السرعة النهائية للمقذوف: دليل فيزياء HSC

مقذوف على وشك أن يصطدم بالأرض. في تلك اللحظة، يتحرك بسرعة \(17.3\text{ m s}^{-1}\) نحو اليمين و\(9.6\text{ m s}^{-1}\) نحو الأسفل. ما سرعته المتجهة النهائية؟

قد تبدو الإجابة \(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\) مغرية. لكن هذين العددين يصفان حركة في اتجاهين متعامدين، لذلك لا يصلح الجمع العادي هنا. السرعة المتجهة الفعلية تكون قطرية.

قبل متابعة القراءة، توقّع الآتي: هل ينبغي أن يكون مقدار السرعة النهائية أقل من \(17.3\text{ m s}^{-1}\)، أم مساويًا لها، أم أكبر منها؟

لا بد أن يكون أكبر. فالمقذوف يتحرك أفقيًا ورأسيًا في الوقت نفسه. وإعادة تركيب هاتين المركبتين هي الخطوة الأخيرة في كثير من مسائل المقذوفات في HSC.

01من مركبتين إلى سرعة متجهة واحدة

لنفترض أننا نختار الاتجاه نحو اليمين باعتباره اتجاه \(x\) الموجب، والاتجاه نحو الأعلى باعتباره اتجاه \(y\) الموجب.

يمكن عندئذ كتابة سرعة المقذوف باستخدام مركبتين:

• \(v_x\): مركبة السرعة الأفقية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v_y\): مركبة السرعة الرأسية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)

إذا كان المقذوف يتحرك نحو اليمين والأسفل، فإن \(v_x\) موجبة و\(v_y\) سالبة.

على سبيل المثال،

\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]

لا يعني أن إحدى السرعتين تعاكس الأخرى. فكلتا المركبتين تصفان الحركة نفسها.

تخيّل مستطيلاً. تمثل \(v_x\) ضلعه الأفقي، وتمثل \(v_y\) ضلعه الرأسي، بينما يمثل متجه السرعة الفعلي قطر المستطيل.

بما أن المركبتين متعامدتان، فإن مقدار السرعة \(v\)، أي مقدار متجه السرعة، يُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس:

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

تختفي الإشارة السالبة لـ\(v_y\) المتجهة إلى الأسفل عند تربيعها. وهذا منطقي: فمقدار السرعة كمية مقدارها غير سالب، ولذلك لا يمكن أن يكون سالبًا.

أما الاتجاه فيُحسب باستخدام حساب المثلثات. إذا كان المقذوف يتحرك نحو اليمين،

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]

حيث تمثل \(\theta\) الزاوية أعلى الأفقي أو أسفله.

تعطي القيمة المطلقة \(|v_y|\) مقدار المركبة الرأسية. ثم تستخدم إشارة \(v_y\) لتحديد ما إذا كان الاتجاه أعلى الأفقي أم أسفله.

لذلك، إذا كان \(v_y<0\)، فاكتب مثلاً:

\(29^\circ\) أسفل الأفقي.

لا تتجاهل الإشارة قبل تحديد الاتجاه.

02من أين تأتي المركبتان النهائيتان؟

عادةً ما تكون إعادة تركيب المركبتين هي الخطوة الأخيرة، وليست كامل حل مسألة المقذوف.

وفق نموذج المقذوف القياسي في HSC، مع إهمال مقاومة الهواء:

\[ a_x=0 \]

لذلك تظل السرعة الأفقية ثابتة:

\[ v_x=u_x \]

حيث تمثل \(u_x\) مركبة السرعة الأفقية الابتدائية.

رأسيًا،

\[ a_y=-g \]

حيث \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)، إذا اعتُبر الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

إذن،

\[ v_y=u_y-gt \]

حيث:

• \(u_y\) هي مركبة السرعة الرأسية الابتدائية
• \(t\) هو الزمن المنقضي بالثواني
• \(v_y\) هي السرعة الرأسية بعد ذلك الزمن

إذا كنت تحتاج إلى مراجعة كيفية تحويل مقدار سرعة الإطلاق الابتدائية وزاويتها إلى \(u_x\) و\(u_y\)، فراجع مركبات السرعة الابتدائية للمقذوف في فيزياء HSC.

من المفيد استخدام جدول القرار الآتي:

تفصيل مهم: لا تعني عبارة «السرعة المتجهة النهائية» تلقائيًا «السرعة المتجهة لحظة اصطدامه بالأرض». بل تعني السرعة المتجهة عند نهاية الفترة الزمنية التي تحللها.

03إشارة \(v_y\) تؤدي دورًا كبيرًا

افترض أن الآلة الحاسبة تعطيك

\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]

تخبرك القيمة \(14\) بمقدار المركبة الرأسية للسرعة، بينما تخبرك الإشارة السالبة بأنها تتجه إلى الأسفل.

يدخل بعض الطلاب \(-14\) مباشرةً في

\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]

ويحصلون على زاوية سالبة. الآلة الحاسبة ليست مخطئة. فمثلاً، الزاوية \(-35^\circ\) تعني \(35^\circ\) أسفل المحور الأفقي الموجب.

في إجابة HSC، يكون من الأوضح عادةً ذكر مقدار الزاوية ثم تحديد الاتجاه بالكلمات:

\[ 35^\circ\text{ أسفل الأفقي.} \]

الرسم التخطيطي السريع أكثر أمانًا من محاولة جعل الآلة الحاسبة تحدد لك الاتجاه الفيزيائي.

04لا تحتاج دائمًا إلى زمن الطيران

افترض أن مقذوفًا يهبط أسفل نقطة إطلاقه. قد تظن أنه يجب حساب زمن الطيران قبل إيجاد السرعة المتجهة النهائية.

أحيانًا يكون ذلك ضروريًا. لكن إذا كانت الإزاحة الرأسية معلومة، فيمكن لهذه المعادلة الانتقال مباشرةً من المركبة الرأسية الابتدائية إلى المركبة النهائية:

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

لكن هناك نقطة يجب الانتباه إليها. فالتربيع يفقد إشارة \(v_y\). وبعد أخذ الجذر التربيعي، عليك أن تحدد من الموقف الفيزيائي ما إذا كانت \(v_y\) موجبة أم سالبة.

عند الاصطدام، إذا كان المقذوف يهبط، فاختر الجذر السالب.

05اختصار التناظر – وحدوده

إليك توقعًا مفيدًا.

أُطلق مقذوف بسرعة \(u\) وبزاوية \(\alpha\) أعلى الأفقي. ثم عاد لاحقًا إلى الارتفاع نفسه تمامًا. في غياب مقاومة الهواء، ماذا ستكون سرعته المتجهة؟

لم تتغير المركبة الأفقية:

\[ v_x=u\cos\alpha \]

وعند الارتفاع نفسه أثناء الهبوط، تكون للمركبة الرأسية القيمة المطلقة نفسها التي كانت لها في البداية، لكن بإشارة معاكسة:

\[ v_y=-u\sin\alpha \]

إذن مقدار السرعة النهائية هو

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]

ويكون الاتجاه بزاوية \(\alpha\) أسفل الأفقي.

لذلك فإن مقذوفًا أُطلق بسرعة \(25\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(37^\circ\) أعلى الأفقي، يعود إلى الارتفاع نفسه بسرعة \(25\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(37^\circ\) أسفل الأفقي.

من الأخطاء الشائعة القول إن السرعة المتجهة النهائية هي ببساطة سالب السرعة المتجهة الابتدائية.

هذا غير صحيح.

إذا كان

\[ \vec u=(u_x,u_y), \]

فإنه عند الارتفاع نفسه في الجزء الهابط من المسار،

\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]

المركبة الرأسية فقط هي التي تنعكس. أما المركبة الأفقية فتظل في الاتجاه نفسه.

كما يفشل هذا الاختصار عندما يختلف الارتفاع النهائي عن الارتفاع الابتدائي، أو عندما تكون مقاومة الهواء مؤثرة، أو عندما تؤدي قوة أخرى إلى تسارع أفقي للمقذوف.

06طريقة موثوقة لإيجاد السرعة المتجهة النهائية

عندما يطلب سؤال في HSC السرعة المتجهة النهائية، اتبع هذا الترتيب:

1. اختر اتجاهاتك الموجبة.
2. أوجد \(v_x\)، مع الاحتفاظ بإشارتها.
3. أوجد \(v_y\)، مع الاحتفاظ بإشارتها.
4. ارسم المركبتين رسمًا تخطيطيًا.
5. احسب مقدار السرعة باستخدام \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\).
6. احسب الزاوية المرجعية باستخدام حساب المثلثات.
7. اذكر الاتجاه بوضوح، مثل «أسفل الأفقي».

لا تحسب الزاوية قبل أن تعرف ما تعنيه الإشارات فيزيائيًا.

07أسئلة وحلول

السؤال 1

لمقذوف مركبتا سرعة نهائية:

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]

أوجد مقدار سرعته النهائية واتجاهها.

الحل 1

السرعة المتجهة النهائية هي \(13.0\text{ m s}^{-1}\) بزاوية \(22.6^\circ\) أسفل الأفقي.

مقدار السرعة هو مقدار المحصلة للمركبتين المتعامدتين:

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

ولإيجاد الاتجاه،

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]

بما أن \(v_y\) سالبة، فإن المقذوف يتحرك إلى الأسفل. ولذلك يكون اتجاهه \(22.6^\circ\) أسفل الأفقي.

الخطأ المغري هو حساب \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\). فهذا يعامل المركبتين المتعامدتين كما لو أنهما تؤثران على الخط نفسه.

السؤال 2

يقطع مقذوف مسافة أفقية مقدارها \(40.0\text{ m}\) خلال \(2.50\text{ s}\). وخلال الفترة الزمنية نفسها، ينتهي عند نقطة تقع \(5.00\text{ m}\) أسفل نقطة إطلاقه.

أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

أوجد:

• مركبة سرعته الرأسية الابتدائية،
• مركبتي سرعته النهائية، و
• مقدار سرعته النهائية واتجاهها.

الحل 2

المركبة الرأسية الابتدائية هي \(10.25\text{ m s}^{-1}\) إلى الأعلى، والسرعة المتجهة النهائية تساوي تقريبًا \(21.4\text{ m s}^{-1}\) بزاوية \(41.7^\circ\) أسفل الأفقي.

أوجد أولاً السرعة الأفقية. مع انعدام التسارع الأفقي،

\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

والآن استخدم معادلة الإزاحة الرأسية:

\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

هنا،

\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

المركبة الرأسية النهائية هي

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

إذن المركبتان النهائيتان هما

\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]

والآن أعد تركيبهما:

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

والاتجاه هو

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]

بما أن \(v_y<0\)، فإن الاتجاه هو \(41.7^\circ\) أسفل الأفقي.

من الطرق المغرية استخدام متوسط السرعة الرأسية،

\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]

على أنه السرعة الرأسية النهائية. وهذا غير صحيح لأن الجاذبية تغيّر \(v_y\) باستمرار. فمتوسط السرعة الرأسية خلال الفترة ليس هو السرعة الرأسية النهائية.

السؤال 3

عند النقطة \(A\)، يتحرك مقذوف بسرعة \(18.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(25^\circ\) أعلى الأفقي.

ثم يصل لاحقًا إلى النقطة \(B\)، التي تقع \(3.00\text{ m}\) أسفل النقطة \(A\). وعند \(B\)، يكون المقذوف هابطًا.

أهمل مقاومة الهواء.

أوجد:

• السرعة المتجهة للمقذوف عند \(B\)، و
• الزمن المستغرق للانتقال من \(A\) إلى \(B\).

الحل 3

عند \(B\)، يتحرك المقذوف بسرعة مقدارها تقريبًا \(19.6\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(33.5^\circ\) أسفل الأفقي، ويبلغ زمن الانتقال من \(A\) إلى \(B\) مقدار \(1.88\text{ s}\).

ابدأ بتحليل السرعة عند \(A\):

\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

و

\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

تظل المركبة الأفقية ثابتة، ولذلك

\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]

أما للمركبة الرأسية، فاستخدم

\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]

هنا،

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]

إذن،

\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]

وعليه،

\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]

ينص السؤال على أن المقذوف يكون هابطًا عند \(B\)، ولذلك فإن الجذر الصحيح فيزيائيًا هو

\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]

والآن أوجد مقدار السرعة:

\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

واتجاهها هو

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]

إذن السرعة المتجهة هي \(19.6\text{ m s}^{-1}\) بزاوية \(33.5^\circ\) أسفل الأفقي.

لإيجاد الزمن، استخدم

\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]

موضع الخطأ المحتمل هو الجذر التربيعي. فمعادلة \(v_{By}^2\) تنتج احتمالين رياضيين. والمعلومة التي تنص على الوصول إلى \(B\) أثناء الهبوط هي التي تحدد الاحتمال السالب.

السؤال 4

أُطلق مقذوف من النقطة \(O\). وعند نقطة لاحقة \(P\)، تقع على ارتفاع \(8.00\text{ m}\) فوق \(O\)، يتحرك بسرعة \(20.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(30^\circ\) أسفل الأفقي.

افترض حركة مقذوف قياسية من دون مقاومة للهواء.

أوجد:

• مقدار سرعة إطلاق المقذوف،
• زاوية إطلاقه أعلى الأفقي، و
• الزمن بين الإطلاق والوصول إلى \(P\).

الحل 4

أُطلق المقذوف بسرعة مقدارها تقريبًا \(23.6\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(42.8^\circ\) أعلى الأفقي، ويصل إلى \(P\) بعد \(2.66\text{ s}\).

الأمر غير المعتاد هنا هو أننا نعيد بناء سرعة سابقة من سرعة لاحقة.

عند \(P\)،

\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

وبما أن المقذوف يهبط،

\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

لا تتغير السرعة الأفقية طوال زمن الطيران، ولذلك كانت المركبة الأفقية الابتدائية أيضًا

\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]

والآن اعمل إلى الخلف رأسيًا باستخدام

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

من \(O\) إلى \(P\)،

\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]

و

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

إذن،

\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]

وهذا يعطي

\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]

الجذر الموجب هو المطلوب:

\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]

لماذا يمكننا رفض \(-16.0\text{ m s}^{-1}\)؟

إذا بدأ المقذوف حركته متجهًا إلى الأسفل وكان تسارعه الرأسي أيضًا إلى الأسفل، فلن يتمكن أبدًا من الوصول لاحقًا إلى نقطة تقع \(8.00\text{ m}\) فوق موضع إطلاقه. الجذر السالب يحقق المعادلة المربعة، لكنه لا يحقق المسار الفيزيائي.

والآن أعد تركيب المركبتين الابتدائيتين:

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

زاوية الإطلاق هي

\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]

وأخيرًا،

\[ v_y=u_y+a_yt, \]

ومن ثم

\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]

الخطأ المغري هو رؤية سرعة لاحقة متجهة إلى الأسفل وافتراض أن المقذوف لا بد أنه أُطلق أيضًا إلى الأسفل. لكن حركة المقذوف يمكن أن تعكس مركبتها الرأسية: تتباطأ الحركة إلى الأعلى حتى تصبح سرعتها الرأسية صفرًا، ثم تتحول إلى حركة نحو الأسفل.

السؤال 5

يسجل مستشعر إطلاق مُعاير مقذوفًا يغادر منصة بسرعة \(26.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(35^\circ\) أعلى الأفقي.

وفي نهاية طيرانه، يُظهر تصوير عالي السرعة بصورة موثوقة أن سرعته المتجهة تتجه بزاوية \(50^\circ\) أسفل الأفقي. كما تعرض شاشة مستقلة للسرعة قيمة \(30.0\text{ m s}^{-1}\).

افترض أن المقذوف يتبع نموذج HSC المثالي: مقاومة هواء مهملة وتسارع جاذبية مقداره \(9.8\text{ m s}^{-2}\) إلى الأسفل.

هل يمكن أن تكون القياسات الثلاثة صحيحة جميعها؟

إذا لم يكن ذلك ممكنًا:

• حدّد موضع التعارض،
• أوجد مقدار السرعة النهائية الذي يقتضيه نموذج المقذوف المثالي،
• أوجد مركبة السرعة الرأسية النهائية، و
• أوجد الإزاحة الرأسية للنقطة النهائية بالنسبة إلى نقطة الإطلاق.

الحل 5

لا. لا يمكن أن تكون القياسات الثلاثة صحيحة جميعها وفق نموذج المقذوف المثالي. فبيانات الإطلاق والاتجاه النهائي يقتضيان مقدار سرعة نهائية يبلغ تقريبًا \(33.1\text{ m s}^{-1}\)، وليس \(30.0\text{ m s}^{-1}\)، كما تقع النقطة النهائية على مسافة تقارب \(21.5\text{ m}\) أسفل نقطة الإطلاق.

القيد الأساسي هو أسهل ما يمكن إغفاله: يجب أن تظل السرعة الأفقية ثابتة.

من بيانات الإطلاق،

\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

لذلك، طوال زمن الطيران،

\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]

والآن اختبر مقدار السرعة النهائية المُبلَّغ عنه، \(30.0\text{ m s}^{-1}\)، عند زاوية \(50^\circ\) أسفل الأفقي.

ستكون مركبته الأفقية

\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

لكن نموذج المقذوف المثالي يقتضي \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\).

إذن القياسات غير متسقة.

وبما أن قراءة الإطلاق موصوفة بأنها مُعايرة، والاتجاه النهائي موصوف بأنه موثوق، فلا بد أن قياس مقدار السرعة النهائية هو القياس غير الصحيح.

لنرمز إلى مقدار السرعة النهائية المتوافق فيزيائيًا بالرمز \(v_f\). إذن

\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

وتكون مركبته الرأسية إلى الأسفل:

\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

والآن أوجد المركبة الرأسية الابتدائية:

\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

استخدم

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]

إذن،

\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]

إذن تقع النقطة النهائية على مسافة تقارب \(21.5\text{ m}\) أسفل نقطة الإطلاق.

الطريقة المغرية هي قبول القيمة المُبلَّغ عنها \(30.0\text{ m s}^{-1}\) واستخدام مركبتها الرأسية فورًا في معادلة حركية. سيؤدي ذلك إلى إجابة عددية، لكن هذه الإجابة ستكون مبنية على بيانات تخالف نموذج المقذوف من البداية.

التحقق الأعمق يأتي أولاً: قبل إعادة تركيب المركبتين أو تطبيق معادلة أخرى، اسأل ما إذا كانت المركبة الأفقية متسقة. فوجود مقدار سرعة وزاوية يبدوان معقولين فيزيائيًا لا يعني تلقائيًا أنهما متوافقان مع بقية الحركة.

08ما الذي يتيح لك ذلك فعله بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن بثقة من الانتقال بين \(v_x\) و\(v_y\) ومقدار السرعة والاتجاه، يصبح تنظيم مسائل المقذوفات أسهل بكثير.

توضح لك المركبتان ما الذي غيّرته الجاذبية وما الذي لم تغيّره. وإعادة تركيبهما توضح لك ما الذي يفعله المقذوف فعليًا في لحظة معينة.

والفكرة نفسها هي التي تجعل المقارنة بين سرعة الإطلاق، والسرعة عند أقصى ارتفاع، وسرعة الاصطدام دقيقة. فعند أقصى ارتفاع، \(v_y=0\)، لكن \(v_x\) تظل موجودة. وعند الهبوط على الارتفاع نفسه، تكون \(v_y\) قد انعكست إشارتها. وعند الهبوط إلى مستوى أدنى، يكون مقدارها المتجه إلى الأسفل أكبر.

لذلك فالعادات المفيدة لا تقتصر على تذكر

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

بل تتمثل في تعلم قراءة المركبتين باعتبارهما قصة فيزيائية قبل إعادة تحويلهما إلى متجه سرعة نهائي واحد.