移动磁铁与导体产生的电磁感应：HSC 物理

将一根条形磁铁推向线圈，线圈两端便会出现电压。现在把磁铁保持不动，改为将线圈推向磁铁。会发生甚么事？

继续阅读前先作预测：如果相对运动相同，感应电动势会不会只因为现在是磁铁静止而有所不同？

在一般的 HSC 情境中，不会。只要穿过线圈的磁通量发生相同变化，就会产生相同的感应电动势。但这不代表「任何在磁场附近移动的东西都会产生电压」。一根导线穿过磁场时可以产生电动势，但整个闭合线圈在同一磁场中移动时，净电动势却可能为零。

这个看似矛盾的情况正是重要之处。只有当运动改变了与电路链结的磁通量，或导体内的电荷以某种方式穿过磁场并因此分离时，运动才会产生影响。

01先从线圈实际感受到甚么开始

想像一个线圈放在条形磁铁的北极前方。

将磁铁移向线圈。穿过线圈的磁场会变强，因此穿过线圈的磁通量会改变。将磁铁移远，磁通量则会朝相反方向改变。

现在把磁铁和线圈放在同一块滑板上，在不改变它们之间距离或方向的情况下，让整个装置在房间内移动。相对于地板而言，它们都在快速移动，但线圈所经历的磁场基本上保持不变。

没有磁通量变化，就不会因这种运动产生感应电动势。

因此，比起「运动会造成感应」这种说法，以下规则更好：

寻找与导体链结的磁通量是否发生变化。

有时是磁铁移动。有时是导体移动。有时两者都移动。有时两者都不移动，但磁场本身发生变化。

真正有用的问题始终是：从导体的角度来看，究竟甚么正在改变？

02磁通量是把各种情况连结起来的物理量

对于均匀磁场中的一个平面面积，磁通量为

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，单位为韦伯（\(\text{Wb}\)），
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(A\) 是线圈所包围的面积，单位为平方米（\(\text{m}^2\)），以及
• \(\theta\) 是磁场与面积法线之间的夹角。

法线是一条假想的直线，垂直于线圈所在的平面。

最后这一点常使不少学生出错。如果磁场直接穿过线圈的正面，那么 \(\theta=0^\circ\)，而不是 \(90^\circ\)，因此磁通量为最大值。

对真正的条形磁铁而言，磁场通常不会在线圈的整个面积上完全均匀。因此，\(\Phi=BA\cos\theta\) 是使用合适的均匀磁场或平均磁场所建立的模型。背后的基本概念仍然相同：磁通量量度有多少磁场以相关方向穿过线圈。

一个有 \(N\) 匝的线圈具有 \(N\) 倍的磁通量链结：

\[ \text{磁通量链结}=N\Phi \]

法拉第定律则把磁通量链结的变化与感应电动势联系起来：

\[ \varepsilon=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

其中：

• \(\varepsilon\) 是感应电动势，单位为伏特（\(\text{V}\)），
• \(N\) 是线圈匝数，
• \(\Delta\Phi\) 是每一匝中的磁通量变化，以及
• \(\Delta t\) 是发生这项变化所需的时间。

负号表示楞次定律所描述的方向：感应效应会反抗造成它的变化。

如果你需要更多使用这条方程本身的练习，请参阅 HSC 物理中的法拉第定律：计算感应电动势。

03将磁铁移向线圈

假设磁铁的北极接近一个静止线圈。

随著磁铁靠近：

1. 线圈位置的磁场变强，
2. 穿过线圈的磁通量改变，
3. 产生感应电动势，以及
4. 如果电路闭合，就会有感应电流流动。

磁铁移动得越快，磁通量变化得越快，因此产生的电动势大小越大。

如果线圈匝数更多，效应也会更大，因为每一匝都会经历这个磁通量变化。

如果磁铁在靠近线圈的途中停下来，会怎样？

此时穿过线圈的磁场可能已经相当强，但磁铁一旦停止，磁通量便不再改变。感应电动势会降至零。

这是一项重要的区别：

磁通量很大，不一定会产生电动势。磁通量发生变化才会。

即使线圈位于极强但恒定的磁场中，也可以完全没有感应电动势。

04改为移动线圈而不是磁铁

现在让磁铁保持固定，并将线圈移向它。

线圈进入磁场逐渐增强的区域，因此它的磁通量再次发生变化。于是产生感应电动势。

如果移动磁铁与移动线圈这两个实验产生完全相同的「磁通量-时间」变化，它们也会产生相同的「电动势-时间」变化。

这就是为甚么以相对运动来思考通常很有用。

但这个捷径有其限制。单单说「存在相对运动」并不足够。你仍需要检查磁通量链结是否真的发生变化。

例如：

最后一种情况值得特别注意。

05一根移动导线即使在稳定磁场中也可以产生电动势

取一根直金属棒，让它横向穿过均匀磁场。

金属棒中的自由电子会随金属棒一起移动。运动中的电荷位于磁场中时会受到磁力。

其大小为

\[ F=qvB\sin\alpha \]

其中：

• \(F\) 是磁力，单位为牛顿（\(\text{N}\)），
• \(q\) 是电荷量，单位为库仑（\(\text{C}\)），
• \(v\) 是电荷穿过磁场的速率，单位为米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)），
• \(B\) 是磁场强度，以及
• \(\alpha\) 是速度与磁场之间的夹角。

在常见的 HSC 装置中，金属棒沿垂直于磁场的方向移动，而磁力会把正电荷和负电荷推向金属棒的相反两端。

这种电荷分离会产生电势差。

若金属棒长度为 \(\ell\)，而金属棒、其速度和磁场彼此互相垂直，则运动电动势为

\[ \varepsilon=B\ell v \]

更一般地，对标准的金属棒方向而言，

\[ \varepsilon=B\ell v\sin\alpha \]

其中 \(\alpha\) 是 \(v\) 与 \(B\) 之间的夹角。

注意这与磁铁和线圈的情况有何不同。靠近移动磁铁的静止线圈会因穿过它的磁场发生变化而经历感应电场。在移动金属棒的情况中，电荷则实际被带著穿过磁场，因此受到磁力。

在 HSC 程度中，这些情况都由电磁感应和法拉第定律统一起来。

06把移动金属棒放在导轨上

一根独立的金属棒会在两端之间产生电荷分离。若要获得持续电流，需要把金属棒连接成完整的导电电路。

一种标准装置使用两条固定导轨，在其中一端相连，并让一根导电棒沿导轨滑动。

当金属棒移动时：

• 电路面积增加，
• 穿过电路的磁通量改变，
• 产生电动势，以及
• 电流绕电路流动。

因此，\(B\ell v\) 的结果与法拉第定律一致。

如果金属棒移动距离 \(\Delta x\)，线圈面积的变化为

\[ \Delta A=\ell\Delta x \]

对于垂直的均匀磁场，

\[ \Delta\Phi=B\Delta A=B\ell\Delta x \]

因此，

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=B\ell\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=B\ell v \end{aligned} \]

结果相同，只是理解方式不同。

07为甚么整个线圈可以移动却不产生电流

以下是一个值得彻底厘清的常见误解。

假设一个矩形导线线圈以恒定速率向右移动，并且始终完全位于一个完全均匀的磁场内。

学生可能会这样推理：

导线正在穿过磁场，所以 \(B\ell v\) 表示一定会有电动势。

这听起来很合理，因为线圈的两条垂直边确实都有电荷随导线穿过磁场。

但是，两条垂直边在绕整个电路的方向上产生大小相等、方向相反的运动电动势。

它们彼此抵消。

法拉第定律可以更快地说明同一件事。线圈的面积、方向和磁场强度全部保持不变：

\[ \Phi=BA\cos\theta=\text{常数} \]

因此，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

而完整闭合线圈周围的净电动势为零。

这带出一项重要区别：

• 单一移动导体的两端可以存在电势差，
• 但整个闭合移动线圈周围的净电动势仍然可以为零。

现在让同一线圈穿过磁场区域的边界。在进入或离开期间，只有部分线圈位于磁场内，因此被磁场穿过的面积发生变化。

此时便会出现净电动势。

单有运动并不足够。关键在于磁通量是否改变。

08移动金属板与涡电流

金属板看起来不像线圈，但在电学上，它可以像由大量可能的闭合电流路径组成的一样。

想像一块实心铜板移入一个局部磁场。

当金属板的不同部分穿过磁场边界时，穿过金属内部各种可能闭合路径的磁通量会改变。于是电流在金属板本身内部形成。

这些称为涡电流。

一个有用的思考模型，是想像金属板内画有许多看不见的导线线圈。有些线圈正在进入磁场，而另一些可能已经完全位于磁场中。磁通量的变化会驱动电流沿这些路径流动。

这个模型也有其限制：金属板内实际上并不存在预先画好的独立导线。电流可以沿金属中的连续路径流动。这些想像中的线圈只是帮助我们理解为甚么可以形成闭合电流。

感应出的涡电流会产生自己的磁场。根据楞次定律，它们的作用会反抗造成它们的变化。

因此：

• 当金属板进入磁场区域时，磁力会阻碍它进入，
• 当金属板离开时，感应电流会反向，但所产生的力仍会阻碍它离开。

这就是为甚么涡电流可以造成磁力制动。

在金属板上切出狭槽会中断大型电流路径。涡电流因而减小，所以制动效应与能量损失也会降低。研究变压器中的涡电流损耗时，同一原理也十分重要。

还有另一个很有用的边界情况。假设一块导电金属板保持方向不变，在一个完全均匀的磁场内以稳定速度平移，并始终完全位于磁场中。在理想化模型中，相对于固定在金属板内的闭合路径而言，磁通量不会持续改变，因此单纯由这种平移不会产生持续的涡电流制动。

同样地，「金属在磁场中移动」本身并不足够。

09处理移动磁铁题目的判断规则

当你在 HSC 题目中看到运动与电磁感应时，不要立即使用 \(B\ell v\)。

应该依次考虑以下问题。

1. 是否存在完整线圈或闭合电路？

如果有，首先问它的磁通量是否正在改变。

检查以下任何一项是否改变：

• \(B\)，磁场强度，
• \(A\)，被磁场穿过的面积，
• \(\theta\)，磁场与面积法线之间的夹角，或
• 电路在非均匀磁场中的位置。

2. 是否为一根在磁场中移动的直导体？

对标准的垂直移动金属棒装置，使用

\[ \varepsilon=B\ell v \]

并判断电荷所受磁力的方向。

3. 整个线圈是否只是在均匀磁场内作平移？

如果 \(B\)、\(A\) 和 \(\theta\) 都保持不变，净电动势为零。

不要只因为所有东西都在移动，就判定存在电动势。

4. 导体是否正在穿过磁场边界，或在非均匀磁场中移动？

如果是，即使线圈的面积与方向固定，磁通量仍可以改变。

5. 题目是否要求电流方向？

首先判断原本的磁通量是增加还是减少。然后使用楞次定律：感应磁场会反抗的是那个变化，而不一定是反向于原本的磁场。

10题目与解答

题目 1

一个 200 匝线圈的每一匝都具有 \(2.5\times10^{-4}\text{ Wb}\) 的磁通量。磁铁被移远，使磁通量在 \(0.030\text{ s}\) 内均匀减少至 \(1.0\times10^{-4}\text{ Wb}\)。

计算平均感应电动势的大小。

如果原本的磁通量方向指向纸面内，请指出从纸面正面观察时，感应传统电流的方向。

解答 1

平均感应电动势为 \(1.0\text{ V}\)，感应电流为顺时针方向。

每一匝的磁通量减少量为

\[ \begin{aligned} |\Delta\Phi| &=|1.0\times10^{-4}-2.5\times10^{-4}|\\ &=1.5\times10^{-4}\text{ Wb} \end{aligned} \]

根据法拉第定律，

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=200\left(\frac{1.5\times10^{-4}}{0.030}\right)\\ &=1.0\text{ V} \end{aligned} \]

判断方向时，指向纸面内的磁通量正在减少。因此，感应电流会产生一个指向纸面内的磁场，以反抗这个减少。

根据右手握拳定则，顺时针的传统电流会产生指向纸面内的磁场。

一个很容易犯的错误，是认为感应磁场一定要与原本磁场方向相反。楞次定律并不是这样说的。它说感应效应会反抗变化。由于原本指向纸面内的磁通量正在减少，所以感应磁场也会指向纸面内。

题目 2

一个 80 匝正方形线圈的边长为 \(0.12\text{ m}\)，总电阻为 \(4.0\,\Omega\)。它以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率移入一个均匀 \(0.50\text{ T}\) 的磁场区域，磁场方向指向纸面内。

线圈其中一条边始终与磁场区域的边界平行。

计算：

a. 线圈进入磁场时的感应电动势，

b. 进入期间的感应电流，

c. 整个进入过程持续多久，以及

d. 线圈完全进入均匀磁场后的感应电动势。

解答 2

进入期间，感应电动势为 \(9.6\text{ V}\)，电流为 \(2.4\text{ A}\)，而整个进入过程持续 \(0.060\text{ s}\)。线圈完全进入均匀磁场后，感应电动势为零。

当正方形线圈进入磁场时，它与磁场重叠的面积增加。

如果边长为 \(L\)，则

\[ \frac{\Delta A}{\Delta t}=Lv \]

因此，每一匝磁通量的变化率为

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=BLv \]

所以电动势大小为

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=NBLv\\ &=(80)(0.50)(0.12)(2.0)\\ &=9.6\text{ V} \end{aligned} \]

电流为

\[ \begin{aligned} I&=\frac{\varepsilon}{R}\\ &=\frac{9.6}{4.0}\\ &=2.4\text{ A} \end{aligned} \]

要使整个线圈完全进入，它必须移动一个边长的距离：

\[ \begin{aligned} t&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{0.12}{2.0}\\ &=0.060\text{ s} \end{aligned} \]

线圈完全进入磁场后，即使继续移动，磁通量仍可以保持不变：

\[ \Phi=BA=\text{常数} \]

因此，

\[ \varepsilon=0 \]

一个很容易采用但错误的方法，是在线圈完全进入磁场后，只因它仍在移动，就继续使用 \(NBLv\)。这个式子在进入期间适用，是因为被磁场穿过的面积正在改变。整个线圈进入均匀磁场后，前后两边产生大小相等、方向相反的运动电动势贡献，因此净电动势为零。

题目 3

一块实心铜板水平移入一小片强磁场区域，穿过该区域后再移出。磁场垂直于金属板。

第二块其他条件相同的金属板上有几条长狭槽，会中断大型电流路径。

解释：

a. 为甚么实心金属板在进入磁场时会受到反抗其运动的力，

b. 为甚么金属板离开磁场时，涡电流方向会反转，但磁力仍然反抗运动，

c. 为甚么有狭槽的金属板受到较少制动，以及

d. 在理想化情况下，如果金属板以恒定速度平移，同时始终完全位于完美均匀磁场内并保持固定方向，会发生甚么事。

解答 3

实心金属板会受到制动，是因为磁通量变化产生涡电流，而这些涡电流的磁效应会反抗金属板的运动；金属板离开磁场时涡电流会反转，狭槽会削弱这些电流，而理想金属板若完全位于均匀磁场中作平移，单靠这种平移本身不会产生持续的涡电流制动。

当实心金属板进入磁场区域时，金属中越来越大的部分开始被磁通量穿过。这种磁通量变化会在导体内感应出闭合的涡电流路径。

根据楞次定律，这些电流所产生的磁场会反抗磁通量的增加。感应电流与外部磁场之间的相互作用会产生反抗金属板进入的力。

当金属板离开时，情况会改变。此时，穿过金属板内部闭合路径的磁通量是在减少，而不是增加。因此，涡电流会反向，使其磁场倾向维持正在消失的磁通量。

虽然电流反向，但力仍然反抗金属板的运动。进入时，金属板受到阻力，不易进入；离开时，金属板同样受到阻力，不易离开。在两种情况下，机械能都会转化为金属板内的热能。

有狭槽的金属板受到较少制动，因为狭槽会中断大型闭合导电路径。较小的可用闭合路径通常具有较小的感应电动势，而对大尺度电流循环而言有效电阻也较大，因此涡电流会减弱。

在最后的理想化情况中，一块完全位于完美均匀静磁场中的金属板，如果保持方向不变而作平移，固定在金属板内部的闭合路径不会持续经历磁通量变化。在任何必要的电荷重新分布完成后，单纯因均匀平移不会产生持续的涡电流制动。

一个很容易想到的解释是：「金属板正在穿过磁力线，所以一定总会有涡电流。」这种图像在这里并不成立。可靠的判断标准是磁通量变化，而不是单纯的运动。

题目 4

一个 40 匝矩形线圈部分位于磁场区域中。磁场方向指向纸面内。

线圈高度为 \(0.10\text{ m}\)。在 \(0.20\text{ s}\) 的时间间隔内：

• 线圈与磁场重叠部分的宽度由 \(0.080\text{ m}\) 线性减少至 \(0.040\text{ m}\)，同时
• 磁场强度由 \(0.40\text{ T}\) 线性增加至 \(0.70\text{ T}\)。

线圈电阻为 \(2.0\,\Omega\)。

a. 计算完整 \(0.20\text{ s}\) 时间内平均感应电动势的大小。

b. 感应电流是否在整个时间内都保持相同方向？请以定量方式说明。

c. 如果电流反向，求出从时间间隔开始后多久发生反向。

解答 4

整个时间间隔内的平均电动势大小为 \(0.080\text{ V}\)，但电流不会一直保持同一方向。它会在时间间隔开始后 \(0.0667\text{ s}\) 反向。

陷阱在于看到 \(B\) 增加后，立刻判定磁通量一定增加。重叠面积同时正在减少，因此必须检查乘积 \(BA\)。

起初，位于磁场内的面积为

\[ A_i=(0.10)(0.080)=0.0080\text{ m}^2 \]

所以每一匝的初始磁通量为

\[ \begin{aligned} \Phi_i&=B_iA_i\\ &=(0.40)(0.0080)\\ &=0.0032\text{ Wb} \end{aligned} \]

最后，

\[ A_f=(0.10)(0.040)=0.0040\text{ m}^2 \]

以及

\[ \begin{aligned} \Phi_f&=B_fA_f\\ &=(0.70)(0.0040)\\ &=0.0028\text{ Wb} \end{aligned} \]

因此，整个时间间隔内每一匝的磁通量变化为

\[ \Delta\Phi=0.0028-0.0032=-4.0\times10^{-4}\text{ Wb} \]

所以，

\[ \begin{aligned} |\varepsilon_{\text{avg}}| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=40\left(\frac{4.0\times10^{-4}}{0.20}\right)\\ &=0.080\text{ V} \end{aligned} \]

这回答了 a 部分，但它并不能证明电流在整个时间间隔内始终只有一个固定方向。

令 \(t\) 为从时间间隔开始后的秒数。

磁场的增加率为

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} =\frac{0.70-0.40}{0.20} =1.5\text{ T s}^{-1} \]

所以

\[ B=0.40+1.5t \]

重叠宽度的下降率为

\[ \frac{0.040-0.080}{0.20} =-0.20\text{ m s}^{-1} \]

所以

\[ w=0.080-0.20t \]

重叠面积为

\[ A=0.10w=0.0080-0.020t \]

每一匝的磁通量为

\[ \Phi=BA \]

对一个很小的时间变化，变化率为

\[ \frac{d\Phi}{dt} =A\frac{dB}{dt}+B\frac{dA}{dt} \]

代入以上各式，

\[ \begin{aligned} \frac{d\Phi}{dt} &=(0.0080-0.020t)(1.5)+(0.40+1.5t)(-0.020)\\ &=0.0040-0.060t \end{aligned} \]

当瞬时磁通量停止增加并开始减少时，电流就会反向，因此令

\[ \frac{d\Phi}{dt}=0 \]

得到

\[ \begin{aligned} 0.0040-0.060t&=0\\ t&=\frac{0.0040}{0.060}\\ &=0.0667\text{ s} \end{aligned} \]

在 \(0.0667\text{ s}\) 之前，指向纸面内的磁通量正在增加，因此感应磁场指向纸面外。

在 \(0.0667\text{ s}\) 之后，指向纸面内的磁通量正在减少，因此感应磁场指向纸面内。

所以电流会反向。

令人意外的是，整个时间间隔的平均结果显示磁通量减少，但在初期它其实先增加。单靠平均电动势的计算可能会掩盖时间间隔内的方向改变。

题目 5

一个单匝正方形导电线圈的边长为 \(0.20\text{ m}\)，电阻为 \(0.30\,\Omega\)，并以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率向右移动。

它始终完全位于一个指向纸面内的磁场中，但磁场并不均匀。磁场强度随水平位置 \(x\) 的变化为

\[ B(x)=0.40+(0.50)x \]

其中 \(B\) 的单位为特斯拉，而 \(x\) 的单位为米。

在某一瞬间，线圈左边位于 \(x=0.60\text{ m}\)。

a. 计算线圈每一条垂直边所产生的运动电动势。

b. 由此求出线圈周围的净电动势和电流。

c. 指出电流方向。

d. 一名学生认为，由于线圈完全位于磁场内，而且面积和方向保持不变，所以电动势一定为零。请准确解释为甚么这个论点错误。

e. 另一名学生把非均匀磁场改为均匀的 \(0.75\text{ T}\) 磁场。线圈仍以相同速率移动。求此时的净电动势，并解释为甚么只在其中一边使用 \(B\ell v\) 会得出错误结论。

解答 5

在非均匀磁场中，线圈的净电动势为 \(0.060\text{ V}\)，并有 \(0.20\text{ A}\) 的逆时针电流。在均匀 \(0.75\text{ T}\) 磁场中，净电动势为零。

这题揭示了「线圈完全位于磁场内就不会有电动势」这个捷径的限制。只有当磁通量保持不变时，这句话才可靠。此处线圈正移入逐渐增强的磁场区域。

左边的所在位置为

\[ x_L=0.60\text{ m} \]

所以该处磁场强度为

\[ \begin{aligned} B_L&=0.40+(0.50)(0.60)\\ &=0.70\text{ T} \end{aligned} \]

右边位于再向右 \(0.20\text{ m}\) 的位置：

\[ x_R=0.80\text{ m} \]

所以

\[ \begin{aligned} B_R&=0.40+(0.50)(0.80)\\ &=0.80\text{ T} \end{aligned} \]

对左边而言，

\[ \begin{aligned} \varepsilon_L &=B_L\ell v\\ &=(0.70)(0.20)(3.0)\\ &=0.42\text{ V} \end{aligned} \]

对右边而言，

\[ \begin{aligned} \varepsilon_R &=B_R\ell v\\ &=(0.80)(0.20)(3.0)\\ &=0.48\text{ V} \end{aligned} \]

两条垂直边会沿线圈周围的相反方向推动电流。由于它们所处的磁场强度不同，因此不会彼此抵消。

净电动势大小为

\[ \begin{aligned} |\varepsilon_{\text{net}}| &=|\varepsilon_R-\varepsilon_L|\\ &=0.48-0.42\\ &=0.060\text{ V} \end{aligned} \]

因此电流为

\[ \begin{aligned} I&=\frac{\varepsilon_{\text{net}}}{R}\\ &=\frac{0.060}{0.30}\\ &=0.20\text{ A} \end{aligned} \]

当线圈向右移动时，它会进入 \(B\) 较大的区域。因此，指向纸面内的磁通量会增加。

根据楞次定律，感应电流必须产生指向纸面外的磁场。使用右手握拳定则可知，这需要逆时针方向的传统电流。

对 d 部分而言，该学生正确指出 \(A\) 和 \(\theta\) 保持不变，但错误地把 \(B\) 也视为常数。

线圈正在穿过一个存在磁场梯度的区域，因此穿过它的磁场随时间变强。即使线圈始终完全位于磁场区域内，其磁通量仍会改变。

另一种检查结果的方法，是考虑线圈中心位置的磁场。线圈中心正穿过一个磁场梯度

\[ 0.50\text{ T m}^{-1} \]

而其速率为 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)，因此代表性的磁场增加率为

\[ \begin{aligned} \frac{dB}{dt} &=(0.50)(3.0)\\ &=1.5\text{ T s}^{-1} \end{aligned} \]

正方形面积为

\[ A=(0.20)^2=0.040\text{ m}^2 \]

所以

\[ \begin{aligned} |\varepsilon| &=A\frac{dB}{dt}\\ &=(0.040)(1.5)\\ &=0.060\text{ V} \end{aligned} \]

这与运动电动势的计算结果一致。

对 e 部分而言，在均匀的 \(0.75\text{ T}\) 磁场中，每一条垂直边的运动电动势大小为

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{side}} &=B\ell v\\ &=(0.75)(0.20)(3.0)\\ &=0.45\text{ V} \end{aligned} \]

但是，两边在线圈周围的作用方向相反，因此

\[ \varepsilon_{\text{net}}=0.45-0.45=0 \]

而且没有电流流动。

一个很容易犯的错误，是只对其中一边计算 \(B\ell v=0.45\text{ V}\) 然后就停止。这个结果只是该单一导体所对应的电动势，而不是整个闭合线圈周围的净电动势。

无论题目如何变化，较深层的规则始终成立：检查整个电路，并问它的磁通量链结是否正在改变。

11这个概念接下来可以帮你做到甚么

一旦你能判断运动是否真的改变磁通量，电磁感应题目就会变得有系统得多。

对线圈而言，先找出 \(B\)、\(A\) 或 \(\theta\) 中哪一项发生变化，再用法拉第定律求电动势。对移动的直导体而言，在标准几何配置下可以用 \(B\ell v\) 求运动电动势。对闭合线圈而言，必须始终检查不同的运动电动势是否互相抵消。对金属板而言，则要思考穿过各种可能电流路径的磁通量变化，以及由此产生的涡电流。

下一步就是判断方向。一旦知道磁通量如何改变，楞次定律便会告诉你感应电流必须朝哪个方向作用。相同的推理也可以直接延伸到发电机、电磁制动与变压器。