地球軌道系統增加了 \(3.0\,\mathrm{GJ}\) 的機械能。真實的推進系統也會把能量傳給廢氣、熱以及其他形式。因此，你不能直接由 \(\Delta E\) 推斷燃料消耗量。

一般的 HSC 模型亦假設中心天體的質量遠大於衛星，忽略大氣阻力和其他天體的影響，並把短暫點火視為實際上瞬時完成。

08問題與解答

問題 1

一顆 \(600\,\mathrm{kg}\) 的衛星，由地球表面上方 \(400\,\mathrm{km}\) 的圓形軌道提升到另一條位於地球表面上方 \(1000\,\mathrm{km}\) 的圓形軌道。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m}\) 以及 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

計算衛星總軌道機械能的變化，並指出能量是增加了還是減少了。

解答 1

衛星的總軌道機械能增加 \(1.44\times10^9\,\mathrm{J}\)，所以軌道能量增加了。

首先把高度轉換成距離地心的距離：

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+0.400\times10^6 =6.77\times10^6\,\mathrm{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\,\mathrm{m} \end{aligned} \]

對圓形軌道的初末狀態，

\[ \Delta E = \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} \Delta E &= \frac{(3.99\times10^{14})(600)}{2} \left( \frac{1}{6.77\times10^6} - \frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=1.44\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

一個很容易犯的錯誤，是直接把 \(400\,\mathrm{km}\) 和 \(1000\,\mathrm{km}\) 當作 \(r\)。重力方程要求使用距離地心的距離，而不是離地表的高度。

最後的圓形軌道速度比初始速度低，但衛星重力勢能的增加量大於動能的減少量。因此，它的總機械能增加。

問題 2

一顆 \(1000\,\mathrm{kg}\) 的衛星，最初位於半徑 \(8.00\times10^6\,\mathrm{m}\) 的地球圓形軌道。一次短暫的順行點火，使它的速度增加 \(5.0\%\)，而它距離地心的距離實際上保持不變。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

求：

• 點火前和剛點火後的速度，
• 點火期間軌道機械能的變化，
• 點火後一刻它是否仍受重力束縛，以及
• 之後引擎關閉並向外滑行時，\(K\)、\(U\) 和 \(E\) 如何變化。

解答 2

速度由 \(7.06\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 增加至 \(7.42\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，點火增加了 \(2.56\times10^9\,\mathrm{J}\) 的軌道機械能，而衛星仍然受重力束縛。在向外滑行期間，\(K\) 減少、\(U\) 增加，而 \(E\) 保持不變。

初始圓形軌道速度為

\[ \begin{aligned} v_i &=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &=\sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{8.00\times10^6}}\\ &=7.06\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

增加 \(5.0\%\) 後，

\[ v_f=1.05v_i =7.42\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

由於點火時間很短，\(r\) 基本不變。因此重力勢能在點火期間沒有明顯改變，所以

\[ \Delta E=\Delta K \]

而

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\frac12m(v_f^2-v_i^2)\\ &=\frac12(1000) \left[ (7.415\times10^3)^2-(7.062\times10^3)^2 \right]\\ &=2.56\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

點火前，圓形軌道能量為

\[ E_i = -\frac{GM_Em}{2r} = -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(8.00\times10^6)} = -2.49\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

因此，

\[ E_{\text{after}} = -2.49\times10^{10} + 2.56\times10^9 = -2.24\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

總能量仍然是負數，所以衛星仍受重力束縛。

一個很容易出現的論證是：既然衛星上升時勢能增加，它一定會繼續增加總能量。被忽略的限制條件是，此時引擎已經關閉。重力是保守力，因此總機械能保持固定。\(U\) 的增加來自 \(K\) 的減少。

問題 3

一顆 \(900\,\mathrm{kg}\) 的衛星，由半徑 \(1.20\times10^7\,\mathrm{m}\) 的地球圓形軌道移到半徑 \(7.00\times10^6\,\mathrm{m}\) 的較低圓形軌道。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

計算：

• \(\Delta U\)，
• \(\Delta K\)，
• \(\Delta E\)，以及
• 初始和最終的圓形軌道速度。

任務報告指出，推進系統在機動過程中移除了軌道機械能，即使衛星最後的速度更高。解釋為甚麼這兩個敘述可以同時正確。

解答 3

衛星失去 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) 的總軌道機械能，而其動能增加相同的數值。它的速度由 \(5.77\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 增加至 \(7.55\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，原因是重力勢能下降了 \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。

對重力勢能，

\[ \begin{aligned} \Delta U &= -\frac{GM_Em}{r_f} +\frac{GM_Em}{r_i}\\ &= (3.99\times10^{14})(900) \left( \frac{1}{1.20\times10^7} - \frac{1}{7.00\times10^6} \right)\\ &=-2.14\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

對圓形軌道，

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta K &= \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_f}-\frac{1}{r_i} \right)\\ &=+1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\Delta K+\Delta U\\ &= 1.07\times10^{10} - 2.14\times10^{10}\\ &=-1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

現在比較圓形軌道速度：

\[ \begin{aligned} v_i &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.20\times10^7}} = 5.77\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ v_f &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{7.00\times10^6}} = 7.55\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

很容易誤以為動能就代表衛星全部的能量。事實並非如此。

當衛星向內移動時，它的重力勢能下降 \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。動能只增加 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。餘下的 \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) 對應於總機械能的下降。

因此，較低的圓形軌道可以同時具有較大的動能和較小的總機械能。

問題 4

一顆 \(1000\,\mathrm{kg}\) 的衛星到達一條橢圓轉移軌道的最高點，當時距離地心 \(1.40\times10^7\,\mathrm{m}\)。在那一瞬間，它的速度方向為切向，大小為 \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。

一名學生把 \(r=1.40\times10^7\,\mathrm{m}\) 代入

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

並聲稱這就是衛星當前的總能量。

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)：

• 計算衛星實際的總機械能，
• 計算相同半徑下圓形軌道的總能量，
• 判斷要在該位置把軌道圓化，所需點火的方向，以及
• 計算所需增加的軌道機械能。

解答 4

學生的方法無效：衛星的實際能量為 \(-2.05\times10^{10}\,\mathrm{J}\)，而在相同半徑上的圓形軌道能量為 \(-1.43\times10^{10}\,\mathrm{J}\)。因此，順行圓化點火必須增加 \(6.25\times10^9\,\mathrm{J}\) 的軌道機械能。

衛星尚未處於圓形軌道，因此使用一般公式

\[ E=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r} \]

它的動能為

\[ \begin{aligned} K &=\frac12(1000)(4.00\times10^3)^2\\ &=8.00\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

它的重力勢能為

\[ \begin{aligned} U &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {1.40\times10^7}\\ &=-2.85\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ E_{\text{transfer}} = 8.00\times10^9-2.85\times10^{10} = -2.05\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

在這個半徑上，圓形軌道的能量為

\[ \begin{aligned} E_{\text{circ}} &= -\frac{GM_Em}{2r}\\ &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(1.40\times10^7)}\\ &=-1.425\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

圓形軌道速度應為

\[ \begin{aligned} v_{\text{circ}} &= \sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.40\times10^7}}\\ &=5.34\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

衛星目前只有 \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，因此它必須加速。所需的是順行點火。

所需增加的機械能為

\[ \begin{aligned} \Delta E &= E_{\text{circ}}-E_{\text{transfer}}\\ &= -1.425\times10^{10} - (-2.05\times10^{10})\\ &=6.25\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

很容易誤以為只要知道 \(r\)，就能自動決定軌道能量。只有在你同時知道軌道為圓形時才可以。圓形軌道能量公式包含一個隱含條件：速度必須滿足 \(v^2=GM/r\)。

在這條轉移軌道的最高點，衛星位於正確的半徑，但移動得太慢，不能維持圓形軌道。這就是為甚麼需要再進行一次點火。

問題 5

在距離地心

\[ r=1.00\times10^7\,\mathrm{m} \]

的位置，一顆衛星被量得其總軌道機械能恰好等於該半徑上圓形軌道的能量：

\[ E=-\frac{GM_Em}{2r} \]

然而，追蹤數據顯示它的速度具有一個向外的徑向分量：

\[ v_r=2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

使用 \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\)。

求：

• 衛星的總速度，
• 它的切向速度，
• 它是否真的處於圓形軌道，
• 要使它在相同半徑上進入圓形軌道，理想瞬時速度改變的大小，以及
• 相應的軌道機械能變化。

解釋為甚麼即使軌道機械能沒有改變，仍可以出現非零的速度改變。

解答 5

衛星並不處於圓形軌道。它的總速度為 \(6.32\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，切向分量為 \(5.99\,\mathrm{km\,s^{-1}}\)，而大小約 \(2.03\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) 的理想速度改變，可以在軌道機械能淨變化為零的情況下使軌道圓化。

由量得的能量開始：

\[ \frac12mv^2-\frac{GM_Em}{r} = -\frac{GM_Em}{2r} \]

把勢能項移到等式另一邊：

\[ \frac12mv^2 = \frac{GM_Em}{2r} \]

所以

\[ v^2=\frac{GM_E}{r} \]

因此，

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.00\times10^7}}\\ &=6.32\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

這正好等於該半徑上的圓形軌道速度大小。

很容易在這裏產生一個錯誤論證：半徑正確、總能量正確，而且速度大小也正確，似乎就能保證這是一條圓形軌道。

其實不能。

圓形軌道還要求速度完全沿切向。這顆衛星有一個向外的徑向速度分量 \(2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。

徑向和切向分量互相垂直，所以

\[ v^2=v_r^2+v_t^2 \]

因此，

\[ \begin{aligned} v_t &= \sqrt{v^2-v_r^2}\\ &= \sqrt{ (6.316\times10^3)^2 - (2.00\times10^3)^2 }\\ &=5.99\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

若要在這個半徑立即把軌道圓化，最終速度必須滿足

\[ v_{r,f}=0 \]

以及

\[ v_{t,f}=6.316\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

因此，兩個分量所需的改變分別為

\[ \Delta v_r=-2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

以及

\[ \Delta v_t = 6.316\times10^3-5.992\times10^3 = 0.325\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

所需速度改變的大小為

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &= \sqrt{(\Delta v_r)^2+(\Delta v_t)^2}\\ &= \sqrt{ (2.00\times10^3)^2 + (0.325\times10^3)^2 }\\ &=2.03\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

然而，軌道機械能的變化為

\[ \Delta E=0 \]

為甚麼？

在理想化點火的開始和結束時，衛星都位於相同半徑，因此它的重力勢能沒有改變。它的初始和最終速度大小亦相同，所以動能沒有改變。

點火改變的是速度向量的方向，而不是其整體大小。

這揭示了只使用能量的一項重要限制。機械能是標量。它可以告訴你某個狀態具有多少能量，但不包含運動方向。兩個軌道狀態可以具有相同的 \(r\)、相同的速度大小以及相同的總能量，但速度方向不同，因此軌跡也不同。

真實的火箭仍然需要消耗推進劑來產生所需的衝量。衛星的軌道機械能變化為零，並不表示燃料消耗為零。

09掌握這個概念後可以進一步做甚麼

當你能夠清楚區分 \(K\)、\(U\) 和 \(E\) 後，軌道轉移就會容易理解得多。

對圓形軌道而言，關鍵關係是

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

較高的圓形軌道具有較大的總能量，但較小的動能。較低的圓形軌道具有較小的總能量，但較大的動能。在引擎關閉的轉移階段，總機械能保持不變，而動能和重力勢能彼此轉換。

下一個重要界線是 \(E=0\)。圓形軌道和橢圓形的束縛軌道都有負的總能量。加入足夠的能量，使總能量達到零，衛星便到達逃離中心天體重力場的臨界狀態，而不是移到另一個受束縛的軌道能級。