HSC 物理：光的偏振与横波

让普通光通过一片理想偏振片，然后转动偏振片。亮度几乎没有变化。在第一片偏振片后面放上第二片偏振片，改为转动第二片。这时，光可以一路变暗，直到完全看不见。

这已经很奇怪了。第二片偏振片并没有改变光的传播方向。它只是绕著这个方向旋转。

所以先预测一下：如果光的行为像纵波，其振动沿著传播方向前后进行，那么绕著光束旋转一个滤光片，为甚么会有任何影响？

照理说不应该有。纵向振动没有上下或左右的方向可让滤光片选择。

然而，光确实会对这种旋转作出反应。这个观察正是偏振支持横波模型的关键原因。

01到底是甚么在振动？

想像一束光水平向右传播。

波需要有某个物理量随著波的传播而改变。对绳上的波而言，是绳子本身在移动。对空气中的声波而言，则是压力和密度在改变。

对光而言，振动的物理量是电场和磁场。

在电磁波模型中：

• 波沿一个方向传播，
• 电场沿著与传播方向垂直的方向振动，
• 磁场也沿著与传播方向垂直的方向振动，
• 而且电场与磁场彼此垂直。

如果光束沿 \(x\) 方向传播，它的电场可能沿垂直的 \(y\) 方向振动。

讨论偏振时，我们通常著重于电场。当我们说光是垂直偏振或水平偏振时，所指的就是电场振动的方向。

02为甚么横波可以发生偏振

想像一些人沿著走廊直线向前走，同时把泳池浮条左右摆动。

其中一个人把浮条上下摆动。另一个人则把它水平左右摆动。两个人仍然都是向前走。

可以设置一道闸门，只允许其中一个摆动方向通过。

这为横波提供了一个有用的图像。振动方向可以改变，而传播方向保持不变。

这个类比有其局限。偏振片并不是真的一扇带有缝隙的机械闸门，让电磁波从中挤过去。偏振材料会以不同方式与电场的不同分量相互作用。这个类比真正有用的地方，只是说明存在一个与传播方向垂直的振动方向。

纵波没有这种自由度。

对一个向右传播的纵波而言，振动也是沿著左右方向进行。绕著光束轴旋转某个物体，并不会显示出新的振动方向。

这就是为甚么偏振是光具有横波性质的证据。

03非偏振光与线性偏振光

许多普通光源发出的光都是非偏振光。

这并不表示电场没有方向。在任何瞬间，电场仍然与传播方向垂直。真正的意思是，随时间推移，并没有一个持续不变的优先方向。

你可以想像许多不同的波叠加在一起，它们的电场在与光束垂直的平面内指向不同方向。

线性偏振片会从这些可能方向中选出一个方向。

它所透射的方向称为透射轴。

非偏振光通过一片理想线性偏振片后，透射光会沿著该轴成为线性偏振光。

对理想偏振片而言，平均透射强度是入射强度的一半：

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

其中：

• \(I_0\) 是非偏振入射光的强度，单位为 \(\text{W m}^{-2}\)，
• \(I_1\) 是光通过第一片理想偏振片后的强度。

为甚么是一半？

因为入射光的电场方向分布在所有横向方向上。平均而言，入射强度中有一半属于某一偏振轴所选取的分量。

实际的偏振材料还会因反射和吸收而损失部分光，因此实测值可能低于这个理想结果。

04加上第二片偏振片后会怎样？

假设第一片偏振片产生垂直偏振光。

现在在它后面放置第二片偏振片。

如果第二片偏振片的透射轴也是垂直的，光会以最大强度通过。

把第二片偏振片旋转 \(90^\circ\)，使它的轴变成水平。理想情况下，不会有光射出。

当角度介乎这两个极端之间时，只有部分电场会位于第二片偏振片的透射轴方向上。

这时，几何关系就很重要。

如果入射电场的振幅是 \(E_0\)，而入射偏振方向与新的透射轴之间的夹角是 \(\theta\)，那么透射的电场分量为

\[ E=E_0\cos\theta \]

光强度与电场振幅的平方成正比，所以

\[ I=I_{\text{in}}\cos^2\theta \]

这个关系就是马吕斯定律（Malus’s law）。

其中：

• \(I_{\text{in}}\) 是到达偏振片时、已经线性偏振的光的强度，
• \(I\) 是透射强度，
• \(\theta\) 是入射偏振方向与偏振片透射轴之间的夹角。

这个角度通常不是从垂直或水平量起。它是两个相关偏振方向之间的夹角。

分清这一点，可以避免很多错误。

05为甚么互相垂直的偏振片可以阻挡光

现在让两片偏振片的轴互相垂直。

如果光离开第一片偏振片时是垂直偏振，第二片偏振片的透射轴则是水平的。

对第二片偏振片而言，

\[ \theta=90^\circ \]

所以

\[ I=I_{\text{in}}\cos^2(90^\circ)=0 \]

这种近乎完全消光的现象，比单纯说「偏振片会吸收一些光」更有意义。

第二片偏振片会对第一片偏振片所产生的方向性状态作出反应。

这才是重要的证据。

纵波模型在这里会遇到问题。如果振动只沿著传播方向进行，就不会存在可由第一片偏振片产生的垂直横向状态，也不会存在可由第二片偏振片排斥的水平横向状态。

06奇怪的结果：加入一片偏振片反而可以让更多光通过

假设两片偏振片以 \(90^\circ\) 互相交叉，因此理想情况下没有光能通过。

现在在它们之间插入第三片偏振片，其透射轴位于 \(45^\circ\)。

先预测会发生甚么。

很容易让人以为，再加入一个会吸收光的物体，透射强度一定仍然是零，或者甚至变成「更低的零」。

但实际上，光能够通过。

中间的偏振片改变了呈现给最后一片偏振片的偏振方向。

这并没有产生能量。每片偏振片仍然会降低到达它的光强度。但是，中间的偏振片使最后一片偏振片所接收到的偏振状态，不再恰好与它自身的透射轴垂直。

07偏振实际上告诉了我们光的甚么性质？

把三个观察分开来看会比较清楚。

重要的词是相对角度。

如果把两片偏振片一起旋转相同角度，它们彼此之间的夹角并没有改变。因此，理想透射强度也保持不变。

所以，这个效应并不只是「垂直的物体比水平的物体更容易透光」。并不存在一个在所有情况下都特别重要的垂直方向。

光束会获得一个偏振方向，而下一片偏振片会根据自身方向相对于这个偏振方向的取向作出反应。

08最容易让人误解的地方

学生可能会说：

光是横波，因为偏振片中有微小的垂直缝隙，只让垂直移动的光通过。

这个想法的前半部分方向正确。后半部分则把情况想得过于机械化。

透射轴描述的是从偏振片射出的电场方向。真实偏振材料内的微观相互作用，涉及材料中的电荷如何回应电场的不同分量。

所以，不要想像光波真的像穿过栅栏柱之间那样绕行。

在 HSC 的推理中，较稳妥的推理链是：

1. 光具有一个与其传播方向垂直的电场。
2. 线性偏振片会选取一个特定的电场方向。
3. 第二片偏振片所透射的光量，取决于它与该方向之间的相对角度。
4. 这种对横向方向的依赖，与横向电磁波一致，而与纯粹的纵波模型不一致。

09偏振能否证明光只是一种经典波？

不能。那样会得出超出证据所能支持的结论。

偏振有力支持光具有横向性质，而且可以很自然地用波动模型描述。但现代物理也用光子来描述光，而光子同样可以具有偏振态。

不同的实验会检验我们模型中的不同部分。

例如，双缝干涉显示光如何透过叠加产生干涉，而绕射则显示波在传播路径受到限制时如何扩散。

偏振提供了另一项不同的证据：振动的方向与传播方向垂直。

10问题与解答

问题 1

一束光射向一片线性偏振片。解释为甚么当第二片偏振片旋转时，透射强度会发生变化这一观察，支持光的横波模型，而不是纯粹的纵波模型。

解答 1

透射强度的变化支持横波模型，因为光必须带有一个与其传播方向垂直的振动方向。

第一片偏振片使光的电场沿某一个横向方向振动。第二片偏振片之后会根据其透射轴与入射偏振方向之间的夹角，透射该电场的一部分。

当两个轴平行时，透射最大。当它们互相垂直时，理想透射降至零。

纯粹的纵波只沿其传播方向振动。它没有独立的上下或左右振动方向可让旋转后的偏振片选择。

一个很容易想到的解释只是说，第二片偏振片「旋转后阻挡了更多光」。这没有指出真正重要的证据。关键在于，透射量取决于与光束垂直平面内的一个方向。

问题 2

非偏振光的强度为 \(300\ \text{W m}^{-2}\)。它通过两片理想偏振片，而两片偏振片的透射轴相差 \(60^\circ\)。

计算最终强度。

然后，在不改变两片偏振片之间 \(60^\circ\) 夹角的情况下，把两片偏振片一起旋转 \(25^\circ\)。说明最终强度会发生甚么变化，并解释原因。

解答 2

最终强度为 \(37.5\ \text{W m}^{-2}\)，而把两片偏振片一起旋转并不会改变这个数值。

第一片偏振片接收的是非偏振光，因此其透射强度为

\[ I_1=\frac{I_0}{2} =\frac{300}{2} =150\ \text{W m}^{-2} \]

离开它的光会沿第一片偏振片的透射轴成为线性偏振光。

对第二片偏振片而言，相关角度为 \(60^\circ\)。使用马吕斯定律，

\[ I_2=I_1\cos^2\theta =(150)\cos^2(60^\circ) =(150)(0.25) =37.5\ \text{W m}^{-2} \]

把两片偏振片一起旋转后，它们的相对角度仍然是 \(60^\circ\)，所以最终强度仍然是

\[ 37.5\ \text{W m}^{-2} \]

一个很容易犯的错误，是使用偏振片相对垂直方向的新绝对角度。马吕斯定律并不在乎实验室墙壁朝哪个方向。它取决于入射偏振方向与下一片偏振片透射轴之间的夹角。

问题 3

强度为 \(I_0\) 的非偏振光通过三片理想偏振片。

第一片偏振片的透射轴位于 \(0^\circ\)，第三片位于 \(90^\circ\)，而中间的偏振片可以放在两者之间任何角度 \(\theta\)。

求使最终强度最大的 \(\theta\) 值，并以 \(I_0\) 的分数表示该强度。

解释为甚么即使第一片与第三片偏振片互相垂直，这种排列仍然可以让光通过。

解答 3

当中间偏振片位于 \(45^\circ\) 时，最终强度最大，而最终强度为 \(I_0/8\)。

通过第一片偏振片后，

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

第一片偏振片与中间偏振片之间的角度为 \(\theta\)，所以

\[ I_2=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta \]

离开中间偏振片的光现在偏振于 \(\theta\)。

从这个方向到最后的 \(90^\circ\) 轴之间的角度为 \(90^\circ-\theta\)。因此，

\[ I_3=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta\cos^2(90^\circ-\theta) \]

使用 \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)，

\[ I_3=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta\sin^2\theta \]

当两个因子取得平衡时，

\[ \theta=45^\circ \]

在 \(45^\circ\) 时，

\[ I_3 =\frac{I_0}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{8} \]

很容易让人以为，最佳位置应该让中间偏振片靠近第一片或第三片的方向，因为那样能减少其中一步的损失。但这样做会增加另一步的角度差异。

在 \(45^\circ\) 时，两次投影造成的损失平均分配。

如果没有中间偏振片，第一片与第三片的轴相差 \(90^\circ\)，所以最终强度为零。加入中间偏振片后，光会先投影到中间的 \(45^\circ\) 状态，之后便会有一个不为零的分量沿著最后的 \(90^\circ\) 轴方向。

问题 4

一名学生研究一束未知光束，其强度为 \(90.0\ \text{W m}^{-2}\)。

他们被告知，所用的分析器是一片理想、无损耗的线性偏振片，而且光源强度在实验期间保持不变。

当分析器旋转时，记录到的最大透射强度为 \(72.0\ \text{W m}^{-2}\)，而最小值恰好是 \(0\ \text{W m}^{-2}\)。

学生说：「光源一定有 \(80\%\) 是线性偏振的，因为 \(72/90=0.80\)。」

说明为甚么在上述假设下，这些测量结果不可能全部正确。指出学生的计算忽略了哪一项限制条件。

解答 4

这些数据与所述的理想条件不一致；不能只根据 \(72/90\) 的比值，就把光源标示为 \(80\%\) 线性偏振。

先考虑最小值为零告诉了我们甚么。

任何包含非偏振分量的光束，在任何分析器方向下，都会有部分强度通过理想分析器。非偏振部分无论分析器角度如何，都会贡献其强度的一半。

因此，在理想假设下，最小值恰好为

\[ 0\ \text{W m}^{-2} \]

表示不可能存在任何非偏振分量。这束光必须是完全线性偏振的。

但是，如果入射光束是完全线性偏振，而且总强度为

\[ 90.0\ \text{W m}^{-2}, \]

那么把理想、无损耗的分析器与该偏振方向对齐时，就会得到

\[ I_{\max} =I_{\text{in}}\cos^2(0^\circ) =90.0\ \text{W m}^{-2} \]

而不是 \(72.0\ \text{W m}^{-2}\)。

所以，两个测量结果

\[ I_{\max}=72.0\ \text{W m}^{-2} \]

以及

\[ I_{\min}=0 \]

不可能同时来自一束恒定为 \(90.0\ \text{W m}^{-2}\) 的光，以及一片理想、无损耗的分析器。

至少有一项所述假设不成立。例如，分析器可能有额外损耗、入射强度可能发生了变化，或者其中一项测量可能不准确。

看似合理的 \(72/90=80\%\) 计算只使用了最大读数。它忽略了最小读数，而最小读数对可能的偏振状态施加了另一项限制。

这是一个重要的物理学习惯：任何提出的模型都必须同时符合所有观察结果。

问题 5

两名学生对一个偏振实验提出了不同模型。

模型 A 认为光带有一个横向电场方向。偏振片把电场投影到自身的透射轴上，因此离开偏振片的光具有新的偏振方向。

模型 B 认为光是纯粹的纵波。每片偏振片仍然可以根据偏振片在实验室中的旋转方向吸收不同份量的光，但偏振片不会在透射光束中产生任何有方向性的状态。

强度为 \(I_0\) 的非偏振光先通过位于 \(20^\circ\) 的偏振片，再通过位于 \(110^\circ\) 的偏振片。没有侦测到光。

接著，在两者之间插入第三片位于 \(65^\circ\) 的理想偏振片，这时侦测到了光。

计算模型 A 预测的强度。然后解释，为甚么这个结果会对模型 B 构成严重问题，即使模型 B 可以声称个别偏振片具有与方向有关的吸收。

解答 5

模型 A 预测最终强度为 \(I_0/8\)，而模型 B 之所以失败，是因为插入中间偏振片会改变呈现给最后一片偏振片的状态，而不只是改变光的份量。

先从模型 A 开始。

第一片偏振片接收非偏振光，所以

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

离开它的光偏振于 \(20^\circ\)。

中间偏振片位于 \(65^\circ\)，因此相对角度为

\[ 65^\circ-20^\circ=45^\circ \]

使用马吕斯定律，

\[ I_2 =\frac{I_0}{2}\cos^2(45^\circ) =\frac{I_0}{2}\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{4} \]

离开中间偏振片的光现在偏振于 \(65^\circ\)。

最后一片偏振片位于 \(110^\circ\)，相对角度再次为

\[ 110^\circ-65^\circ=45^\circ \]

因此，

\[ I_3 =\frac{I_0}{4}\cos^2(45^\circ) =\frac{I_0}{4}\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{I_0}{8} \]

如果没有中间偏振片，\(20^\circ\) 与 \(110^\circ\) 之间的角度为 \(90^\circ\)，所以模型 A 预测

\[ I=0 \]

这与观察结果完全一致。

令人意外的是，加入一个额外的吸收装置后，最终强度竟然由零变成非零。

模型 B 的简单版本不能只靠声称每片偏振片都有自己与角度相关的透射率来解释这一点。

在插入中间偏振片之前，位于 \(110^\circ\) 的最后一片偏振片会阻挡来自第一片偏振片的光。如果中间偏振片只是移除一部分强度，而不改变透射光的任何方向性质，那么最后一片偏振片所遇到的仍应是同一类纵波，并且仍应按照相同规则把它阻挡。

然而，中间偏振片实际上改变了最后一片偏振片能够透射的内容。

这意味著，从偏振片射出的光束带有关于某个方向的资讯。下一片偏振片会对这个已准备好的方向作出反应。

学生可能会尝试挽救纵波模型，方法是假设存在另一种方向性质，能够从一片偏振片传递到下一片。但一旦这种性质能够在与光束垂直的平面内指向 \(20^\circ\)、\(65^\circ\) 或 \(110^\circ\)，这个模型实际上已经引入了它原本想要避免的横向自由度。

这就是偏振支持横波模型更深层的原因。关键并不只是旋转后的偏振片会透射不同份量的光。偏振片会准备出一个具有特定方向的状态，而后续偏振片会透过彼此的相对取向对这个状态作出反应。

这幅横向电场的图像，是进一步理解完整光的电磁模型的重要一步；在该模型中，电场、磁场和传播方向构成三个彼此互相垂直的方向。