HSC 物理中的角速度：從旋轉到線速度

旋轉中輪子邊緣的一個點，移動速度遠比靠近輪軸的點快。然而，兩個點完成每一圈旋轉所需的時間卻完全相同。那麼，它們的運動速率到底相不相同？

繼續閱讀前，先預測一下：一個大齒輪和靠近其中心的一個小標記，都屬於同一個剛性圓盤。經過 \(0.50\text{ s}\) 後，圓盤轉過 \(90^\circ\)。哪一個標記的角速度較大？

它們的角速度相同。它們在相同時間內轉過相同角度。外側的標記移動的距離較長，因此具有較大的線速度。

這個差異–旋轉情況相同，但移動距離不同–正是角速度之所以有用的原因。

01用角度量度旋轉

對直線運動而言，速度告訴我們位置改變得有多快。

對旋轉運動而言，我們改為追蹤角度改變得有多快。

想像從輪子的中心畫一條線，連到輪緣上的一個點。當輪子旋轉時，這條線會掃過一個角度 \(\Delta\theta\)。

如果輪子在時間間隔 \(\Delta t\) 內轉過角位移 \(\Delta\theta\)，它的平均角速度為

\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

其中：

• \(\omega\) 是角速度，單位為弧度每秒（\(\text{rad s}^{-1}\)）
• \(\Delta\theta\) 是角位移，單位為弧度（\(\text{rad}\)）
• \(\Delta t\) 是時間間隔，單位為秒（\(\text{s}\)）

符號 \(\omega\) 是希臘字母 omega。

概念很簡單：角速度告訴你每秒發生多少弧度的旋轉。

02為什麼角度需要用弧度表示

你可能已經習慣用度來量度角度。一整圈是 \(360^\circ\)。

在圓周運動的方程式中，弧度更實用。一整圈是

\[ 2\pi \text{ rad} \]

因此

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]

所以

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

例如，

\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]

以及

\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]

為什麼要特地換單位？因為弧度能把角度直接與沿圓周移動的距離連結起來。

對於在半徑 \(r\) 處轉過角度 \(\theta\) 的物體，弧長 \(s\) 為

\[ s=r\theta \]

其中 \(s\) 和 \(r\) 以公尺量度，而 \(\theta\) 以弧度量度。

這個方程式之所以能如此簡潔地成立，是因為弧度本身就是利用圓來定義的。

03角速度和線速度並不是同一回事

現在回到旋轉中的圓盤。

在距離中心 \(0.10\text{ m}\) 的位置放一個點，並在距離中心 \(0.40\text{ m}\) 的位置放另一個點。由於圓盤是剛性的，在任何指定的時間間隔內，兩個點都會轉過相同角度。

因此，它們具有相同的角速度。

但它們移動的距離相同嗎？

不相同。外側的點沿著大得多的圓周移動。

利用

\[ s=r\theta \]

將等式兩邊都除以時間間隔：

\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]

對等速圓周運動而言，\(s/\Delta t\) 是線速率 \(v\)，而 \(\theta/\Delta t\) 是角速率 \(\omega\)。因此，

\[ v=r\omega \]

其中：

• \(v\) 是切向或線速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) 是到旋轉軸的距離，單位為公尺
• \(\omega\) 是角速率，單位為 \(\text{rad s}^{-1}\)

這個方程式就是旋轉運動與直線運動之間的橋樑。

一個實用的心智模型

想像四位朋友站在一個巨大的旋轉平台上不同位置。他們全都固定在地板上，這也順便替我們省去了好幾個職業健康與安全問題。

他們每秒都轉過相同的角度。這就是他們共有的角速度。

但是，靠近外緣的人在同一秒內必須移動更長的距離。因此，他們的線速度較大。

這個類比有其限制：真實的人並不是剛性固定在圓盤上的零件。他們可以相對於平台行走。當不同的點繞同一旋轉軸進行相同的旋轉時，方程式 \(v=r\omega\) 才能直接套用。

04最容易讓人誤解的地方

假設旋轉輪子上的兩個點具有相同的角速度。

學生可能會想：「速度相同，就代表速率相同。」

這聽起來合理，因為在直線運動中，我們通常會用一個速度來描述一個物體。但角速度與線速度量度的是不同種類的變化。

角速度問的是：

角度改變得有多快？

線速率問的是：

沿路徑移動的距離改變得有多快？

對相同的 \(\omega\) 而言，

\[ v=r\omega \]

所以半徑增加時，線速率也會增加。

半徑加倍，線速率也會加倍。

輪子的中心提供了一個很有用的極限情況。當 \(r=0\) 時，

\[ v=r\omega=0 \]

即使輪子本身可能具有非零的角速度也一樣。位於旋轉軸上的那個精確點並不會沿著圓形路徑移動。

05一整圈帶來另一個實用形式

假設一個物體完成一整圈所需的週期為 \(T\)。

一整圈對應的角位移為 \(2\pi\text{ rad}\)，所以

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

其中 \(T\) 是以秒表示的週期。

由於頻率 \(f\) 是每秒完成的圈數，

\[ f=\frac{1}{T} \]

我們也可以寫成

\[ \omega=2\pi f \]

這表示有三個物理量能以不同方式描述同一個旋轉速率：

如果你需要更多練習來連結週期、半徑與速率，請參閱 等速圓周運動中的速率、半徑與週期。

06角速度包含方向

到目前為止，我們主要討論的是角速度的大小。

嚴格來說，角速度是一個向量。其方向沿著旋轉軸，並利用右手定則判定。

將右手手指沿旋轉方向彎曲。你的拇指所指的方向，就是角速度向量的方向。

在許多涉及同一平面內運動的 HSC 計算中，也可以改用正負號慣例來區分順時針和逆時針旋轉。例如：

• 逆時針：正
• 順時針：負

你也可以選擇相反的慣例，只要前後一致即可。

假設一個輪子的角速度從 \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) 變為 \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\)。它最後的角速率只有 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)，但角速度的變化量為

\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]

負號很重要，因為輪子的旋轉方向已經反轉。

當你之後學習角加速度時，這個區別會變得很重要。

07\(v=r\omega\) 能告訴你什麼–又不能告訴你什麼

方程式

\[ v=r\omega \]

給出一個沿圓周運動的點，其瞬時切向速度的大小。

速度本身沿圓形路徑的切線方向，而不是指向遠離圓心的方向。

這帶來另一個值得預測的問題。做等速圓周運動的物體具有恆定速率。這是否代表它的速度保持不變？

不是。它的方向持續改變，因此即使速率不變，速度仍然持續改變。

速度改變表示存在加速度。在圓周運動中，這個加速度指向圓心。這就直接帶到向心加速度。

08解角速度題目的簡明方法

當一道圓周運動題目提到圈數、週期、半徑或速率時，可以依照以下順序：

1. 判斷已知資訊描述的是角度、完成一整圈的時間，還是線性距離。
2. 如有需要，把角度轉換成弧度。
3. 使用 \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) 或 \(\omega=2\pi/T\) 求角速度。
4. 如果需要求線速率，使用 \(v=r\omega\)。
5. 從物理意義檢查結果。如果 \(\omega\) 不變，距離旋轉軸較遠的點應具有較大的線速率。
6. 把角運動量與線運動量分開處理。弧度每秒和公尺每秒不能互換。

09問題與解答

問題 1

一個輪子在 \(1.6\text{ s}\) 內均勻轉過 \(4.8\text{ rad}\)。

計算：

a. 它的角速度
b. 距離旋轉軸 \(0.25\text{ m}\) 的一個點之線速率

解答 1

角速度為 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)，而該點以 \(0.75\text{ m s}^{-1}\) 的速率移動。

對 a 部分，使用

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

代入數值，

\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]

對 b 部分，使用

\[ v=r\omega \]

所以

\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]

該點每秒沿著它的圓形路徑移動 \(0.75\text{ m}\)。

一個很容易犯的錯誤，是把 \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) 和 \(0.75\text{ m s}^{-1}\) 當成完全相同物理量的兩種描述。它們彼此有關，但量度的是不同的東西：前者是角度變化的速率，後者則是移動距離變化的速率。

問題 2

兩個點 A 和 B 固定在同一個剛性旋轉圓盤上。A 距離圓心 \(0.15\text{ m}\)，B 距離圓心 \(0.45\text{ m}\)。

圓盤在 \(0.40\text{ s}\) 內轉過 \(120^\circ\)。

計算：

a. A 和 B 的角速度
b. 每個點的線速率
c. 比值 \(v_B:v_A\)

解答 2

兩個點的角速度都是 \(5.24\text{ rad s}^{-1}\)；A 以 \(0.785\text{ m s}^{-1}\) 移動，B 以 \(2.36\text{ m s}^{-1}\) 移動，而 \(v_B:v_A=3:1\)。

先把角度轉換：

\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]

對兩個點而言，

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]

它們具有相同的 \(\omega\)，因為它們固定在同一個剛性圓盤上，因此在相同時間內會掃過相同角度。

對 A，

\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]

對 B，

\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]

所以

\[ v_B:v_A=3:1 \]

一個很容易想到的錯誤推論是：既然 B 的移動速率是 A 的三倍，那麼 B 的角速度也一定是三倍。這是不正確的。它較大的速率完全來自於半徑是 A 的三倍：

\[ v=r\omega \]

角速度保持相同。

問題 3

一個半徑為 \(2.0\text{ m}\) 的圓形平台每 \(8.0\text{ s}\) 完成一整圈。

一名學生起初站在距離圓心 \(0.50\text{ m}\) 的位置，然後沿半徑方向向外走，直到距離圓心 \(1.5\text{ m}\)，同時相對於平台保持靜止。

平台繼續以相同週期旋轉。

比較學生向外移動前後的角速率與線速率。

解答 3

學生的角速率保持在 \(0.785\text{ rad s}^{-1}\)，而線速率則由 \(0.393\text{ m s}^{-1}\) 增加至 \(1.18\text{ m s}^{-1}\)。

平台的角速率為

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]

由於學生相對於平台保持靜止，因此在每一段時間間隔內，他們會和平台轉過相同角度。單獨改變半徑並不會改變他們的角速率。

起初，

\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]

最後，

\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]

半徑變成三倍，所以線速率也變成三倍。

一個看似合理但不正確的論點是：離圓心越遠，圓形路徑越長，因此完成每一圈一定需要更長時間。如果學生的線速率被固定不變，這個說法確實成立。但在這裡，被固定的是平台的週期。因此，學生必須以更大的速率沿著較大的圓形路徑移動，才能在相同時間內完成一整圈。

問題 4

兩個分開的水平圓盤繞固定的中心軸旋轉。

圓盤 X 的半徑為 \(0.20\text{ m}\)，角速率為 \(8.0\text{ rad s}^{-1}\)。圓盤 Y 的半徑為 \(0.40\text{ m}\)，角速率為 \(4.0\text{ rad s}^{-1}\)。

在某一瞬間，兩個圓盤邊緣上的一個點都正向東移動。

一名學生提出三個說法：

1. 兩個邊緣點具有相同的瞬時線速度。
2. 它們完成一整圈所需的時間相同。
3. 它們的向心加速度大小相同。

判斷哪些說法正確，並以定量方式說明每項判斷的理由。

解答 4

只有說法 1 正確。在題目所述的瞬間，兩個點具有相同的瞬時線速度，但圓盤 X 的週期是圓盤 Y 的一半，而其邊緣的向心加速度則是圓盤 Y 的兩倍。

對說法 1，

\[ v=r\omega \]

對 X，

\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

對 Y，

\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

題目也指出，在該瞬間兩個邊緣點都正向東移動。因此，它們的速度大小與方向都相同，所以說法 1 正確。

對說法 2，使用

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

對 X，

\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]

對 Y，

\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]

所以說法 2 錯誤。

對說法 3，向心加速度可以寫成

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

兩個點具有相同的 \(v\)，但它們的半徑不同。

對 X，

\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]

對 Y，

\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]

因此，說法 3 也錯誤。

一個很容易採取的捷徑，是看到兩個線速率相同，就假設兩種運動一定等同。事實並非如此。相同的切向速率可以來自不同的半徑與角速率組合。

圓盤 X 的半徑較小，但角速率較大。它的速度方向改變得更快，因此具有較大的向心加速度。

問題 5

兩顆小珠 A 和 B 固定在同一根剛性旋轉臂上的不同位置。A 距離旋轉軸 \(0.20\text{ m}\)，B 距離旋轉軸 \(0.50\text{ m}\)。

在某一瞬間，旋轉臂的角速率為 \(6.0\text{ rad s}^{-1}\)。

一名學生推論：

「B 的線速率比 A 大。因此，B 的速度改變得更快。所以 B 的角速度一定也比較大。」

另一名學生回答：

「不對。因為兩顆小珠都在同一根旋轉臂上，所以除了半徑之外，它們運動的一切都相同。」

評估這兩個論點。判斷 A 和 B 哪些物理量一定相同、哪些一定不同，並解釋為什麼兩名學生的說法都不完全正確。

假設旋轉臂在這一瞬間做等速旋轉。

解答 5

A 和 B 具有相同的角速度，但 B 具有較大的線速率與較大的向心加速度。兩名學生的整體論點都不正確，因為它們可以具有相同的角運動，而線運動則會隨半徑而改變。

由於 A 和 B 固定在同一根剛性旋轉臂上，因此在每一段時間間隔內，它們都會掃過相同的角位移。因此，

\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]

它們的線速率可由下式求得：

\[ v=r\omega \]

對 A，

\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]

對 B，

\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]

所以第一名學生說 B 的線速率較大，這一點是正確的。

然而，該學生推論的下一步並不成立。較大的線速率並不表示較大的角速度。在這裡，兩顆小珠的角速度完全相同，因為它們共享同一個剛性旋轉運動。

現在考慮每個速度向量改變得有多快。在等速圓周運動中，每顆小珠的向心加速度為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

對 A，

\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]

對 B，

\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]

因此，就每秒速度變化量的大小而言，B 的速度確實改變得更快，即使 A 和 B 具有相同的角速度。

所以第二名學生也只說對了一部分。固定在同一根剛性旋轉臂上，能保證它們具有相同的角位移、角速度與週期，但並不代表其他「一切」都相同。

半徑會改變好幾個線運動相關的物理量：

\[ v=r\omega \]

而且，由於

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入 \(v=r\omega\) 可得

\[ a_c=r\omega^2 \]

在角速率固定時，線速率與向心加速度都會隨半徑增加而增加。

這就是關鍵限制條件。一個剛性旋轉物體上的所有點可以共享同一種角運動，但這些點所經歷的線運動卻可能相當不同。

一旦掌握這個區別，角速度就不再只是一條孤立的公式。它會成為旋轉與其他圓周運動概念之間的連結：\(v=r\omega\) 把它與切向速率連結起來，而接著由 \(a_c=v^2/r\) 就能解釋，為什麼一個物體即使以恆定速率沿圓周運動，仍然必須具有指向圓心的加速度。