傾斜彎道：HSC 物理中的正向力與設計速度

一輛汽車駛入平坦道路上的彎道。如果輪胎完全無法提供側向摩擦力，汽車就無法沿著彎道行駛，而會傾向繼續沿切線方向運動。

現在把道路傾斜，使外側邊緣高於內側。即使側向摩擦力完全消失，汽車仍能轉彎嗎？在繼續閱讀之前，先預測一下向內的力可能來自哪裡。除了重量之外，只剩下一個接觸力：道路施加的正向力。

這正是傾斜彎道的作用。道路傾斜會使正向力也跟著傾斜，因此產生一個指向彎道中心的水平分量。不過有一個限制：對於給定的半徑和傾斜角，只有一個速度能在完全不依賴摩擦力的情況下，使汽車沿水平圓周路徑運動。

01為甚麼傾斜會改變正向力

在平坦道路上，正向力 \(N\) 垂直向上。如果沒有垂直加速度，它就只是平衡汽車的重量 \(mg\)。

傾斜道路則不同。正向力永遠垂直於道路表面，因此道路一旦傾斜，\(N\) 也會跟著傾斜。

想像一名保安把你從牆邊推開。如果保安直立著，推力就是筆直的。如果保安一邊傾身一邊推，同一個推力就會同時具有垂直和側向分量。正向力的情況相似：道路傾斜後，一個力便能在兩個方向上具有分量。

不過這個比喻到此為止。正向力不是一個會自行選擇方向的人。它的方向由表面決定，而它的大小則由汽車的運動狀態和其他作用力決定。

設道路相對水平面向上傾斜角度 \(\theta\)。由於正向力垂直於道路，因此 \(N\) 也相對鉛直方向偏斜相同的角度 \(\theta\)。

把 \(N\) 分解成兩個分量：

• \(N\cos\theta\) 垂直向上。
• \(N\sin\theta\) 水平指向圓周路徑的中心。

第二個分量可以產生所需的向心加速度。

這種說法很重要。並不存在一個額外、獨立於 \(N\) 之外，名為「向心力」的力。向心力描述的是圓周運動所需的淨向內力。如果你對這個分別還不太確定，可複習如何判斷真正提供向心力的力。

02建立設計速度方程式

假設汽車沿半徑為 \(r\) 的水平圓周運動，而且沒有側向摩擦力。

它的垂直加速度為零，因此垂直方向的力必須平衡：

\[ N\cos\theta = mg \]

其中：

• \(N\) 是正向力，單位為牛頓，
• \(\theta\) 是傾斜角，
• \(m\) 是汽車的質量，單位為千克，以及
• \(g\) 是重力加速度，約為 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

在水平方向上，汽車需要大小為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

的向內加速度，因此所需的淨向內力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

正向力的向內分量提供了這個力：

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

現在我們有兩條描述同一個正向力的方程式：

\[ N\cos\theta=mg \]

以及

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

用第二條方程式除以第一條：

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg}. \]

\(N\)、\(m\) 和幾個其他會干擾判斷的量都約去了：

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

重新整理可得無摩擦情況下的設計速度：

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

這就是傾斜彎道的關鍵關係式。

注意，質量已經約去。較重的汽車並不會單純因為較重，就有不同的理想速度。它確實需要較大的向心力，但其較大的重量也會產生按相同比例增加的正向力。

範例：求設計速度

一個無摩擦的傾斜彎道半徑為 \(75\ \text{m}\)，傾斜角為 \(12^\circ\)。求汽車在不依賴摩擦力的情況下沿彎道行駛的速度。

步驟 1：找出設計速度方程式。

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta} \]

這裡，\(r=75\ \text{m}\)、\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)，以及 \(\theta=12^\circ\)。

步驟 2：代入數值。

\[ v = \sqrt{(75)(9.8)\tan12^\circ} = \sqrt{156.23} = 12.5\ \text{m s}^{-1}. \]

步驟 3：解釋結果。

無摩擦設計速度為

\[ v=12.5\ \text{m s}^{-1}, \]

即約 \(45.0\ \text{km/h}\)。

在這個速度下，正向力的垂直分量恰好足以平衡重量，而水平分量也恰好足以維持圓周運動。

03為甚麼只有一個無摩擦速度

一個很容易產生的想法是，任何低於設計速度的速度應該也可以。畢竟，較慢的汽車所需的向心力較小。

問題在於，道路的傾斜角固定了正向力的方向。

它的向內分量與垂直分量之比為

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta}=\tan\theta. \]

除非道路的傾斜角改變，否則這個比率不能改變。

然而，對於水平圓周路徑，所需的比率為

\[ \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}. \]

所以，道路的幾何形狀要求一個比率，而汽車的速度和半徑則要求另一個比率。只有在

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

時，兩者才會相符。

因此，設計速度並不只是一個方便的速度。在理想的無摩擦模型中，它是唯一能讓指定半徑與傾斜角產生水平圓周路徑的速度。

範例：設計傾斜角

一輛 \(1200\ \text{kg}\) 的汽車必須以 \(14.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度，在不依賴摩擦力的情況下沿半徑 \(50.0\ \text{m}\) 的彎道行駛。求所需的傾斜角和正向力。

步驟 1：求傾斜角。

從

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

開始。

代入：

\[ \tan\theta = \frac{(14.0)^2}{(50.0)(9.8)} = \frac{196}{490} = 0.400. \]

因此，

\[ \theta=\tan^{-1}(0.400)=21.8^\circ. \]

步驟 2：利用垂直方向的力平衡求 \(N\)。

\[ N\cos\theta=mg \]

所以

\[ N = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{(1200)(9.8)}{\cos21.8^\circ} = 1.27\times10^4\ \text{N}. \]

步驟 3：檢查向內分量。

所需的向心力為

\[ \frac{mv^2}{r} = \frac{(1200)(14.0)^2}{50.0} = 4704\ \text{N}. \]

計算所得正向力的水平分量為

\[ N\sin21.8^\circ \approx (1.27\times10^4)\sin21.8^\circ \approx 4.70\times10^3\ \text{N}. \]

兩個數值相符。

步驟 4：解釋正向力。

正向力大於重量 \(mg=11760\ \text{N}\)。它必須同時完成兩個作用：垂直分量支撐汽車，而水平分量使汽車朝圓心加速。

04當速度不正確時會怎樣？

真實的道路和賽道都有摩擦力，因此汽車不會被限制在一個精確的速度。

不過，在加入方程式之前，先預測摩擦力的方向。

假設汽車的行駛速度比無摩擦設計速度慢。摩擦力會進一步指向內側，還是進一步指向外側？

在低速時，汽車傾向沿斜面向下移動，也就是朝傾斜彎道較低的內側移動。因此，摩擦力會沿斜面向上，朝較高的外側作用。

在高速時，情況相反。無摩擦時由正向力幾何關係所提供的向內作用不足以維持該速度所要求的彎曲程度，因此汽車傾向朝較高的外側移動。摩擦力會沿斜面向下，增加一個向內分量。

三種情況如下：

描述高速情況時要小心用詞。在慣性參考系中，並不存在某個神秘而真實的「向外力」作用在汽車上。如果沒有足夠的向內力使路徑彎曲，汽車的速度方向會傾向繼續保持得更接近切線方向。

這裡還有另一個重要陷阱：摩擦力並不會自動等於 \(f=\mu N\)。

靜摩擦力會自行調整到所需的大小，但不會超過其最大值：

\[ f\leq\mu_sN. \]

只有當輪胎即將發生側向滑動時，才可以令

\[ f=\mu_sN, \]

其中 \(\mu_s\) 是靜摩擦係數。

05分解傾斜面上的摩擦力

如果汽車低於設計速度，摩擦力沿斜面向上。

它的分量為：

• \(f\cos\theta\) 水平向外，
• \(f\sin\theta\) 垂直向上。

力的方程式變成

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

以及

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

高於設計速度時，摩擦力沿斜面向下。各項的正負號相反：

\[ N\sin\theta+f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

以及

\[ N\cos\theta-f\sin\theta=mg. \]

你不需要死記四個正負號。先畫出摩擦力，使其方向與即將發生的側向滑動相反，然後再分解力。

在考試中，這種方法安全得多。

06理想模型忽略了甚麼

設計速度方程式

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta} \]

只有在我們建立的模型中才完全成立。

它假設：

• 汽車沿固定半徑的水平圓周運動，
• 沒有側向摩擦力，
• 道路具有單一而確定的傾斜角，
• 在受力分析中，可把汽車視為質點，以及
• 垂直加速度為零。

真實車輛還會涉及懸吊系統的運動、輪胎變形、空氣動力、路面狀況的變化，以及輪胎抓地力的極限。這些細節在工程上很重要，但不會改變 HSC 的核心概念：傾斜使接觸力改變方向，令其中一部分可以提供所需的向內加速度。

07問題與解答

問題 1

一個半徑為 \(40.0\ \text{m}\) 的彎道，其傾斜角為 \(10.0^\circ\)。假設沒有摩擦力。

計算設計速度。

解答 1

設計速度為 \(8.31\ \text{m s}^{-1}\)，即約 \(29.9\ \text{km/h}\)。

對於無摩擦傾斜彎道，

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

代入 \(r=40.0\ \text{m}\)、\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) 和 \(\theta=10.0^\circ\)，

\[ v = \sqrt{(40.0)(9.8)\tan10.0^\circ} = \sqrt{69.1} = 8.31\ \text{m s}^{-1}. \]

一個容易犯的錯誤，是因為受力圖中出現重量，就把 \(mg\tan\theta\) 當成速度的表示式。垂直和水平方向的方程式相除後，質量會約去，因此設計速度只取決於 \(r\)、\(g\) 和 \(\theta\)。

問題 2

一輛 \(950\ \text{kg}\) 的汽車沿半徑為 \(90.0\ \text{m}\) 的無摩擦傾斜彎道行駛。力感測器顯示，道路對汽車施加的正向力為 \(9.92\ \text{kN}\)。

求：

a. 傾斜角，以及
b. 汽車的速度。

解答 2

傾斜角約為 \(20.2^\circ\)，汽車的速度約為 \(18.0\ \text{m s}^{-1}\)。

首先使用垂直方向的力平衡。汽車沒有垂直加速度，因此

\[ N\cos\theta=mg. \]

這裡，

\[ N=9.92\ \text{kN}=9920\ \text{N} \]

而

\[ mg=(950)(9.8)=9310\ \text{N}. \]

因此，

\[ \cos\theta = \frac{9310}{9920} = 0.9385, \]

所以

\[ \theta=\cos^{-1}(0.9385)\approx20.2^\circ. \]

現在使用傾斜彎道的關係式：

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

因此，

\[ v = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(90.0)(9.8)\tan20.2^\circ} \approx 18.0\ \text{m s}^{-1}. \]

一個很容易想到但錯誤的做法，是假設 \(N=mg\)。在沒有其他垂直方向受力幾何因素的水平表面上，這是正確的，但這裡並不是。正向力必須同時具有垂直和水平分量，所以它的大小會大於 \(mg\)。

問題 3

一輛 \(1000\ \text{kg}\) 的汽車沿半徑 \(70.0\ \text{m}\)、傾斜角 \(16.0^\circ\) 的彎道行駛。

汽車以無摩擦設計速度的 \(75\%\) 行駛，但仍然沿相同的水平圓周路徑運動。

求：

a. 無摩擦設計速度，
b. 摩擦力的方向，以及
c. 所需的最小靜摩擦係數。

解答 3

設計速度為 \(14.0\ \text{m s}^{-1}\)，摩擦力沿斜面向上，而所需的最小靜摩擦係數約為 \(0.120\)。

首先求設計速度：

\[ v_d = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(70.0)(9.8)\tan16.0^\circ} = 14.0\ \text{m s}^{-1}. \]

實際速度為

\[ v=0.75v_d=(0.75)(14.0)=10.5\ \text{m s}^{-1}. \]

由於汽車的行駛速度低於設計速度，它會傾向沿斜面向下滑。因此靜摩擦力必須沿斜面向上。

設 \(f\) 為所需的摩擦力。

當摩擦力沿斜面向上時，

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

以及

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

所需的向內力為

\[ \frac{mv^2}{r} = \frac{(1000)(10.5)^2}{70.0} \approx 1.58\times10^3\ \text{N}. \]

把所需的合力沿垂直於斜面和平行於斜面的方向分解，可得

\[ N = \left(\frac{mv^2}{r}\right)\sin\theta + mg\cos\theta \approx 9.86\times10^3\ \text{N}, \]

以及

\[ f = mg\sin\theta - \left(\frac{mv^2}{r}\right)\cos\theta \approx 1.18\times10^3\ \text{N}. \]

在臨界值時，

\[ f=\mu_sN. \]

因此，

\[ \mu_s = \frac{f}{N} = \frac{1.18\times10^3}{9.86\times10^3} \approx 0.120. \]

較微妙的一點是方向。很容易認為，既然圓周運動需要向內力，摩擦力就一定必須向內。然而在這個低速情況下，傾斜的正向力在支撐汽車重量的同時，已經提供了比所需比例更大的向內分量。摩擦力沿斜面向上，產生一個向外分量，從而減少淨向內力。

問題 4

一條賽道有兩條同心車道，兩者的傾斜角同為 \(20.0^\circ\)。

內側車道的半徑為 \(50.0\ \text{m}\)，外側車道的半徑為 \(80.0\ \text{m}\)。

汽車 A 在內側車道以其無摩擦設計速度行駛。汽車 B 在外側車道行駛，而且每一圈所需的時間與汽車 A 完全相同。

a. 求汽車 A 的速度和單圈時間。
b. 求汽車 B 的速度。
c. 求外側車道的無摩擦設計速度。
d. 判斷汽車 B 能否在無摩擦情況下行駛，並求摩擦力需要作用的方向。
e. 一般地證明：若兩個不同半徑具有相同傾斜角，而汽車的單圈時間又相同，則兩者不可能同時在無摩擦情況下行駛。

解答 4

汽車 B 不可能在無摩擦情況下行駛。它的速度高於外側車道的設計速度，因此摩擦力必須沿斜面向下。

對汽車 A 而言，

\[ v_A = \sqrt{r_1g\tan\theta} = \sqrt{(50.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 13.35\ \text{m s}^{-1}. \]

內側路徑的周長為 \(2\pi r_1\)，所以它的週期為

\[ T = \frac{2\pi r_1}{v_A} = \frac{2\pi(50.0)}{13.35} = 23.5\ \text{s}. \]

汽車 B 的週期相同，但半徑較大。因此它的速度為

\[ v_B = \frac{2\pi r_2}{T} = \frac{2\pi(80.0)}{23.5} = 21.4\ \text{m s}^{-1}. \]

半徑為 \(80.0\ \text{m}\) 時的無摩擦設計速度為

\[ v_{d,2} = \sqrt{(80.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 16.9\ \text{m s}^{-1}. \]

由於

\[ 21.4\ \text{m s}^{-1}>16.9\ \text{m s}^{-1}, \]

汽車 B 高於其設計速度。它會傾向朝傾斜彎道較高的外側移動，因此摩擦力必須沿斜面向下。

更深層的原因可以從比例關係看出。

在固定傾斜角下，

\[ v_d=\sqrt{rg\tan\theta}, \]

所以

\[ v_d\propto\sqrt r. \]

但如果兩輛汽車具有相同週期，

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

所以

\[ v\propto r. \]

因此，線速度隨半徑增加的速度，比無摩擦設計速度隨半徑增加的速度更快。

更正式地說，由於汽車 A 正以其設計速度行駛，

\[ v_A^2=r_1g\tan\theta. \]

相同週期要求

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{r_2}{r_1}. \]

另一方面，

\[ \frac{v_{d,2}}{v_A} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_{d,2}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

對任何 \(r_2>r_1\)，這個比值都大於 \(1\)。

一個很容易產生的錯誤假設，是認為一個傾斜角對應一個單圈時間。實際上並非如此。傾斜角固定的是線速度與半徑之間的關係，而相同的單圈時間則要求另一種關係。在兩個不同半徑上，這兩個條件彼此不相容。

問題 5

一個半徑為 \(60.0\ \text{m}\) 的彎道，其傾斜角為 \(15.0^\circ\)。輪胎與道路之間的靜摩擦係數為 \(0.300\)。

一名學生提出：

「有摩擦力的傾斜彎道一定同時具有最低速度和最高速度。」

分析這個說法。

a. 判斷一輛靜止的汽車能否停留在這個傾斜面上而不滑動。
b. 由此求出真正容許的最低速度。
c. 計算汽車開始沿斜面向上滑動之前的最高速度。
d. 解釋為甚麼嘗試計算一個正值的下限速度時，可能得到看似不可能的負 \(v^2\) 值。

解答 5

對這個彎道而言，該學生的說法是錯誤的：最低速度為 \(0\)，而最高速度約為 \(19.1\ \text{m s}^{-1}\)。

先考慮邊界情況 \(v=0\)。這一點很容易被忽略。

如果汽車靜止，重力會使它傾向沿斜面向下滑。因此靜摩擦力會沿斜面向上。

沿垂直於斜面的方向分解力，可得

\[ N=mg\cos\theta. \]

沿斜面方向所需的摩擦力為

\[ f=mg\sin\theta. \]

因此所需的摩擦力比率為

\[ \frac{f}{N} = \frac{mg\sin\theta}{mg\cos\theta} = \tan\theta. \]

對 \(\theta=15.0^\circ\) 而言，

\[ \tan15.0^\circ=0.268. \]

可用的摩擦係數為

\[ \mu_s=0.300. \]

由於

\[ 0.268<0.300, \]

靜摩擦力足以在汽車速度為零時仍把它保持在原位。

所以實際最低速度為

\[ v_{\min}=0. \]

求最高速度時，汽車正處於即將沿斜面向上滑動的狀態。因此，摩擦力以其臨界大小沿斜面向下：

\[ f=\mu_sN. \]

向內方向的力方程式為

\[ N\sin\theta+\mu_sN\cos\theta = \frac{mv^2}{r}, \]

而垂直方向的平衡則給出

\[ N\cos\theta-\mu_sN\sin\theta=mg. \]

用第一條方程式除以第二條：

\[ \frac{v^2}{rg} = \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta}. \]

因此，

\[ v = \sqrt{ rg \left( \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \right) }. \]

代入 \(r=60.0\ \text{m}\)、\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)、\(\theta=15.0^\circ\) 和 \(\mu_s=0.300\)，

\[ v = \sqrt{ (60.0)(9.8) \left( \frac{\sin15.0^\circ+(0.300)\cos15.0^\circ} {\cos15.0^\circ-(0.300)\sin15.0^\circ} \right) } \]

\[ v\approx19.1\ \text{m s}^{-1}. \]

所以

\[ v_{\max}\approx19.1\ \text{m s}^{-1}, \]

即約 \(68.6\ \text{km/h}\)。

現在來看較奇怪的部分。

如果你假設一定存在一個較低的極限速度，而且在這個速度下，沿斜面向上的摩擦力已經達到最大值，那麼方程式會導出

\[ \frac{v_{\min}^2}{rg} = \frac{\sin\theta-\mu_s\cos\theta} {\cos\theta+\mu_s\sin\theta}. \]

在這裡，

\[ \sin15.0^\circ-(0.300)\cos15.0^\circ<0. \]

這會得到 \(v_{\min}^2<0\)，而任何真實速度都不可能滿足這個條件。

這個負值結果並不是數學出錯，而是證據，顯示所假設的物理情況根本不存在。

推導過程假設，在較低速度極限時，摩擦力已經達到其最大可能值。但在 \(v=0\) 時，汽車只需要

\[ \frac{f}{N}=\tan15.0^\circ=0.268, \]

這小於可用的 \(0.300\)。

靜摩擦力不需要使用其最大值。它只會調整至所需的較小值。因此，並不存在一個正值的低速邊界。

這就是這題的重要轉折點：一個在數學上看起來奇怪的結果，可以揭示建立方程式時所採用的其中一個物理假設是錯誤的。

08傾斜彎道接下來連結到哪些概念

傾斜彎道把三個概念結合起來：力的分量、圓周加速度，以及速度與半徑之間的關係。一旦受力圖像掌握得穩固，分析半徑或單圈時間的變化就會容易得多，因為你可以把

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

與適當的接觸力結合，而不需要每次都尋找一條新的公式。

下一個有用的步驟，是把這套受力分析與等速圓周運動中的速度、半徑和週期連結起來。這樣你便可以在賽道的幾何形狀、設計速度，以及完成一圈所需的時間之間進行轉換。