HSC 物理：馬達效應力的最大值與零值

一條直導線在均勻磁場中通有穩定電流。你保持電流、導線長度和磁場強度不變，只轉動導線。在某個方向上，磁力會達到可能的最大值。再把導線轉到另一個方向，力則會完全消失。

繼續閱讀之前，先預測這兩種方向。當電流沿著磁場方向流動時，力應該最大，還是當電流橫切磁場時最大？

第一次接觸時，答案可能有點違反直覺：當電流方向與磁場互相垂直時，力最大；當兩者平行或反平行時，力為零。

這一個概念就能解釋馬達效應中與角度有關的部分。

01想像電流橫切磁場

想像磁力線在紙面上水平延伸。現在把一條載流導線放進這個磁場中。

如果電流也沿水平方向流動，它完全沒有橫切磁場。在 HSC 模型中，導線不會受到馬達效應力。

把導線轉到電流沿垂直方向流動。此時它的方向完全橫跨磁場，因此力會達到可能的最大值。

如果角度介於兩者之間，只有電流方向的一部分有效地橫切磁場。

一個有點傻氣的想像方式，是把它當成擁擠的學校走廊。假設其他所有人都朝同一方向前進，而你代表電流。若你完全順著人群走，或完全逆著人群方向走，都不會產生橫跨人流的側向分量。若你直接橫穿走廊，跨越人流的交互作用就最大。

這個類比到此為止。磁力並不是由人彼此碰撞造成的。這個類比真正有用的地方只是幾何關係：橫向分量有影響；沿著磁場的分量沒有影響。

02方程式精確告訴我們角度有多重要

對於均勻磁場中的直載流導體，

\[ F = BIL\sin\theta \]

其中：

• \(F\) 是作用在導體上的磁力，單位為牛頓（\(\text{N}\)），
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(I\) 是傳統電流，單位為安培（\(\text{A}\)），
• \(L\) 是位於磁場內的導體長度，單位為米（\(\text{m}\)），以及
• \(\theta\) 是傳統電流方向與磁場方向之間的夾角。

本指南最重要的部分是 \(\sin\theta\)。

即使其他所有量都保持不變，只要轉動導線，力就會改變。

請注意一個重要現象：\(30^\circ\) 和 \(150^\circ\) 會產生相同大小的力。

這條公式在意的是電流方向有多大程度橫切磁場，而不只是角度的數值看起來有多大。

03為甚麼在 \(90^\circ\) 時力最大？

\(\sin\theta\) 的最大可能值是 1。

這發生在

\[ \theta = 90^\circ \]

因此力變成

\[ F_{\text{max}} = BIL. \]

整個電流方向都與磁場垂直，沒有任何分量沿著磁場方向。

另一種表達相同概念的方法，是只考慮導體的垂直分量：

\[ L_\perp = L\sin\theta. \]

於是

\[ F = BI L_\perp. \]

在 \(90^\circ\) 時，

\[ L_\perp = L, \]

所以整段相關長度都會對力產生貢獻。

這並不代表導線在物理上變長了。\(L_\perp\) 是一個幾何分量：它表示導線方向中有多少位於與磁場垂直的方向。

範例：\(30^\circ\) 導線所受的力

一條 \(0.25\text{ m}\) 長的導線，在 \(0.40\text{ T}\) 的均勻磁場中通有 \(3.0\text{ A}\) 的電流。電流方向與磁場成 \(30^\circ\) 夾角。計算導線所受的磁力，並與可能的最大磁力比較。

步驟 1：找出馬達效應方程式。

\[ F = BIL\sin\theta \]

步驟 2：代入數值，包括角度。

\[ \begin{aligned} F &= (0.40)(3.0)(0.25)\sin30^\circ \\ &= (0.40)(3.0)(0.25)(0.5) \\ &= 0.15\text{ N} \end{aligned} \]

所以磁力為 \(0.15\text{ N}\)。

步驟 3：令 \(\theta=90^\circ\)，求最大力。

\[ \begin{aligned} F_{\text{max}} &= BIL \\ &= (0.40)(3.0)(0.25) \\ &= 0.30\text{ N} \end{aligned} \]

\(30^\circ\) 時的力正好是最大值的一半，因為 \(\sin30^\circ=0.5\)。

物理意義比算術本身更有用：在 \(30^\circ\) 時，電流的垂直分量只有在 \(90^\circ\) 時的一半。

04為甚麼在 \(0^\circ\) 和 \(180^\circ\) 時力都是零？

這裡很容易出現一個常見錯誤。

學生可能會認為 \(180^\circ\) 應該產生非常大的力，因為電流與磁場指向相反方向。方向相反聽起來好像代表最大的「衝突」。

但磁力並不是靠衡量兩個箭頭彼此有多「不一致」來決定的。它取決於兩者之間的垂直關係。

在 \(0^\circ\) 時，

\[ \sin0^\circ=0. \]

在 \(180^\circ\) 時，

\[ \sin180^\circ=0. \]

因此，在這兩種情況下，

\[ F=0 \]

。

在 \(0^\circ\) 時，電流與磁場平行；在 \(180^\circ\) 時，兩者反平行。無論哪一種情況，都沒有垂直分量。

這也與單一運動電荷所受的磁力有關：

\[ F=qvB\sin\theta, \]

其中 \(q\) 是電荷量，\(v\) 是它的速度，而 \(\theta\) 是其速度方向與磁場之間的夾角。

在 HSC 的導體模型中，馬達效應是與運動電荷載流子相關的磁力共同作用的結果。沿著磁場方向的運動不會由該分量產生磁力；橫跨磁場的運動則會。

05必須使用正確的角度

在這類題目中，最容易失分的方法之一，就是直接使用圖中標示的角度，卻沒有先確認那個角度究竟是哪兩個方向之間的夾角。

在

\[ F=BIL\sin\theta, \]

中，\(\theta\) 必須是傳統電流方向與磁場方向之間的夾角。

假設圖中給的是導線與一條垂直於磁場的直線之間的夾角 \(20^\circ\)。那麼電流與磁場之間的夾角就是

\[ 90^\circ-20^\circ=70^\circ, \]

因此你必須使用 \(\sin70^\circ\)，而不是 \(\sin20^\circ\)。

一個好習慣是先找出電流箭頭和磁場箭頭，再找這兩個方向之間的夾角。

如果你還需要判斷合力指向哪個方向，請使用馬達效應方向規則。角度決定力的大小；方向規則則用來判斷方向。

範例：由力推算導線的角度

一條 \(0.20\text{ m}\) 的導體在 \(0.80\text{ T}\) 的磁場中通有 \(4.0\text{ A}\) 的電流。磁力大小為 \(0.52\text{ N}\)。求電流與磁場之間可能的夾角。

步驟 1：從力的方程式開始。

\[ F=BIL\sin\theta \]

步驟 2：整理方程式，求 \(\sin\theta\)。

\[ \sin\theta=\frac{F}{BIL} \]

步驟 3：代入測量值。

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{0.52}{(0.80)(4.0)(0.20)}\\ &=\frac{0.52}{0.64}\\ &=0.8125 \end{aligned} \]

步驟 4：求第一個可能的角度。

\[ \theta=\sin^{-1}(0.8125)\approx54^\circ. \]

但在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之間，\(54^\circ\) 並不是唯一可能的角度。

因為

\[ \sin54^\circ=\sin126^\circ, \]

所以第二個可能的角度約為

\[ 180^\circ-54^\circ=126^\circ. \]

因此，電流與磁場之間的夾角可能約為 \(54^\circ\) 或 \(126^\circ\)。

兩者會產生相同大小的力，因為它們具有相同的垂直分量。若要判斷實際上是哪一個角度，還需要圖示或有關導線方向的資訊。

06最快速的判斷規則

對於一條載流直導線：

• 電流垂直於磁場 \(\rightarrow\) 力最大，
• 電流平行於磁場 \(\rightarrow\) 力為零，
• 電流反平行於磁場 \(\rightarrow\) 力為零，
• 任何介於其間的角度 \(\rightarrow\) 使用 \(F=BIL\sin\theta\)。

不要把 \(90^\circ\) 和 \(0^\circ\) 當成彼此無關的事實來死記。記住原因：只有垂直於磁場的分量會對馬達效應力產生貢獻。

當導體彎曲、數段導體同時受力，以及之後研究載流線圈所受的力矩時，這個原理仍然非常有用。

07題目與解答

題目 1

一條 \(0.40\text{ m}\) 長的直導體，在 \(0.60\text{ T}\) 的均勻磁場中通有 \(2.5\text{ A}\) 的電流。

電流方向與磁場垂直。

計算導體所受的磁力。

解答 1

磁力為 \(0.60\text{ N}\)。

所使用的方程式為

\[ F=BIL\sin\theta. \]

因為電流與磁場垂直，

\[ \theta=90^\circ \]

而且

\[ \sin90^\circ=1. \]

因此，

\[ \begin{aligned} F &=(0.60)(2.5)(0.40)\sin90^\circ\\ &=(0.60)(2.5)(0.40)(1)\\ &=0.60\text{ N}. \end{aligned} \]

對這些 \(B\)、\(I\) 和 \(L\) 的數值而言，這也是可能的最大力。

一個很容易犯的錯誤，是認為「垂直」表示方向沒有對齊，所以力應該為零。對磁力而言，情況恰好相反：垂直排列會使 \(\sin\theta\) 取得最大值。

題目 2

一條 \(0.50\text{ m}\) 長的導線，在 \(0.75\text{ T}\) 的磁場中通有 \(3.2\text{ A}\) 的電流。導線所受的力為 \(0.78\text{ N}\)。

求電流與磁場之間可能的夾角。

解答 2

可能的角度約為 \(41^\circ\) 和 \(139^\circ\)。

從

\[ F=BIL\sin\theta. \]

開始。

整理後，

\[ \sin\theta=\frac{F}{BIL}. \]

代入測量值：

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{0.78}{(0.75)(3.2)(0.50)}\\ &=\frac{0.78}{1.20}\\ &=0.65. \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.65)\approx40.5^\circ. \]

所以其中一個可能的角度約為 \(41^\circ\)。

然而，

\[ \sin\theta=\sin(180^\circ-\theta), \]

所以第二個解為

\[ 180^\circ-40.5^\circ=139.5^\circ. \]

因此兩個可能的角度約為 \(41^\circ\) 和 \(139^\circ\)。

一個很容易採用的做法，是只寫下計算機給出的反正弦結果。這樣會忽略一個限制：兩個方向之間的物理夾角可以介於 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\)，而在這個範圍內，兩個不同角度可以具有相同的正弦值。

題目 3

一條通有恆定電流的導線，相對於均勻磁場從 \(30^\circ\) 旋轉到 \(150^\circ\)。

一名學生說：「角度增加了 \(120^\circ\)，所以磁力一定會變得大很多。」

假設 \(B\)、\(I\) 和 \(L\) 保持不變：

1. 比較旋轉前後的力大小，以及
2. 解釋為甚麼這名學生的推理不成立。

解答 3

力的大小不變。

一開始，

\[ F_1=BIL\sin30^\circ. \]

由於

\[ \sin30^\circ=0.5, \]

所以

\[ F_1=0.5BIL. \]

旋轉後，

\[ F_2=BIL\sin150^\circ. \]

但

\[ \sin150^\circ=0.5, \]

所以

\[ F_2=0.5BIL. \]

因此，

\[ F_1=F_2. \]

這名學生的推理不成立，因為磁力並不與角度的數值大小成正比，而是與角度的正弦值成正比。

這兩種方向相對於磁場都具有相同大小的垂直分量。

容易產生的想法是：「角度較大」就一定代表力較大。這只在 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 的範圍內成立。超過 \(90^\circ\) 後，\(\sin\theta\) 會再次減小，直到在 \(180^\circ\) 時力降為零。

題目 4

一條導線在水平向右的均勻磁場 \(B\) 中，電流 \(I\) 從 A 點流向 C 點。

有兩種不同形狀的導線連接相同的兩點。

• 路徑 1 是一條由 A 到 C 的直斜線導線。它的水平位移為 \(0.30\text{ m}\)，垂直位移為 \(0.40\text{ m}\)。
• 路徑 2 由一段 \(0.30\text{ m}\) 的水平導線，再接一段 \(0.40\text{ m}\) 的垂直導線組成。

兩種情況下，相同的電流都由 A 流向 C。

一名學生認為，路徑 2 的兩段導線與磁場的夾角不同，因此它所受的總磁力一定與路徑 1 不同。

判斷兩條路徑所受的總磁力大小是否不同。用 \(B\) 和 \(I\) 表示答案。

解答 4

兩條路徑所受的總磁力大小相同，都是 \(0.40BI\)。

對路徑 2，分別考慮兩段導線。

水平段與磁場平行，所以

\[ F_{\text{horizontal}} =BI(0.30)\sin0^\circ =0. \]

垂直段與磁場垂直，所以

\[ \begin{aligned} F_{\text{vertical}} &=BI(0.40)\sin90^\circ\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]

因此，路徑 2 所受的總力大小為

\[ F_2=0.40BI. \]

現在考慮路徑 1。

它的長度為

\[ L=\sqrt{(0.30)^2+(0.40)^2}=0.50\text{ m}. \]

如果它與水平磁場的夾角為 \(\theta\)，則

\[ \sin\theta=\frac{0.40}{0.50}=0.80. \]

所以

\[ \begin{aligned} F_1 &=BIL\sin\theta\\ &=BI(0.50)(0.80)\\ &=0.40BI. \end{aligned} \]

因此，

\[ F_1=F_2=0.40BI. \]

一個容易採用的錯誤思路，是把注意力放在導線的總長度，或路徑中是否包含兩個不同角度。真正重要的限制條件是垂直位移。

對路徑 1 而言，只有其 \(0.50\text{ m}\) 長度的垂直分量會產生貢獻，而該分量為 \(0.40\text{ m}\)。對路徑 2 而言，\(0.30\text{ m}\) 的平行段不產生力，而整段 \(0.40\text{ m}\) 的垂直段都會產生貢獻。

這是同一條規則更深入的應用：磁力取決於導體垂直於磁場的分量。

題目 5

一個載流正方形線圈完全放置在均勻磁場內。磁場位於線圈平面內，並與其中一對相對的邊平行。

一名學生作出以下推理：

「與磁場平行的兩條邊所受的力為零。另外兩條邊與磁場垂直，因此每一條都受到最大力。這兩個力大小相等、方向相反，所以總力為零。因此，磁場完全不能改變線圈的運動。」

評估這名學生的結論。假設線圈可以自由轉動。

解答 5

線圈所受的合力為零，但這名學生最後的結論並不正確：磁場仍然可以產生非零力矩，使線圈轉動。

先考慮與磁場平行的兩條邊。對每一條邊而言，

\[ \theta=0^\circ \]

或 \(180^\circ\)，所以

\[ F=BIL\sin\theta=0. \]

現在考慮另外兩條邊。它們與磁場垂直，因此每一條邊都受到

\[ F=BIL \]

的力，也就是對該邊而言可能的最大力。

因為電流在這兩條相對的邊上沿相反方向流動，所以它們所受的磁力也指向相反方向。兩個力大小相等，因此它們的向量和為零。

所以，

\[ F_{\text{net}}=0. \]

到這一步為止，這名學生的論證是正確的。

關鍵問題在於，這兩個大小相等、方向相反的力作用在線圈上的不同位置。它們形成一個力偶。它們不會使線圈的質心產生平移，而是會產生轉動效應。

因此，合力為零並不代表沒有機械效應。

容易得出的錯誤結論，是把所有大小相等、方向相反的力都視為好像作用在同一點上。被忽略的限制條件是它們之間的距離。力可以在平移效果上互相抵消，同時仍然產生力矩。

這正是為甚麼馬達效應力與角度有關的行為，會自然引出下一個概念：載流線圈所受的力矩。馬達不需要一個合力把整個線圈推過房間。它需要的是作用位置適當、能夠產生轉動的磁力。