移動磁鐵與導體產生的電磁感應：HSC 物理

將一根條形磁鐵推向線圈，線圈兩端便會出現電壓。現在把磁鐵保持不動，改為將線圈推向磁鐵。會發生甚麼事？

繼續閱讀前先作預測：如果相對運動相同，感應電動勢會不會只因為現在是磁鐵靜止而有所不同？

在一般的 HSC 情境中，不會。只要穿過線圈的磁通量發生相同變化，就會產生相同的感應電動勢。但這不代表「任何在磁場附近移動的東西都會產生電壓」。一根導線穿過磁場時可以產生電動勢，但整個閉合線圈在同一磁場中移動時，淨電動勢卻可能為零。

這個看似矛盾的情況正是重要之處。只有當運動改變了與電路鏈結的磁通量，或導體內的電荷以某種方式穿過磁場並因此分離時，運動才會產生影響。

01先從線圈實際感受到甚麼開始

想像一個線圈放在條形磁鐵的北極前方。

將磁鐵移向線圈。穿過線圈的磁場會變強，因此穿過線圈的磁通量會改變。將磁鐵移遠，磁通量則會朝相反方向改變。

現在把磁鐵和線圈放在同一塊滑板上，在不改變它們之間距離或方向的情況下，讓整個裝置在房間內移動。相對於地板而言，它們都在快速移動，但線圈所經歷的磁場基本上保持不變。

沒有磁通量變化，就不會因這種運動產生感應電動勢。

因此，比起「運動會造成感應」這種說法，以下規則更好：

尋找與導體鏈結的磁通量是否發生變化。

有時是磁鐵移動。有時是導體移動。有時兩者都移動。有時兩者都不移動，但磁場本身發生變化。

真正有用的問題始終是：從導體的角度來看，究竟甚麼正在改變？

02磁通量是把各種情況連結起來的物理量

對於均勻磁場中的一個平面面積，磁通量為

\[
\Phi = BA\cos\theta
\]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，單位為韋伯（\(\text{Wb}\)），
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(A\) 是線圈所包圍的面積，單位為平方米（\(\text{m}^2\)），以及
• \(\theta\) 是磁場與面積法線之間的夾角。

法線是一條假想的直線，垂直於線圈所在的平面。

最後這一點常使不少學生出錯。如果磁場直接穿過線圈的正面，那麼 \(\theta=0^\circ\)，而不是 \(90^\circ\)，因此磁通量為最大值。

對真正的條形磁鐵而言，磁場通常不會在線圈的整個面積上完全均勻。因此，\(\Phi=BA\cos\theta\) 是使用合適的均勻磁場或平均磁場所建立的模型。背後的基本概念仍然相同：磁通量量度有多少磁場以相關方向穿過線圈。

一個有 \(N\) 匝的線圈具有 \(N\) 倍的磁通量鏈結：

\[
\text{磁通量鏈結}=N\Phi
\]

法拉第定律則把磁通量鏈結的變化與感應電動勢聯繫起來：

\[
\varepsilon=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}
\]

其中：

• \(\varepsilon\) 是感應電動勢，單位為伏特（\(\text{V}\)），
• \(N\) 是線圈匝數，
• \(\Delta\Phi\) 是每一匝中的磁通量變化，以及
• \(\Delta t\) 是發生這項變化所需的時間。

負號表示楞次定律所描述的方向：感應效應會反抗造成它的變化。

如果你需要更多使用這條方程本身的練習，請參閱 HSC 物理中的法拉第定律：計算感應電動勢。

03將磁鐵移向線圈

假設磁鐵的北極接近一個靜止線圈。

隨著磁鐵靠近：

1. 線圈位置的磁場變強，
2. 穿過線圈的磁通量改變，
3. 產生感應電動勢，以及
4. 如果電路閉合，就會有感應電流流動。

磁鐵移動得越快，磁通量變化得越快，因此產生的電動勢大小越大。

如果線圈匝數更多，效應也會更大，因為每一匝都會經歷這個磁通量變化。

如果磁鐵在靠近線圈的途中停下來，會怎樣？

此時穿過線圈的磁場可能已經相當強，但磁鐵一旦停止，磁通量便不再改變。感應電動勢會降至零。

這是一項重要的區別：

磁通量很大，不一定會產生電動勢。磁通量發生變化才會。

即使線圈位於極強但恆定的磁場中，也可以完全沒有感應電動勢。

04改為移動線圈而不是磁鐵

現在讓磁鐵保持固定，並將線圈移向它。

線圈進入磁場逐漸增強的區域，因此它的磁通量再次發生變化。於是產生感應電動勢。

如果移動磁鐵與移動線圈這兩個實驗產生完全相同的「磁通量-時間」變化，它們也會產生相同的「電動勢-時間」變化。

這就是為甚麼以相對運動來思考通常很有用。

但這個捷徑有其限制。單單說「存在相對運動」並不足夠。你仍需要檢查磁通量鏈結是否真的發生變化。

例如：

最後一種情況值得特別注意。

05一根移動導線即使在穩定磁場中也可以產生電動勢

取一根直金屬棒，讓它橫向穿過均勻磁場。

金屬棒中的自由電子會隨金屬棒一起移動。運動中的電荷位於磁場中時會受到磁力。

其大小為

\[
F=qvB\sin\alpha
\]

其中：

• \(F\) 是磁力，單位為牛頓（\(\text{N}\)），
• \(q\) 是電荷量，單位為庫侖（\(\text{C}\)），
• \(v\) 是電荷穿過磁場的速率，單位為米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)），
• \(B\) 是磁場強度，以及
• \(\alpha\) 是速度與磁場之間的夾角。

在常見的 HSC 裝置中，金屬棒沿垂直於磁場的方向移動，而磁力會把正電荷和負電荷推向金屬棒的相反兩端。

這種電荷分離會產生電勢差。

若金屬棒長度為 \(\ell\)，而金屬棒、其速度和磁場彼此互相垂直，則運動電動勢為

\[
\varepsilon=B\ell v
\]

更一般地，對標準的金屬棒方向而言，

\[
\varepsilon=B\ell v\sin\alpha
\]

其中 \(\alpha\) 是 \(v\) 與 \(B\) 之間的夾角。

注意這與磁鐵和線圈的情況有何不同。靠近移動磁鐵的靜止線圈會因穿過它的磁場發生變化而經歷感應電場。在移動金屬棒的情況中，電荷則實際被帶著穿過磁場，因此受到磁力。

在 HSC 程度中，這些情況都由電磁感應和法拉第定律統一起來。

06把移動金屬棒放在導軌上

一根獨立的金屬棒會在兩端之間產生電荷分離。若要獲得持續電流，需要把金屬棒連接成完整的導電電路。

一種標準裝置使用兩條固定導軌，在其中一端相連，並讓一根導電棒沿導軌滑動。

當金屬棒移動時：

• 電路面積增加，
• 穿過電路的磁通量改變，
• 產生電動勢，以及
• 電流繞電路流動。

因此，\(B\ell v\) 的結果與法拉第定律一致。

如果金屬棒移動距離 \(\Delta x\)，線圈面積的變化為

\[
\Delta A=\ell\Delta x
\]

對於垂直的均勻磁場，

\[
\Delta\Phi=B\Delta A=B\ell\Delta x
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon|
&=\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\
&=B\ell\frac{\Delta x}{\Delta t}\\
&=B\ell v
\end{aligned}
\]

結果相同，只是理解方式不同。

07為甚麼整個線圈可以移動卻不產生電流

以下是一個值得徹底釐清的常見誤解。

假設一個矩形導線線圈以恆定速率向右移動，並且始終完全位於一個完全均勻的磁場內。

學生可能會這樣推理：

導線正在穿過磁場，所以 \(B\ell v\) 表示一定會有電動勢。

這聽起來很合理，因為線圈的兩條垂直邊確實都有電荷隨導線穿過磁場。

但是，兩條垂直邊在繞整個電路的方向上產生大小相等、方向相反的運動電動勢。

它們彼此抵消。

法拉第定律可以更快地說明同一件事。線圈的面積、方向和磁場強度全部保持不變：

\[
\Phi=BA\cos\theta=\text{常數}
\]

因此，

\[
\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0
\]

而完整閉合線圈周圍的淨電動勢為零。

這帶出一項重要區別：

• 單一移動導體的兩端可以存在電勢差，
• 但整個閉合移動線圈周圍的淨電動勢仍然可以為零。

現在讓同一線圈穿過磁場區域的邊界。在進入或離開期間，只有部分線圈位於磁場內，因此被磁場穿過的面積發生變化。

此時便會出現淨電動勢。

單有運動並不足夠。關鍵在於磁通量是否改變。

08移動金屬板與渦電流

金屬板看起來不像線圈，但在電學上，它可以像由大量可能的閉合電流路徑組成的一樣。

想像一塊實心銅板移入一個局部磁場。

當金屬板的不同部分穿過磁場邊界時，穿過金屬內部各種可能閉合路徑的磁通量會改變。於是電流在金屬板本身內部形成。

這些稱為渦電流。

一個有用的思考模型，是想像金屬板內畫有許多看不見的導線線圈。有些線圈正在進入磁場，而另一些可能已經完全位於磁場中。磁通量的變化會驅動電流沿這些路徑流動。

這個模型也有其限制：金屬板內實際上並不存在預先畫好的獨立導線。電流可以沿金屬中的連續路徑流動。這些想像中的線圈只是幫助我們理解為甚麼可以形成閉合電流。

感應出的渦電流會產生自己的磁場。根據楞次定律，它們的作用會反抗造成它們的變化。

因此：

• 當金屬板進入磁場區域時，磁力會阻礙它進入，
• 當金屬板離開時，感應電流會反向，但所產生的力仍會阻礙它離開。

這就是為甚麼渦電流可以造成磁力制動。

在金屬板上切出狹槽會中斷大型電流路徑。渦電流因而減小，所以制動效應與能量損失也會降低。研究變壓器中的渦電流損耗時，同一原理也十分重要。

還有另一個很有用的邊界情況。假設一塊導電金屬板保持方向不變，在一個完全均勻的磁場內以穩定速度平移，並始終完全位於磁場中。在理想化模型中，相對於固定在金屬板內的閉合路徑而言，磁通量不會持續改變，因此單純由這種平移不會產生持續的渦電流制動。

同樣地，「金屬在磁場中移動」本身並不足夠。

09處理移動磁鐵題目的判斷規則

當你在 HSC 題目中看到運動與電磁感應時，不要立即使用 \(B\ell v\)。

應該依次考慮以下問題。

1. 是否存在完整線圈或閉合電路？

如果有，首先問它的磁通量是否正在改變。

檢查以下任何一項是否改變：

• \(B\)，磁場強度，
• \(A\)，被磁場穿過的面積，
• \(\theta\)，磁場與面積法線之間的夾角，或
• 電路在非均勻磁場中的位置。

2. 是否為一根在磁場中移動的直導體？

對標準的垂直移動金屬棒裝置，使用

\[
\varepsilon=B\ell v
\]

並判斷電荷所受磁力的方向。

3. 整個線圈是否只是在均勻磁場內作平移？

如果 \(B\)、\(A\) 和 \(\theta\) 都保持不變，淨電動勢為零。

不要只因為所有東西都在移動，就判定存在電動勢。

4. 導體是否正在穿過磁場邊界，或在非均勻磁場中移動？

如果是，即使線圈的面積與方向固定，磁通量仍可以改變。

5. 題目是否要求電流方向？

首先判斷原本的磁通量是增加還是減少。然後使用楞次定律：感應磁場會反抗的是那個變化，而不一定是反向於原本的磁場。

10題目與解答

題目 1

一個 200 匝線圈的每一匝都具有 \(2.5\times10^{-4}\text{ Wb}\) 的磁通量。磁鐵被移遠，使磁通量在 \(0.030\text{ s}\) 內均勻減少至 \(1.0\times10^{-4}\text{ Wb}\)。

計算平均感應電動勢的大小。

如果原本的磁通量方向指向紙面內，請指出從紙面正面觀察時，感應傳統電流的方向。

解答 1

平均感應電動勢為 \(1.0\text{ V}\)，感應電流為順時針方向。

每一匝的磁通量減少量為

\[
\begin{aligned}
|\Delta\Phi|
&=|1.0\times10^{-4}-2.5\times10^{-4}|\\
&=1.5\times10^{-4}\text{ Wb}
\end{aligned}
\]

根據法拉第定律，

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon|
&=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\
&=200\left(\frac{1.5\times10^{-4}}{0.030}\right)\\
&=1.0\text{ V}
\end{aligned}
\]

判斷方向時，指向紙面內的磁通量正在減少。因此，感應電流會產生一個指向紙面內的磁場，以反抗這個減少。

根據右手握拳定則，順時針的傳統電流會產生指向紙面內的磁場。

一個很容易犯的錯誤，是認為感應磁場一定要與原本磁場方向相反。楞次定律並不是這樣說的。它說感應效應會反抗變化。由於原本指向紙面內的磁通量正在減少，所以感應磁場也會指向紙面內。

題目 2

一個 80 匝正方形線圈的邊長為 \(0.12\text{ m}\)，總電阻為 \(4.0\,\Omega\)。它以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率移入一個均勻 \(0.50\text{ T}\) 的磁場區域，磁場方向指向紙面內。

線圈其中一條邊始終與磁場區域的邊界平行。

計算：

a. 線圈進入磁場時的感應電動勢，

b. 進入期間的感應電流，

c. 整個進入過程持續多久，以及

d. 線圈完全進入均勻磁場後的感應電動勢。

解答 2

進入期間，感應電動勢為 \(9.6\text{ V}\)，電流為 \(2.4\text{ A}\)，而整個進入過程持續 \(0.060\text{ s}\)。線圈完全進入均勻磁場後，感應電動勢為零。

當正方形線圈進入磁場時，它與磁場重疊的面積增加。

如果邊長為 \(L\)，則

\[
\frac{\Delta A}{\Delta t}=Lv
\]

因此，每一匝磁通量的變化率為

\[
\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=BLv
\]

所以電動勢大小為

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon|
&=NBLv\\
&=(80)(0.50)(0.12)(2.0)\\
&=9.6\text{ V}
\end{aligned}
\]

電流為

\[
\begin{aligned}
I&=\frac{\varepsilon}{R}\\
&=\frac{9.6}{4.0}\\
&=2.4\text{ A}
\end{aligned}
\]

要使整個線圈完全進入，它必須移動一個邊長的距離：

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{L}{v}\\
&=\frac{0.12}{2.0}\\
&=0.060\text{ s}
\end{aligned}
\]

線圈完全進入磁場後，即使繼續移動，磁通量仍可以保持不變：

\[
\Phi=BA=\text{常數}
\]

因此，

\[
\varepsilon=0
\]

一個很容易採用但錯誤的方法，是在線圈完全進入磁場後，只因它仍在移動，就繼續使用 \(NBLv\)。這個式子在進入期間適用，是因為被磁場穿過的面積正在改變。整個線圈進入均勻磁場後，前後兩邊產生大小相等、方向相反的運動電動勢貢獻，因此淨電動勢為零。

題目 3

一塊實心銅板水平移入一小片強磁場區域，穿過該區域後再移出。磁場垂直於金屬板。

第二塊其他條件相同的金屬板上有幾條長狹槽，會中斷大型電流路徑。

解釋：

a. 為甚麼實心金屬板在進入磁場時會受到反抗其運動的力，

b. 為甚麼金屬板離開磁場時，渦電流方向會反轉，但磁力仍然反抗運動，

c. 為甚麼有狹槽的金屬板受到較少制動，以及

d. 在理想化情況下，如果金屬板以恆定速度平移，同時始終完全位於完美均勻磁場內並保持固定方向，會發生甚麼事。

解答 3

實心金屬板會受到制動，是因為磁通量變化產生渦電流，而這些渦電流的磁效應會反抗金屬板的運動；金屬板離開磁場時渦電流會反轉，狹槽會削弱這些電流，而理想金屬板若完全位於均勻磁場中作平移，單靠這種平移本身不會產生持續的渦電流制動。

當實心金屬板進入磁場區域時，金屬中越來越大的部分開始被磁通量穿過。這種磁通量變化會在導體內感應出閉合的渦電流路徑。

根據楞次定律，這些電流所產生的磁場會反抗磁通量的增加。感應電流與外部磁場之間的相互作用會產生反抗金屬板進入的力。

當金屬板離開時，情況會改變。此時，穿過金屬板內部閉合路徑的磁通量是在減少，而不是增加。因此，渦電流會反向，使其磁場傾向維持正在消失的磁通量。

雖然電流反向，但力仍然反抗金屬板的運動。進入時，金屬板受到阻力，不易進入；離開時，金屬板同樣受到阻力，不易離開。在兩種情況下，機械能都會轉化為金屬板內的熱能。

有狹槽的金屬板受到較少制動，因為狹槽會中斷大型閉合導電路徑。較小的可用閉合路徑通常具有較小的感應電動勢，而對大尺度電流循環而言有效電阻也較大，因此渦電流會減弱。

在最後的理想化情況中，一塊完全位於完美均勻靜磁場中的金屬板，如果保持方向不變而作平移，固定在金屬板內部的閉合路徑不會持續經歷磁通量變化。在任何必要的電荷重新分布完成後，單純因均勻平移不會產生持續的渦電流制動。

一個很容易想到的解釋是：「金屬板正在穿過磁力線，所以一定總會有渦電流。」這種圖像在這裡並不成立。可靠的判斷標準是磁通量變化，而不是單純的運動。

題目 4

一個 40 匝矩形線圈部分位於磁場區域中。磁場方向指向紙面內。

線圈高度為 \(0.10\text{ m}\)。在 \(0.20\text{ s}\) 的時間間隔內：

• 線圈與磁場重疊部分的寬度由 \(0.080\text{ m}\) 線性減少至 \(0.040\text{ m}\)，同時
• 磁場強度由 \(0.40\text{ T}\) 線性增加至 \(0.70\text{ T}\)。

線圈電阻為 \(2.0\,\Omega\)。

a. 計算完整 \(0.20\text{ s}\) 時間內平均感應電動勢的大小。

b. 感應電流是否在整個時間內都保持相同方向？請以定量方式說明。

c. 如果電流反向，求出從時間間隔開始後多久發生反向。

解答 4

整個時間間隔內的平均電動勢大小為 \(0.080\text{ V}\)，但電流不會一直保持同一方向。它會在時間間隔開始後 \(0.0667\text{ s}\) 反向。

陷阱在於看到 \(B\) 增加後，立刻判定磁通量一定增加。重疊面積同時正在減少，因此必須檢查乘積 \(BA\)。

起初，位於磁場內的面積為

\[
A_i=(0.10)(0.080)=0.0080\text{ m}^2
\]

所以每一匝的初始磁通量為

\[
\begin{aligned}
\Phi_i&=B_iA_i\\
&=(0.40)(0.0080)\\
&=0.0032\text{ Wb}
\end{aligned}
\]

最後，

\[
A_f=(0.10)(0.040)=0.0040\text{ m}^2
\]

以及

\[
\begin{aligned}
\Phi_f&=B_fA_f\\
&=(0.70)(0.0040)\\
&=0.0028\text{ Wb}
\end{aligned}
\]

因此，整個時間間隔內每一匝的磁通量變化為

\[
\Delta\Phi=0.0028-0.0032=-4.0\times10^{-4}\text{ Wb}
\]

所以，

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon_{\text{avg}}|
&=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\
&=40\left(\frac{4.0\times10^{-4}}{0.20}\right)\\
&=0.080\text{ V}
\end{aligned}
\]

這回答了 a 部分，但它並不能證明電流在整個時間間隔內始終只有一個固定方向。

令 \(t\) 為從時間間隔開始後的秒數。

磁場的增加率為

\[
\frac{\Delta B}{\Delta t}
=\frac{0.70-0.40}{0.20}
=1.5\text{ T s}^{-1}
\]

所以

\[
B=0.40+1.5t
\]

重疊寬度的下降率為

\[
\frac{0.040-0.080}{0.20}
=-0.20\text{ m s}^{-1}
\]

所以

\[
w=0.080-0.20t
\]

重疊面積為

\[
A=0.10w=0.0080-0.020t
\]

每一匝的磁通量為

\[
\Phi=BA
\]

對一個很小的時間變化，變化率為

\[
\frac{d\Phi}{dt}
=A\frac{dB}{dt}+B\frac{dA}{dt}
\]

代入以上各式，

\[
\begin{aligned}
\frac{d\Phi}{dt}
&=(0.0080-0.020t)(1.5)+(0.40+1.5t)(-0.020)\\
&=0.0040-0.060t
\end{aligned}
\]

當瞬時磁通量停止增加並開始減少時，電流就會反向，因此令

\[
\frac{d\Phi}{dt}=0
\]

得到

\[
\begin{aligned}
0.0040-0.060t&=0\\
t&=\frac{0.0040}{0.060}\\
&=0.0667\text{ s}
\end{aligned}
\]

在 \(0.0667\text{ s}\) 之前，指向紙面內的磁通量正在增加，因此感應磁場指向紙面外。

在 \(0.0667\text{ s}\) 之後，指向紙面內的磁通量正在減少，因此感應磁場指向紙面內。

所以電流會反向。

令人意外的是，整個時間間隔的平均結果顯示磁通量減少，但在初期它其實先增加。單靠平均電動勢的計算可能會掩蓋時間間隔內的方向改變。

題目 5

一個單匝正方形導電線圈的邊長為 \(0.20\text{ m}\)，電阻為 \(0.30\,\Omega\)，並以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率向右移動。

它始終完全位於一個指向紙面內的磁場中，但磁場並不均勻。磁場強度隨水平位置 \(x\) 的變化為

\[
B(x)=0.40+(0.50)x
\]

其中 \(B\) 的單位為特斯拉，而 \(x\) 的單位為米。

在某一瞬間，線圈左邊位於 \(x=0.60\text{ m}\)。

a. 計算線圈每一條垂直邊所產生的運動電動勢。

b. 由此求出線圈周圍的淨電動勢和電流。

c. 指出電流方向。

d. 一名學生認為，由於線圈完全位於磁場內，而且面積和方向保持不變，所以電動勢一定為零。請準確解釋為甚麼這個論點錯誤。

e. 另一名學生把非均勻磁場改為均勻的 \(0.75\text{ T}\) 磁場。線圈仍以相同速率移動。求此時的淨電動勢，並解釋為甚麼只在其中一邊使用 \(B\ell v\) 會得出錯誤結論。

解答 5

在非均勻磁場中，線圈的淨電動勢為 \(0.060\text{ V}\)，並有 \(0.20\text{ A}\) 的逆時針電流。在均勻 \(0.75\text{ T}\) 磁場中，淨電動勢為零。

這題揭示了「線圈完全位於磁場內就不會有電動勢」這個捷徑的限制。只有當磁通量保持不變時，這句話才可靠。此處線圈正移入逐漸增強的磁場區域。

左邊的所在位置為

\[
x_L=0.60\text{ m}
\]

所以該處磁場強度為

\[
\begin{aligned}
B_L&=0.40+(0.50)(0.60)\\
&=0.70\text{ T}
\end{aligned}
\]

右邊位於再向右 \(0.20\text{ m}\) 的位置：

\[
x_R=0.80\text{ m}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
B_R&=0.40+(0.50)(0.80)\\
&=0.80\text{ T}
\end{aligned}
\]

對左邊而言，

\[
\begin{aligned}
\varepsilon_L
&=B_L\ell v\\
&=(0.70)(0.20)(3.0)\\
&=0.42\text{ V}
\end{aligned}
\]

對右邊而言，

\[
\begin{aligned}
\varepsilon_R
&=B_R\ell v\\
&=(0.80)(0.20)(3.0)\\
&=0.48\text{ V}
\end{aligned}
\]

兩條垂直邊會沿線圈周圍的相反方向推動電流。由於它們所處的磁場強度不同，因此不會彼此抵消。

淨電動勢大小為

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon_{\text{net}}|
&=|\varepsilon_R-\varepsilon_L|\\
&=0.48-0.42\\
&=0.060\text{ V}
\end{aligned}
\]

因此電流為

\[
\begin{aligned}
I&=\frac{\varepsilon_{\text{net}}}{R}\\
&=\frac{0.060}{0.30}\\
&=0.20\text{ A}
\end{aligned}
\]

當線圈向右移動時，它會進入 \(B\) 較大的區域。因此，指向紙面內的磁通量會增加。

根據楞次定律，感應電流必須產生指向紙面外的磁場。使用右手握拳定則可知，這需要逆時針方向的傳統電流。

對 d 部分而言，該學生正確指出 \(A\) 和 \(\theta\) 保持不變，但錯誤地把 \(B\) 也視為常數。

線圈正在穿過一個存在磁場梯度的區域，因此穿過它的磁場隨時間變強。即使線圈始終完全位於磁場區域內，其磁通量仍會改變。

另一種檢查結果的方法，是考慮線圈中心位置的磁場。線圈中心正穿過一個磁場梯度

\[
0.50\text{ T m}^{-1}
\]

而其速率為 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)，因此代表性的磁場增加率為

\[
\begin{aligned}
\frac{dB}{dt}
&=(0.50)(3.0)\\
&=1.5\text{ T s}^{-1}
\end{aligned}
\]

正方形面積為

\[
A=(0.20)^2=0.040\text{ m}^2
\]

所以

\[
\begin{aligned}
|\varepsilon|
&=A\frac{dB}{dt}\\
&=(0.040)(1.5)\\
&=0.060\text{ V}
\end{aligned}
\]

這與運動電動勢的計算結果一致。

對 e 部分而言，在均勻的 \(0.75\text{ T}\) 磁場中，每一條垂直邊的運動電動勢大小為

\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{\text{side}}
&=B\ell v\\
&=(0.75)(0.20)(3.0)\\
&=0.45\text{ V}
\end{aligned}
\]

但是，兩邊在線圈周圍的作用方向相反，因此

\[
\varepsilon_{\text{net}}=0.45-0.45=0
\]

而且沒有電流流動。

一個很容易犯的錯誤，是只對其中一邊計算 \(B\ell v=0.45\text{ V}\) 然後就停止。這個結果只是該單一導體所對應的電動勢，而不是整個閉合線圈周圍的淨電動勢。

無論題目如何變化，較深層的規則始終成立：檢查整個電路，並問它的磁通量鏈結是否正在改變。

11這個概念接下來可以幫你做到甚麼

一旦你能判斷運動是否真的改變磁通量，電磁感應題目就會變得有系統得多。

對線圈而言，先找出 \(B\)、\(A\) 或 \(\theta\) 中哪一項發生變化，再用法拉第定律求電動勢。對移動的直導體而言，在標準幾何配置下可以用 \(B\ell v\) 求運動電動勢。對閉合線圈而言，必須始終檢查不同的運動電動勢是否互相抵消。對金屬板而言，則要思考穿過各種可能電流路徑的磁通量變化，以及由此產生的渦電流。

下一步就是判斷方向。一旦知道磁通量如何改變，楞次定律便會告訴你感應電流必須朝哪個方向作用。相同的推理也可以直接延伸到發電機、電磁制動與變壓器。