HSC 物理的马吕斯定律：强度与偏振片角度

将两片理想偏振片朝同一方向放置，光便可以通过。现在把第二片偏振片旋转 \(60^\circ\)。你预期透射强度会是最大强度的多少：三分之二、二分之一，还是四分之一？

答案是四分之一。角度并不是直接令强度按比例减少。首先，第二片偏振片透过投影使电场振幅减小。然后，强度取决于该振幅的平方。这个两步骤的概念就是马吕斯定律。

01检偏器实际上做了甚么

平面偏振光的电场只沿一个固定方向振荡。如果你对这幅图像并不熟悉，可以先重温 HSC 物理：光的偏振与横波。

现在把电场振幅想像成一支箭。偏振片有一条透射轴。只有电场中平行于该轴的分量能够通过。

这和把一支箭投影到一条直线上的几何概念相同。

假设电场方向与透射轴相差 \(45^\circ\)。在计算之前，先预测会发生甚么。

透射后的电场振幅约为其最大值的 \(70.7\%\)，因为 \(\cos 45^\circ = 0.707\)。很容易会因此认为透射强度也是 \(70.7\%\)。

这正是重要的陷阱。光强度与电场振幅的平方成正比。

因此，若振幅为最大值的 \(0.707\)，强度就是

\[ (0.707)^2 = 0.500 \]

也就是最大值的 \(50.0\%\)。

「箭的投影」这个图像之所以有用，是因为投影本身确实就是所用的数学。不过，如果你把它想成偏振片真的从光中「切掉」一块几何部分，这幅图像就不完整了。真正被分解成分量的是振荡中的电场。

02从电场投影推导马吕斯定律

令 \(E_{\max}\) 表示当入射光的偏振面与检偏器的透射轴对齐时的电场振幅。

如果两者之间的夹角是 \(\theta\)，透射后的电场振幅为

\[ E = E_{\max}\cos\theta \]

强度 \(I\) 与电场振幅的平方成正比：

\[ I\propto E^2 \]

因此，

\[ \frac{I}{I_{\max}} = \frac{E^2}{E_{\max}^2} = \cos^2\theta \]

由此得到马吕斯定律：

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

其中：

「之间」这两个字很重要。如果入射光的偏振方向在水平线上方 \(20^\circ\)，而检偏器的透射轴在水平线上方 \(70^\circ\)，那么

\[ \theta=70^\circ-20^\circ=50^\circ \]

你不能直接把 \(70^\circ\) 代入马吕斯定律。

对于理想偏振片，以下数值值得熟记：

留意线性模型在这里会错得多么严重。把角度由 \(30^\circ\) 加倍至 \(60^\circ\)，并不会令强度减半。透射比例会由 \(0.75\) 变成 \(0.25\)。

03\(I_{\max}\) 到底代表甚么？

一个常见错误，是把 \(I_{\max}\) 当成「题目一开始出现的那个强度」。

这并不总是正确。

在马吕斯定律中，\(I_{\max}\) 是对于到达该检偏器的光而言，这个检偏器所能透射的最大强度。若理想检偏器接收到的已经是平面偏振光，那么 \(I_{\max}\) 就等于入射强度。

如果光起初是非偏振光，就没有单一偏振方向可以代入马吕斯定律。第一片理想偏振片会透射非偏振光强度的一半：

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

其中 \(I_0\) 是原本非偏振光的强度。

离开第一片偏振片的光现在已沿其透射轴形成平面偏振。之后便可以对下一片偏振片使用马吕斯定律。

由此得到一条重要的判断规则：

第四行尤其重要。每一片偏振片都会改变进入下一片偏振片时的光的状态。

04多片偏振片：每次都要更新方向

假设光离开一片垂直偏振片。它现在就是垂直偏振光。

如果它接著通过一片与垂直方向相差 \(30^\circ\) 的偏振片，强度就会乘以 \(\cos^2 30^\circ\)。更重要的是，成功通过的光现在会沿第二片偏振片的透射轴偏振。

因此，第三片偏振片所作用的是第二片偏振片所设定的方向，而不是最初的垂直方向。

这带出本课题其中一个较反直觉的结果：在两片互相垂直的偏振片之间加入额外一片偏振片，反而可以让光通过。

05马吕斯定律中最容易犯的错误

代数运算通常很短。大部分失分都来自未能正确判断各符号代表甚么。

即使题目中的角度大于 \(90^\circ\)，也没有问题。偏振片的轴是一条直线，因此相差 \(180^\circ\) 的方向代表同一条轴，而平方亦会消除余弦的正负号。通常最简单的做法，是使用两条轴之间较小的夹角。

例如，

\[ \cos^2(120^\circ)=\cos^2(60^\circ)=0.25 \]

06问题与解答

问题 1

一束平面偏振光的强度为 \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。它到达一个理想检偏器，而检偏器的透射轴与偏振面相差 \(30^\circ\)。

计算透射强度。

解答 1

透射强度为 \(54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

入射光已经是平面偏振光，因此对理想检偏器而言，题目所给的 \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 就是 \(I_{\max}\)。

使用马吕斯定律，

\[ \begin{aligned} I&=I_{\max}\cos^2\theta\\ &=(72.0)\cos^2(30^\circ)\\ &=(72.0)(0.75)\\ &=54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

检偏器透射了入射强度的 \(75\%\)。

一个很容易犯的错误，是使用 \(\cos30^\circ=0.866\)，然后得出 \(86.6\%\)。这个数值代表的是透射电场振幅占其最大值的比例，而不是强度比例。

问题 2

强度为 \(200\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 的非偏振光通过三片理想偏振片。

第一片偏振片为水平方向。第二片的透射轴位于水平线上方 \(35^\circ\)。第三片的透射轴位于水平线上方 \(80^\circ\)。

计算最后的强度。解释为甚么在一次套用马吕斯定律时直接使用 \(80^\circ\) 作为角度会得到错误答案。

解答 2

最后的强度约为 \(33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

第一片偏振片接收到的是非偏振光，因此透射一半：

\[ I_1=\frac{200}{2}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

光现在为水平偏振。

第二片偏振片与水平方向相差 \(35^\circ\)：

\[ \begin{aligned} I_2 &=I_1\cos^2(35^\circ)\\ &=(100)(0.6710)\\ &=67.1\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

通过第二片偏振片后，光的偏振方向变为 \(35^\circ\)。

因此，它与第三片偏振片之间的相对角度为

\[ 80^\circ-35^\circ=45^\circ \]

所以

\[ \begin{aligned} I_3 &=I_2\cos^2(45^\circ)\\ &=(67.1)(0.500)\\ &=33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

容易出错的做法，是把最后的 \(80^\circ\) 偏振片直接与原本的水平方向比较。这忽略了中间偏振片的作用。到达最后一片偏振片的光已经不再是水平偏振；它的偏振方向已被重设为 \(35^\circ\)。

问题 3

一束平面偏振光的强度为 \(90.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

调校一个检偏器，直至其透射强度恰好为 \(30.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

求检偏器与入射光偏振面之间的夹角。然后再把检偏器朝远离偏振面的方向旋转 \(20.0^\circ\)。计算新的透射强度。

解答 3

第一个角度约为 \(54.7^\circ\)，而最后的透射强度约为 \(6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

最初，

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

所以

\[ \begin{aligned} 30.0&=(90.0)\cos^2\theta\\ \cos^2\theta&=\frac{1}{3}\\ \cos\theta&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\ \theta&=\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\\ &=54.7^\circ \end{aligned} \]

然后检偏器再向远离偏振面的方向移动 \(20.0^\circ\)，因此

\[ \theta_{\text{新}}=54.7^\circ+20.0^\circ=74.7^\circ \]

所以，

\[ \begin{aligned} I_{\text{新}} &=(90.0)\cos^2(74.7^\circ)\\ &=6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

重要的一点是，当检偏器接近 \(90^\circ\) 时，强度会急剧下降。多转 \(20^\circ\) 并不会令强度减少某个固定数值或固定百分比。马吕斯定律是非线性的。

在反向计算角度时，一个常见错误是使用 \(\cos^{-1}(1/3)\)。数值 \(1/3\) 代表的是 \(\cos^2\theta\)，因此必须先开平方，才使用反余弦。

问题 4

一束 \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 的光已经是水平平面偏振光。它在通过最后一个垂直检偏器后，必须以垂直偏振光射出。

你可以在最后的检偏器之前，恰好加入两片额外的理想偏振片。它们的透射轴可以设定在水平与垂直方向之间的任何角度。

选择能使最后强度最大的两个角度，并计算该最大强度。

一名学生建议把两片额外偏振片都设定为 \(45^\circ\)。解释为甚么这并不是最佳配置。

解答 4

当两片额外偏振片分别设定为 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 时，最后强度最大，约为 \(42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

光束的偏振方向必须由 \(0^\circ\) 变成 \(90^\circ\)。加入两片中间偏振片后，一共有三次角度变化。

最佳配置会把总共 \(90^\circ\) 的旋转平均分配：

\[ 0^\circ\rightarrow30^\circ\rightarrow60^\circ\rightarrow90^\circ \]

因此每一次相对角度都是 \(30^\circ\)。

在每一片偏振片套用马吕斯定律：

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ)\\ &=(100)(0.75)^3\\ &=42.1875\ \mathrm{W\,m^{-2}}\\ &\approx42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

为甚么平均分成较小步幅会有帮助？一次较大的角度不匹配会造成严重的强度损失。把相同的总方向变化拆分成较小的旋转，能让更多电场分量在每个阶段保留下来。

学生所建议的 \(45^\circ,45^\circ\) 配置为

\[ 0^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow90^\circ \]

所以三次角度变化分别为 \(45^\circ\)、\(0^\circ\) 和 \(45^\circ\)。

它的强度为

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(45^\circ) \cos^2(0^\circ) \cos^2(45^\circ)\\ &=(100)(0.5)(1)(0.5)\\ &=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

容易产生的想法是，把两片偏振片都放在 \(45^\circ\)，便能建立一个完美的「中间方向」。但第一片 \(45^\circ\) 偏振片已经把留下来的光的偏振方向转至 \(45^\circ\)，因此第二片同样为 \(45^\circ\) 的偏振片根本没有再令偏振方向转动。到达最后的检偏器时，光束仍然需要跨过另一个 \(45^\circ\) 的角度。

关键限制并不是各偏振片方向的平均值，而是光实际经历的一连串相对角度。

问题 5

现有三束完全相同的同一平面偏振光。光束的强度和偏振面起初都未知。

一个水平检偏器透射 \(36.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

一个垂直检偏器透射 \(64.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

第三个检偏器的透射轴位于水平线上方 \(45^\circ\)，它透射 \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

求：

1. 原本光束的强度，以及
2. 相对于水平方向的偏振面方向。

解释为甚么只靠水平和垂直两次测量，不能完全确定偏振方向。

解答 5

原本的强度为 \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)，而光束的偏振方向位于水平线上方 \(53.1^\circ\)。

令光束的偏振方向与水平方向成 \(\alpha\) 角。

对水平检偏器，

\[ 36.0=I_{\max}\cos^2\alpha \]

对垂直检偏器而言，其电场分量与水平分量互相垂直，因此

\[ 64.0=I_{\max}\sin^2\alpha \]

把两条方程相加：

\[ \begin{aligned} 36.0+64.0 &=I_{\max}\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ 100 &=I_{\max} \end{aligned} \]

因为

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \]

所以原本光束的强度为

\[ I_{\max}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

现在使用水平检偏器的测量值：

\[ \begin{aligned} 36.0&=(100)\cos^2\alpha\\ \cos^2\alpha&=0.36 \end{aligned} \]

这表示水平电场分量的大小是总振幅的 \(0.6\)。垂直分量的大小则为

\[ \sqrt{1-0.36}=0.8 \]

倍的总振幅。

到了这一步，存在两个互为镜像的可能方向。相对于所选定的水平轴，垂直分量可以指向正方向，也可以指向负方向。换成角度表示，偏振面可以是

\[ +53.1^\circ \]

或

\[ -53.1^\circ \]

相对于水平线。后者所描述的是同一条轴，也可以表示为从水平线逆时针量得的 \(126.9^\circ\)。

前两次测量无法分辨这两种可能，因为 \(\cos^2\alpha\) 和 \(\sin^2\alpha\) 都会消除电场分量的正负号。

\(45^\circ\) 的测量可以消除这个歧义。

对于 \(+53.1^\circ\) 的方向，它与 \(45^\circ\) 检偏器之间的相对角度只有

\[ 53.1^\circ-45^\circ=8.1^\circ \]

所以

\[ \begin{aligned} I_{45} &=(100)\cos^2(8.1^\circ)\\ &\approx98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

这与观察结果吻合。

对于镜像方向 \(-53.1^\circ\)，\(45^\circ\) 检偏器几乎与偏振轴互相垂直。它只会透射约

\[ 2.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

而不是 \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

因此，光束必须是在水平线上方 \(53.1^\circ\) 的方向偏振。

容易犯错的做法，是从水平测量值计算 \(\cos^{-1}(0.6)=53.1^\circ\) 后便停止。这样会在没有说明的情况下，忽略平方余弦所容许的第二个方向。第三次测量并不是多余的；它提供了两个互相垂直的测量无法分辨的方向资讯。

07马吕斯定律接下来能帮助你理解甚么

马吕斯定律其实体现了波动物理中一个更广泛的思考习惯：先处理振幅，再计算强度。

在这里，检偏器利用 \(\cos\theta\) 对电场振幅作投影，而把这个投影平方后，便得到测量到的强度。当波互相叠加时，同样的区别亦很重要；可参阅 HSC 物理：双缝干涉与条纹证据，其中电场振幅会先进行叠加，之后才决定所得的强度。

所以，当偏振问题变得复杂时，不要尝试死记一条更大的公式。每通过一片偏振片后，都追踪两样东西：新的强度，以及新的偏振方向。这样，马吕斯定律在每一个阶段都保持不变。