HSC 物理：通電線圈的轉矩

一個矩形線圈位於兩個磁極之間。電流流過線圈。其中一側受到向上的力，而相對的另一側受到向下的力。

如果這兩個磁力大小相等、方向相反，會發生甚麼：甚麼都不發生、向側面移動，還是轉動？

合力為零，所以線圈不會向側面加速。但這些力作用在不同的作用線上。它們共同產生轉動效應，也就是轉矩。

現在再作一個預測。當線圈的平面正對著磁場時，你會認為轉矩最大嗎？這聽起來很合理：磁場正直接穿過線圈。事實上，此時的轉矩為零。

理解其中原因，就能理解馬達方程式

\[
\tau=nIAB\sin\theta
\]

而不需要把它當作一條只能死記的公式。

01為甚麼大小相等、方向相反的力仍能使物體轉動

想像你正在嘗試扭開一個很緊的瓶蓋。你的雙手可以向相反方向施力。這些力的合力可以互相抵消，但瓶蓋仍然會轉動，因為這些力作用在不同的位置。

這就是一個力偶：兩個大小相等、方向相反且互相平行，並相隔一定距離的力。

通電線圈在磁場中的情況也很相似。在線圈相對的兩側，電流方向相反。因此，磁場會產生方向相反的磁力。

瓶蓋的類比有其限制。你可以把手放在任何位置，也可以選擇如何施力。但在馬達中，力的方向由電流方向和磁場決定。我們需要使用馬達效應的方程式，才能準確判斷會發生甚麼。

對於一條長度為 \(l\)、通有電流 \(I\)、置於磁場 \(B\) 中的直導線，

\[
F=BIl\sin\phi
\]

其中 \(\phi\) 是電流方向與磁場之間的夾角。

對簡單矩形馬達線圈的兩條有效邊而言，電流與磁場互相垂直，因此 \(\phi=90^\circ\)。所以，

\[
F=BIl
\]

作用在每一條有效邊上。

02從磁力推導轉矩

假設矩形線圈具有：

• 有效邊長度 \(l\)、
• 寬度 \(w\)、
• 電流 \(I\)，以及
• 磁場強度 \(B\)。

每一條有效邊都受到大小為 \(BIl\) 的力。

轉矩不只取決於力。它還取決於兩個力的作用線之間的垂直距離。

對一個力偶而言，

\[
\tau=Fd
\]

其中 \(d\) 是兩條作用線之間的垂直距離。

以下是重要的幾何關係。把 \(\theta\) 定義為磁場與線圈平面法線之間的夾角。

法線是一條想像中的直線，垂直伸出線圈的平面。

當法線與磁場的夾角為 \(\theta\) 時，兩個力的有效間距為

\[
d=w\sin\theta
\]

因此

\[
\tau=(BIl)(w\sin\theta)
\]

而由於矩形線圈的面積為 \(A=lw\)，

\[
\tau=IAB\sin\theta
\]

這適用於一匝線圈。

如果線圈包含 \(n\) 個相同的匝，每一匝都會在相同方向上貢獻轉矩：

\[
\boxed{\tau=nIAB\sin\theta}
\]

其中：

這個方程式給出轉矩的大小。轉動方向則必須根據電流和磁場的方向判斷。

03角度是學生最容易混淆的部分

在

\[
\tau=nIAB\sin\theta
\]

中的 \(\theta\)，通常不是線圈平面與磁場之間的夾角。

它是磁場與線圈法線之間的夾角。

這會完全改變計算結果。

因此，最大轉矩出現在

\[
\theta=90^\circ
\]

因為 \(\sin90^\circ=1\)。

此時

\[
\tau_{\max}=nIAB
\]

與其死記，不如把這個情況想像出來。當線圈平面與磁場平行時，兩個磁力具有最大的有效間距。它們的力臂達到最大，因此產生最大的轉矩。

當線圈平面與磁場垂直時，有效邊上仍然存在磁力，但相對於轉軸而言，這些力的作用線沒有有效間距。因此轉矩為零。

如果題目給出的是平面的角度

假設線圈平面與磁場之間的夾角為 \(\alpha\)。

對 \(0^\circ\) 至 \(90^\circ\) 之間的角度，

\[
\theta=90^\circ-\alpha
\]

所以

\[
\tau=nIAB\sin(90^\circ-\alpha)
\]

或

\[
\tau=nIAB\cos\alpha
\]

兩個方程式描述的是同一個物理情況。在考試中，最穩妥的方法通常是先把題目給出的角度轉換成法線與磁場之間的夾角 \(\theta\)，然後直接使用原本的公式。

04為甚麼馬達需要換向器

轉矩方程式中隱藏著一個問題。

想像線圈正轉向其法線與磁場對齊的位置。當它接近這個位置時，

\[
\theta\rightarrow0^\circ
\]

因此

\[
\tau\rightarrow0
\]

如果電流方向保持不變，而線圈越過這個位置，磁轉矩便會改為朝相反方向作用。磁力作用不會產生連續轉動，而是會傾向把線圈拉回對齊的方向。

簡單的直流馬達使用分裂環換向器來避免這個問題。換向器每半轉就把流過線圈的電流方向反轉一次。電流反轉後，兩條有效邊上的磁力也會反轉，因此轉矩能繼續沿所需的轉動方向作用。

仍然會有一個瞬間，轉矩為零。反轉電流並不會神奇地使 \(\sin0^\circ\) 變成非零。實際的旋轉系統可以靠自身的轉動越過這個位置，而實際馬達亦可使用多個以不同角度排列的線圈，使它們不會同時處於零轉矩狀態。

這也是為甚麼

\[
\tau=nIAB\sin\theta
\]

應理解為一條描述瞬時轉矩的方程式。旋轉中的馬達通常不會在每一個角度都受到相同大小的轉矩。

05另一種有用的線圈理解方式

電流迴路的行為，就像它具有一個垂直於自身平面的磁性方向。這由它的磁偶極矩描述。

其大小為

\[
\mu=nIA
\]

因此，轉矩方程式也可以寫成

\[
\tau=\mu B\sin\theta
\]

磁場會傾向使迴路的磁偶極矩轉向與磁場對齊。

這種理解方式可以很清楚地解釋兩種極端情況：

• 如果磁偶極矩已經與磁場平行或反平行，轉矩為零；
• 如果磁偶極矩與磁場垂直，轉矩大小最大。

反轉電流會使線圈磁偶極矩的方向反轉。這也是理解換向器作用的另一種方式。

06公式所作的假設

這條熟悉的馬達公式非常有用，但它並不是萬能的。它建立在特定的模型上。

我們通常假設磁場在線圈範圍內近似均勻、每一匝具有相同面積、每一匝中的電流相同，而且線圈是剛性和平面的。

這很重要，因為在強烈不均勻的磁場中，大小相等、方向相反的力這一論述可能不再成立。一側可能受到比另一側更大的力。此時線圈可能同時受到轉矩和非零合力。

比較不同馬達設計時，這一點也很重要。方程式表示，如果其他條件都保持不變，把 \(n\) 加倍便會使轉矩加倍。但在真實線圈中，改變匝數也可能改變其電阻，因而改變電流。你不能總是在改變一個符號的同時，假裝其他量都保持不變。

07問題與解答

問題 1

一個 80 匝的馬達線圈面積為 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)。它在 \(0.40\text{ T}\) 的磁場中通有 \(1.2\text{ A}\) 的電流。線圈法線與磁場之間的夾角為 \(30^\circ\)。

計算轉矩。

解答 1

轉矩為

\[
\boxed{4.8\times10^{-2}\text{ N m}}
\]

所用的方程式是

\[
\tau=nIAB\sin\theta
\]

題目給出的 \(30^\circ\) 已經是法線與磁場之間的夾角，因此不需要轉換角度。

代入得

\[
\begin{aligned}
\tau
&=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)\sin30^\circ\\
&=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)(0.5)\\
&=4.8\times10^{-2}\text{ N m}
\end{aligned}
\]

一個很容易犯的錯誤，是認為 \(30^\circ\) 是 \(90^\circ\) 的三分之一，所以轉矩也應該是最大值的三分之一。轉矩並不隨角度呈線性變化，而是隨 \(\sin\theta\) 變化。

在 \(30^\circ\) 時，轉矩恰好是最大值的一半。

問題 2

一個 200 匝的線圈通有 \(0.80\text{ A}\) 的電流。每一匝的面積為 \(1.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)，磁場強度為 \(0.50\text{ T}\)。

在某一瞬間，測得的轉矩大小為 \(0.096\text{ N m}\)。

求出 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間所有可能的 \(\theta\) 值，其中 \(\theta\) 是線圈法線與磁場之間的夾角。解釋為甚麼只知道轉矩大小，無法判定唯一的線圈方向。

解答 2

可能的角度約為

\[
\boxed{\theta=53.1^\circ\text{ 或 }126.9^\circ}
\]

而單憑轉矩大小無法區分兩者。

先計算可能的最大轉矩：

\[
\begin{aligned}
\tau_{\max}
&=nIAB\\
&=(200)(0.80)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\
&=0.120\text{ N m}
\end{aligned}
\]

現在使用測得的轉矩：

\[
\begin{aligned}
0.096&=0.120\sin\theta\\
\sin\theta&=0.800
\end{aligned}
\]

計算器會給出第一個解，

\[
\theta=\sin^{-1}(0.800)=53.1^\circ
\]

但正弦在 \(180^\circ-\theta\) 時具有相同的正值。因此，

\[
180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ
\]

也是可能的。

一個很容易採用的方法，是按一次反正弦鍵後便停止計算。這會忽略 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 完整範圍內的幾何關係。

這裡還有一個更深層的限制。純量方程式 \( \tau=nIAB\sin\theta \) 給出的是轉矩大小。若要判定實際的轉動方向，還需要知道線圈的方位，以及電流與磁場的方向。

問題 3

一個面積為 \(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) 的 60 匝線圈，在 \(0.25\text{ T}\) 的磁場中通有 \(1.5\text{ A}\) 的電流。

線圈正在轉向其法線與磁場平行的位置。考慮線圈法線距離對齊位置 \(10^\circ\) 時的情況。

計算此位置的轉矩大小。然後解釋線圈剛越過對齊位置後會發生甚麼：

a. 如果電流沒有反轉，以及
b. 如果一個時機正確的分裂環換向器使電流反轉。

並解釋在完全對齊的確切瞬間會發生甚麼。

解答 3

距離對齊位置 \(10^\circ\) 時的轉矩大小約為

\[
\boxed{1.56\times10^{-2}\text{ N m}}
\]

如果沒有反轉電流，線圈越過對齊位置後，轉矩的轉動效應會反轉。若換向正確，電流會反轉，使馬達轉矩繼續沿原定的轉動方向作用。在完全對齊的瞬間，無論哪種情況，轉矩都是零。

先計算轉矩大小：

\[
\begin{aligned}
\tau
&=nIAB\sin\theta\\
&=(60)(1.5)(4.0\times10^{-3})(0.25)\sin10^\circ\\
&=1.56\times10^{-2}\text{ N m}
\end{aligned}
\]

在對齊之前的一瞬間，磁力產生的轉矩會使線圈傾向轉向對齊位置。

如果線圈越過該位置而電流保持不變，幾何位置便已跨到對齊位置的另一側。此時磁力作用會傾向使線圈轉回對齊位置。因此，其轉矩會抵抗原本使線圈越過該位置的運動。

一個很容易想到的論點是，因為對齊位置兩側的 \(\sin10^\circ\) 大小相同，所以轉矩必定保持不變。這裡遺漏的是方向資訊。純量方程式告訴我們的是大小，而不是轉動效應的方向。

使用分裂環換向器時，流過線圈的電流會在適當時刻反轉。因此，每一條有效邊上的磁力也會反轉。這會改變相對於線圈的轉矩方向，使轉矩能繼續推動相同的整體轉動方向。

在完全對齊的瞬間，

\[
\theta=0^\circ
\]

所以

\[
\tau=nIAB\sin0^\circ=0
\]

即使在該瞬間反轉電流，轉矩仍然為零。實際馬達需要依靠慣性，或使用位於不同方位的額外線圈，才能可靠地越過這個死點。

問題 4

一個 40 匝的矩形線圈位於不均勻磁場中。每一條有效邊長 \(0.050\text{ m}\)，兩條有效邊相距 \(0.030\text{ m}\)。電流為 \(2.0\text{ A}\)。

線圈位於力臂最大的方位。左側有效邊位置的磁場為 \(0.60\text{ T}\)，右側有效邊位置的磁場則為 \(0.40\text{ T}\)。兩側的磁場方向相同。

假設每一條有效邊都與當地磁場垂直。

a. 計算每一條有效邊所受的總磁力大小。
b. 求線圈所受的合力。
c. 計算繞線圈中心的轉矩。
d. 一名學生把兩個磁場的平均值 \(B=0.50\text{ T}\) 代入 \( \tau=nIAB \)，得到相同的轉矩。解釋為甚麼這並不表示標準的均勻磁場模型能完整描述此情況。

解答 4

兩條有效邊所受的力分別為

\[
\boxed{2.4\text{ N 和 }1.6\text{ N}}
\]

線圈所受的合力為

\[
\boxed{0.80\text{ N}}
\]

方向與較大一側的力相同，而繞線圈中心的轉矩為

\[
\boxed{6.0\times10^{-2}\text{ N m}}
\]

在這種對稱幾何配置下，使用平均磁場剛好能得到相同的轉矩，但它完全忽略了非零合力。

對左側而言，

\[
\begin{aligned}
F_L
&=nB_LIl\\
&=(40)(0.60)(2.0)(0.050)\\
&=2.4\text{ N}
\end{aligned}
\]

對右側而言，

\[
\begin{aligned}
F_R
&=nB_RIl\\
&=(40)(0.40)(2.0)(0.050)\\
&=1.6\text{ N}
\end{aligned}
\]

由於兩條有效邊上的電流方向相反，因此兩個力的方向也相反。

它們的大小不相等，因此不能互相抵消：

\[
F_{\text{net}}=2.4-1.6=0.80\text{ N}
\]

現在計算轉矩。因為

\[
\frac{0.030}{2}=0.015\text{ m}
\]

所以每個力的作用線與中心相距 \(0.015\text{ m}\)。

雖然兩個力方向相反，但它們產生的轉矩方向相同：

\[
\begin{aligned}
\tau
&=F_L(0.015)+F_R(0.015)\\
&=(2.4)(0.015)+(1.6)(0.015)\\
&=0.060\text{ N m}
\end{aligned}
\]

現在考慮學生使用平均磁場的方法。

線圈面積為

\[
A=(0.050)(0.030)=1.5\times10^{-3}\text{ m}^2
\]

使用 \(B_{\text{avg}}=0.50\text{ T}\)，

\[
\begin{aligned}
\tau
&=nIAB_{\text{avg}}\\
&=(40)(2.0)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\
&=0.060\text{ N m}
\end{aligned}
\]

所以轉矩的數值確實相同。

一個很容易得出的結論是，用平均值取代不均勻磁場後，就已經解決整個問題。事實並非如此。標準的簡單馬達模型假設兩側的力大小相等、方向相反，因此合力為零。但在這裡，線圈受到 \(0.80\text{ N}\) 的非零合力。

更完整而正確的方法，是計算線圈各部分所受的磁力，然後求出合力和合轉矩。平均磁場能在這個特定的轉矩計算中成立，是因為兩側的力臂相等。這個巧合並不代表磁場是均勻的。

問題 5

兩個處於堵轉狀態的馬達線圈使用相同的矩形框架，因此每一匝的面積都相同，為 \(A=2.0\times10^{-3}\text{ m}^2\)。兩者都置於同一個 \(0.50\text{ T}\) 磁場中、處於最大轉矩的位置，並分別接到理想的 \(12\text{ V}\) 電源。

線圈 A 有 100 匝，電阻為 \(4.0\,\Omega\)。

線圈 B 重新繞製成 200 匝，但所使用的銅的總體積與線圈 A 相同。假設因為框架不變，所以每一匝的長度相同。

使用

\[
R=\rho\frac{L}{S}
\]

其中 \(\rho\) 是銅的電阻率，\(L\) 是導線總長度，\(S\) 是導線的截面積。

a. 求線圈 B 的電阻和電流。
b. 計算兩個線圈各自的最大轉矩。
c. 解釋為甚麼在這種情況下，把匝數加倍反而使轉矩減小。
d. 如果改用理想電流源，強制使 \(3.0\text{ A}\) 的電流流過兩個線圈，比較它們的最大轉矩。

忽略因加熱造成的電阻變化和反電動勢。

解答 5

使用固定電壓電源時，線圈 B 有

\[
\boxed{R_B=16\,\Omega,\qquad I_B=0.75\text{ A}}
\]

而它只能產生

\[
\boxed{0.15\text{ N m}}
\]

相比之下，線圈 A 的轉矩為

\[
\boxed{0.30\text{ N m}}
\]

儘管線圈 B 的匝數是兩倍，它產生的轉矩卻只有一半。若改用理想的 \(3.0\text{ A}\) 電流源，線圈 B 的轉矩則會是線圈 A 的兩倍。

關鍵限制條件是銅的總量固定。

線圈 B 在相同框架上有兩倍的匝數，所以其導線總長度加倍：

\[
L_B=2L_A
\]

為了保持銅的體積不變，使用

\[
V_{\text{copper}}=LS
\]

如果 \(L\) 加倍，導線的截面積就必須減半：

\[
S_B=\frac{S_A}{2}
\]

現在比較電阻：

\[
R=\rho\frac{L}{S}
\]

所以

\[
\frac{R_B}{R_A}
=
\frac{2L_A/(S_A/2)}{L_A/S_A}
=4
\]

因此，

\[
R_B=4(4.0)=16\,\Omega
\]

在堵轉狀態下，忽略反電動勢，利用歐姆定律可得線圈 A 的電流：

\[
I_A=\frac{V}{R_A}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ A}
\]

對線圈 B，

\[
I_B=\frac{12}{16}=0.75\text{ A}
\]

現在計算線圈 A 的最大轉矩：

\[
\begin{aligned}
\tau_A
&=nIAB\\
&=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\
&=0.30\text{ N m}
\end{aligned}
\]

對線圈 B，

\[
\begin{aligned}
\tau_B
&=(200)(0.75)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\
&=0.15\text{ N m}
\end{aligned}
\]

一個很容易採用的論點是

\[
\tau\propto n
\]

所以把 \(n\) 加倍就應該使轉矩加倍。

只有在 \(I\)、\(A\)、\(B\) 和 \(\theta\) 都保持不變時，這個正比關係才成立。這裡並非如此。在保持銅總量不變的情況下把匝數加倍，會使電阻增加至四倍。在固定電壓下，電流會減至原來的四分之一。

重要的是乘積 \(nI\)：

\[
(nI)_A=(100)(3.0)=300
\]

而

\[
(nI)_B=(200)(0.75)=150
\]

所以線圈 B 的最大轉矩只有一半。

現在改變限制條件。假設使用理想電流源，使 \(3.0\text{ A}\) 的電流流過任一線圈。

則

\[
\tau_A=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.30\text{ N m}
\]

而

\[
\tau_B=(200)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.60\text{ N m}
\]

所以此時線圈 B 產生的轉矩是兩倍。

物理原理本身並沒有互相矛盾。改變的是供電條件。「匝數越多，轉矩越大」這個說法，只有在電流確實可以視為保持不變時才成立。

08接下來可以理解甚麼

方程式

\[
\tau=nIAB\sin\theta
\]

不只是用來計算一個數值。它解釋了為甚麼馬達的轉矩會隨著轉子轉動而改變、為甚麼線圈會有死點、為甚麼換向器必須反轉電流，以及為甚麼改變馬達的繞組可能同時影響多個變量。

下一個有用的步驟，是把這種變化中的轉矩與電磁感應連結起來。當馬達實際旋轉時，運動中的線圈也會產生一個抵抗電源的感應電動勢。這個反電動勢會改變電流，而電流的改變又會再次改變轉矩。因此，真實的馬達其實是一個由運動、感應電動勢、電流和轉矩互相作用所形成的回饋系統，而不只是一個具有固定 \(nIAB\) 的線圈。