從吸收光譜判斷恆星組成與密度

恆星可能遠得完全無法直接取樣，但它的大氣層仍會透露自身的資訊。有些波長的光很強烈地到達我們，有些則部分缺失。一個很容易想到的預測是：缺失得最明顯、看起來最暗的波長，一定屬於含量最豐富的元素。這有時部分正確，但不能當作可靠規則。吸收線的位置、強度和寬度，各自告訴我們不同的資訊。

關鍵是不要把吸收光譜當成單一線索。它其實是多種線索疊加在一起。

01恆星如何產生暗的吸收線？

想像光從恆星熾熱而緻密的較低層發出。這些光包含很廣範圍的可見光波長。在逃逸到太空之前，它必須先穿過恆星較冷的外層大氣。

預測一下：如果大氣中的原子對所有波長都同樣地產生作用，會發生甚麼？我們只會預期整個光譜一起變暗。

但實際情況並非如此。某些特定而狹窄的波長範圍，會比其他波長明顯減弱得更多。

原子只能吸收具有特定能量的光子。這些光子能量對應於電子能階之間允許發生的躍遷。

一個實用的初步模型，是把原子想成一棟缺了某些樓層的公寓大樓。電子可以待在第 1、2、3 樓等允許的位置，卻不能停在兩層樓之間。只有當光子恰好提供所需的能量時，才能使電子向上躍遷。若帶來的能量不對，原子就會相當不客氣地忽略你。

這個類比有其限制。原子能階是量子態，而不是真正的樓層，而且是否發生吸收，也取決於每個躍遷所對應的機率。不過核心概念是正確的：只有特定能量的光子可以被吸收。

光子的能量為

\[
E = hf = \frac{hc}{\lambda}
\]

其中：

• \(E\) 是光子能量，單位為焦耳 J，
• \(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}\) 是普朗克常數，
• \(f\) 是頻率，單位為赫茲 Hz，
• \(c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\) 是光速，而
• \(\lambda\) 是波長，單位為米 m。

如果電子在兩個相差能量 \(\Delta E\) 的能階之間移動，當

\[
\Delta E = hf = \frac{hc}{\lambda}.
\]

時便可能發生吸收。

簡化的說法是這些光子被「移除」了。更準確地說，被吸收的光子之後可能沿不同方向重新放出，而能量也可能透過碰撞轉移。不過，從我們特定的視線方向來看，這些波長到達我們的光較少，因此我們看到暗的吸收線。

02吸收線的位置揭示組成

不同的原子和離子具有不同的一組允許電子能階，因此它們會吸收不同的一組波長。

這使一組吸收線就像一種指紋。

只有一條吻合的譜線，證據較弱，因為互不相關的粒子種類有時也可能在相近波長產生譜線。若有數條譜線以正確的相對排列方式吻合，證據便強得多。

假設實驗室測量顯示，某元素會在 430 nm、517 nm 和 589 nm 產生強吸收線。如果某恆星光譜在這三個位置都出現譜線，這種整體模式便比只在 589 nm 出現一條吻合線有說服力得多。

這就是利用光譜線辨認元素的基礎。

這裡有一個重要的措辭要點。光譜通常告訴我們，哪些原子或離子正在恆星的大氣中產生可偵測的吸收。這並不代表我們正在直接取樣整顆恆星的完整化學組成。

範例：氫的吸收線實際告訴我們甚麼？

某恆星光譜在 410.2 nm、434.0 nm、486.1 nm 和 656.3 nm 出現吸收線。這些波長與一組已知的氫譜線吻合。計算 486.1 nm 譜線所對應的光子能量，然後解釋為甚麼整組譜線比單獨一條 486.1 nm 譜線更能支持氫的存在。

步驟 1：把波長換算成米。

\[
\lambda = 486.1\ \text{nm}
= 486.1 \times 10^{-9}\ \text{m}
= 4.861 \times 10^{-7}\ \text{m}
\]

步驟 2：使用光子能量方程。

\[
E = \frac{hc}{\lambda}
= \frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{4.861\times10^{-7}}
= 4.09\times10^{-19}\ \text{J}
\]

因此，發生吸收的氫原子吸收了一個能量約為

\[
E = 4.09\times10^{-19}\ \text{J}.
\]

的光子。

這個能量對應於某個特定的允許電子躍遷。

步驟 3：解讀譜線模式。

單獨一條位於 486.1 nm 的譜線，並不能唯一證明它一定由氫造成。額外在 410.2 nm、434.0 nm 和 656.3 nm 出現的吻合譜線，會大幅增強這項辨認結果，因為整體模式都與氫一致。

這個結果告訴我們，能產生這些躍遷的氫存在於造成吸收的大氣層中。但它還不能告訴我們恆星究竟含有多少氫。

03為甚麼較暗的譜線不只是代表「這種元素更多」

想像兩顆恆星。恆星 A 有一條非常暗的氫吸收線。恆星 B 的同一條譜線則弱得多。

哪一顆恆星含有較多氫？

單憑這項資訊，無法可靠判斷。

原子若要吸收某個特定光子，本身必須已處於正確的起始能量狀態。溫度會改變有多少原子處於各個能階。在更高溫時，碰撞甚至可以把電子完全移除，形成離子。

因此，吸收線的強度取決於多個因素，包括：

• 該元素的含量，
• 恆星大氣的溫度，
• 該特定原子躍遷與光的相互作用有多強，
• 原子中有多少比例已被電離，
• 有多少比例的原子，其電子處於所需的起始能階，以及
• 大氣的壓力和密度。

氫是一個經典例子。它在可見光範圍內的巴耳末吸收線，要求電子起初位於 \(n=2\) 能階。

在相對較冷的恆星大氣中，雖然存在許多氫原子，但電子處於 \(n=2\) 的比例相對較小，因此巴耳末線可能很弱。

提高溫度後，更多氫原子會處於激發態，因此巴耳末線會變強。

若溫度再大幅升高，較大比例的氫會被電離。被電離的氫原子已失去電子，因此無法進行相同的巴耳末吸收躍遷。於是譜線可能再次變弱。

因此，最熱的恆星不一定具有最強的氫吸收線，而氫吸收線最強的恆星，也不一定含有最多的氫。

所以在解讀光譜時，必須把組成和溫度一起考慮。這種關係在利用光譜求恆星溫度中有更深入的探討。

04譜線寬度提供另一種線索

到目前為止，我們主要關注譜線出現在哪裡，以及吸收有多強。譜線的寬度也包含資訊。

吸收線並非無限纖細。實際上，它有一個橫跨小段波長範圍的譜線輪廓。

其中一個原因是碰撞。

恆星大氣中的原子與帶電粒子會持續互相作用。在壓力和密度較高的氣體中，這些相互作用發生得更頻繁。碰撞和附近的電場會輕微擾動原子的能量狀態，令吸收發生在一系列非常接近的光子能量上，而不是只發生在一個無限精確的能量值。

結果就是壓力展寬：吸收線會變得更寬。

對熱恆星大氣中的氫而言，與周圍帶電粒子的相互作用可產生一種特別重要的展寬，稱為史塔克展寬。

在 HSC 程度中，實用的因果鏈是

\[
\text{較高的大氣密度}
\rightarrow \text{更多相互作用}
\rightarrow \text{更大的壓力展寬}
\rightarrow \text{更寬的光譜線}.
\]

但這個結論帶有一個條件：其他效應也可以使譜線展寬。

這些效應包括：

• 粒子的熱運動，
• 恆星的自轉，
• 大尺度氣體運動，以及
• 光譜儀有限的解析度。

所以「寬譜線 = 高密度恆星」並不是完整的規則。

我們可以說的是：在把其他展寬機制納入考慮之後，較強的壓力展寬可以為恆星大氣中形成該譜線的區域具有較高壓力和粒子密度提供證據。

它並不能直接給出整顆恆星的平均密度。

範例：哪一個大氣層密度較高？

兩顆恆星具有相同的大氣溫度和相近的化學組成。自轉展寬和儀器展寬已經校正。兩顆恆星的同一條吸收線都以 500.0 nm 為中心。

對恆星 P，譜線寬度為 0.14 nm。對恆星 Q，則為 0.42 nm。

假設壓力展寬是剩下的重要差異，哪一顆恆星具有較高的大氣壓力和密度？

步驟 1：比較量得的寬度。

\[
\frac{\Delta\lambda_Q}{\Delta\lambda_P}
=
\frac{0.42}{0.14}
= 3.0
\]

恆星 Q 的譜線寬度是恆星 P 的三倍。

步驟 2：把寬度與物理機制連結起來。

題目告訴我們，溫度、組成、自轉和儀器效應都已受控制。因此，剩餘的展寬被歸因於壓力效應。

在密度較高的氣體中，更頻繁的相互作用會更強烈地擾動相關的原子能量狀態。

步驟 3：說明實際可以得出甚麼結論。

在產生該譜線的區域中，恆星 Q 具有較高的大氣壓力和粒子密度。

譜線寬度相差三倍，並不代表密度恰好高三倍。壓力、密度與詳細譜線輪廓之間的關係需要使用大氣模型，而且也取決於所涉及的躍遷。

這個區別很重要：光譜可以支持對大氣密度作比較，但不能把以奈米量得的譜線寬度一步直接換算成每立方米多少公斤。

05表面重力有助解釋密度差異

為甚麼兩顆溫度相近的恆星，一開始就可能具有不同的大氣壓力？

重力很重要。

在近似球形恆星的表面附近，

\[
g = \frac{GM}{R^2}
\]

其中：

• \(g\) 是表面重力場強度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)，
• \(G\) 是萬有引力常數，
• \(M\) 是恆星的質量，單位為公斤，而
• \(R\) 是恆星的半徑，單位為米。

表面重力較強的恆星會更牢固地束縛其大氣氣體。在其他條件相近的情況下，這傾向於使吸收線形成的氣層具有較高的大氣壓力。

因此，一顆巨星即使整體尺寸非常大，其外層大氣仍可能具有相對較低的壓力。一顆質量相近但體積較小的恆星，可以有較強的表面重力，以及展寬程度更大的壓力展寬譜線。

這是一個很容易中招的陷阱，因為「較大的恆星」聽起來似乎應該代表「大氣中塞了更多物質」。但半徑本身並不能決定表面條件。重力同時取決於質量和 \(R^2\)。

06把吸收光譜視為三種不同的線索

一個實用的考試習慣，是在作結論之前先把不同證據分開處理。

這可以避免要求單一項觀測承擔過多的推論工作。

07最誘人的誤解：「沒有譜線就代表沒有該元素」

假設天文學家尋找某一條特定的中性氦譜線，但看不到它。

很容易因此得出氦不存在的結論。

但這個結論過強。

大氣溫度可能不適合讓大量氦原子處於所需的起始狀態。氦也可能已被高度電離。相關譜線可能相對於連續光譜太弱、與其他特徵混合，或低於儀器的偵測極限。

偵測到一組吻合的譜線，可以成為某種粒子存在的強烈正面證據。相反地，缺少一條譜線通常較難解讀。

這種不對稱性值得記住：

• 數條與預測吻合的譜線可以用來辨認元素或離子，
• 只有在同時考慮溫度和大氣條件時，這些譜線的強度才有助於進一步判斷，而
• 缺少一條預期譜線，並不能自動證明該元素不存在。

08題目與解答

題目 1

元素 X 的實驗室光譜在 448 nm、502 nm 和 617 nm 有強吸收線。某顆恆星在相同的三個波長出現吸收線。

這些證據最有力地支持甚麼結論？為甚麼使用全部三條譜線，比只使用 502 nm 譜線更好？

解答 1

元素 X 存在於恆星大氣中形成譜線的區域，前提是觀測到的模式並不是由其他粒子的重合譜線偶然疊加而成。

每個吸收波長都對應於元素 X 的原子或離子中，能階之間允許發生的一種躍遷。三個實驗室波長全部吻合，形成具有辨識性的模式。

一個很誘人的推理方式，是說單獨一條 502 nm 譜線就能證明 X 的存在。但這種推理較弱，因為另一種粒子也可能在相近波長具有躍遷。數條譜線都吻合，會令偶然符合的可能性低得多。

光譜可以辨認造成吸收的粒子種類。但只憑這些波長，不能告訴我們元素 X 的豐度。

題目 2

恆星 A 和恆星 B 的整體氫豐度相同。恆星 A 的大氣溫度約為 9,500 K，而恆星 B 熱得多，其氫有很大比例已被電離。

恆星 A 顯示出強得多的可見光氫吸收線。

一名學生得出結論，認為較強的譜線證明恆星 A 含有較多氫。解釋為甚麼這個結論不正確。

解答 2

恆星 A 較強的氫譜線，並不能證明恆星 A 含有更多氫；這種差異可以由兩種溫度下氫原子所處的原子狀態不同而造成。

可見光的巴耳末吸收要求氫原子在吸收光子之前，已有一個電子處於 \(n=2\) 狀態。

在合適的中等溫度下，有足夠多氫原子處於這個起始狀態，因此可以產生強烈的巴耳末吸收。在熱得多的恆星 B 大氣中，較大比例的氫已被電離。氫一旦失去電子，該原子便不能產生相同的巴耳末吸收躍遷。

很誘人的論證是

\[
\text{較強的譜線} \rightarrow \text{更多氫}.
\]

缺少的步驟，是考慮實際上有多少比例的氫原子能進行該躍遷。譜線強度取決於豐度和物理條件。

正確的解讀是，恆星 A 有更多氫原子處於產生強烈巴耳末吸收所需的狀態，而不一定有更多總氫量。

題目 3

在 \(486.1\ \text{nm}\) 觀測到一條吸收線。

計算在此波長被移除的一個光子的能量。恆星大氣中的某種原子粒子具有 \(4.09\times10^{-19}\ \text{J}\) 的允許能量差。解釋這項計算告訴了你甚麼，以及在有信心地辨認該粒子種類之前，你還希望取得哪些進一步證據。

使用 \(h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\) 和 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

解答 3

光子能量為 \(4.09\times10^{-19}\ \text{J}\)，因此觀測到的波長在能量上與題目所述的原子躍遷一致，但單獨一條吻合譜線不足以作出有信心的辨認。

先換算波長：

\[
\lambda
=486.1\ \text{nm}
=4.861\times10^{-7}\ \text{m}.
\]

然後

\[
E=\frac{hc}{\lambda}
=
\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)}
{4.861\times10^{-7}}
=
4.09\times10^{-19}\ \text{J}.
\]

這與題目所述的能量差一致。

其物理意義是，486.1 nm 的光子恰好攜帶進行該允許電子躍遷所需的能量。

因此很容易得出「這種粒子一定存在」的結論。問題在於，另一種粒子也可能在附近波長有一條譜線，而且測量不確定度或都卜勒位移也可能影響觀測到的位置。

更可靠的辨認方式，是使用同一種粒子的數條吸收線，並檢查其整體波長模式是否與實驗室測量一致。

題目 4

兩顆恆星具有相同質量、近似相同的大氣溫度和相同的化學組成。恆星 G 的半徑是恆星 D 的五倍。

假設自轉展寬可以忽略。

1. 計算它們表面重力場強度的比值 \(g_G/g_D\)。
2. 預測哪一顆恆星通常應具有壓力較低的外層大氣。
3. 預測哪一顆恆星應出現較窄的壓力展寬吸收線，並解釋完整的推理鏈。

解答 4

恆星 G 的表面重力場強度只有恆星 D 的 \(1/25\)，因此恆星 G 一般應具有壓力較低的外層大氣，以及較窄的壓力展寬光譜線。

在恆星質量相同時，

\[
g=\frac{GM}{R^2}.
\]

由於

\[
R_G=5R_D,
\]

重力比為

\[
\frac{g_G}{g_D}
=
\frac{GM/(5R_D)^2}{GM/R_D^2}
=
\frac{1}{25}.
\]

所以

\[
g_G=0.04g_D.
\]

因此，較大的恆星具有弱得多的表面重力。

在重力較弱時，其外層大氣氣體受到的束縛較弱。按照題目的假設，這會使相關的譜線形成層具有較低壓力和較低粒子密度。

較低的粒子密度代表擾動原子能量狀態的相互作用較少。因此，壓力展寬減小，形成較窄的吸收線。

很誘人的預測是，體積大得多的恆星應有密度較高的大氣，因為它在物理尺寸上更大。但真正相關的限制條件並不是恆星尺寸本身。表面重力取決於 \(M/R^2\)。

完整的因果鏈為

\[
R_G \uparrow
\rightarrow g_G \downarrow
\rightarrow \text{大氣壓力和密度} \downarrow
\rightarrow \text{碰撞展寬} \downarrow
\rightarrow \text{較窄的譜線}.
\]

這個結論針對的是產生光譜的外層大氣，而不是直接比較兩顆恆星的平均內部密度。

題目 5

一顆快速自轉的恆星有兩條吸收線，中心分別位於 400.0 nm 和 600.0 nm。它們量得的寬度分別為 0.20 nm 和 0.30 nm。

一名學生注意到兩條譜線都相當寬，因此得出結論，認為該恆星一定具有異常高密度的大氣。

當運動速度遠小於 \(c\) 時，由自轉造成的都卜勒展寬，對不同譜線應產生近似相同的相對波長寬度，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda},
\]

1. 計算每條觀測譜線的 \(\Delta\lambda/\lambda\)。
2. 使用

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\approx\frac{v}{c}.
\]

求出對應於該相對都卜勒寬度的特徵速度。

1. 兩條譜線的中心都仍位於正常的實驗室波長。解釋為甚麼這不能排除自轉都卜勒展寬。
2. 判斷這些寬譜線本身，是否足以支持恆星大氣具有異常高密度的結論。

使用 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

解答 5

兩條譜線具有相同的相對寬度 \(5.0\times10^{-4}\)，對應的特徵都卜勒速度約為 \(1.5\times10^5\ \text{m s}^{-1}\)，即 \(150\ \text{km s}^{-1}\)。因此，這種模式與自轉都卜勒展寬一致，而單憑這些寬譜線，不能確定大氣密度異常地高。

對 400.0 nm 譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}
=
\frac{0.20}{400.0}
=
5.0\times10^{-4}.
\]

對 600.0 nm 譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}
=
\frac{0.30}{600.0}
=
5.0\times10^{-4}.
\]

因此，兩條譜線具有相同的相對寬度。

使用近似的都卜勒關係，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}
\approx
\frac{v}{c},
\]

可得

\[
v
\approx
c\frac{\Delta\lambda}{\lambda}
=
(3.00\times10^8)(5.0\times10^{-4})
=
1.5\times10^5\ \text{m s}^{-1}.
\]

所以特徵速度為

\[
v\approx150\ \text{km s}^{-1}.
\]

令人意外的地方在於，自轉可以使譜線展寬，而不使其中心位置發生位移。

自轉恆星的一側邊緣正朝向我們移動，所以來自該區域的吸收會發生藍移。相反一側的邊緣正遠離我們，因此其吸收會發生紅移。來自無法空間解析的恆星圓盤的光，包含許多不同視線方向速度所產生的貢獻。

紅移和藍移的成分會把吸收分散到更寬的波長範圍，但它們近似對稱。因此，即使譜線大幅變寬，它們對中心波長的影響仍可以互相抵消。

很誘人的推理是

\[
\text{寬譜線}
\rightarrow
\text{壓力展寬}
\rightarrow
\text{高密度}.
\]

缺少的步驟，是檢查是否存在其他互相競爭的展寬機制。在這裡，相同的相對寬度正是與自轉有關的都卜勒機制所預期的行為。

因此，這個光譜並不足以支持單憑譜線寬度就宣稱大氣密度很高。密度仍可能對譜線形狀有貢獻，但在作出這種推論之前，必須把其影響與自轉、熱運動和儀器效應分離。

當你能把譜線位置、譜線強度和譜線寬度分開解讀後，恆星光譜便會變得有用得多。位置可以辨認造成吸收的粒子種類；強度必須配合溫度和電離程度一起解讀；而寬度只有在考慮其他展寬機制之後，才能揭示大氣條件。下一步，就是利用運動造成的位移和展寬來求出恆星速度，而不是把運動誤認為組成或密度發生了改變。