HSC 物理：理想变压器的电压与匝数比

变压器可以把很小的交流电压转换成大得多的电压，即使它没有任何运动部件，里面也没有藏著电池。假设一个线圈有 200 匝，另一个有 2000 匝。如果把 24 V 交流电加在 200 匝的线圈上，你预测 2000 匝线圈两端的电压会是多少：2.4 V、24 V，还是 240 V？

答案是 240 V。匝数多十倍的线圈会产生十倍的电压。这个简单的规律就是理想变压器电压方程的基础。

但有一点非常重要：变压器并没有创造能量。它只是以电流换取电压。要可靠地使用匝数比方程，我们首先需要理解为甚么匝数会控制电压。

01为甚么匝数越多，电压越高

理想变压器有两个线圈，绕在同一个磁芯上。

• 初级线圈连接交流输入。
• 次级线圈提供输出。
• 初级线圈中的交流电流会在磁芯中产生随时间变化的磁通量。
• 这个变化的磁通量通过次级线圈，并在其中感应出电压。

关键概念是，在理想变压器中，两个线圈都会经历磁芯中相同的磁通量变化率。

可以想像每一匝导线都增加一小部分感应电压，有点像把相同的电池串联起来。如果每一匝都经历相同的磁通量变化，那么把匝数加倍，就会令总感应电压加倍。

这个比喻很有用，但并不完全准确。每一匝并不是独立产生能量的小电池。它们的感应电压来自共同通过磁芯的变化磁通量。

这个关系来自法拉第定律。对于有 \(N\) 匝的线圈，

\[ \mathcal{E}=-N\frac{d\Phi}{dt} \]

其中：

• \(\mathcal{E}\) 是感应电动势，单位为伏特，V，
• \(N\) 是匝数，
• \(\Phi\) 是通过每一匝的磁通量，单位为韦伯，Wb，
• \(\frac{d\Phi}{dt}\) 是磁通量的变化率。

负号透过楞次定律描述感应电动势的方向。对于变压器的电压比，我们通常比较的是大小，因此重要的部分是

\[ V\propto N \]

前提是两个线圈都经历相同的磁通量变化。

因此可得

\[ \frac{V_p}{N_p}=\frac{V_s}{N_s} \]

所以

\[ \boxed{\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}} \]

其中：

• \(V_p\) 是初级电压，单位为伏特，
• \(V_s\) 是次级电压，单位为伏特，
• \(N_p\) 是初级匝数，
• \(N_s\) 是次级匝数。

在涉及正弦交流电的 HSC 题目中，题目给出的电压通常是均方根（RMS）电压。同一个匝数比也适用于相应的峰值电压。

02升压还是降压？

在进行任何计算之前，先看看匝数。

如果次级的匝数比初级多，电压应该会怎样？

每一匝次级线圈都会贡献感应电动势，所以次级匝数越多，次级电压就越高。

问题 3

一个理想变压器有 1500 匝初级线圈和 250 匝次级线圈。初级连接到 240 V 交流电源，而一个 \(10\,\Omega\) 电阻连接在次级两端。

计算：

a. 次级电压，

b. 通过电阻的电流，

c. 次级功率，

d. 从初级电源汲取的电流。

解答 3

次级电压是 \(40\text{ V}\)，负载电流是 \(4.0\text{ A}\)，次级功率是 \(160\text{ W}\)，而初级电流约为 \(0.67\text{ A}\)。

先求次级电压：

\[ \frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s} \]

所以

\[ \frac{240}{V_s}=\frac{1500}{250}=6 \]

因此，

\[ V_s=40\text{ V} \]

对于 \(10\,\Omega\) 的负载，根据欧姆定律，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} =\frac{40}{10} =4.0\text{ A} \]

次级功率为

\[ P_s=V_sI_s=(40)(4.0)=160\text{ W} \]

对于理想变压器，

\[ P_p=P_s \]

所以

\[ V_pI_p=160 \]

而

\[ I_p=\frac{160}{240}=0.667\text{ A} \]

因此，

\[ I_p\approx0.67\text{ A} \]

一个常见的陷阱是认为，由于电压减少了 6 倍，电流也一定会减少 6 倍。这样会令电压和电流同时下降，看起来就像大部分功率都消失了。

对于理想变压器，功率守恒。当电压降低时，电流会按相应倍数增加。在这里，

\[ \frac{I_s}{I_p}\approx\frac{4.0}{0.667}\approx6 \]

正好抵消了电压降低至原来六分之一的影响。

问题 4

一个理想变压器包含两个绕组：

• 绕组 A 有 1200 匝，
• 绕组 B 有 80 匝。

在第一次实验中，将 240 V 交流电加在绕组 A 上，并把一个 \(4.0\,\Omega\) 电阻连接在绕组 B 两端。

然后把变压器断开。在第二次实验中，将 16 V 交流电加在绕组 B 上，而同一个 \(4.0\,\Omega\) 电阻现在连接在绕组 A 两端。

对于每一次实验：

a. 计算电阻两端的电压，

b. 计算电阻消耗的功率，

c. 计算从电源汲取的电流。

然后解释为甚么第二次实验会在理想模型中产生如此极端的结果。

解答 4

在第一次实验中，电阻两端得到 \(16\text{ V}\)，消耗 \(64\text{ W}\) 功率，而电源提供约 \(0.27\text{ A}\)。在第二次实验中，电阻两端得到 \(240\text{ V}\)，消耗 \(14.4\text{ kW}\) 功率，而在理想模型中，16 V 电源必须提供 \(900\text{ A}\)。

在第一次实验中，绕组 A 是初级：

\[ N_p=1200,\qquad N_s=80,\qquad V_p=240\text{ V} \]

使用匝数比，

\[ \frac{240}{V_s}=\frac{1200}{80}=15 \]

所以

\[ V_s=16\text{ V} \]

电阻中的电流为

\[ I_s=\frac{V_s}{R} =\frac{16}{4.0} =4.0\text{ A} \]

因此，

\[ P_s=V_sI_s=(16)(4.0)=64\text{ W} \]

对于理想变压器，

\[ P_p=P_s=64\text{ W} \]

所以电源电流为

\[ I_p=\frac{64}{240}=0.267\text{ A} \]

也就是约

\[ I_p=0.27\text{ A} \]

在第二次实验中，两个绕组互换了角色。现在绕组 B 是初级：

\[ N_p=80,\qquad N_s=1200,\qquad V_p=16\text{ V} \]

电压比为

\[ \frac{16}{V_s}=\frac{80}{1200} \]

因此

\[ V_s=240\text{ V} \]

同一个 \(4.0\,\Omega\) 电阻现在会汲取

\[ I_s=\frac{240}{4.0}=60\text{ A} \]

所以它的功率为

\[ P_s=V_sI_s=(240)(60)=14400\text{ W} \]

也就是

\[ P_s=14.4\text{ kW} \]

理想情况下的输入功率也必须是 \(14.4\text{ kW}\)：

\[ V_pI_p=14400 \]

所以

\[ I_p=\frac{14400}{16}=900\text{ A} \]

很容易会得出这样的结论：计算一定错了，因为对普通变压器来说，900 A 大得荒谬。但这些数学计算在其假设下是自洽的。问题在于，理想变压器没有额定电流、绕组电阻、发热、电源内阻或磁性方面的限制。

真正的变压器在如此极端的负载下不可能保持理想行为。它的绕组和电源都会构成限制，而使用不合适的设备尝试这种配置会十分危险。

重要的概念结果仍然成立：把接收输入的绕组互换，会令电压变换方向反转。

问题 5

两个理想变压器以串级方式连接，也就是变压器 1 的输出供应变压器 2 的输入。

变压器 1 有 600 匝和 150 匝两个绕组。

变压器 2 有 80 匝和 400 匝两个绕组。

一个 240 V 交流电源连接到变压器 1 的其中一个绕组。变压器 1 未连接电源的绕组直接连接到变压器 2 的其中一个绕组。接在变压器 2 剩余绕组两端的电压表读数为 300 V。

a. 判断变压器 1 的哪一个绕组必须连接到 240 V 电源。

b. 判断变压器 2 的哪一个绕组必须接收变压器 1 的输出。

c. 计算两个变压器之间的电压。

d. 现在把一个 \(150\,\Omega\) 电阻连接在 300 V 输出两端。计算电阻中的电流，以及从原来 240 V 电源汲取的电流。

假设两个变压器都保持理想状态。

解答 5

变压器 1 必须由 600 匝变换到 150 匝，变压器 2 必须由 80 匝变换到 400 匝，中间电压是 \(60\text{ V}\)，最终负载电流是 \(2.0\text{ A}\)，而原来的 240 V 电源提供 \(2.5\text{ A}\)。

关键是不要因为最终电压 300 V 高于原来的 240 V，就认为两个变压器都必须是升压。总电压变化取决于两个个别变压比的乘积。

所需的总电压比为

\[ \frac{300}{240}=1.25 \]

对于变压器 1，两种可能的输出对输入匝数比分别是

\[ \frac{150}{600}=0.25 \]

或

\[ \frac{600}{150}=4 \]

对于变压器 2，可能的比值为

\[ \frac{400}{80}=5 \]

或

\[ \frac{80}{400}=0.20 \]

我们需要找出一组乘积等于 1.25 的比值。

把变压器 1 作为降压变压器，而把变压器 2 作为升压变压器，可得

\[ 0.25\times5=1.25 \]

正好符合量得的总电压比。

因此，变压器 1 必须把 240 V 电源连接到它的 600 匝绕组。

它的 150 匝输出电压为

\[ V=\left(240\right)\left(\frac{150}{600}\right) =60\text{ V} \]

所以变压器 2 的 80 匝绕组会接收到 60 V。

它的输出接著是

\[ V_s=(60)\left(\frac{400}{80}\right) =300\text{ V} \]

与量测结果一致。

当一个 \(150\,\Omega\) 电阻连接到最终输出时，

\[ I=\frac{V}{R} =\frac{300}{150} =2.0\text{ A} \]

最终输出功率为

\[ P=(300)(2.0)=600\text{ W} \]

由于两个变压器都是理想的，这同样的 600 W 最终必须由原来的电源提供：

\[ P_{\text{电源}}=600\text{ W} \]

因此，

\[ I_{\text{电源}}=\frac{P}{V} =\frac{600}{240} =2.5\text{ A} \]

一个很容易误入的思路，是把第一个变压器的 600 匝与第二个变压器的 400 匝直接比较，或者认为只要最终电压上升，每一级就都必须是升压。这两种方法都不正确。

每一个变压器只取决于它本身输入与输出绕组的匝数比。在这里，第一级刻意把 240 V 降到 60 V，然后第二级再把 60 V 乘以 5。合起来的效果是

\[ 240\text{ V}\rightarrow60\text{ V}\rightarrow300\text{ V} \]

一旦掌握了这个概念，就会更容易把变压器问题与更深入的物理原理连系起来：法拉第定律解释了为甚么每一匝都会产生感应电动势，而互感则解释了变化的磁通量如何把作用从初级绕组传递到次级绕组。