HSC 物理：理想變壓器的電流與功率

一個變壓器在一次側輸入 240 V，並在二次側輸出 12 V。這聽起來像是損失了大量電能：電壓降低了 20 倍。

那麼，能量到哪裡去了？

在繼續閱讀之前，先作一個預測。如果理想變壓器在傳輸相同功率的同時，將電壓降低 20 倍，那麼電流必須發生甚麼變化？

它必須增加 20 倍。理想變壓器不會損失功率。它以電壓換取電流，或以電流換取電壓。

這一個概念就能解釋 HSC 的變壓器功率方程：

\[ V_p I_p = V_s I_s \]

重要的是理解它為甚麼成立、甚麼時候使用，以及它不代表甚麼。

01先從電壓和電流實際量度的是甚麼開始

電壓和電流描述的是不同的物理量。

電壓告訴你每單位電荷轉移了多少電能。一伏特等於一焦耳每庫侖。

電流告訴你每秒有多少電荷通過某一點。一安培等於一庫侖每秒。

因此，當我們將電壓乘以電流時，

\[ VI = \frac{\text{J}}{\text{C}} \times \frac{\text{C}}{\text{s}} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W} \]

便得到功率。

功率是能量轉移的速率，單位是瓦特。

你可以用包裹來想像這件事。假設每個包裹都攜帶一定的能量，而輸送帶每秒運送一定數量的包裹。電壓就像每個包裹攜帶的能量。電流就像每秒通過多少個包裹。功率取決於兩者。

變壓器可以讓每一庫侖電荷轉移更多能量，同時讓每秒通過的庫侖數減少；也可以讓每一庫侖轉移較少能量，同時讓每秒通過的庫侖數增加。

這個類比並不完全準確，因為電荷實際上並不是被分裝成一個個獨立的包裹，而且變壓器是透過變化的磁場傳輸能量，而不是把電荷從一個線圈實際移動到另一個線圈。不過，「每單位電荷的能量 × 每秒通過的電荷量」這個圖像仍然很有用。

02理想變壓器守恆功率

理想變壓器沒有能量損失。

這表示進入一次側的電功率等於離開二次側的電功率：

\[ P_p=P_s \]

在 HSC 課程所討論的變壓器題目中，電功率使用 \(P=VI\) 計算。因此，

\[ V_p I_p=V_s I_s \]

其中：

• \(V_p\) 是一次側電壓，單位為伏特，
• \(I_p\) 是一次側電流，單位為安培，
• \(V_s\) 是二次側電壓，單位為伏特，以及
• \(I_s\) 是二次側電流，單位為安培。

除非題目另有說明，變壓器的交流電壓和電流通常都以 RMS（有效值）表示。

注意這條方程真正表達的是甚麼。它不是說電壓保持不變，也不是說電流保持不變。

它是說，在某一特定傳輸功率下運作的理想變壓器中，兩者的乘積保持不變。

03為甚麼電壓和電流朝相反方向改變

假設一個理想變壓器把電壓加倍。

要使功率保持不變，

\[ V_p I_p=V_s I_s \]

因此，如果 \(V_s\) 是 \(V_p\) 的兩倍，那麼 \(I_s\) 必須是 \(I_p\) 的一半。

所以，在相同傳輸功率下，升壓變壓器會產生較高的二次側電壓和較低的二次側電流。

降壓變壓器則相反。

最後一欄有一個重要的限定條件：在相同傳輸功率下。

變壓器不會不管你接上甚麼負載，都強迫固定大小的電流流過。負載會影響電流。我們稍後會再談到這一點。

將電流比與匝數比連繫起來

對理想變壓器而言，

\[ \frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p} \]

其中 \(N_p\) 和 \(N_s\) 分別是一次線圈和二次線圈的匝數。

如果你需要複習為甚麼電壓遵循匝數比，請參閱 HSC 物理：理想變壓器的電壓與匝數比。

功率守恆給出

\[ V_pI_p=V_sI_s \]

所以

\[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{V_p}{V_s} \]

利用電壓比，

\[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} \]

因此，電流比是匝數比的倒數。

例如，如果

\[ \frac{N_s}{N_p}=10 \]

那麼電壓會升高 10 倍，而在相同傳輸功率下，電流則會降低 10 倍。

這個反比關係很容易不小心寫反。與其死記兩個比值，不如記住背後的物理限制：理想變壓器不能憑空產生額外功率。

04變壓器本身不會憑空產生電流

一個常見的說法是：

降壓變壓器會增加電流。

這是一種方便的簡寫，但也可能造成誤解。

假設一個變壓器的一次側電壓為 \(240\text{ V}\)，二次側電壓為 \(24\text{ V}\)。現在讓二次側完全不接任何負載。

二次側會有多少電流流過？

零。

變壓器的二次側端子之間可以有 \(24\text{ V}\) 電壓，同時完全不提供電流。沒有接上負載，就沒有封閉路徑讓電荷流動。

所以，更好的理解方式是：

1. 匝數比決定二次側電壓。
2. 負載和二次側電壓決定二次側電流。
3. 二次側負載所需求的功率，決定在理想模型中一次側所需的電流。

按照這個順序思考，可以避免很多變壓器題目的錯誤。

想像一家餐廳的水管具有足夠的水壓，可以向水槽供水。存在水壓並不表示水一定正在流動。水龍頭必須提供一條通路。相似地，二次側可以有電壓而沒有二次側電流。

如果把這個類比延伸得太遠，它就不再有用。電壓並不真的就是流體壓力，而且變壓器的一次側和二次側是透過電磁作用耦合，而不是透過一條水管相連。

05為甚麼改變二次側負載會改變一次側電流？

這是比較奇妙的部分。

一次線圈和二次線圈彼此沒有電氣連接。然而，當二次側負載抽取更多電流時，一次側也會從電源抽取更多電流。

一側怎麼會知道另一側發生了甚麼？

兩者之間的連結是磁場。

一次側中的交流電會在變壓器鐵芯中產生變化的磁通量。這個變化的磁通量會在二次側感應出電動勢。

當二次側電流開始流動時，該電流本身也會產生磁效應。根據楞次定律，它的效應會反抗造成它的磁通變化。

因此，一次側電源會提供額外電流，使外加一次側電壓所要求的變化磁通得以維持。

並沒有任何訊息沿著導線從二次側傳到一次側。這兩個電路是透過共同的磁通互相作用。如果這個機制仍然不夠清楚，HSC 物理：螺線管之間的互感應 會更詳細地建立這個磁學圖像。

06最容易產生的誤解：功率守恆不代表功率固定

假設一個理想變壓器正向負載提供 \(50\text{ W}\)。那麼

\[ P_p=P_s=50\text{ W} \]

現在你把這個負載換成另一個不同的負載。

變壓器是否仍然必須傳輸 \(50\text{ W}\)？

不是。

功率守恆的意思是，在任何特定時刻或特定工作狀態下，進入理想變壓器的功率等於離開它的功率。

它並不是說，無論負載如何，變壓器都會一直傳輸相同的功率。

這個區別很重要。

低電阻的二次側負載可以抽取更多電流，因此也會消耗更多功率。一次側隨之抽取更多電流。高電阻負載抽取的電流較少。開路則會有零二次側電流。

變壓器內部並不存在一份固定的功率，必須以某種方式分配出去。

一個實用的判斷規則是：

07「理想」這個詞隱藏了甚麼

真實的變壓器並不是百分之百有效率。

由於線圈具有電阻，一部分輸入能量會在線圈中轉化為熱能。渦電流、磁滯，以及沒有完全同時穿過兩組線圈的漏磁通等效應，也會造成能量損失。

因此，對真實變壓器而言，

\[ P_{\text{out}}<P_{\text{in}} \]

對理想變壓器而言，

\[ P_{\text{out}}=P_{\text{in}} \]

理想模型刻意忽略這些損失，讓你可以專注於電壓、電流和功率之間的關係。

不要混用這兩種模型。如果題目明確給出低於 \(100\%\) 的變壓器效率，就不能直接令輸入功率等於輸出功率。

08題目與解答

題目 1

一個理想變壓器的一次側電壓為 \(240\text{ V}\)，二次側電壓為 \(48\text{ V}\)。二次側電流為 \(2.0\text{ A}\)。

計算：

a. 輸出功率，以及
b. 一次側電流。

解答 1

輸出功率為 \(96\text{ W}\)，一次側電流為 \(0.40\text{ A}\)。

核心概念是，理想變壓器的輸入功率和輸出功率相等。

對二次側而言，

\[ P_s=V_sI_s=(48)(2.0)=96\text{ W} \]

因此，

\[ P_p=96\text{ W} \]

利用 \(P_p=V_pI_p\)，

\[ I_p=\frac{P_p}{V_p} = \frac{96}{240} = 0.40\text{ A} \]

所以

\[ P_s=96\text{ W} \]

以及

\[ I_p=0.40\text{ A} \]

一個很誘人的錯誤，是因為變壓器正在「降壓」，便把兩邊的電壓或電流相減。這沒有任何物理根據。功率取決於乘積 \(VI\)，而不是一次側與二次側數值之間的差。

題目 2

一個接到 \(240\text{ V}\) 電源的理想變壓器，在二次側產生 \(30\text{ V}\) 電壓。一個 \(15\ \Omega\) 電阻器接在二次側兩端。

a. 計算二次側電流。
b. 計算傳輸到電阻器的功率。
c. 計算一次側電流。

之後，把 \(15\ \Omega\) 電阻器換成一個 \(30\ \Omega\) 電阻器。假設一次側電源仍維持在 \(240\text{ V}\)。

d. 計算新的二次側和一次側電流。
e. 解釋為甚麼即使變壓器仍然是理想的，現在傳輸的功率卻較少。

解答 2

最初 \(I_s=2.0\text{ A}\)、\(P=60\text{ W}\)，而 \(I_p=0.25\text{ A}\)。當電阻加倍後，二次側電流變為 \(1.0\text{ A}\)，一次側電流變為 \(0.125\text{ A}\)。

對原本的 \(15\ \Omega\) 負載，使用歐姆定律：

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{30}{15} = 2.0\text{ A} \]

二次側功率為

\[ P_s=V_sI_s=(30)(2.0)=60\text{ W} \]

由於變壓器是理想的，

\[ P_p=P_s=60\text{ W} \]

所以

\[ I_p=\frac{P_p}{V_p} = \frac{60}{240} = 0.25\text{ A} \]

現在把負載換成 \(30\ \Omega\)。由於一次側電壓和匝數比都沒有改變，變壓器仍然產生 \(30\text{ V}\)。

因此，

\[ I_s=\frac{30}{30}=1.0\text{ A} \]

以及

\[ P_s=(30)(1.0)=30\text{ W} \]

所以，

\[ I_p=\frac{30}{240}=0.125\text{ A} \]

一個很容易出現的預測是：既然理想變壓器不會損失能量，它就應該繼續傳輸 \(60\text{ W}\)。這混淆了功率守恆與功率固定。

新的負載只需要 \(30\text{ W}\)。因此，理想變壓器從一次側取得 \(30\text{ W}\)，並把同樣的 \(30\text{ W}\) 傳送到二次側。

題目 3

一個理想升壓變壓器用來把交流電壓從 \(240\text{ V}\) 提高到 \(12.0\text{ kV}\)。它向二次側電路提供 \(6.0\text{ kW}\) 的功率。

a. 計算二次側電流。
b. 計算一次側電流。
c. 一名學生說：「電壓增加了 50 倍，所以變壓器也把電功率增加了 50 倍。」精確解釋為甚麼這個結論錯誤。

解答 3

二次側電流為 \(0.50\text{ A}\)，一次側電流為 \(25\text{ A}\)，而變壓器的功率並沒有增加。

先換算已知量：

\[ 12.0\text{ kV}=12\,000\text{ V} \]

以及

\[ 6.0\text{ kW}=6000\text{ W} \]

二次側電流為

\[ I_s=\frac{P_s}{V_s} = \frac{6000}{12\,000} = 0.50\text{ A} \]

由於變壓器是理想的，

\[ P_p=P_s=6000\text{ W} \]

所以

\[ I_p=\frac{6000}{240}=25\text{ A} \]

電壓比為

\[ \frac{12\,000}{240}=50 \]

而電流比為

\[ \frac{25}{0.50}=50 \]

但方向相反。電壓變成原來的 50 倍，而電流變成原來的 \(1/50\)。

學生的論點看起來合理，因為 \(P=VI\)，所以如果增加 \(V\) 並想像 \(I\) 維持不變，功率確實會增加。但 \(I\) 並不會維持不變。在理想變壓器中，電流會與電壓成反比變化。

正確的比較是

\[ (240)(25) = (12\,000)(0.50) = 6000\text{ W} \]

升壓變壓器改變的是功率傳輸的方式，而不是創造額外功率。

題目 4

一個理想變壓器具有

\[ \frac{N_s}{N_p}=10 \]

而其一次側接到一個 \(240\text{ V}\) 交流電源。一個 \(4800\ \Omega\) 電阻器接在二次側兩端。

a. 計算二次側電壓和電流。
b. 計算一次側電流。
c. 從一次側電源的角度，計算有效電阻 \(R_{\text{in}}=V_p/I_p\)。

現在使用變壓器方程和歐姆定律，證明對一個電阻性二次側負載 \(R_L\)，

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2R_L \]

d. 解釋為甚麼這個結果並不表示實際的 \(4800\ \Omega\) 電阻器以某種方式改變了它的電阻值。

解答 4

二次側電壓為 \(2400\text{ V}\)，二次側電流為 \(0.50\text{ A}\)，一次側電流為 \(5.0\text{ A}\)，而從一次側電源看來，就像它正在向一個 \(48\ \Omega\) 的有效電阻供電。

匝數比給出

\[ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} = 10 \]

所以

\[ V_s=(10)(240)=2400\text{ V} \]

二次側負載電流為

\[ I_s=\frac{V_s}{R_L} = \frac{2400}{4800} = 0.50\text{ A} \]

輸出功率為

\[ P_s=V_sI_s=(2400)(0.50)=1200\text{ W} \]

對理想變壓器而言，

\[ P_p=P_s=1200\text{ W} \]

因此，

\[ I_p=\frac{1200}{240}=5.0\text{ A} \]

一次側電源所「看見」的有效電阻為

\[ R_{\text{in}} = \frac{V_p}{I_p} = \frac{240}{5.0} = 48\ \Omega \]

現在推導一般關係。

對二次側負載而言，

\[ I_s=\frac{V_s}{R_L} \]

由理想功率守恆，

\[ V_pI_p=V_sI_s \]

所以

\[ I_p=\frac{V_sI_s}{V_p} \]

代入 \(I_s=V_s/R_L\)，

\[ I_p = \frac{V_s^2}{V_pR_L} \]

因此，

\[ R_{\text{in}} = \frac{V_p}{I_p} = \frac{V_p^2R_L}{V_s^2} \]

由於

\[ \frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s} \]

可得

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2R_L \]

對這個變壓器而言，

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{1}{10}\right)^2(4800) = 48\ \Omega \]

困難的部分是如何解讀這個結果。

那個 \(4800\ \Omega\) 電阻器本身並沒有變成一個 \(48\ \Omega\) 電阻器。如果把它拆下並量度其電阻，它仍然會是 \(4800\ \Omega\)。

真正發生的是，變壓器改變了一次側電源所看到的電壓與電流之間的關係。從電源的角度看，在 \(240\text{ V}\) 下抽取 \(5.0\text{ A}\)，所對應的 \(V/I\) 關係與一個 \(48\ \Omega\) 電阻性負載相同。

一個容易走入的思路，是認為理想變壓器只是「改變電壓」。功率守恆表示，它也必須改變電源所提供的電流。這就是為甚麼一側的負載，從另一側看起來可以具有不同的有效電阻。

題目 5

一個理想變壓器接到一個理想 \(240\text{ V}\) 交流電源，其二次側電壓為 \(24\text{ V}\)。

考慮以下三種互相獨立的情況。

情況 A： 二次側端子保持開路。

情況 B： 一個 \(6.0\ \Omega\) 電阻器接在二次側兩端。

情況 C： 二次側端子使用一條電阻為零的理想導線直接連接在一起。

對每種情況，判斷理想模型對二次側電流和一次側電流的預測。

然後解釋為甚麼情況 C 不存在有限的穩態電流，以及為甚麼這並不代表能量守恆失效。

假設採用標準理想變壓器模型，包括零內部電阻和理想一次側電壓源。

解答 5

情況 A 的二次側電流以及由負載引起的一次側電流均為零；情況 B 有 \(I_s=4.0\text{ A}\) 和 \(I_p=0.40\text{ A}\)；而在題目所述的理想模型中，情況 C 不存在有限的穩態電流。

在情況 A 中，二次側為開路。

二次側仍然有

\[ V_s=24\text{ V} \]

的電壓，但由於沒有封閉電路，

\[ I_s=0 \]

因此傳輸到負載的功率為

\[ P_s=V_sI_s=(24)(0)=0 \]

而在理想模型中，相應的由負載引起的一次側電流同樣為零：

\[ I_p=0 \]

這是第一個重要結果：可以存在電壓，而沒有電流流動或功率輸出。

在情況 B 中，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{24}{6.0} = 4.0\text{ A} \]

輸出功率為

\[ P_s=V_sI_s=(24)(4.0)=96\text{ W} \]

所以輸入功率同樣為

\[ P_p=96\text{ W} \]

以及

\[ I_p=\frac{96}{240}=0.40\text{ A} \]

現在考慮情況 C。

題目指定導線的電阻為零。如果理想變壓器仍然在這條零電阻路徑兩端維持 \(24\text{ V}\)，那麼根據歐姆定律，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{24}{0} \]

這個電流不存在有限數值。

當 \(R\) 趨近於零，而 \(V_s\) 保持固定時，模型所預測的電流會無限增大：

\[ I_s\rightarrow\infty \]

所需的二次側功率

\[ P_s=V_sI_s \]

同樣不存在有限數值，而理想功率守恆將要求一次側電流也相應地無限增大。

一個很自然的反應是認為這不可能，因為變壓器不能創造無限的能量。這個質疑確實指出了一個真實問題，但問題並不在於能量守恆失效。

真正的問題是這一整組理想化假設。

我們同時假設了以下所有條件：

• 一個理想電源，無論電流多大，都能精確維持 \(240\text{ V}\)，
• 一個沒有內部電阻或其他損失的理想變壓器，以及
• 一個電阻精確等於零的二次側短路。

這些假設把所有在真實情況下會限制電流的物理效應都移除了。因此，所得模型沒有有限的穩態解。

真實變壓器確實具有線圈電阻、漏磁效應、電源阻抗，以及其他限制電流的行為。在嚴重短路時，其端電壓也可能下降，而保護裝置可能會把電路斷開。

所以，情況 C 顯示的是理想模型的適用邊界。它並沒有推翻

\[ P_p=P_s \]

這條規則。

相反，它說明：當模型同時假設一個能提供無限電流的理想電源時，功率守恆本身並不會對功率設定一個固定上限。

這就是 \(V_pI_p=V_sI_s\) 背後更深一層的含義：這條方程保證兩側之間的能量傳輸守恆，但實際傳輸多少功率，仍然由完整電路決定。

09由此可以進一步理解甚麼

一旦 \(V_pI_p=V_sI_s\) 在物理上變得合理，變壓器為甚麼在輸電中如此有用，也會清楚得多。

對固定的傳輸功率，提高電壓可以使電流降低。由於輸電線中的發熱損耗會依照 \(P_{\text{loss}}=I^2R\) 的關係強烈取決於電流，因此降低電流可以大幅減少浪費的能量。

所以，電流與功率之間的關係不只是另一條需要背下來的變壓器方程。它是連接變壓器比值、能量守恆，以及高壓輸電為甚麼有效的橋樑。