載流導體所受的力：HSC 物理指南
學習如何正確使用 F = BIl sin θ、判斷有效導體長度，並避免 HSC 物理電動機效應題目中的常見錯誤。
一條 50 cm 長的導線有電流通過，但只有其中 8 cm 的部分位於磁場內。在 \(F = BIl\sin\theta\) 中，應該使用哪一個長度：50 cm 還是 8 cm？
答案是 8 cm。導線的其餘部分可能因為與這一段相連而一起移動，但磁力只會在載流導體與磁場重疊的區域產生。正確判斷這個有效導體長度，是電動機效應計算中最重要的部分之一。
01力究竟從哪裡產生？
想像一條直導線載著穩定電流穿過磁場。在金屬內部，帶電粒子正在移動。移動中的電荷在磁場中會受到磁力。
這個側向力會傳遞到金屬晶格，因此導體本身也會受到力。這就是電動機效應。
現在想像只有導線的一部分位於磁場內。磁場外的電荷不會受到這個磁力。因此，只有位於磁場內的那一段會直接對導體所受的力作出貢獻。
可以用一個有點滑稽的模型來想像：一條很長的泳池浮條穿過一個狹窄的洗車刷。刷子推動它時，整條浮條都可能移動，但只有真正位於刷子之間的那一小段正在被直接推動。
這個比喻的局限在於，磁場並不會實際摩擦導線。更重要的是，磁力還取決於電流與磁場之間的夾角。
02力的方程式
對於載著電流、穿過均勻磁場的直導體，
\[ F = BIl\sin\theta \]
其中：
| 符號 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| \(F\) | 導體所受磁力的大小 | 牛頓，N |
| \(B\) | 磁通密度 | 特斯拉，T |
| \(I\) | 傳統電流 | 安培，A |
| \(l\) | 位於磁場內的有效導體長度 | 米，m |
| \(\theta\) | 傳統電流方向與磁場之間的夾角 | 度 |
有兩個細節值得特別注意。
第一，\(l\) 並不一定等於導線的總長度。它是相關導體部分位於磁場內的長度。
第二，\(\theta\) 是電流與磁場之間的夾角。它並不一定是導線與邊界、桌面、紙面，或題目圖中其他任何線之間的夾角。
這個方程式給出的是力的大小。力的方向同時垂直於電流和磁場。如果你需要另外複習方向判斷，可參閱 HSC 物理：電動機效應方向判斷規則解析。
03為甚麼會有 \(\sin\theta\)？
假設導體的方向與磁場完全相同。
你預期會有多大的力？
磁力為零。移動中的電荷不會因與其運動方向平行的磁場分量而受到磁力。
在另一個極端情況下，讓導體與磁場垂直。此時，在給定的 \(B\)、\(I\) 和 \(l\) 下，力會達到最大值。
正弦因子正好反映這兩個極限情況：
| 電流與磁場之間的夾角 | \(\sin\theta\) | 力 |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | 0 | 零 |
| \(30^\circ\) | 0.5 | \(0.5BIl\) |
| \(90^\circ\) | 1 | 最大，\(BIl\) |
| \(180^\circ\) | 0 | 零 |
你可以把 \(l\sin\theta\) 看成有效導體長度在垂直於磁場方向上的分量。
但這不代表你應該把圖中某個隨意的垂直距離拿來代替有效長度。先找出實際位於磁場內的導體長度，再利用 \(\sin\theta\) 考慮它與磁場之間的夾角。
如想更仔細了解這些極限情況，可參閱 HSC 物理中的最大與零電動機效應力。
04如何判斷有效導體長度
一個可靠的方法是：
- 找出磁場存在的區域。
- 沿著導體追蹤它穿過該區域的部分。
- 找出實際位於磁場內的導體長度。
- 計算該磁場造成的力時，忽略磁場外的導體部分。
- 如果 \(B\)、電流方向或夾角沿導體發生變化，就把導體分成合適的區段，並分別考慮各段所受的力。
第三點最容易令人出錯。
假設一個磁場區域由左至右的寬度為 10 cm。一條導線斜穿過這個區域。有效導體長度就是 10 cm 嗎？
不一定。
10 cm 只是磁場區域的水平寬度。由於導線是斜著穿過磁場，所以位於磁場內的那一段導線會更長。
例如，若導線與水平方向成 \(\alpha\) 角，並穿過兩條水平相距 \(w\) 的垂直邊界，
\[ \cos\alpha = \frac{w}{l} \]
因此
\[ l = \frac{w}{\cos\alpha}. \]
這個 \(l\) 才是實際的有效導體長度。
例題：垂直導體所受的力
一條導線載有 \(3.2\text{ A}\) 的電流。導線中有一段 \(0.18\text{ m}\) 位於 \(0.40\text{ T}\) 的均勻磁場內。導線與磁場垂直。計算導線所受磁力的大小。
步驟 1
只有 \(0.18\text{ m}\) 的導體位於磁場內，因此
\[ l = 0.18\text{ m}. \]
步驟 2
電流與磁場互相垂直：
\[ \theta = 90^\circ, \qquad \sin90^\circ = 1. \]
步驟 3
\[ \begin{aligned} F &= BIl\sin\theta\\ &=(0.40)(3.2)(0.18)\sin90^\circ\\ &=0.2304\text{ N}. \end{aligned} \]
步驟 4
\[ F \approx 0.23\text{ N}. \]
磁場對有效的 \(0.18\text{ m}\) 導體部分施加約 \(0.23\text{ N}\) 的磁力。由於電流與磁場垂直，在這些 \(B\)、\(I\) 和 \(l\) 的數值下，力的大小達到最大可能值。
例題：先找出有效長度
一條 \(0.60\text{ m}\) 長的直導線斜穿過一個均勻磁場區域。該區域的兩條垂直邊界在水平方向相距 \(0.12\text{ m}\)。導線與水平方向成向上 \(40^\circ\) 的角。
導線載有 \(4.5\text{ A}\) 的電流。磁場大小為 \(0.75\text{ T}\)，方向為水平方向以上 \(10^\circ\)。計算磁場內導線所受磁力的大小。
步驟 1
導線總長為 \(0.60\text{ m}\)，但大部分都位於磁場外。我們需要的是兩條磁場邊界之間那段斜向導線的長度。
若這個有效長度為 \(l\)，
\[ \cos40^\circ = \frac{0.12}{l}. \]
因此，
\[ \begin{aligned} l &= \frac{0.12}{\cos40^\circ}\\ &=0.1566\text{ m}\\ &\approx 0.157\text{ m}. \end{aligned} \]
步驟 2
電流方向為水平方向以上 \(40^\circ\)，而磁場方向為水平方向以上 \(10^\circ\)。
因此，
\[ \theta = 40^\circ-10^\circ=30^\circ. \]
注意，\(40^\circ\) 並不是力的方程式所需的角度。它描述的是導線相對於水平方向的角度。我們需要的是電流與磁場之間的夾角。
步驟 3
\[ \begin{aligned} F &=(0.75)(4.5)(0.1566)\sin30^\circ\\ &=(0.75)(4.5)(0.1566)(0.5)\\ &=0.264\text{ N}. \end{aligned} \]
步驟 4
磁力大小為
\[ F \approx 0.26\text{ N}. \]
這裡需要作出兩個獨立的幾何判斷：圖形決定有效導體長度，而電流與磁場的相對方向則決定 \(\theta\)。
05最容易犯的錯誤
| 看似合理的做法 | 為甚麼會錯 | 較好的判斷 |
|---|---|---|
| 使用導線的總長度 | 位於磁場外的部分不會對該磁場所造成的力作出貢獻 | 只使用磁場內的導體部分 |
| 把磁場區域的寬度當作 \(l\) | 斜向導體在區域內經過的距離可能比該區域的水平或垂直寬度更長 | 找出沿導線方向的實際長度 |
| 使用圖中標在導線旁的角度 | 該角度可能是相對於邊界或水平線量度的 | 找出電流與 \(B\) 之間的夾角 |
| 假設角度越大，力就一定越大 | \(\sin\theta\) 在 \(90^\circ\) 前增加，之後又減小 | 使用 \(\sin\theta\)，而不是只看 \(\theta\) 的數值大小 |
| 把多個區段所受的力當作普通數值直接相加 | 磁力有方向 | 以向量方式合成各個力 |
還有一個更細微的重點。如果導體在磁場內彎曲，不同區段所受的力可能指向不同方向。一般而言，你不能把所有區段的長度相加，再把總長度代入一個 \(BIl\sin\theta\) 計算。
對每一個直線區段而言，更精確的向量關係是
\[ \vec F = I\vec l\times\vec B, \]
其中 \(\vec l\) 沿傳統電流方向，大小等於該直線區段的有效長度。
你不需要把每一道 HSC 題目都變成向量積練習。實用的概念其實更簡單：如果導體方向改變，就檢查力的方向是否也會改變。
06問題與解答
問題 1
一條直導體載有 \(4.0\text{ A}\) 的電流。其中 \(0.20\text{ m}\) 的部分與 \(0.35\text{ T}\) 的均勻磁場垂直。
計算導體所受磁力的大小。
解答 1
磁力為 \(0.28\text{ N}\)。
有效導體長度為 \(0.20\text{ m}\)，而電流與磁場垂直，所以 \(\theta=90^\circ\)。
\[ \begin{aligned} F&=BIl\sin\theta\\ &=(0.35)(4.0)(0.20)\sin90^\circ\\ &=0.28\text{ N}. \end{aligned} \]
一個常見但不必要的步驟，是繼續在圖中尋找其他角度。當題目已告訴你導體與磁場垂直時，所需的角度已經是 \(90^\circ\)。
問題 2
一條直導線穿過一個均勻磁場區域，該區域由兩條相距 \(0.14\text{ m}\) 的垂直線界定。導線與水平方向成向上 \(30^\circ\) 的角，並載有 \(6.0\text{ A}\) 的電流，由左向右流動。
磁場大小為 \(0.55\text{ T}\)，方向為水平方向以上 \(75^\circ\)。
計算：
(a) 有效導體長度，
(b) \(F=BIl\sin\theta\) 中所需的夾角 \(\theta\)，以及
(c) 磁力的大小。
解答 2
有效長度為 \(0.162\text{ m}\)，所需夾角為 \(45^\circ\)，而磁力約為 \(0.38\text{ N}\)。
對於 (a)，\(0.14\text{ m}\) 的間距是水平距離。它不是沿斜向導線量得的長度。
\[ \cos30^\circ=\frac{0.14}{l} \]
因此
\[ \begin{aligned} l&=\frac{0.14}{\cos30^\circ}\\ &=0.1617\text{ m}\\ &\approx0.162\text{ m}. \end{aligned} \]
對於 (b)，電流方向為水平方向以上 \(30^\circ\)，而磁場方向為水平方向以上 \(75^\circ\)。因此，
\[ \theta=75^\circ-30^\circ=45^\circ. \]
對於 (c)，
\[ \begin{aligned} F &=BIl\sin\theta\\ &=(0.55)(6.0)(0.1617)\sin45^\circ\\ &=0.377\text{ N}\\ &\approx0.38\text{ N}. \end{aligned} \]
很容易令人想直接代入 \(l=0.14\text{ m}\) 和 \(\theta=30^\circ\)，但這兩個量都不正確。\(0.14\text{ m}\) 是水平位移，而 \(30^\circ\) 是相對於水平方向量度的角，而不是相對於磁場量度的角。
問題 3
一條水平導線載有 \(5.0\text{ A}\) 的電流，方向向右，並穿過兩個相鄰的磁場區域。
在區域 A 中，有 \(0.12\text{ m}\) 的導線位於 \(0.80\text{ T}\) 的磁場內，磁場方向指向紙面內。
在區域 B 中，有 \(0.20\text{ m}\) 的導線位於 \(0.48\text{ T}\) 的磁場內，磁場方向指向紙面外。
電流與兩個磁場都垂直。
求導線所受的合磁力，並解釋為甚麼不能把總有效長度 \(0.32\text{ m}\) 直接代入一次力的計算。
解答 3
合磁力為 \(0\text{ N}\)，因為兩個區域產生大小相等、方向相反的力。
對區域 A，
\[ \begin{aligned} F_A &=B_AI l_A\sin90^\circ\\ &=(0.80)(5.0)(0.12)\\ &=0.48\text{ N}. \end{aligned} \]
當電流向右、磁場指向紙面內時，力的方向向上。
對區域 B，
\[ \begin{aligned} F_B &=B_BI l_B\sin90^\circ\\ &=(0.48)(5.0)(0.20)\\ &=0.48\text{ N}. \end{aligned} \]
磁場方向反轉，因此這個力的方向向下。
所以，
\[ F_{\text{net}}=0.48-0.48=0\text{ N}. \]
學生可能會把兩段長度相加得到 \(0.32\text{ m}\)，然後嘗試進行一次 \(BIl\) 計算。這樣做不可行，因為並不存在一個適用於整段 \(0.32\text{ m}\) 導線的單一磁場：兩個區域中的磁場大小和方向都不同。
合力為零也不代表沒有磁力作用。實際上有兩個非零的力在作用，只是它們的向量和為零。
問題 4
一條彎曲導線完全位於一個方向指向紙面內、大小為 \(0.40\text{ T}\) 的均勻磁場中。導線載有 \(3.0\text{ A}\) 的電流。
電流首先沿 AB 段水平向右流過 \(0.20\text{ m}\)，然後轉過 \(90^\circ\)，再沿 BC 段垂直向上流過 \(0.15\text{ m}\)。
求彎曲部分所受合磁力的大小和方向。
一名學生認為總有效長度為 \(0.35\text{ m}\)，所以力一定是
\[ F=(0.40)(3.0)(0.35)=0.42\text{ N}. \]
解釋這個錯誤。
解答 4
合力為 \(0.30\text{ N}\)，方向為北偏西 \(36.9^\circ\)。
兩段導線都與磁場垂直，但它們的電流方向不同。因此，它們所受的力方向也不同。
對 AB 段，
\[ \begin{aligned} F_{AB} &=BIl_{AB}\\ &=(0.40)(3.0)(0.20)\\ &=0.24\text{ N}. \end{aligned} \]
電流向右，而 \(B\) 指向紙面內，因此 AB 所受的力向上。
對 BC 段，
\[ \begin{aligned} F_{BC} &=BIl_{BC}\\ &=(0.40)(3.0)(0.15)\\ &=0.18\text{ N}. \end{aligned} \]
電流向上，而 \(B\) 指向紙面內，因此 BC 所受的力向左。
兩個力互相垂直，所以合力大小為
\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &=\sqrt{(0.24)^2+(0.18)^2}\\ &=\sqrt{0.0900}\\ &=0.30\text{ N}. \end{aligned} \]
相對於北方的方向為
\[ \begin{aligned} \tan\phi&=\frac{0.18}{0.24}\\ \phi&=36.9^\circ. \end{aligned} \]
因此，合力方向為北偏西 \(36.9^\circ\)。
看似合理的 \(0.42\text{ N}\) 計算把彎曲導線視為其 \(0.35\text{ m}\) 的每一部分都受到相同方向的力。實際上並非如此。AB 段被推向北，而 BC 段被推向西。
只有在相關各段具有相同的電流方向、磁場，以及因而相同的受力方向時，才可以安全地先把有效長度相加，再使用 \(F=BIl\)。
問題 5
一個大小為 \(0.60\text{ T}\) 的均勻磁場在紙面內垂直向上。磁場佔據一條高而狹長的區域，由兩條水平相距 \(w=0.10\text{ m}\) 的垂直線界定。
一條載有 \(4.0\text{ A}\) 電流的直導線從左側邊界進入，並從右側邊界離開。導線與水平方向成向上 \(\alpha\) 的角。假設 \(\alpha\) 只取使導線在碰到任何其他邊界前先到達右側邊界的數值。
一名學生預測，增大 \(\alpha\) 一定會令磁力增大，因為磁場內的導線長度會增加。
另一名學生預測，增大 \(\alpha\) 一定會令力減小，因為導線會變得更接近與磁場平行。
透過以下步驟判斷哪一個預測正確：
(a) 以 \(w\) 和 \(\alpha\) 表示有效長度，
(b) 以 \(\alpha\) 表示 \(\theta\)，
(c) 以 \(B\)、\(I\) 和 \(w\) 推導力的表示式，
(d) 計算 \(\alpha=0^\circ\) 和 \(\alpha=45^\circ\) 時的力，以及
(e) 解釋為甚麼你的結果不能在恰好 \(\alpha=90^\circ\) 時不加判斷地直接套用。
解答 5
兩名學生的預測都不正確：對每一個容許的 \(\alpha\) 值，磁力大小都相同，為 \(0.24\text{ N}\)。有效導體長度的增加正好抵消正弦因子的減小。
對於 (a)，兩條邊界的水平間距為 \(w\)。有效導線是直角三角形的斜邊：
\[ \cos\alpha=\frac{w}{l}. \]
因此，
\[ l=\frac{w}{\cos\alpha}. \]
所以第一名學生確實注意到了一個真實的效果：增大 \(\alpha\) 會令有效長度增加。
對於 (b)，磁場垂直向上，也就是水平方向以上 \(90^\circ\)。電流方向則為水平方向以上 \(\alpha\)。
因此，
\[ \theta=90^\circ-\alpha. \]
隨著 \(\alpha\) 增加，\(\theta\) 會減小。所以第二名學生也注意到了一個真實的效果。
對於 (c)，
\[ F=BIl\sin\theta. \]
把 \(l\) 和 \(\theta\) 的表示式代入：
\[ \begin{aligned} F &=BI\left(\frac{w}{\cos\alpha}\right) \sin(90^\circ-\alpha). \end{aligned} \]
利用
\[ \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha, \]
可得
\[ \begin{aligned} F &=BI\left(\frac{w}{\cos\alpha}\right)\cos\alpha\\ &=BIw. \end{aligned} \]
角度消失了。
對於 (d)，
\[ \begin{aligned} F &=BIw\\ &=(0.60)(4.0)(0.10)\\ &=0.24\text{ N}. \end{aligned} \]
所以在 \(\alpha=0^\circ\) 時，
\[ F=0.24\text{ N}, \]
而在 \(\alpha=45^\circ\) 時，
\[ F=0.24\text{ N}. \]
這個結果起初可能令人覺得奇怪，因為單獨來看，兩名學生的論點都似乎合理。導線越陡，確實會有更多導體位於磁場內，但同時也會令電流方向更接近與磁場平行。在這個特定的幾何情況下，這兩種效應恰好完全抵消。
對於 (e)，恰好 \(\alpha=90^\circ\) 並不屬於我們所推導的情況。
表示式
\[ l=\frac{w}{\cos\alpha} \]
假設導線從其中一條垂直邊界進入，並從另一條垂直邊界離開。在 \(90^\circ\) 時，導線是垂直的，因此它根本不會從左側邊界穿越到右側邊界。由於 \(\cos90^\circ=0\)，\(l\) 的表示式也會變成沒有定義。
如果你改為把一段有限長度的垂直導線放在磁場內，它的電流會與 \(B\) 平行，因此
\[ F=BIl\sin0^\circ=0. \]
這個看似矛盾的結果，其實來自改變了幾何情況，卻仍假裝原本的假設繼續成立。檢查一條方程式的假設在極限情況下是否仍然成立，往往比再做一次計算更重要。
07掌握這個概念後可以進一步做到甚麼
當你能夠判斷有效導體長度和正確的夾角後，就會更容易把電動機效應延伸到其他情況。
在載流線圈中，線圈不同邊所受的磁力方向不同。這些力可以形成轉動效應，而這正是電動機的基礎。同一條力的定律也有助解釋為甚麼兩條平行的載流導線會互相施力：每條導線都會產生磁場，而該磁場會作用於另一條導線中的電流。
這個關係在 平行載流導線之間的力：HSC 物理 中有進一步說明。