HSC 物理：理想變壓器的電壓與匝數比

變壓器可以把很小的交流電壓轉換成大得多的電壓，即使它沒有任何運動部件，裡面也沒有藏著電池。假設一個線圈有 200 匝，另一個有 2000 匝。如果把 24 V 交流電加在 200 匝的線圈上，你預測 2000 匝線圈兩端的電壓會是多少：2.4 V、24 V，還是 240 V？

答案是 240 V。匝數多十倍的線圈會產生十倍的電壓。這個簡單的規律就是理想變壓器電壓方程的基礎。

但有一點非常重要：變壓器並沒有創造能量。它只是以電流換取電壓。要可靠地使用匝數比方程，我們首先需要理解為甚麼匝數會控制電壓。

01為甚麼匝數越多，電壓越高

理想變壓器有兩個線圈，繞在同一個磁芯上。

• 初級線圈連接交流輸入。
• 次級線圈提供輸出。
• 初級線圈中的交流電流會在磁芯中產生隨時間變化的磁通量。
• 這個變化的磁通量通過次級線圈，並在其中感應出電壓。

關鍵概念是，在理想變壓器中，兩個線圈都會經歷磁芯中相同的磁通量變化率。

可以想像每一匝導線都增加一小部分感應電壓，有點像把相同的電池串聯起來。如果每一匝都經歷相同的磁通量變化，那麼把匝數加倍，就會令總感應電壓加倍。

這個比喻很有用，但並不完全準確。每一匝並不是獨立產生能量的小電池。它們的感應電壓來自共同通過磁芯的變化磁通量。

這個關係來自法拉第定律。對於有 \(N\) 匝的線圈，

\[ \mathcal{E}=-N\frac{d\Phi}{dt} \]

其中：

• \(\mathcal{E}\) 是感應電動勢，單位為伏特，V，
• \(N\) 是匝數，
• \(\Phi\) 是通過每一匝的磁通量，單位為韋伯，Wb，
• \(\frac{d\Phi}{dt}\) 是磁通量的變化率。

負號透過楞次定律描述感應電動勢的方向。對於變壓器的電壓比，我們通常比較的是大小，因此重要的部分是

\[ V\propto N \]

前提是兩個線圈都經歷相同的磁通量變化。

因此可得

\[ \frac{V_p}{N_p}=\frac{V_s}{N_s} \]

所以

\[ \boxed{\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}} \]

其中：

• \(V_p\) 是初級電壓，單位為伏特，
• \(V_s\) 是次級電壓，單位為伏特，
• \(N_p\) 是初級匝數，
• \(N_s\) 是次級匝數。

在涉及正弦交流電的 HSC 題目中，題目給出的電壓通常是均方根（RMS）電壓。同一個匝數比也適用於相應的峰值電壓。

02升壓還是降壓？

在進行任何計算之前，先看看匝數。

如果次級的匝數比初級多，電壓應該會怎樣？

每一匝次級線圈都會貢獻感應電動勢，所以次級匝數越多，次級電壓就越高。

問題 3

一個理想變壓器有 1500 匝初級線圈和 250 匝次級線圈。初級連接到 240 V 交流電源，而一個 \(10\,\Omega\) 電阻連接在次級兩端。

計算：

a. 次級電壓，

b. 通過電阻的電流，

c. 次級功率，

d. 從初級電源汲取的電流。

解答 3

次級電壓是 \(40\text{ V}\)，負載電流是 \(4.0\text{ A}\)，次級功率是 \(160\text{ W}\)，而初級電流約為 \(0.67\text{ A}\)。

先求次級電壓：

\[ \frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s} \]

所以

\[ \frac{240}{V_s}=\frac{1500}{250}=6 \]

因此，

\[ V_s=40\text{ V} \]

對於 \(10\,\Omega\) 的負載，根據歐姆定律，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} =\frac{40}{10} =4.0\text{ A} \]

次級功率為

\[ P_s=V_sI_s=(40)(4.0)=160\text{ W} \]

對於理想變壓器，

\[ P_p=P_s \]

所以

\[ V_pI_p=160 \]

而

\[ I_p=\frac{160}{240}=0.667\text{ A} \]

因此，

\[ I_p\approx0.67\text{ A} \]

一個常見的陷阱是認為，由於電壓減少了 6 倍，電流也一定會減少 6 倍。這樣會令電壓和電流同時下降，看起來就像大部分功率都消失了。

對於理想變壓器，功率守恆。當電壓降低時，電流會按相應倍數增加。在這裡，

\[ \frac{I_s}{I_p}\approx\frac{4.0}{0.667}\approx6 \]

正好抵消了電壓降低至原來六分之一的影響。

問題 4

一個理想變壓器包含兩個繞組：

• 繞組 A 有 1200 匝，
• 繞組 B 有 80 匝。

在第一次實驗中，將 240 V 交流電加在繞組 A 上，並把一個 \(4.0\,\Omega\) 電阻連接在繞組 B 兩端。

然後把變壓器斷開。在第二次實驗中，將 16 V 交流電加在繞組 B 上，而同一個 \(4.0\,\Omega\) 電阻現在連接在繞組 A 兩端。

對於每一次實驗：

a. 計算電阻兩端的電壓，

b. 計算電阻消耗的功率，

c. 計算從電源汲取的電流。

然後解釋為甚麼第二次實驗會在理想模型中產生如此極端的結果。

解答 4

在第一次實驗中，電阻兩端得到 \(16\text{ V}\)，消耗 \(64\text{ W}\) 功率，而電源提供約 \(0.27\text{ A}\)。在第二次實驗中，電阻兩端得到 \(240\text{ V}\)，消耗 \(14.4\text{ kW}\) 功率，而在理想模型中，16 V 電源必須提供 \(900\text{ A}\)。

在第一次實驗中，繞組 A 是初級：

\[ N_p=1200,\qquad N_s=80,\qquad V_p=240\text{ V} \]

使用匝數比，

\[ \frac{240}{V_s}=\frac{1200}{80}=15 \]

所以

\[ V_s=16\text{ V} \]

電阻中的電流為

\[ I_s=\frac{V_s}{R} =\frac{16}{4.0} =4.0\text{ A} \]

因此，

\[ P_s=V_sI_s=(16)(4.0)=64\text{ W} \]

對於理想變壓器，

\[ P_p=P_s=64\text{ W} \]

所以電源電流為

\[ I_p=\frac{64}{240}=0.267\text{ A} \]

也就是約

\[ I_p=0.27\text{ A} \]

在第二次實驗中，兩個繞組互換了角色。現在繞組 B 是初級：

\[ N_p=80,\qquad N_s=1200,\qquad V_p=16\text{ V} \]

電壓比為

\[ \frac{16}{V_s}=\frac{80}{1200} \]

因此

\[ V_s=240\text{ V} \]

同一個 \(4.0\,\Omega\) 電阻現在會汲取

\[ I_s=\frac{240}{4.0}=60\text{ A} \]

所以它的功率為

\[ P_s=V_sI_s=(240)(60)=14400\text{ W} \]

也就是

\[ P_s=14.4\text{ kW} \]

理想情況下的輸入功率也必須是 \(14.4\text{ kW}\)：

\[ V_pI_p=14400 \]

所以

\[ I_p=\frac{14400}{16}=900\text{ A} \]

很容易會得出這樣的結論：計算一定錯了，因為對普通變壓器來說，900 A 大得荒謬。但這些數學計算在其假設下是自洽的。問題在於，理想變壓器沒有額定電流、繞組電阻、發熱、電源內阻或磁性方面的限制。

真正的變壓器在如此極端的負載下不可能保持理想行為。它的繞組和電源都會構成限制，而使用不合適的設備嘗試這種配置會十分危險。

重要的概念結果仍然成立：把接收輸入的繞組互換，會令電壓變換方向反轉。

問題 5

兩個理想變壓器以串級方式連接，也就是變壓器 1 的輸出供應變壓器 2 的輸入。

變壓器 1 有 600 匝和 150 匝兩個繞組。

變壓器 2 有 80 匝和 400 匝兩個繞組。

一個 240 V 交流電源連接到變壓器 1 的其中一個繞組。變壓器 1 未連接電源的繞組直接連接到變壓器 2 的其中一個繞組。接在變壓器 2 剩餘繞組兩端的電壓表讀數為 300 V。

a. 判斷變壓器 1 的哪一個繞組必須連接到 240 V 電源。

b. 判斷變壓器 2 的哪一個繞組必須接收變壓器 1 的輸出。

c. 計算兩個變壓器之間的電壓。

d. 現在把一個 \(150\,\Omega\) 電阻連接在 300 V 輸出兩端。計算電阻中的電流，以及從原來 240 V 電源汲取的電流。

假設兩個變壓器都保持理想狀態。

解答 5

變壓器 1 必須由 600 匝變換到 150 匝，變壓器 2 必須由 80 匝變換到 400 匝，中間電壓是 \(60\text{ V}\)，最終負載電流是 \(2.0\text{ A}\)，而原來的 240 V 電源提供 \(2.5\text{ A}\)。

關鍵是不要因為最終電壓 300 V 高於原來的 240 V，就認為兩個變壓器都必須是升壓。總電壓變化取決於兩個個別變壓比的乘積。

所需的總電壓比為

\[ \frac{300}{240}=1.25 \]

對於變壓器 1，兩種可能的輸出對輸入匝數比分別是

\[ \frac{150}{600}=0.25 \]

或

\[ \frac{600}{150}=4 \]

對於變壓器 2，可能的比值為

\[ \frac{400}{80}=5 \]

或

\[ \frac{80}{400}=0.20 \]

我們需要找出一組乘積等於 1.25 的比值。

把變壓器 1 作為降壓變壓器，而把變壓器 2 作為升壓變壓器，可得

\[ 0.25\times5=1.25 \]

正好符合量得的總電壓比。

因此，變壓器 1 必須把 240 V 電源連接到它的 600 匝繞組。

它的 150 匝輸出電壓為

\[ V=\left(240\right)\left(\frac{150}{600}\right) =60\text{ V} \]

所以變壓器 2 的 80 匝繞組會接收到 60 V。

它的輸出接著是

\[ V_s=(60)\left(\frac{400}{80}\right) =300\text{ V} \]

與量測結果一致。

當一個 \(150\,\Omega\) 電阻連接到最終輸出時，

\[ I=\frac{V}{R} =\frac{300}{150} =2.0\text{ A} \]

最終輸出功率為

\[ P=(300)(2.0)=600\text{ W} \]

由於兩個變壓器都是理想的，這同樣的 600 W 最終必須由原來的電源提供：

\[ P_{\text{電源}}=600\text{ W} \]

因此，

\[ I_{\text{電源}}=\frac{P}{V} =\frac{600}{240} =2.5\text{ A} \]

一個很容易誤入的思路，是把第一個變壓器的 600 匝與第二個變壓器的 400 匝直接比較，或者認為只要最終電壓上升，每一級就都必須是升壓。這兩種方法都不正確。

每一個變壓器只取決於它本身輸入與輸出繞組的匝數比。在這裡，第一級刻意把 240 V 降到 60 V，然後第二級再把 60 V 乘以 5。合起來的效果是

\[ 240\text{ V}\rightarrow60\text{ V}\rightarrow300\text{ V} \]

一旦掌握了這個概念，就會更容易把變壓器問題與更深入的物理原理連繫起來：法拉第定律解釋了為甚麼每一匝都會產生感應電動勢，而互感則解釋了變化的磁通量如何把作用從初級繞組傳遞到次級繞組。