交流發電機：正弦電動勢與滑環詳解

處於磁場中的旋轉線圈，可能在磁通量恰好達到最大值的瞬間，感應電動勢卻為零。再轉過四分之一圈後，磁通量為零，但電動勢卻達到最大值。

乍聽之下，這似乎與直覺相反。在繼續閱讀之前，先想一想：產生電動勢時，哪個因素更重要？是穿過線圈的磁通量有多少，還是磁通量變化得有多快？

真正重要的是磁通量的變化率。理解這個概念後，交流發電機為何會產生正弦波形的輸出，以及滑環的實際作用，都會變得容易理解得多。

01從一個旋轉線圈開始

想像一個矩形線圈，以固定的速率在磁鐵的兩極之間旋轉。

磁場會穿過線圈所圍成的面積。穿過線圈的磁場有多少，取決於線圈的方向。

你可以想像有一支箭頭從線圈表面垂直伸出。這支箭頭代表線圈的面積法線。

當箭頭沿著磁場方向時，磁場會盡可能直接穿過線圈，此時磁通量的絕對值最大。

將線圈旋轉 \(90^\circ\)。此時，磁場沿著線圈所在的平面延伸，而不是穿過線圈，因此磁通量為零。

再旋轉 \(90^\circ\)。磁場再次直接穿過線圈，但這次是從相反的一面穿過。我們將此時的磁通量視為負值。

對單一匝而言，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是穿過該匝的磁通量，單位為韋伯（\(\text{Wb}\)）
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉（\(\text{T}\)）
• \(A\) 是該匝所圍成的面積，單位為平方公尺（\(\text{m}^2\)）
• \(\theta\) 是磁場與面積法線之間的夾角。

磁通量的正負號用來表示磁場穿過線圈的方向。

02為什麼磁通量最大時，電動勢反而為零？

以下是關鍵的預測。

假設線圈位於 \(\theta=0^\circ\)，此時磁通量達到最大值。感應電動勢是否也達到最大值？

不是。此時電動勢為零。

法拉第定律指出，感應電動勢取決於磁通量的變化率：

\[ \mathcal{E}=-N\frac{d\Phi}{dt} \]

其中，\(\mathcal{E}\) 是感應電動勢，單位為伏特（\(\text{V}\)）；\(N\) 是線圈的匝數。

負號來自楞次定律。它表示感應效應的方向會阻礙造成該效應的變化。

想像一座山丘的頂端。你在那裡的高度最高，但在到達頂端的那一瞬間，你的垂直位置並沒有改變。某個量的數值最大，不代表它的變化率也最大。

這個比喻並不完全適用，因為磁通量並不是真正的高度；不過，將某個物理量本身與它的變化率區分開來，正是這個比喻最有用的地方。

當 \(\theta=0^\circ\) 時，磁通量正處於一個週期的最高點。線圈只要稍微旋轉，磁通量就只會略微改變，因此它在該瞬間的變化率為零。

當 \(\theta=90^\circ\) 時，磁通量本身為零，但它的變化速率最大。此時，電動勢的絕對值最大。

電動勢的正負號取決於你將哪個端子定義為正極。真正重要的物理規律，是電動勢依序經過零、最大值、零，以及反方向的最大值。

03正弦波是如何產生的？

現在假設線圈以恆定角速度 \(\omega\) 旋轉。

角速度表示角度變化的快慢：

\[ \theta=\omega t \]

其中，\(t\) 是時間，單位為秒；\(\omega\) 是角速度，單位為弧度每秒（\(\text{rad s}^{-1}\)）。

因此，穿過單匝線圈的磁通量為

\[ \Phi=BA\cos(\omega t) \]

根據法拉第定律，

\[ \mathcal{E}=-N\frac{d}{dt}\left[BA\cos(\omega t)\right]. \]

當 \(B\)、\(A\) 和 \(\omega\) 都是常數時，

\[ \mathcal{E}=NBA\omega\sin(\omega t). \]

因此，我們通常將它寫成

\[ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin(\omega t) \]

其中

\[ \mathcal{E}_{\text{max}}=NBA\omega. \]

這就是為什麼理想線圈在均勻磁場中以恆定速度旋轉時，會產生正弦波形的電動勢。

如果增加以下任何一項，最大電動勢都會增大：

• 匝數 \(N\)
• 磁場強度 \(B\)
• 線圈面積 \(A\)
• 角速度 \(\omega\)。

電氣輸出的頻率也由旋轉頻率決定。對於每旋轉一圈就完成一個電氣週期的簡單單環模型，

\[ \omega=2\pi f \]

其中，\(f\) 是頻率，單位為赫茲（\(\text{Hz}\)）。

還有一個值得注意的相位細節。上述方程式假設在 \(t=0\) 時，面積法線沿著磁場方向。此時磁通量最大，而電動勢為零。

如果線圈從另一個方向開始旋轉，電動勢仍然會呈現正弦波形，但正弦波會在時間上發生相位偏移。此時，你也可以改用餘弦函數來描述它。

04滑環的實際作用是什麼？

旋轉線圈現在面臨一個實際問題：它的兩端都在旋轉，但外部電路是固定不動的。

你不能只是接上普通的固定導線，然後任由它們不斷纏繞。

交流發電機透過兩個滑環來解決這個問題。

旋轉線圈的每一端都連接到一個獨立、連續的導電環。兩個導電環都會隨著線圈一起旋轉。

固定不動的電刷會壓在旋轉的滑環上，藉此維持旋轉線圈與固定外部電路之間的電氣接觸。

一個有點滑稽的比喻或許能幫助你理解。想像兩個人站在一個旋轉的餐廳平台上，各自拿著一個獨立的手機充電器。為了避免電線不斷纏繞，最後變成一團電氣義大利麵，每個充電器都連接到自己的圓形導電軌道。固定不動的接點可以持續接觸各自的軌道。

關鍵在於，這兩條軌道始終彼此分離。它們不會每轉半圈就互換連接對象。

當然，這個比喻也有其限制。實際的滑環是導電的機械元件，而電刷會與滑環形成滑動式電氣接觸。

滑環不會產生交變電動勢

這個區別經常被混淆。

感應電動勢之所以會反向，是因為線圈導線切割磁場的方向每轉半圈就會反轉。換句話說，在旋轉的前半圈與後半圈，磁通量的變化方向相反。

滑環的作用，只是維持線圈每一端與相應電刷之間的連接。

因此，以下這種解釋恰好顛倒了因果關係：

電流會交替變向，是因為電刷會從一個滑環換到另一個滑環。

事實並非如此。

每個電刷始終與自己的滑環接觸。傳送到這些滑環的電氣極性會改變，是因為旋轉線圈中的感應電動勢改變了方向。

另外，使用「電流」一詞時也要精確。即使外部電路處於開路狀態，仍然可能存在電動勢。只有當電路完整，且電荷能夠流動時，才會有交變電流。

05滑環與分裂環換向器的比較

這是發電機比較題中最容易失分的地方之一，因為這兩種裝置的外觀很相似。

分裂環換向器會額外執行一項操作。每轉半圈，它就會機械式地交換與各個外部電刷接觸的線圈端。

這種切換可以將線圈本身自然交變的電動勢，轉換成外部極性固定的脈動輸出。

滑環不會執行這種整流作用。

06計算範例：求最大電動勢與瞬時電動勢

一個 200 匝的線圈，面積為 \(3.0\times10^{-3}\text{ m}^2\)，在均勻的 \(0.40\text{ T}\) 磁場中以 \(50\text{ Hz}\) 旋轉。在 \(t=0\) 時，面積法線與磁場平行。求最大感應電動勢，以及 \(t=3.0\text{ ms}\) 時的電動勢。

步驟 1：將旋轉頻率換算成角速度。

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(50)\\ &=314\text{ rad s}^{-1}. \end{aligned} \]

步驟 2：求最大電動勢。

使用

\[ \mathcal{E}_{\text{max}}=NBA\omega. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_{\text{max}} &=(200)(0.40)(3.0\times10^{-3})(314)\\ &=75.4\text{ V}. \end{aligned} \]

因此，發電機產生的電動勢大小最高約可達 \(75\text{ V}\)。

步驟 3：求經過 \(3.0\text{ ms}\) 後的相位。

將毫秒換算成秒：

\[ t=3.0\times10^{-3}\text{ s}. \]

由於線圈開始時的磁通量最大，

\[ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin(\omega t). \]

因此，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E} &=75.4\sin[(314)(3.0\times10^{-3})]\\ &=75.4\sin(0.942)\\ &=61.0\text{ V}. \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

電動勢為正，而且已經相當接近最大值。線圈在 \(t=0\) 時的電動勢為零，而在這段旋轉過程中，磁通量正以愈來愈快的速度減少。

這裡的正負號採用正弦方程式所使用的端子極性約定。如果將另一個輸出端子定義為正極，所有電動勢的正負號都會反轉，但物理現象不會改變。

07計算範例：利用磁通量判斷線圈在週期中的位置

一個 120 匝的線圈，面積為 \(0.015\text{ m}^2\)，在 \(0.25\text{ T}\) 的均勻磁場中以 \(1500\text{ rpm}\) 旋轉。在 \(t=0\) 時，面積法線與磁場平行，且線圈開始沿著 \(\theta\) 增大的方向旋轉。

求最大電動勢，以及磁通量首次下降至每匝最大正磁通量一半時的瞬時電動勢。

步驟 1：將旋轉速度換算成赫茲。

一分鐘有 60 秒，因此

\[ f=\frac{1500}{60}=25\text{ Hz}. \]

所以，

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(25)\\ &=157\text{ rad s}^{-1}. \end{aligned} \]

步驟 2：求最大電動勢。

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_{\text{max}} &=NBA\omega\\ &=(120)(0.25)(0.015)(157)\\ &=70.7\text{ V}. \end{aligned} \]

步驟 3：利用磁通量資訊求角度。

單匝線圈的最大正磁通量為

\[ \Phi_{\text{max}}=BA. \]

題目告訴我們，

\[ \Phi=\frac{1}{2}\Phi_{\text{max}}. \]

由於

\[ \Phi=BA\cos\theta, \]

因此

\[ BA\cos\theta=\frac{1}{2}BA. \]

所以，

\[ \cos\theta=\frac{1}{2}. \]

在線圈從 \(\theta=0^\circ\) 開始旋轉後，第一次滿足這個條件的角度是

\[ \theta=60^\circ. \]

步驟 4：求該角度下的電動勢。

\[ \begin{aligned} \mathcal{E} &=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin\theta\\ &=(70.7)\sin60^\circ\\ &=61.2\text{ V}. \end{aligned} \]

因此，瞬時電動勢約為 \(+61\text{ V}\)。

這裡藏著一個容易忽略的陷阱。在線圈之後旋轉至 \(300^\circ\) 時，磁通量會再次回到相同的正值 \(BA/2\)，但此時電動勢卻是負值。

單憑磁通量，無法判斷電動勢的方向。你還需要知道磁通量正在增加還是減少。

08最容易令人誤解的一點：磁通量與電動勢並不是同一張圖

學生經常以為，磁通量愈大，電動勢就會愈大。

如果法拉第定律指出電動勢取決於磁通量本身，這樣想或許合理。但事實並非如此。電動勢取決於磁通量的變化率。

對於我們的旋轉線圈，

\[ \Phi=BA\cos(\omega t) \]

而

\[ \mathcal{E}=NBA\omega\sin(\omega t). \]

這兩條曲線的相位相差四分之一個週期，也就是 \(90^\circ\)。

以下是一個實用的快速判斷規則：

• 磁通量達到最大值或最小值 \(\rightarrow\) 瞬時電動勢為零
• 穩定旋轉時磁通量為零 \(\rightarrow\) 電動勢的絕對值最大
• 磁通量減少 \(\rightarrow\) 電動勢呈現某一種極性
• 磁通量增加 \(\rightarrow\) 在固定的端子極性約定下，電動勢呈現相反的極性。

不要將這些規則當作彼此無關的事實來背誦。它們全部都源自同一個關係式：

\[ \mathcal{E}=-N\frac{d\Phi}{dt}. \]

09產生正弦波，不只是旋轉就足夠

簡單的方程式

\[ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin(\omega t) \]

其實隱含了幾個假設：

• 磁場是均勻的
• 線圈的幾何形狀保持不變
• 線圈繞著預定的軸旋轉
• 角速度保持恆定。

如果旋轉速度改變，電動勢就不一定會隨時間呈現正弦波形。

對於旋轉線圈，在任何瞬間都有

\[ \mathcal{E}=NBA\frac{d\theta}{dt}\sin\theta. \]

由於 \(d\theta/dt\) 是瞬時角速度，因此可以寫成

\[ \mathcal{E}=NBA\omega\sin\theta. \]

如果 \(\omega\) 本身會改變，那麼線圈在週期中前進的速度，以及它所產生的電動勢大小，都會隨之改變。

因此，「旋轉線圈會產生正弦波」是一個很有用的初步模型，但並非在所有情況下都成立。只有在理想幾何條件下以恆定速度旋轉，才會產生標準的正弦時間變化。

10當發電機向負載供電時，會發生什麼事？

當電流流過旋轉線圈時，線圈中的電流本身也處於磁場之中。因此，電動機效應會在線圈上產生轉矩。

根據楞次定律，這個電磁轉矩會阻礙驅動發電機的旋轉運動。

這就是為什麼，如果要維持發電機的轉速不變，從發電機取得愈多電功率，就需要提供愈多機械輸入功率。能量是在不同形式之間轉移，而不是憑空產生。

研究電動機時，也會從相反的角度遇到這一系列概念。在電動機中，旋轉會產生反電動勢，抵抗外加電壓。你可以參考直流電動機中的反電動勢：HSC 物理解析，將這些概念連結起來。

11題目與解答

題目 1

一個面積為 \(0.012\text{ m}^2\) 的 80 匝線圈，在磁場強度為 \(0.30\text{ T}\) 的均勻磁場中以 \(20\text{ Hz}\) 旋轉。

計算最大感應電動勢。

解答 1

最大感應電動勢約為 \(36\text{ V}\)。

對於以恆定角速度旋轉的線圈，

\[ \mathcal{E}_{\text{max}}=NBA\omega. \]

首先，計算角速度：

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(20)\\ &=125.7\text{ rad s}^{-1}. \end{aligned} \]

接著，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_{\text{max}} &=(80)(0.30)(0.012)(125.7)\\ &=36.2\text{ V}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \mathcal{E}_{\text{max}}\approx36\text{ V}. \]

一個容易犯的錯誤，是直接將 \(20\) 當作 \(\omega\) 使用。題目給出的 \(20\text{ Hz}\) 是每秒旋轉的圈數，而發電機方程式需要的是以弧度每秒表示的角速度。

題目 2

一部交流發電機在以 \(25\text{ Hz}\) 旋轉時，產生的最大電動勢為 \(50\text{ V}\)。

在 \(t=0\) 時，線圈平面與磁場平行，而且電動勢正處於正向最大值。

寫出電動勢隨時間變化的方程式，並求出 \(t=0\) 之後電動勢第一次變為零的時間。

解答 2

電動勢可以寫成 \(\mathcal{E}=50\cos(50\pi t)\)，第一次變為零的時間為 \(t=0.010\text{ s}\)。

關鍵線索是線圈開始時的方向。如果線圈平面與磁場平行，其面積法線就會與磁場垂直。因此，磁通量為零。

在穩定旋轉時，磁通量為零的位置正是電動勢絕對值最大的地方。題目指出電動勢一開始為正值，因此波形從正向峰值開始。

首先，計算角頻率：

\[ \omega=2\pi f=2\pi(25)=50\pi\text{ rad s}^{-1}. \]

餘弦函數從最大值開始，因此

\[ \mathcal{E}=50\cos(50\pi t). \]

餘弦函數第一次變為零時，其引數為 \(\pi/2\)：

\[ \begin{aligned} 50\pi t&=\frac{\pi}{2}\\ t&=\frac{1}{100}\\ &=0.010\text{ s}. \end{aligned} \]

你也可以使用相位經過平移的正弦函數，來描述同一個物理輸出。

一個容易犯的錯誤，是直接寫成 \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin\omega t\)。這個形式假設在 \(t=0\) 時電動勢為零。但在本題中，題目給出的初始方向代表電動勢已經達到最大值，因此必須調整相位。

題目 3

考慮一部只連接電阻 \(R\) 的理想交流發電機。線圈的 \(N\)、\(B\) 和 \(A\) 都保持不變，而且可以忽略機械損耗與內部電阻。

一部電動機以恆定的機械轉矩驅動發電機。起初，系統以角速度 \(\omega_1\) 穩定旋轉。

負載電阻突然從 \(R\) 改變為 \(R/2\)。

解釋以下情況會如何發生變化：

• 電阻改變後的瞬間
• 發電機減速或加速的過程
• 達到新的穩定角速度時。

求出新的角速度與 \(\omega_1\) 的關係，並比較最終的均方根電流與原來的數值。

解答 3

發電機起初會受到較大的反向轉矩，接著減速至 \(\omega_1/2\)。在新的穩定狀態下，均方根電流會恢復至電阻減半之前的相同數值。

電阻改變後的瞬間，線圈不可能立即改變旋轉速度。其角速度仍然是 \(\omega_1\)，因此產生的電動勢最初保持不變。

在電動勢相同、電阻減半的情況下，

\[ I=\frac{\mathcal{E}}{R} \]

表示電流最初會加倍。

較大的電流會在線圈上產生更強的磁力。根據楞次定律，所產生的電磁轉矩會阻礙發電機旋轉。由於驅動轉矩並沒有增加，發電機因此開始減速。

現在來求最終的穩定轉速。

令

\[ k=NBA. \]

最大電動勢為

\[ \mathcal{E}_{\text{max}}=k\omega. \]

對於正弦波形的電動勢，

\[ \mathcal{E}_{\text{rms}}=\frac{k\omega}{\sqrt{2}}. \]

因此，輸送至電阻的平均電功率為

\[ \begin{aligned} P&=\frac{\mathcal{E}_{\text{rms}}^2}{R}\\ &=\frac{k^2\omega^2}{2R}. \end{aligned} \]

對於以穩定速度運轉的理想發電機，轉換成電能的機械功率為

\[ P=\tau\omega, \]

因此，反向電磁轉矩為

\[ \begin{aligned} \tau&=\frac{P}{\omega}\\ &=\frac{k^2\omega}{2R}. \end{aligned} \]

最初，

\[ \tau_{\text{drive}}=\frac{k^2\omega_1}{2R}. \]

當電阻變成 \(R/2\) 後，新的穩定狀態必須維持相同的恆定驅動轉矩：

\[ \frac{k^2\omega_1}{2R} = \frac{k^2\omega_2}{2(R/2)}. \]

由於 \(2(R/2)=R\)，

\[ \frac{k^2\omega_1}{2R} = \frac{k^2\omega_2}{R}. \]

因此，

\[ \omega_2=\frac{\omega_1}{2}. \]

最終產生的均方根電動勢也會減半，因為電動勢與角速度成正比：

\[ \mathcal{E}_{\text{rms},2} = \frac{1}{2}\mathcal{E}_{\text{rms},1}. \]

但電阻也同時減半：

\[ \begin{aligned} I_{\text{rms},2} &=\frac{\mathcal{E}_{\text{rms},1}/2}{R/2}\\ &=\frac{\mathcal{E}_{\text{rms},1}}{R}\\ &=I_{\text{rms},1}. \end{aligned} \]

因此，最終的均方根電流保持不變。

一個容易令人誤判的答案是：「電阻減半，電流就會加倍。」當開關剛切換，而旋轉速度尚未改變時，這句話確實正確。但它並不適用於最終狀態，因為額外的電磁制動會改變發電機的轉速，進而改變它的電動勢。

題目 4

一個面積為 \(0.020\text{ m}^2\) 的 100 匝線圈，在 \(0.25\text{ T}\) 的均勻磁場中旋轉，但其角速度並非常數。

採用固定的端子極性約定，發電機在通過 \(\theta=90^\circ\) 時的角速度為 \(100\text{ rad s}^{-1}\)。在同一圈旋轉稍後通過 \(\theta=270^\circ\) 時，角速度為 \(70\text{ rad s}^{-1}\)。

計算線圈在這兩個位置的電動勢。

這兩個位置的磁通量都為零。解釋為什麼電動勢的絕對值仍然不同，並判斷發電機在這一圈旋轉期間產生的電動勢能否在時間上呈現完美的正弦波形。

解答 4

在 \(90^\circ\) 時，電動勢為 \(+50\text{ V}\)；在 \(270^\circ\) 時，電動勢為 \(-35\text{ V}\)。這段旋轉期間的波形不可能是完美的時間正弦波。

對於旋轉線圈，在任一瞬間都有

\[ \mathcal{E}=NBA\omega\sin\theta. \]

首先，計算共同因子：

\[ NBA=(100)(0.25)(0.020)=0.50. \]

當 \(\theta=90^\circ\) 時，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E} &=(0.50)(100)\sin90^\circ\\ &=+50\text{ V}. \end{aligned} \]

當 \(\theta=270^\circ\) 時，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E} &=(0.50)(70)\sin270^\circ\\ &=-35\text{ V}. \end{aligned} \]

在這兩個位置，

\[ \Phi=BA\cos\theta=0. \]

但法拉第定律並沒有說，相同的磁通量會產生相同的電動勢。它指出，電動勢取決於磁通量變化的快慢。

線圈通過 \(90^\circ\) 位置時，比通過 \(270^\circ\) 位置時移動得更快，因此在前者位置，磁通量的變化率較大。

此外，輸出也不可能是完美的時間正弦波。真正符合下式的波形

\[ \mathcal{E}=\mathcal{E}_{\text{max}}\sin(\omega t) \]

需要角速度 \(\omega\) 保持恆定。但在本題中，角速度會改變，因此相位隨時間推進的速度，以及乘在 \(\sin\theta\) 前面的因子，都會在週期中發生變化。

一個容易犯的錯誤，是認為這兩個位置都是「電動勢最大的地方」，因為兩者的磁通量都為零。這只有在線圈以恆定速度旋轉時才成立。幾何關係使 \(|\sin\theta|=1\)，但瞬時角速度仍然決定電動勢的大小。

題目 5

兩個相同的交流發電機線圈，在同一根軸上、同一個均勻磁場中旋轉。每個線圈都使用自己的一對滑環。

第二個線圈沿著軸的圓周方向，比第一個線圈超前 \(90^\circ\)。單獨測試時，每個線圈產生的正弦波形電動勢，其最大絕對值都是 \(40\text{ V}\)。

兩部發電機以串聯方式連接，使它們的瞬時電動勢相加。

一名學生認為，組合後的發電機最大電動勢必定是 \(80\text{ V}\)，因為每個線圈都能產生 \(40\text{ V}\)。

求組合後實際的最大電動勢。

接著，假設將第二部發電機的兩個電刷接線對調。判斷這是否能使組合後的峰值達到 \(80\text{ V}\)，並解釋這揭示了滑環的什麼作用。

解答 5

組合後的最大電動勢為 \(40\sqrt{2}\text{ V}\)，約為 \(56.6\text{ V}\)。對調第二部發電機的電刷接線並不能將峰值提高至 \(80\text{ V}\)；它只會改變組合波形的相位。

令

\[ x=\omega t. \]

將第一部發電機的電動勢表示為

\[ \mathcal{E}_1=40\sin x. \]

由於第二個實體線圈沿著軸的圓周方向超前 \(90^\circ\)，它的波形也會超前 \(90^\circ\)：

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_2 &=40\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=40\cos x. \end{aligned} \]

當兩個輸出以瞬時電動勢相加的方式連接時，

\[ \mathcal{E}_{\text{total}} =40(\sin x+\cos x). \]

利用

\[ \sin x+\cos x =\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right), \]

可得

\[ \mathcal{E}_{\text{total}} = 40\sqrt{2} \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \]

因此，

\[ \mathcal{E}_{\text{max,total}} =40\sqrt{2} =56.6\text{ V}. \]

這名學生將兩個線圈各自的峰值相加，彷彿兩個峰值會在同一瞬間出現。

但事實並非如此。

當發電機 1 的電動勢達到正向峰值 \(40\text{ V}\) 時，發電機 2 的電動勢為零。兩個線圈在機械角度上相差 \(90^\circ\)，因此它們的電氣輸出也相差 \(90^\circ\) 的相位。

事實上，在目前採用的相位設定下，當

\[ x=45^\circ \]

時，組合後的輸出會達到最大值。在這一瞬間，

\[ \mathcal{E}_1 =40\sin45^\circ =28.3\text{ V} \]

而

\[ \mathcal{E}_2 =40\cos45^\circ =28.3\text{ V}. \]

兩者相加得到

\[ 28.3+28.3=56.6\text{ V}. \]

現在，對調發電機 2 的兩個電刷接線。

這會使它的輸出符號反轉：

\[ \mathcal{E}_2=-40\cos x. \]

新的總電動勢為

\[ \mathcal{E}_{\text{total}} =40(\sin x-\cos x). \]

由於

\[ \sin x-\cos x = \sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right), \]

新的最大絕對值仍然是

\[ 40\sqrt{2}=56.6\text{ V}. \]

峰值並沒有變成 \(80\text{ V}\)。改變的只是波形的相位。

關鍵在於：對調兩條外部導線，可以使波形反轉 \(180^\circ\)，但無法消除由線圈實際方向所造成的 \(90^\circ\) 相位差。

這也揭示了滑環的作用，以及它無法做到的事。滑環能在維持線圈本身自然交變的電動勢之際，為旋轉線圈提供連續的電氣連接。但它們無法強制不同發電機的輸出同相、將波形整形成單一方向，或使各個峰值在同一時間出現。

當我們從單一簡單旋轉線圈進一步研究實際的交流發電時，這個區別會變得愈來愈重要，因為多個線圈之間的相位關係會經過刻意設計與控制。