弦上的駐波：諧波與波速

撥動一條繃緊的弦，你會聽到一個主要音高，儘管理論上這條弦可以用無數種不同方式振動。把弦縮短，音高會升高。把弦拉得更緊，音高又會升高。讓弦變得更重，音高則會降低。

但更有意思的問題是：為甚麼只有某些頻率是允許的？ 為甚麼一條兩端固定的弦不能在你任意選擇的任何頻率下形成穩定的駐波？

答案來自波如何配合兩個邊界之間的空間。只要理解了這種幾何關係，弦長、張力、質量密度和波速的影響就會自然地連繫起來。

01為甚麼只有某些駐波能夠形成

想像你沿著一條兩端固定的弦發出一個脈衝。脈衝傳到弦的一端，反射後再傳回來。如果波持續向兩個方向傳播，它們便會互相重疊。

在某些頻率下，這種干涉會形成一種穩定的圖樣，稱為駐波。某些點保持不動，這些點稱為節點。相鄰節點之間，有些點以最大振幅振動，這些點稱為波腹。

固定的兩端帶來一項重要限制：

兩端都必須是節點。

現在先作一個預測。假設弦長為 \(L\)。如果從弦的一端到另一端的距離是 \(0.73\lambda\)，其中 \(\lambda\) 是波長，駐波能夠形成嗎？

不能。固定端必須剛好位於節點，而相鄰節點之間的距離是半個波長。因此，弦長必須包含整數個半波長。

對於最簡單的圖樣，剛好容納一個半波長：

\[
L=\frac{\lambda_1}{2}
\]

所以

\[
\lambda_1=2L
\]

對於下一個圖樣，剛好容納兩個半波長：

\[
L=2\left(\frac{\lambda_2}{2}\right)=\lambda_2
\]

對於第三個圖樣，剛好容納三個半波長：

\[
L=3\left(\frac{\lambda_3}{2}\right)
\]

所以

\[
\lambda_3=\frac{2L}{3}
\]

一般規則是

\[
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\]

其中：

• \(\lambda_n\) 是第 \(n\) 個允許模態的波長，單位為米
• \(L\) 是弦的振動長度，單位為米
• \(n\) 是正整數：\(1,2,3,\ldots\)

這個整數條件非常重要。對於兩端固定的弦，像 \(n=2.4\) 這樣的數值並不代表一個允許的駐波模態。

02基頻與諧波

\(n=1\) 的模態稱為基頻，也稱為第一諧波。

較大的 \(n\) 值對應較高次的諧波。

一個很有用的想像方法，是把它看成要把完全相同的半波「波環」塞進弦中。弦的兩端就像兩名極其嚴格的門衛：每個入口都必須站著一個節點。你可以放入一個波環、兩個波環、三個波環，如此類推，但不能放入兩個再多一點。

這個圖像有助於理解幾何關係。但如果把這些波環想成彼此分離的物體，這個比喻就不再適用。弦是一個連續的整體，而駐波是由沿相反方向傳播的行波互相干涉所形成的。

03把波長轉換成頻率

你已經知道波動方程：

\[
v=f\lambda
\]

其中 \(v\) 是以米每秒表示的波速，\(f\) 是以赫茲表示的頻率，而 \(\lambda\) 是以米表示的波長。

對於第 \(n\) 次諧波，

\[
f_n=\frac{v}{\lambda_n}
\]

而我們剛才已得出

\[
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\]

因此，

\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]

這是兩端固定弦的第一條主要駐波方程。

它立即告訴我們，如果波速和弦長保持不變，

\[
f_n=nf_1
\]

其中

\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]

所以，第二諧波的頻率是基頻的兩倍，第三諧波是基頻的三倍，如此類推。

一個很容易出現的誤解：較高次諧波代表較高的波速

第三諧波的頻率是基頻的三倍。這是否代表波的傳播速度也是三倍？

不是。

在同一條弦上，只要張力和線質量密度相同，每一個諧波的波速都相同。第三諧波的頻率是三倍，是因為它的波長縮小至三分之一：

\[
v=f\lambda
\]

頻率以某個倍數增加，而波長則以相同倍數縮短，所以 \(v\) 保持不變。

04甚麼決定波速？

現在我們需要知道 \(v\) 是由甚麼決定的。

對於理想的繃緊弦，

\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

其中：

• \(v\) 是橫波波速，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(T\) 是弦的張力，單位為牛頓
• \(\mu\) 是線質量密度，單位為 \(\text{kg m}^{-1}\)

線質量密度的意思是每單位長度的質量：

\[
\mu=\frac{m}{L}
\]

對於一段均勻、質量為 \(m\)、長度為 \(L\) 的弦，就是如此。

要小心這裡的「密度」一詞。\(\mu\) 並不是以 \(\text{kg m}^{-3}\) 表示的一般體積密度。它表示每一米弦中包含多少質量。

即使在計算之前，波速方程背後的物理意義也很合理。

較大的張力會在弦偏離平衡位置時提供較強的回復力，因此擾動會傳播得更快。

較大的線質量密度代表需要被加速的質量更多，因此擾動會傳播得較慢。

把

\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]

與

\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

結合，可得關鍵結果：

\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

這一條方程把允許的諧波與諧波次數、弦長、張力、線質量密度及波速連繫起來。

05不用計算也能讀懂方程

在拿起計算機之前，你應該已經能預測頻率會如何改變。

由

\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

可得：

這裡有一個重要的預測問題。

如果你把張力加倍，頻率也會加倍嗎？

這聽起來似乎合理。較大的張力代表波傳得更快，所以或許兩倍張力就代表兩倍頻率。

但張力位於平方根之內：

\[
f\propto\sqrt{T}
\]

把張力加倍，只會令頻率乘上

\[
\sqrt{2}\approx1.41
\]

而不是乘上 \(2\)。

如果只靠改變張力來把頻率加倍，你需要把張力增加至原來的四倍。

08改變弦長

由

\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

可知，當 \(n\)、\(T\) 和 \(\mu\) 保持不變時，頻率與長度成反比：

\[
f_n\propto\frac{1}{L}
\]

因此，把振動長度減半，所有允許頻率都會加倍。

這就是為甚麼縮短振動弦會產生較高的音高。

這裡有一個容易忽略的小陷阱。如果你縮短的是同一條均勻弦的振動部分，它的線質量密度並不會改變。每一米弦仍然包含相同的質量。

振動部分的質量會變小，但

\[
\mu=\frac{\text{該段的質量}}{\text{該段的長度}}
\]

仍然保持不變。

除非題目實際描述的是另一條具有固定質量的弦，否則不要在改變長度時錯誤地把該段弦的質量保持固定。

09改變質量密度

假設有兩條弦，長度和張力相同，但其中一條的線質量密度是另一條的四倍。

先在計算之前預測頻率的變化。

因為

\[
f\propto\frac{1}{\sqrt{\mu}}
\]

把 \(\mu\) 乘以 \(4\)，會令頻率除以

\[
\sqrt{4}=2
\]

因此，對相同的諧波而言，較重的弦具有一半的頻率。

這也是另一個直接比例直覺會失效的地方。每米質量增加至四倍，並不會令頻率變成四分之一。平方根的關係十分重要。

10離散頻率的陷阱

方程

\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

不只是用來計算頻率。它還告訴我們，允許的頻率是離散的。

假設你的計算得到

\[
n=4.6
\]

你不能因此說弦正在以「第 4.6 諧波」振動。

對理想的兩端固定弦而言，

\[
n=1,2,3,\ldots
\]

如果驅動器以介乎兩個允許共振頻率之間的頻率迫使弦振動，一般不會形成與共振相對應的大振幅、穩定駐波圖樣。

驅動器仍然可以使弦運動。重點是，這種運動不會符合其中一個理想簡正模態，即同時在兩端具有節點及相應穩定駐波圖樣的模態。

11真實的弦沒有那麼完美

HSC 模型把弦視為柔軟而均勻，具有恆定張力，並進行小振幅的橫向運動。在這些假設下，

\[
f_n=nf_1
\]

完全成立。

真實的弦可能具有剛性、不均勻性和不完美的邊界條件。因此，它們較高頻率的模態可能會與基頻的精確整數倍稍有偏差。

這並不表示 HSC 模型是錯的。它只是告訴你這個模型作出了哪些假設，以及這些假設在甚麼情況下有用。

12問題與解答

問題 1

一條兩端固定的弦長 \(1.00\text{ m}\)，張力為 \(64\text{ N}\)，線質量密度為 \(4.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}\)。計算其第二諧波的頻率。

解答 1

第二諧波的頻率約為 \(\boxed{126\text{ Hz}}\)。

先求波速：

\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
=\sqrt{\frac{64}{4.0\times10^{-3}}}
=\sqrt{16000}
=126.5\text{ m s}^{-1}
\]

對 \(n=2\)，

\[
f_2=\frac{2v}{2L}
=\frac{2(126.5)}{2(1.00)}
=126.5\text{ Hz}
\]

因此，

\[
\boxed{f_2\approx126\text{ Hz}}
\]

第二諧波在弦上包含兩個半波長。在這個特定例子中，它的頻率數值恰好等於波速的數值，但兩者的單位和物理意義完全不同。

問題 2

一條弦在張力為 \(45\text{ N}\) 時，以某一特定諧波在 \(180\text{ Hz}\) 下振動。當張力增加至 \(80\text{ N}\) 時，弦長、線質量密度和諧波次數均保持不變。求新的頻率。

解答 2

新的頻率是 \(\boxed{240\text{ Hz}}\)。

因為只有張力改變，

\[
f\propto\sqrt{T}
\]

所以

\[
\frac{f_2}{f_1}
=
\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}
\]

代入數值：

\[
\frac{f_2}{180}
=
\sqrt{\frac{80}{45}}
=
\sqrt{\frac{16}{9}}
=
\frac{4}{3}
\]

因此，

\[
f_2=180\left(\frac{4}{3}\right)
=240\text{ Hz}
\]

即使張力增加了超過三分之一，頻率只增加了三分之一。陷阱在於把頻率誤認為與張力成正比，而不是與張力的平方根成正比。

問題 3

一條均勻弦的振動長度為 \(0.90\text{ m}\)，該振動部分的質量為 \(5.4\text{ g}\)。弦的張力為 \(48.6\text{ N}\)，並以 \(150\text{ Hz}\) 驅動。

判斷 \(150\text{ Hz}\) 是否為允許的諧波頻率；如果是，指出它是哪一次諧波。

解答 3

是。\(150\text{ Hz}\) 是 \(\boxed{\text{第三諧波}}\)。

先把質量換算成公斤：

\[
5.4\text{ g}=5.4\times10^{-3}\text{ kg}
\]

線質量密度為

\[
\mu=\frac{m}{L}
=\frac{5.4\times10^{-3}}{0.90}
=6.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}
\]

現在求波速：

\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
=\sqrt{\frac{48.6}{6.0\times10^{-3}}}
=\sqrt{8100}
=90\text{ m s}^{-1}
\]

基頻為

\[
f_1=\frac{v}{2L}
=\frac{90}{2(0.90)}
=50\text{ Hz}
\]

因此，

\[
n=\frac{f_n}{f_1}
=\frac{150}{50}
=3
\]

由於 \(n=3\) 是整數，

\[
\boxed{150\text{ Hz 是第三諧波}}
\]

如果計算得出非整數的 \(n\)，例如 \(3.4\)，那麼該頻率便不是理想情況下允許的駐波頻率之一。

問題 4

一條兩端固定的均勻弦最初以第四諧波振動。然後，透過移動其中一個固定邊界，把它的振動長度減至原來的四分之三。所使用的仍是同一條弦，而且張力保持不變。

驅動頻率亦保持不變。

現在哪一次諧波（如果有）可以在原來的驅動頻率下發生共振？

解答 4

原來的驅動頻率現在對應 \(\boxed{\text{第三諧波}}\)。

因為使用的是同一條均勻弦，而且張力不變，所以 \(\mu\) 和 \(v\) 都保持不變。

原先，

\[
f=\frac{4v}{2L}
\]

新的長度為

\[
L’=\frac{3L}{4}
\]

對縮短後弦上的某一諧波 \(n’\)，

\[
f=\frac{n’v}{2L’}
\]

由於驅動頻率沒有改變，

\[
\frac{4v}{2L}
=
\frac{n’v}{2(3L/4)}
\]

約去 \(v\) 並化簡：

\[
\frac{2}{L}
=
\frac{2n’}{3L}
\]

所以

\[
n’=3
\]

因此，

\[
\boxed{n’=3}
\]

關鍵的細節是：縮短弦通常會提高某一特定諧波的頻率。但題目並沒有要求諧波次數保持不變。由第四諧波轉為第三諧波後，縮短的弦仍可在原來的頻率下發生共振。

問題 5

一條兩端固定的弦在以 \(250\text{ Hz}\) 驅動時形成一個具有五個波環的駐波圖樣。其後，弦的張力增加 \(44\%\)，而弦長、線質量密度和驅動頻率均保持不變。

一名學生認為：

「波速增加了 \(20\%\)，所以波長也增加 \(20\%\)。那應該只是形成另一個駐波圖樣而已。」

判斷在改變張力後，\(250\text{ Hz}\) 是否仍能形成精確的駐波。然後求在新張力下形成第四諧波所需的頻率。

解答 5

改變張力後，在 \(250\text{ Hz}\) 下不能形成精確的諧波駐波。新張力下的第四諧波出現在 \(\boxed{240\text{ Hz}}\)。

五個波環的圖樣對應第五諧波，所以最初

\[
f_5=250\text{ Hz}
\]

因此

\[
f_1=\frac{250}{5}=50\text{ Hz}
\]

張力增加的倍數為

\[
1.44
\]

由於

\[
v\propto\sqrt{T}
\]

新的波速會乘上

\[
\sqrt{1.44}=1.20
\]

由於弦長不變，所有允許頻率也會乘上 \(1.20\)。因此新的基頻為

\[
f_1’=1.20(50)=60\text{ Hz}
\]

在驅動頻率為 \(250\text{ Hz}\) 時，所需的諧波次數將會是

\[
n=\frac{250}{60}=4.17
\]

但兩端固定的弦要求

\[
n=1,2,3,\ldots
\]

因此，在張力改變後，\(250\text{ Hz}\) 並不是精確的允許諧波頻率。

對於第四諧波，

\[
f_4’=4f_1′
=4(60)
=240\text{ Hz}
\]

所以

\[
\boxed{f_4’=240\text{ Hz}}
\]

這名學生關於波速的推理有一部分是正確的：波速確實增加了 \(20\%\)。錯誤之處在於假設任何因此產生的波長都可以形成駐波。邊界條件仍然要求弦內必須剛好容納整數個半波長。

13這讓你接下來可以理解甚麼

弦上的駐波把兩個概念結合起來：介質決定波速，而邊界決定哪些波長是允許的。

對兩端固定的弦而言，

\[
\boxed{\lambda_n=\frac{2L}{n}}
\]

以及

\[
\boxed{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}}
\]

當你進一步學習更廣泛的共振現象時，同一種思考方式會十分有用。除了問「波傳得有多快？」之外，你還可以再問第二個問題：邊界實際允許哪些圖樣？

這正是從一般行波進一步理解簡正模態、共振，以及弦、空氣柱和許多其他振盪系統中出現的駐波圖樣的關鍵一步。