平行載流導線之間的力：HSC Physics

學習如何計算平行載流導線之間的單位長度作用力，並判斷它們會互相吸引還是排斥。內容包括例題與具挑戰性的 HSC 類型題目。

October 1, 2026 7 min read

把兩條長導線並排放置，並讓電流流過兩條導線。它們彼此沒有接觸，但每條導線都可能受到側向力。現在先作一個預測：如果兩條導線中的電流方向相同，它們會互相吸引還是排斥？

你可能會很自然地套用電荷的規則，猜想「相同就會排斥」。但在這裡這個想法並不成立。平行且同方向的電流會互相吸引；平行但方向相反的電流則會互相排斥。

對 HSC Physics 而言，真正有用的不只是記住這條規則，而是理解這個力從何而來、如何計算單位長度的受力，以及如果你在考試中忘記規則時，如何重新推導出力的方向。

01一條導線產生磁場，進而對另一條導線施力

先考慮兩條長、直且互相平行的導線，它們相距 \(d\)。

導線 1 中有電流 \(I_1\)。這個電流會在導線周圍產生環形磁場。在導線 2 所在的位置，磁場強度為

\[ B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \]

其中：

\(B_1\) 是導線 1 在導線 2 位置產生的磁場，單位為特斯拉（\(\text{T}\)）
\(\mu_0\) 是真空磁導率，\(4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)
\(I_1\) 是導線 1 中的電流，單位為安培（\(\text{A}\)）
\(d\) 是兩條導線之間的垂直距離，單位為米（\(\text{m}\)）

在 HSC 涉及空氣中導線的題目裡，通常可以使用 \(\mu_0\)。

此時，導線 2 位於這個磁場之中。載流導體處於磁場中時，會受到馬達效應的力：

\[ F=BIL\sin\theta \]

這裡，\(\theta\) 是電流方向與磁場方向之間的夾角。

這裡有一個很重要的陷阱。雖然兩條導線互相平行，但導線 2 所在位置的磁場方向與導線 2 垂直。因此 \(\theta=90^\circ\)，而不是 \(0^\circ\)。

所以 \(\sin90^\circ=1\)，長度為 \(L\) 的導線 2 所受的力為

\[ F=I_2LB_1 \]

這是馬達效應所能產生的最大力。如果你對這個角度的概念還不夠熟悉，建議先複習馬達效應的最大力與零力，再繼續往下。

代入導線 1 所產生的磁場：

\[ F=I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\right) \]

因此，

\[ F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi d} \]

再除以 \(L\)，可得到最常使用的形式：

\[ \boxed{\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}} \]

\(F/L\) 的單位是牛頓每米（\(\text{N m}^{-1}\)）。

這條公式適用於可以把導線視為長且直、兩導線之間的距離大致保持不變，而且可以忽略端部效應的情況。

02這條公式告訴了你甚麼

在處理任何方向規則之前，先看看公式的結構：

\[ \frac{F}{L}\propto\frac{I_1I_2}{d} \]

所以：

將任一條導線的電流加倍，單位長度的受力也會加倍
將兩條導線的電流都加倍，單位長度的受力會變成四倍
將導線間距加倍，單位長度的受力會減半
對調 \(I_1\) 和 \(I_2\)，力的大小不會改變

最後一點很重要。即使兩條導線中的電流不同，在對應的相同長度上，每條導線對另一條導線施加的力大小仍然相同。兩個力方向相反，符合牛頓第三定律。

由下式還可以得到一個實用的簡化：

\[ \frac{\mu_0}{2\pi} = \frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi} = 2.0\times10^{-7} \]

因此，在空氣中，

\[ \frac{F}{L} = 2.0\times10^{-7}\frac{I_1I_2}{d} \]

其中電流以安培為單位，而 \(d\) 以米為單位。

03為甚麼同方向電流會互相吸引

假設有兩條垂直導線並排放置，而且兩條導線中的電流都向上流動。

對左邊的導線使用右手握持定則。讓右手拇指朝向電流方向，也就是向上。彎曲的手指會顯示環形磁場的方向。在右邊導線所在的位置，磁場方向指向紙面內。

現在對右邊的導線使用馬達效應的方向規則。它的電流向上，而磁場指向紙面內，所以它所受的力會指向左邊的導線。

對另一條導線作同樣的分析，也會得到一個指向右邊導線的力。

因此，兩條導線互相吸引。

兩組垂直且互相平行的載流導線。同方向向上的電流互相吸引，而方向相反的電流互相排斥。在右側導線的位置，左側導線產生的磁場指向紙面內。 — 同方向的平行電流互相吸引；方向相反的電流互相排斥。一條導線產生的磁場決定另一條導線所受力的方向。

如果把其中一條導線的電流方向反轉，馬達效應的力也會反向。每條導線都會被推離另一條導線，因此反方向的電流會互相排斥。

簡潔的規則如下：

相對電流方向	力
同方向	吸引
相反方向	排斥

如果你忘了這條規則，不要猜。你可以先找出其中一條導線所產生的磁場，再判斷另一條導線在該磁場中所受的力，重新推導答案。方向判斷的方法在HSC Physics 馬達效應方向規則詳解中有更完整的說明。

例題：求兩條平行導線之間的力

兩條長平行導線相距 \(4.0\ \text{cm}\)。它們分別有 \(3.0\ \text{A}\) 和 \(5.0\ \text{A}\) 的同方向電流。求單位長度的受力，以及每條導線長 \(0.80\ \text{m}\) 的部分所受的力。

步驟 1

\[ d=4.0\ \text{cm}=0.040\ \text{m} \]

步驟 2

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}\\ &=(2.0\times10^{-7}) \frac{(3.0)(5.0)}{0.040}\\ &=7.5\times10^{-5}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 3

\[ \begin{aligned} F &=\left(\frac{F}{L}\right)L\\ &=(7.5\times10^{-5})(0.80)\\ &=6.0\times10^{-5}\ \text{N} \end{aligned} \]

步驟 4

兩個電流方向相同，所以兩條導線互相吸引。

這個結果表示，每一段 \(0.80\ \text{m}\) 長的導線都會受到大小為 \(6.0\times10^{-5}\ \text{N}\)、指向另一條導線的力。

注意，公式本身只給出了力的大小。電流方向必須另外考慮。

04單位長度的力通常比總力更有用

為甚麼公式很自然地寫成 \(F/L\)？

想像比較一段 \(10\ \text{cm}\) 長的導線和一段 \(1.0\ \text{m}\) 長的導線。如果磁場沿著兩段導線都近似不變，那麼一米長的導線在磁場中的載流導體長度是前者的十倍，因此它所受的總力也是十倍。

但每米所受的力保持不變。

因此，當題目中的另一個物理量也是以「每米」表示時，例如單位長度質量，\(F/L\) 特別有用。

例題：磁斥力支撐一條導線

一條長水平導線固定在另一條平行導線的下方。下方導線中有 \(30\ \text{A}\) 的電流。上方導線的單位長度質量為 \(1.5\ \text{g m}^{-1}\)，並位於下方導線上方 \(8.0\ \text{mm}\) 處。

忽略其他支撐，要使磁力恰好平衡其重量，上方導線中需要流過多大的電流？並說明所需電流相對於下方導線的方向。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

步驟 1

上方導線的重量向下。因此，磁力必須向上。

由於上方導線位於下方導線之上，兩條導線必須互相排斥。

所以它們的電流方向必須相反。

步驟 2

\[ 1.5\ \text{g m}^{-1} = 1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1} \]

設單位長度質量為 \(\lambda\)。

單位長度的重量為

\[ \begin{aligned} \frac{W}{L} &=\lambda g\\ &=(1.5\times10^{-3})(9.8)\\ &=1.47\times10^{-2}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 3

兩條導線之間的距離為

\[ d=8.0\times10^{-3}\ \text{m} \]

在平衡狀態下，

\[ \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\lambda g \]

使用 \(\mu_0/(2\pi)=2.0\times10^{-7}\)，

\[ (2.0\times10^{-7}) \frac{(30)I_2}{8.0\times10^{-3}} = 1.47\times10^{-2} \]

步驟 4

\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{(1.47\times10^{-2})(8.0\times10^{-3})} {(2.0\times10^{-7})(30)}\\ &=19.6\ \text{A} \end{aligned} \]

所以，上方導線所需的電流約為

\[ \boxed{20\ \text{A}} \]

而且方向必須與下方導線中的電流相反。

這個例題很有用，因為完全不需要指定某一段導線的實際長度。重量和磁力都可以用單位長度來比較。

05最容易出現的誤解：「平行就代表力為零」

學生常常記得

\[ F=BIL\sin\theta \]

然後想：「兩條導線是平行的，所以 \(\theta=0^\circ\)，因此力為零。」

問題在於，\(\theta\) 並不是兩條導線之間的夾角。

它是受到力作用的導線中，電流方向與該位置磁場方向之間的夾角。

對平行直導線而言，其中一條導線產生的磁場會繞著它形成環形。在相鄰導線的位置，這個磁場與電流方向垂直。

因此，

\[ \theta=90^\circ \]

所以對於該磁場強度而言，馬達效應的力其實達到最大值。

另一個常見錯誤，是在 \(F=BIL\) 中使用兩條導線共同產生的磁場。若要計算導線 1 對導線 2 的作用力，應使用導線 1 在導線 2 位置所產生的磁場。在這個簡化的馬達效應計算中，不會把導線自身產生的磁場代入，讓它對自己產生側向推力。

06題目與解答

題目 1

兩條長平行導線相距 \(6.0\ \text{cm}\)。它們分別有 \(4.0\ \text{A}\) 和 \(7.5\ \text{A}\) 的同方向電流。

a. 計算兩條導線之間的單位長度受力。

b. 求長度為 \(1.20\ \text{m}\) 的一段導線所受的力。

c. 說明這個力是吸引力還是排斥力。

解答 1

單位長度的受力為 \(1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\)，因此在 \(1.20\ \text{m}\) 長的導線上，力為 \(1.2\times10^{-4}\ \text{N}\)，而且兩條導線互相吸引。

先換算距離：

\[ d=6.0\ \text{cm}=0.060\ \text{m} \]

然後

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=(2.0\times10^{-7}) \frac{I_1I_2}{d}\\ &=(2.0\times10^{-7}) \frac{(4.0)(7.5)}{0.060}\\ &=1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

對 \(L=1.20\ \text{m}\)，

\[ \begin{aligned} F &=\left(\frac{F}{L}\right)L\\ &=(1.0\times10^{-4})(1.20)\\ &=1.2\times10^{-4}\ \text{N} \end{aligned} \]

由於兩個電流方向相同，所以作用力為吸引力。

一個常見錯誤，是把 \(6.0\ \text{cm}\) 直接以厘米代入。力的公式要求距離以米為單位。

題目 2

兩條長平行導線 A 和 B 相距 \(3.0\ \text{cm}\)。A 位於 B 的左邊。

導線 A 中有 \(12\ \text{A}\) 的電流，而導線 B 中有 \(4.0\ \text{A}\) 的反方向電流。A 和 B 的單位長度質量分別為 \(0.020\ \text{kg m}^{-1}\) 和 \(0.010\ \text{kg m}^{-1}\)。

a. 計算每條導線所受的單位長度磁力。

b. 說明每條導線所受力的方向。

c. 如果兩條導線由靜止釋放，而且可以向側面移動，計算它們最初的橫向加速度。

解答 2

每條導線都受到 \(3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\) 的磁力，但由於導線 B 的單位長度質量只有導線 A 的一半，所以 B 最初的加速度是 A 的兩倍。

單位長度的磁力為

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=(2.0\times10^{-7}) \frac{(12)(4.0)}{0.030}\\ &=3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

兩個電流方向相反，所以兩條導線互相排斥。由於 A 位於左邊，A 被推向左，而 B 被推向右。

對導線 A 的一米長部分，

\[ F=3.2\times10^{-4}\ \text{N} \]

而其質量為 \(0.020\ \text{kg}\)。因此，

\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F}{m}\\ &=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.020}\\ &=1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

對導線 B 的一米長部分，

\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.010}\\ &=3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

所以 A 最初向左加速，其加速度為

\[ \boxed{1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}} \]

而 B 向右加速，其加速度為

\[ \boxed{3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}} \]

一個很容易出現的錯誤，是認為 \(12\ \text{A}\) 的導線一定比 \(4.0\ \text{A}\) 的導線受到更大的力。實際上並非如此。兩導線間的相互作用力公式包含乘積 \(I_1I_2\)，所以兩個力的大小相等。不同的加速度來自不同的質量，而不是不同大小的磁力。

題目 3

三條長平行導線 A、B 和 C 位於同一平面內。

A 位於 B 左邊 \(3.0\ \text{cm}\) 處。C 位於 B 右邊 \(5.0\ \text{cm}\) 處。

A 中有 \(8.0\ \text{A}\) 向上的電流，而 B 中有 \(6.0\ \text{A}\) 向下的電流。

求 C 中電流的大小和方向，使 B 所受的合磁力為零。

解答 3

導線 C 必須有約 \(13\ \text{A}\) 向上的電流。

先判斷所需方向。

A 和 B 的電流方向相反，所以它們互相排斥。由於 A 位於 B 的左邊，因此 A 會把 B 推向右。

要使 B 所受的合力為零，C 必須把 B 推向左。

C 位於 B 的右邊。若要把 B 推離 C，B 和 C 必須互相排斥，因此它們的電流方向必須相反。

B 的電流向下，所以 C 的電流必須向上。

現在令兩個力的大小相等。

A 對 B 產生的單位長度受力為

\[ \left(\frac{F}{L}\right)_{AB} = \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}} \]

C 對 B 產生的單位長度受力為

\[ \left(\frac{F}{L}\right)_{CB} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}} \]

要使合力為零，

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}} \]

共同因子約去：

\[ \frac{I_A}{d_{AB}} = \frac{I_C}{d_{CB}} \]

因此，

\[ \begin{aligned} I_C &=I_A\frac{d_{CB}}{d_{AB}}\\ &=(8.0)\frac{0.050}{0.030}\\ &=13.3\ \text{A} \end{aligned} \]

所以

\[ \boxed{I_C\approx13\ \text{A，方向向上}} \]

一個很容易出現的想法，是認為 C 的電流應該向下，因為這樣就和 B 的方向相同。但如果電流方向相同，B 和 C 就會互相吸引，把 B 拉向右邊，與 A 對 B 的力方向相同。在令兩個力的大小相等之前，必須先確定方向。

題目 4

兩條完全相同的水平導線彼此平行，而且有大小相同的電流。每條導線長 \(1.20\ \text{m}\)，質量為 \(1.8\ \text{g}\)。

每條導線的兩端都由長度為 \(0.20\ \text{m}\) 的輕質絕緣細線懸吊。沒有電流時，兩條導線上方對應的懸掛點彼此相距 \(0.060\ \text{m}\)。

當接通方向相反的電流後，兩條導線對稱地互相排斥。最後，每條懸線都與鉛直方向成 \(6.0^\circ\)。

假設兩條導線仍然保持水平且互相平行。

計算每條導線中的電流。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

兩條平行導線的截面圖，懸掛支點相距 0.060 m。每條長 0.20 m 的懸線向外傾斜 6.0 度，使導線間距增加至 d。每條導線都受到向下的重量、向外的磁力，以及沿懸線方向的張力。 — 反方向電流互相排斥，因此懸掛的導線會彼此分開，直到懸線張力同時平衡重量與向外的磁力。

解答 4

每條導線中的電流約為 \(28\ \text{A}\)。

關鍵在於，計算磁力時必須使用導線移動之後的新間距，而不是原本懸掛點之間的 \(0.060\ \text{m}\) 距離。

每條導線向外水平移動的距離為

\[ x=(0.20)\sin6.0^\circ \]

所以導線最後的間距為

\[ \begin{aligned} d &=0.060+2(0.20)\sin6.0^\circ\\ &=0.1018\ \text{m} \end{aligned} \]

現在考慮一整條導線的受力平衡。

兩條懸線張力的總向上分量平衡導線的重量，而總水平分量則平衡磁力。因此，

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{mag}}}{mg} \]

所以

\[ F_{\text{mag}}=mg\tan\theta \]

代入

\[ m=1.8\times10^{-3}\ \text{kg} \]

得到

\[ \begin{aligned} F_{\text{mag}} &=(1.8\times10^{-3})(9.8)\tan6.0^\circ\\ &=1.85\times10^{-3}\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，單位長度的力為

\[ \begin{aligned} \frac{F}{L} &=\frac{1.85\times10^{-3}}{1.20}\\ &=1.54\times10^{-3}\ \text{N m}^{-1} \end{aligned} \]

兩條導線中的電流大小都為 \(I\)，所以

\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0I^2}{2\pi d} = (2.0\times10^{-7})\frac{I^2}{d} \]

代入數值，

\[ 1.54\times10^{-3} = (2.0\times10^{-7}) \frac{I^2}{0.1018} \]

因此，

\[ \begin{aligned} I^2 &= \frac{(1.54\times10^{-3})(0.1018)} {2.0\times10^{-7}}\\ &\approx7.84\times10^2 \end{aligned} \]

所以

\[ I\approx28.0\ \text{A} \]

因此，

\[ \boxed{I\approx28\ \text{A}} \]

由於觀察到的運動是排斥，所以兩條導線中的電流方向必須相反。

這裡有兩個很容易使用的錯誤捷徑。第一個，是即使導線已經移動，仍然把 \(0.060\ \text{m}\) 當作兩條導線之間的距離。這會高估磁場。第二個，是直接把 \(F/L\) 與整條導線的重量 \(mg\) 比較。一個是每米的力，另一個是總力，所以在沒有考慮導線長度之前，兩者不能直接設為相等。

題目 5

兩條固定的長平行導線 A 和 C 相距 \(0.50\ \text{m}\)。它們的電流都向上。

導線 A 中有 \(3.0\ \text{A}\) 的電流，而導線 C 中有 \(12\ \text{A}\) 的電流。

第三條長平行導線 B 放在兩者之間的某個位置，並有 \(5.0\ \text{A}\) 的電流。

a. 當 B 的電流向上時，找出 A 和 C 之間使 B 所受合磁力為零的位置。

b. 對一個很小的側向位移而言，這個零力位置是穩定平衡還是不穩定平衡？解釋原因。

c. 現在把 B 的電流方向反轉，而 A 和 C 保持不變。零力位置會移動嗎？

d. 當 B 的電流反轉後，平衡是穩定還是不穩定？

e. 如果 B 的電流大小加倍，零力位置會改變嗎？

解答 5

導線 B 在距離 A \(0.10\ \text{m}\) 的位置所受合力為零。當 B 的電流向上時，這個平衡是不穩定的；把 B 的電流反轉後，平衡位置仍然相同，但會變成穩定平衡。將 \(I_B\) 加倍也不會改變平衡位置。

設 A 到 B 的距離為 \(x\)。那麼 B 到 C 的距離就是

\[ 0.50-x \]

當 B 的電流向上時，它與兩條外側導線中的電流都同方向。A 把 B 吸向左邊，而 C 把 B 吸向右邊。

要使合力為零，兩個力的大小必須相等：

\[ \frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x} = \frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)} \]

約去共同因子，包括 \(I_B\)：

\[ \frac{I_A}{x} = \frac{I_C}{0.50-x} \]

代入電流：

\[ \frac{3.0}{x} = \frac{12}{0.50-x} \]

交叉相乘，

\[ \begin{aligned} 3.0(0.50-x)&=12x\\ 1.50-3.0x&=12x\\ 1.50&=15x\\ x&=0.10\ \text{m} \end{aligned} \]

所以 B 必須位於

\[ \boxed{\text{距離 A }0.10\ \text{m}} \]

因此距離 C 為 \(0.40\ \text{m}\)。

一開始看起來可能有點奇怪，B 竟然要更靠近只有 \(3.0\ \text{A}\) 的較弱導線。但這正是必須發生的情況。較弱的電流需要較小的距離，才能產生與較強的 \(12\ \text{A}\) 導線相等的磁力。

接下來要檢驗穩定性，而不能只注意到合力為零。

假設 B 稍微向右移。它與 C 的距離減小，因此 C 的吸引力變強。同時，它與 A 的距離增加，因此 A 的吸引力變弱。

所以產生的合力會向右，也就是與位移方向相同。

因此，原本的平衡是

\[ \boxed{\text{不穩定}} \]

這就像一顆球剛好平衡在山頂上：在某一個精確位置受力為零，並不代表受到擾動後系統會自行回復。

現在把 B 的電流反轉。

B 與 A、C 的電流都變成反平行，所以兩個相互作用都變成排斥。力的大小仍然包含

\[ I_AI_B \quad\text{和}\quad I_CI_B \]

而反轉電流只是讓兩個力的方向同時改變。兩個力大小相等的條件並沒有改變。

因此，零力位置仍然是

\[ \boxed{\text{距離 A }0.10\ \text{m}} \]

但它的穩定性改變了。

讓 B 稍微向右移，也就是靠近 C。來自較近的 C 的排斥力會變強，把 B 推向左邊。與此同時，由於 A 現在更遠，來自 A 的排斥力會變弱。

所以合力會向左，也就是把 B 推回平衡位置。

因此，當 B 的電流反轉後，平衡是

\[ \boxed{\text{穩定}} \]

最後，把 \(I_B\) 加倍會使兩個方向相反的磁力都乘上同一個倍數。在