歷史上的 SI 安培與平行導線：HSC 物理
了解平行載流導線之間的作用力，如何把牛頓第三定律與舊有的 SI 安培定義連結起來。
想像一下，有人要你精確定義「1 安培」到底是甚麼，但你不准使用電流錶。在二十世紀的大部分時間裡，官方答案非常具體而物理化：把兩條理想導線並排放置，讓電流流過它們，再以它們彼此施加的微小磁力來定義安培。
在看細節之前，先預測一下：如果兩股電流沿相同方向流動，導線應該互相吸引還是排斥？一個看似合理的猜測是「排斥」，因為我們常把磁現象和互相推開聯想在一起。實際結果卻正好相反。同方向的平行電流互相吸引；反方向的電流則互相排斥。
這個力的重要性高到，從 1948 年起，直到修訂後的 SI 於 2019 年 5 月 20 日生效之前，它一直是安培定義的核心。 :chatgpt-content-reference{index=”0″}
01為甚麼兩股電流可以彼此施力
先從一條載有電流 \(I_1\) 的長直導線開始。
這股電流會在導線周圍產生磁場。在距離導線垂直距離 \(r\) 的位置，磁場強度為
\[ B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \]
其中：
- \(B_1\) 是導線 1 產生的磁場，單位為特斯拉（T），
- \(\mu_0\) 是真空磁導率，
- \(I_1\) 是導線 1 中的電流，單位為安培（A），以及
- \(r\) 是與導線 1 的垂直距離，單位為米（m）。
現在把導線 2 平行放在導線 1 旁邊。
導線 2 位於導線 1 所產生的磁場之中。處於外加磁場中的載流導體會受到馬達效應力
\[ F=I_2LB\sin\theta \]
其中 \(I_2\) 是導線 2 中的電流，\(L\) 是所考慮的導線長度，而 \(\theta\) 是電流方向與磁場方向之間的夾角。
在導線 2 的位置，導線 1 所產生的環形磁場與導線 2 垂直。因此 \(\theta=90^\circ\)，所以 \(\sin\theta=1\)。
代入導線 1 所產生的磁場，可得
\[ F =I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}\right) \]
因此
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]
這就是平行導線問題中的關鍵關係式。
任一股電流增大時，單位長度所受的力都會增大。導線間距增大時，這個力則會減小。
如果方向判斷仍然讓你覺得容易混淆，值得另外複習馬達效應的方向判斷規則。只看力的大小公式，無法判斷這個力究竟是吸引力還是排斥力。
02為甚麼同方向電流互相吸引
假設兩股電流都向上。
對導線 1 使用右手握拳定則。在導線 2 所在的位置，導線 1 的磁場會指向一個與導線垂直的特定方向。再對導線 2 使用馬達效應力的方向判斷規則，可以得到一個指向導線 1 的力。
現在交換兩條導線的角色。
導線 2 也會在導線 1 的位置產生自己的磁場。這個磁場會使導線 1 受到一個指向導線 2 的力。
所以兩條導線互相吸引。
如果把其中一股電流反向，兩個力的方向也都會反轉。這時兩條導線便會互相排斥。
一個實用的判斷規則是：
| 電流方向 | 相互作用 |
|---|---|
| 同方向 | 吸引 |
| 反方向 | 排斥 |
如果可以，別把這當成一個孤立的事實死記下來。它其實來自「一條導線產生磁場；另一條載流導線在這個磁場中受到力」。
範例：兩條平行導線之間的力
兩條長平行導線相距 \(0.12\text{ m}\)。它們分別載有 \(3.0\text{ A}\) 和 \(5.0\text{ A}\) 的電流，而且方向相反。計算任一條導線上長度為 \(0.40\text{ m}\) 的部分所受的力。
步驟 1：使用平行導線的力公式。
\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi r} \]
在 HSC 計算中，取
\[ \mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2} \]
步驟 2：代入數值。
\[ \begin{aligned} F &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(3.0)(5.0)(0.40)} {2\pi(0.12)}\\ &=1.0\times10^{-5}\text{ N} \end{aligned} \]
步驟 3：說明方向。
兩股電流方向相反，所以兩條導線互相排斥。
因此，每一段 \(0.40\text{ m}\) 長的導線受到的力為
\[ 1.0\times10^{-5}\text{ N} \]
方向背離另一條導線。
這個力非常小，但只要測量儀器夠精密，再小也可以測量。
03牛頓第三定律在這裡如何出現
再看一次
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi r} \]
注意一件重要的事：你把哪一股電流叫作 \(I_1\)，哪一股叫作 \(I_2\)，並不重要。乘積 \(I_1I_2\) 都一樣。
因此，對理想的雙導線系統而言，導線 2 對導線 1 所施加的力，其大小等於導線 1 對導線 2 所施加的力。
兩個力的方向則相反。
這正是牛頓第三定律在這裡所要求的：
\[ \vec F_{1\leftarrow2}=-\vec F_{2\leftarrow1} \]
這裡藏著一個常見陷阱。力相等並不代表加速度相等。
如果其中一條導線每米的質量是另一條的兩倍，那麼即使兩個力相等，較輕的導線仍會有兩倍的加速度，因為
\[ a=\frac{F}{m} \]
牛頓第三定律討論的是力，不是運動。
還有一個較進階的限制值得知道。在一般的電磁系統中，場本身可以攜帶動量。因此，不應把這個簡單的雙導線論證當成處理所有隨時間變化之電磁情況的捷徑。不過，對這裡所使用的穩定、理想平行電流問題而言，機械力確實大小相等、方向相反。
04導致舊安培定義的測量問題
如果不同實驗室無法對一個單位的意義達成一致，那麼這個單位就不太實用。
過去的電學測量曾依賴實用的實物標準和約定的測量程序。更基本的方法，是把電流與力、距離和長度等機械量連結起來。
平行導線模型正好提供了這種連結。
按空間順序想像這個理想裝置：
- 兩條直導體並排延伸。
- 它們的中心線相距 \(1\text{ m}\)。
- 假設它們都是無限長。
- 假設它們的圓形橫截面可以忽略。
- 它們位於真空中。
- 兩條導體中維持相同大小的恆定電流。
- 磁相互作用在它們之間產生一個可測量的力。
1948 年採用的歷史定義規定，在這個理想的 \(1\text{ m}\) 間距下，一安培的電流會產生每單位長度
\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \]
的力。 :chatgpt-content-reference{index=”1″}
這並不是說每間實驗室都必須設法取得兩條真正無限長、無限細的導線。這些條件所定義的是一個理想物理模型。
這個區別很重要。
05尺度估算：定義中的力到底有多小？
把 \(I_1=I_2=1\text{ A}\) 和 \(r=1\text{ m}\) 代入導線力公式：
\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1)(1)} {2\pi(1)}\\ &=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1} \end{aligned} \]
所以，一米長的導線所受的力只有
\[ F=2\times10^{-7}\text{ N}. \]
要對這個數值有些概念，可以問：在地球表面附近，甚麼質量的物體會有相同大小的重量？
利用 \(F=mg\)，
\[ \begin{aligned} m&=\frac{F}{g}\\ &=\frac{2\times10^{-7}}{9.81}\\ &\approx2.0\times10^{-8}\text{ kg} \end{aligned} \]
這大約相當於 \(20\) 微克的質量。
所以舊定義確實把一安培與可用機械方式測量的效應連結起來，但這個效應極其微小。
06與 \(\mu_0\) 的巧妙連結
接下來是很容易被忽略的一點。
舊定義不只是定義了安培，也讓 \(\mu_0\) 的數值成為精確值。
從
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]
開始。
在定義所指定的情況下，
\[ I_1=I_2=1\text{ A}, \qquad r=1\text{ m}, \qquad \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
整理公式求 \(\mu_0\)：
\[ \begin{aligned} \mu_0 &=\frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}\\ &=2\pi(1)(2\times10^{-7})\\ &=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]
在舊定義之下，這個數值是精確的，因為安培的定義本來就是刻意設計成會得到這個結果。
這與單純量測 \(\mu_0\)，然後發現結果接近 \(4\pi\times10^{-7}\)，是完全不同的事情。
07但沒有人擁有無限長的導線
這個理想裝置有一個很明顯的問題：無限長的導線很難放進實驗室。
真正厚度可忽略不計的導線也一樣不存在。
實際導體還會有有限長度、支架、接線和周圍設備。這些因素都會使磁力與完美理想模型稍有不同。
因此，實際的力測量會使用電流天平和經過仔細設計的導體配置，而不是逐字逐句地在物理上重現定義中的裝置。在電流天平中，可以把導體或線圈之間的磁力，與天平上已知的機械力相比較。之後必須足夠精確地理解裝置的幾何形狀，才能把真實儀器的結果連回理想的電磁關係。例如，NIST 描述過一種 Kelvin 天平，它把線圈之間的磁力與砝碼所產生的機械力作比較。 :chatgpt-content-reference{index=”2″}
這是一個很有用的歷史教訓：一個單位的定義，和實際如何實現該定義，不一定是同一件事。
定義說明單位代表甚麼。計量學則告訴你如何準確地把它實現出來。
範例：推算未知電流
兩條長平行導線相距 \(4.0\text{ cm}\)。導線 1 載有 \(5.0\text{ A}\) 的電流。測得兩條導線之間每單位長度的力為 \(3.0\times10^{-4}\text{ N m}^{-1}\)。求導線 2 中電流的大小。
步驟 1：把間距換算成米。
\[ r=4.0\text{ cm}=0.040\text{ m} \]
步驟 2：從單位長度所受力的公式開始。
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r} \]
整理求 \(I_2\)：
\[ I_2=\frac{2\pi r(F/L)}{\mu_0I_1} \]
步驟 3：代入數值。
\[ \begin{aligned} I_2 &=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-4})} {(4\pi\times10^{-7})(5.0)}\\ &=12\text{ A} \end{aligned} \]
第二股電流的大小為 \(12\text{ A}\)。
注意，只憑力的測量只能得到 \(I_2\) 的大小。若要判斷它與 \(I_1\) 是同方向還是反方向，還需要知道兩條導線是互相吸引還是排斥。
08為甚麼安培的定義在 2019 年改變
力的定義背後有很強的物理概念，但其理想幾何配置很難直接實現。
現代計量學也發展出以量子物理為基礎的電學標準。因此，修訂後的 SI 改變了哪些量被視為精確值。
自 2019 年 5 月 20 日起，安培是透過把基本電荷 \(e\) 的數值固定為精確值
\[ e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\text{ C}. \]
來定義的。
由於 \(1\text{ C}=1\text{ A\,s}\)，這使電流直接與單位時間內轉移的電荷量連結起來。 :chatgpt-content-reference{index=”3″}
以變化率表示，
\[ I=\frac{\Delta q}{\Delta t}. \]
因此，\(1\text{ A}\) 的電流對應的電荷流率約為每秒
\[ \frac{1}{1.602\,176\,634\times10^{-19}} \approx6.2415\times10^{18} \]
個基本電荷。
不要把這理解成「電子必須以 \(6.24\times10^{18}\) 米每秒的速度穿過金屬導線」之類的說法。這個數字表示每秒穿過某個選定表面的電荷數量，而不是個別電子的速度。
現代定義固定的是 \(e\)，而不是 \(\mu_0\)。因此，原則上現在必須以實驗測定 \(\mu_0\)，而不是讓它具有精確定義值 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\)。其數值差異遠低於一般 HSC 計算所需的精度，所以在這個程度上使用 \(4\pi\times10^{-7}\) 仍然是非常好的近似。 :chatgpt-content-reference{index=”4″}
| 舊 SI | 現行 SI |
|---|---|
| 安培與理想平行導體之間的力連結 | 安培與固定的基本電荷 \(e\) 連結 |
| \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) 為精確值 | \(e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\text{ C}\) 為精確值 |
| 力的實驗有助於實現電流標準 | 精確實現的電流反而可用來研究電磁常數 |
| 定義中包含理想的無限長導線幾何條件 | 定義中包含基本常數 |
2019 年 5 月 20 日，電氣裝置並沒有發生任何劇烈變化。實驗室中的電流不會因為定義文字改變而突然跳變。修訂後的 SI 在改變基礎定義的同時，刻意維持了連續性。
09HSC 學生應從這段歷史中掌握甚麼
歷史上的安培定義，讓你有理由理解為甚麼要學習導線間作用力公式。它並不只是一條放在公式表上的方程。它曾經協助定義 SI 的其中一個基本單位。
它也把幾個常被分開學習的 HSC 概念連結起來：
- 電流會產生磁場，
- 另一股位於該磁場中的電流會受到力，
- 在理想雙導線系統中，這個相互作用會產生大小相等、方向相反的力，
- 力的大小取決於 \(I_1I_2/r\)，
- 可以利用可測量的機械力推算一個電學量，以及
- 改變科學定義可以改變哪一個常數被視為精確值，而不會改變背後的物理定律。
如果想進一步練習這個關係式的計算，可參閱平行載流導線之間的力。
10問題與解答
問題 1
兩條長平行導線相距 \(0.15\text{ m}\)，並分別載有 \(4.0\text{ A}\) 和 \(6.0\text{ A}\) 的同方向電流。
計算任一條導線上 \(0.80\text{ m}\) 長的一段所受的力，並說明其方向。
解答 1
每一段 \(0.80\text{ m}\) 長的導線受到 \(2.56\times10^{-5}\text{ N}\) 的力，方向指向另一條導線。
使用
\[ F=\frac{\mu_0I_1I_2L}{2\pi r}. \]
代入：
\[ \begin{aligned} F &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(4.0)(6.0)(0.80)} {2\pi(0.15)}\\ &=2.56\times10^{-5}\text{ N}. \end{aligned} \]
兩股電流沿相同方向流動，所以相互作用為吸引。
一個很容易犯的錯誤，是算出正確的力大小後，就假設力的方向「沿著磁場」。實際上並非如此。力的方向由電流方向與磁場方向的相互作用決定，而不是只由磁場方向決定。
問題 2
兩條平行導線相距 \(0.080\text{ m}\)。導線 A 載有 \(10\text{ A}\) 的電流，而導線 B 載有方向相反、大小未知的電流。
每單位長度所受的力為 \(5.0\times10^{-4}\text{ N m}^{-1}\)。
- 求導線 B 中的電流。
- 導線 A 的單位長度質量為 \(1.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\)，而導線 B 的單位長度質量為 \(2.0\times10^{-2}\text{ kg m}^{-1}\)。如果把兩條導線沿側向釋放，並忽略其他力，求每條導線的初始加速度。
- 解釋為甚麼兩者的加速度不同，但這並不違反牛頓第三定律。
解答 2
導線 B 載有 \(20\text{ A}\) 的電流。導線 A 的初始加速度為 \(5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\)，而導線 B 的加速度為 \(2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}\)，兩者方向相反。
對電流而言，
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r}. \]
因此
\[ \begin{aligned} I_B &=\frac{2\pi r(F/L)}{\mu_0I_A}\\ &=\frac{2\pi(0.080)(5.0\times10^{-4})} {(4\pi\times10^{-7})(10)}\\ &=20\text{ A}. \end{aligned} \]
因為兩股電流方向相反，所以導線互相排斥。
對導線 A，考慮一米長的導線。作用力為 \(5.0\times10^{-4}\text{ N}\)，而其質量為 \(1.0\times10^{-2}\text{ kg}\)。
\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F}{m}\\ &=\frac{5.0\times10^{-4}} {1.0\times10^{-2}}\\ &=5.0\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]
對一米長的導線 B，
\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{5.0\times10^{-4}} {2.0\times10^{-2}}\\ &=2.5\times10^{-2}\text{ m s}^{-2}. \end{aligned} \]
很容易得出一個錯誤結論：加速度不同就一定代表力不同。這是把牛頓第二定律和第三定律混淆了。
牛頓第三定律指出，相互作用力大小相等、方向相反。牛頓第二定律則指出，產生的加速度還取決於質量。導線 B 每單位長度的質量是兩倍，因此它的加速度只有一半。
問題 3
三條長平行導線 A、B 和 C 沿一條水平直線排列。
導線 B 位於 A 的右方 \(0.10\text{ m}\)。導線 C 則再位於 B 的右方 \(0.20\text{ m}\)。
A 和 B 分別載有 \(4.0\text{ A}\) 和 \(3.0\text{ A}\) 的電流，而且方向相同。
- 求使 B 所受淨磁力為零時，C 中電流所需的大小和方向。
- 如果之後把 B 中的電流方向反轉，而 A 和 C 保持不變，B 所受的淨力是否仍為零？不用重做完整計算，請加以解釋。
解答 3
導線 C 必須載有 \(8.0\text{ A}\) 的電流，方向與 A 和 B 相同。只把 B 中的電流反向後，B 所受淨力仍然為零，雖然兩個個別作用力的方向都會反轉。
A 對 B 的單位長度作用力為
\[ \frac{F_{BA}}L =\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r_{AB}}. \]
A 和 B 中的電流方向相同，因此 A 會把 B 向左吸引。
若淨力要為零，C 必須以相同大小的力把 B 向右拉。因此，C 必須載有與 B 同方向的電流。
令兩個力的大小相等：
\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi r_{AB}} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi r_{BC}}. \]
消去共同因子：
\[ \frac{I_A}{r_{AB}} = \frac{I_C}{r_{BC}}. \]
所以
\[ \begin{aligned} I_C &=I_A\frac{r_{BC}}{r_{AB}}\\ &=(4.0)\frac{0.20}{0.10}\\ &=8.0\text{ A}. \end{aligned} \]
現在只把 \(I_B\) 反向。
每個相互作用的大小仍然包含相同的電流大小乘積，所以兩個力的大小都不變。不過，B 現在的電流方向與 A 和 C 都相反，因此原本的兩個吸引力都變成排斥力。
現在 A 把 B 向右推，而 C 把 B 向左推。這兩個力仍然大小相等。
陷阱在於以為把 B 反向一定會破壞平衡。實際上，作用在 B 上的兩個力都同時反向，所以它們的向量和仍然為零。
問題 4
想像一個現代實驗，使用兩條極長的平行導體，彼此精確相距 \(1.000000000\text{ m}\)。每一股電流都利用現行 SI 定義，獨立實現為 \(1.000000000\text{ A}\)。
假設在完成所有實驗修正後，測得的單位長度作用力在假想情況下為
\[ 2.000000004\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
- 利用這次測量推算 \(\mu_0\)。
- 把它與 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) 比較。
- 解釋為甚麼在現行 SI 下，這類實驗的意義與舊有以力為基礎的安培定義下有根本上的不同。
解答 4
這個假想結果給出
\[ \mu_0=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]
它比 \(4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) 大，分數差為 \(2\times10^{-9}\)。
整理平行導線公式：
\[ \mu_0 = \frac{2\pi r(F/L)}{I_1I_2}. \]
代入題目所給的數值：
\[ \begin{aligned} \mu_0 &= \frac{2\pi(1.000000000) (2.000000004\times10^{-7})} {(1.000000000)(1.000000000)}\\ &=4.000000008\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}. \end{aligned} \]
把它與熟悉的數值比較：
\[ 4.000000008\pi\times10^{-7} = \left(4\pi\times10^{-7}\right) (1.000000002). \]
所以分數差為
\[ 2\times10^{-9}. \]
在現行 SI 中，基本電荷 \(e\) 的數值被精確固定。因此，可以在不依賴平行導線力定律的情況下實現安培，而精確的力學實驗則可以被解讀為對 \(\mu_0\) 的測量。
在舊定義下，這套邏輯的方向正好相反。力的關係式本身就是建立安培的一部分，而 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}\) 則由定義精確地推導出來。
因此，在 2019 年以前，在當時的 SI 架構內，如果出現差異，不能解讀為「我們測得了一個稍微不同的 \(\mu_0\) 值」。相反，它會指向電流實現不完善、幾何條件不理想、測量誤差，或實驗中尚未解決的問題。
容易走錯的思路，是把一個熟悉的數值常數當成它在歷史上一直具有相同的邏輯地位。事實並非如此。電磁學的物理定律沒有改變，但定義會決定哪一個量被視為精確值，以及哪一個量可以透過實驗測定。
問題 5
考慮歷史上的理想幾何條件：兩條無限長、厚度可忽略的導線在真空中相距 \(1\text{ m}\)，而測得的單位長度作用力恰好為
\[ 2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}. \]
一名學生提出：
「牛頓第三定律說兩個力相等，所以兩股電流也一定相等。因此每一股電流一定都是 \(1\text{ A}\)。」
分析以下各種情況中的這個說法。
- 兩條導線分別使用獨立的電流源。
- 兩條導線串聯，因此相同的穩定電流必須流過兩者。
- 解釋牛頓第三定律實際上對推理提供了甚麼，以及它沒有提供甚麼。
- 在現行 SI 下，假設串聯電流已經獨立確定為恰好 \(1\text{ A}\)。這時導線力的測量可以告訴你甚麼？
解答 5
如果使用獨立電流源，這項測量不能證明每股電流都是 \(1\text{ A}\)；它只限定了兩股電流的乘積。如果兩條導線串聯，額外條件 \(I_1=I_2\) 才能讓歷史上的結果把共同電流確定為 \(1\text{ A}\)。牛頓第三定律確立的是大小相等、方向相反的相互作用力，而不是相等的電流。在現行 SI 下，如果串聯電流已獨立知道為 \(1\text{ A}\)，那麼力的實驗就會變成對 \(\mu_0\) 的測量。
從
\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \]
開始。
使用舊制中的精確值
\[ \mu_0=4\pi\times10^{-7}\text{ N A}^{-2}, \]
再配合 \(r=1\text{ m}\) 和
\[ \frac FL=2\times10^{-7}\text{ N m}^{-1}, \]
可得
\[ \begin{aligned} 2\times10^{-7} &= \frac{(4\pi\times10^{-7})I_1I_2} {2\pi}\\ &=2\times10^{-7}I_1I_2. \end{aligned} \]
因此
\[ I_1I_2=1\text{ A}^2. \]
但這並不要求
\[ I_1=I_2=1\text{ A}. \]
例如，
\[ I_1=0.50\text{ A}, \qquad I_2=2.0\text{ A} \]
會得到相同的乘積，因此也會產生相同大小的力。
這就是核心陷阱。相互作用力相等，並不代表造成這個相互作用的物理量本身必須相等。
牛頓第三定律給出
\[ |\vec F_{1\leftarrow2}| = |\vec F_{2\leftarrow1}| \]
無論兩股電流的大小是否相等都是如此。這種對稱性也直接反映在因子 \(I_1I_2\) 中。
現在加入串聯條件。
對流過兩條串聯導體的穩定電流而言，
\[ I_1=I_2=I. \]
力的公式於是給出
\[ I^2=1\text{ A}^2. \]
取電流大小，
\[ I=1\text{ A}. \]
只有到這一步，才能得出共同電流是一安培的結論。關鍵的額外資訊並不是牛頓第三定律，而是電路條件：相同的電流會流過兩條串聯導體。
在現行 SI 下，再次把邏輯反過來。如果 \(I=1\text{ A}\) 已經根據以電荷為基礎的定義獨立建立，那麼
\[ \mu_0=\frac{2\pi r(F/L)}{I^2}. \]
平行導線裝置不再需要用來告訴你一安培代表甚麼。相反，已知的電流配合測得的力，可以告訴你有關 \(\mu_0\) 的資訊。
這種邏輯上的反轉，才是真正的歷史連結：SI 改變時，力定律並沒有失效。改變的是方程哪一邊作為標準，以及哪一邊成為需要透過實驗確定的量。
下一個實用的步驟，是把同樣的馬達效應概念從一條直導線延伸到以其他角度放置的導體。到了那裡，\(\sin\theta\) 項就不會再默默地等於 \(1\)，而馬達效應力達到最大值和零值的條件也會變得重要。