从发射高度出发的抛体运动：HSC 物理指南

一颗球以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相同的角度进行两次发射。第一次，它落在与发射点相同的高度。第二次，它落在比发射点低 \(15\text{ m}\) 的地面上。

因为发射速度没有改变，你会预期两次的水平射程相同吗？继续阅读前，先作出你的预测。

第二颗球会飞得更远。它的水平运动并没有变快。它只是有更多时间作水平运动，因为在到达著地高度之前，它必须下落得更远。

现在把情况反过来。假设著地平台高于发射点。抛体可能会两次到达该高度：一次在上升时，一次在下降时。也有可能完全到不了该高度。

在抛体运动中，我们需要特别小心处理的正是这个高度差。

01方程关心的是位移，而不是「高度」

最简洁的方法通常是把发射点设为 \(y=0\)。

然后用垂直位移来描述著地点：

\[
\Delta y=y_f-y_i
\]

其中 \(y_i\) 是初始垂直位置，而 \(y_f\) 是最终垂直位置。

如果把发射点设为原点，则 \(y_i=0\)，所以 \(\Delta y\) 就是著地点相对于发射点的位置。

第一列中的负号不是可有可无的。它表示抛体最后位于起点下方。

一个常见错误是看到「\(12\text{ m}\) 高的悬崖」就自动代入 \(+12\text{ m}\)。\(12\text{ m}\) 这个数值表示距离。如果选择向上为正方向，那么垂直位移就是 \(-12\text{ m}\)。

02把水平与垂直运动分开处理

可以把抛体运动想像成两段使用相同时间戳记的影片。

一段影片显示水平运动，另一段显示垂直运动。两者的运动方式不同，但它们必须对应到同一个时间 \(t\)。

这有点像两个人各自完成小组作业的不同部分，但共用同一个截止期限。水平运动不可能悄悄用了 \(2.0\text{ s}\)，而垂直运动却用了 \(3.0\text{ s}\)。只有一个抛体，所以也只有一个经过时间。

在标准的 HSC 抛体模型中：

\[
a_x=0
\]

以及

\[
a_y=-g
\]

其中 \(a_x\) 和 \(a_y\) 分别是水平与垂直加速度，而 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 是地球表面附近重力加速度的大小。

这个模型假设空气阻力可以忽略。如果空气阻力显著，水平与垂直运动就不再能如此整齐地彼此独立，因为阻力取决于抛体的速度。

复习：分解发射速度

如果抛体以速率 \(u\)、与水平方向成 \(\theta\) 角向上发射，

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中 \(u_x\) 是初始水平速度，而 \(u_y\) 是初始垂直速度。

如果这一步仍然需要花太多心力，可以先复习抛体初速度的分量，再继续往下。当这些分量的处理变得熟练后，后面的内容都会容易很多。

经过时间 \(t\) 后的水平位置为

\[
\Delta x=u_x t
\]

因为水平加速度为零。

在垂直方向，

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

因为垂直加速度是 \(-g\)。

重点是，著地高度不同会改变 \(\Delta y\)。这会改变飞行时间，而飞行时间改变后，又会改变水平距离。

03著地高度不同时，如何求飞行时间

从

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

开始，重新整理：

\[
\frac{1}{2}gt^2-u_y t+\Delta y=0
\]

这是一个以 \(t\) 为未知数的二次方程。使用二次公式可得

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g}
\]

这个特定形式假设向上为正方向，因此 \(a_y=-g\)。与其盲目背诵正负号，更安全的做法是理解这个方程是如何推导出来的。

根号内的式子

\[
u_y^2-2g\Delta y
\]

也能告诉我们一些有实际物理意义的资讯。

著地点低于发射点

如果 \(\Delta y<0\)，那么

\[
-2g\Delta y>0
\]

所以根号项会大于 \(|u_y|\)。

当 \(t=0\) 定义为发射瞬间时，这会产生一个正时间和一个负时间。正值描述未来的撞击时刻；负值则属于抛物线在抛体实际发射之前的数学延伸，因此我们把它舍去。

所以，较低的著地高度会让抛体获得额外的飞行时间。

著地点与发射点同高

如果 \(\Delta y=0\)，

\[
t=\frac{u_y\pm u_y}{g}
\]

对向上发射而言。

两个解为

\[
t=0
\]

以及

\[
t=\frac{2u_y}{g}
\]

第一个是发射本身。第二个是抛体回到发射高度的时刻。

著地点高于发射点

这种情况需要多想一步。

假设 \(\Delta y>0\)。在开始计算之前，先问：抛体升得够高，能到达那个高度吗？

在最高点，垂直速度为零。使用

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

并令 \(v_y=0\)、\(a_y=-g\)，

\[
0=u_y^2-2g\Delta y_{\max}
\]

所以

\[
\Delta y_{\max}=\frac{u_y^2}{2g}
\]

对向上发射而言：

• 如果所需的 \(\Delta y\) 大于 \(\Delta y_{\max}\)，抛体永远到不了该高度；
• 如果它等于 \(\Delta y_{\max}\)，抛体只会在最高点碰到该高度一次；
• 如果它小于 \(\Delta y_{\max}\)，抛体通常会两次通过该高度：一次上升，一次下降。

最后这种情况正是盲目选择其中一个二次方程根会造成问题的地方。

范例：从 \(20\text{ m}\) 高的悬崖发射

一个抛体从 \(20.0\text{ m}\) 高的悬崖顶，以 \(15.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(30.0^\circ\) 发射。忽略空气阻力。求它到达地面前的飞行时间与水平移动距离。

步骤 1：分解初速度。

\[
\begin{aligned}
u_x&=15.0\cos30.0^\circ\\
&=13.0\text{ m s}^{-1}
\\[4pt]
u_y&=15.0\sin30.0^\circ\\
&=7.50\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

步骤 2：为垂直位移指定正确的正负号。

把发射点设为 \(y=0\)。地面在它下方 \(20.0\text{ m}\)，因此

\[
\Delta y=-20.0\text{ m}
\]

而不是 \(+20.0\text{ m}\)。

步骤 3：利用垂直运动方程求时间。

\[
\begin{aligned}
\Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\
-20.0&=7.50t-4.90t^2\\
4.90t^2-7.50t-20.0&=0
\end{aligned}
\]

使用二次公式，

\[
t=\frac{7.50\pm\sqrt{(-7.50)^2-4(4.90)(-20.0)}}{9.80}
\]

可得近似值

\[
t=2.93\text{ s}
\]

或

\[
t=-1.40\text{ s}
\]

负值要舍去，因为计时是从抛体发射的瞬间开始。

步骤 4：把有效的时间代入水平运动。

\[
\begin{aligned}
\Delta x&=u_x t\\
&=(13.0)(2.93)\\
&=38.0\text{ m}
\end{aligned}
\]

因此，抛体在空中约停留 \(2.93\text{ s}\)，并水平移动 \(38.0\text{ m}\)。

重要的概念不是算术本身。较低的地面增加了飞行时间，而额外的飞行时间又增加了射程。

04两个正时间都可能在数学上正确

假设一个抛体从高架平台下方发射。

学生看到 \(t\) 有两个正答案，就以为二次方程哪里出错了。

其实没有。

抛体可以两次通过同一高度。

想像你把球抛过二楼的窗户。球在上升时先通过窗户一次，接著升到窗户上方，再在下降时通过同一扇窗户一次。高度相同，时间不同。

方程只知道抛体何时位于该高度。它不知道实际平台从哪里开始、有多宽，或那里是否真的有实体物件。

这些几何条件必须从题目中取得。

范例：两次到达高架平台的高度

一个抛体以 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(50.0^\circ\) 发射。求它位于发射点上方 \(6.00\text{ m}\) 时的水平位置。一个小平台位于该高度、靠近 \(x=34.3\text{ m}\)。抛体到达平台时，是正在上升还是下降？

步骤 1：分解初速度。

\[
\begin{aligned}
u_x&=20.0\cos50.0^\circ\\
&=12.86\text{ m s}^{-1}
\\[4pt]
u_y&=20.0\sin50.0^\circ\\
&=15.32\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

步骤 2：检查抛体能否到达 \(6.00\text{ m}\) 的高度。

它能上升的最大高度为

\[
\begin{aligned}
\Delta y_{\max}
&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(15.32)^2}{2(9.8)}\\
&=11.98\text{ m}
\end{aligned}
\]

所以 \(6.00\text{ m}\) 肯定可以到达。

步骤 3：求出所有满足 \(\Delta y=+6.00\text{ m}\) 的时间。

\[
6.00=15.32t-4.90t^2
\]

所以

\[
4.90t^2-15.32t+6.00=0
\]

以及

\[
t=\frac{15.32\pm\sqrt{(15.32)^2-4(4.90)(6.00)}}{9.80}
\]

得到

\[
t_1=0.459\text{ s}
\]

和

\[
t_2=2.67\text{ s}
\]

两者都是正值。两者都代表真实发生的事件。

步骤 4：求每个时间所对应的水平位置。

\[
\begin{aligned}
x_1&=(12.86)(0.459)=5.90\text{ m}\\
x_2&=(12.86)(2.67)=34.3\text{ m}
\end{aligned}
\]

抛体第一次通过 \(6.00\text{ m}\) 高度时，位于 \(x=5.90\text{ m}\)，并正在上升。它在 \(x=34.3\text{ m}\) 时再次到达同一高度，此时正在下降。

平台靠近第二个位置，因此相关的时间是 \(2.67\text{ s}\)。

这是一个重要区别：解垂直运动方程只能告诉你轨迹在哪些位置穿过某个高度。实际的几何配置才会告诉你哪一次穿越对应到碰撞或著地。

05最容易犯的错误

第五列比较微妙。在大多数 HSC 发射题中，\(t=0\) 都明确定义为发射瞬间，因此负时间位于所建模的实际运动之外。但这个规则取决于计时从哪里开始。下面的第 5 题正是要深入考察这一点。

06处理不同著地高度的可靠方法

对于著地点高于或低于发射高度的抛体，可以按照以下顺序处理：

1. 选择原点与正负方向。通常以向上为正最容易。
2. 把发射速度分解为 \(u_x\) 和 \(u_y\)。
3. 计算实际垂直位移 \(\Delta y=y_f-y_i\)。
4. 如果著地高度高于发射点，先检查是否能到达该高度。
5. 解垂直运动方程，求 \(t\)。
6. 根据实际物理情况解释每一个根，而不是机械式地舍去。
7. 把适当的时间代入 \(\Delta x=u_x t\)。
8. 如果需要撞击速度，计算 \(v_y=u_y-gt\)，再与保持不变的 \(v_x=u_x\) 合并。

这也是水平与不同高度著地时的抛体飞行时间背后的核心概念：先把垂直运动处理正确，因为水平运动必须等到你得到正确的时间。

07题目与解答

第 1 题

一颗球以 \(8.00\text{ m s}^{-1}\) 的速度，水平滚出一个 \(12.0\text{ m}\) 高悬崖的边缘。忽略空气阻力。

求：

a. 到达地面所需的时间
b. 水平移动距离。

解答 1

球在空中停留 \(1.56\text{ s}\)，并水平移动 \(12.5\text{ m}\)。

最容易犯的错误是把 \(12.0\text{ m}\) 当成正的垂直位移。若向上为正，地面位于发射点下方，因此

\[
\Delta y=-12.0\text{ m}
\]

球是水平发射的，所以

\[
u_y=0
\]

先处理垂直运动：

\[
\begin{aligned}
\Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\
-12.0&=0-4.90t^2\\
t^2&=\frac{12.0}{4.90}\\
t&=1.56\text{ s}
\end{aligned}
\]

只有正时间有关，因为 \(t=0\) 是发射瞬间。

在水平方向，

\[
\begin{aligned}
\Delta x&=u_x t\\
&=(8.00)(1.56)\\
&=12.5\text{ m}
\end{aligned}
\]

所以，\(12.0\text{ m}\) 的落差决定抛体在空中停留多久，而 \(8.00\text{ m s}^{-1}\) 的水平速度则决定它在这段时间内移动多远。

第 2 题

一个抛体从高于水平地面 \(8.00\text{ m}\) 的边缘，以 \(18.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(35.0^\circ\) 发射。

求：

a. 到撞击为止的时间
b. 水平移动距离
c. 撞击前一刻速度的大小与方向。

解答 2

抛体在 \(2.71\text{ s}\) 后撞击地面，著地点距发射点水平 \(40.0\text{ m}\)，撞击速率为 \(21.9\text{ m s}^{-1}\)，方向是水平方向下方 \(47.7^\circ\)。

一个很容易采用的捷径，是把这个运动视为 \(8.00\text{ m}\) 的自由落体。这会忽略抛体最初先向上运动，然后才下降并通过发射高度这个事实。

先分解初速度：

\[
\begin{aligned}
u_x&=18.0\cos35.0^\circ\\
&=14.74\text{ m s}^{-1}
\\[4pt]
u_y&=18.0\sin35.0^\circ\\
&=10.32\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

地面位于发射点下方，所以

\[
\Delta y=-8.00\text{ m}
\]

使用垂直运动：

\[
\begin{aligned}
-8.00&=10.32t-4.90t^2\\
4.90t^2-10.32t-8.00&=0
\end{aligned}
\]

二次公式会给出一个正值与一个负值。未来的撞击发生在

\[
t=2.71\text{ s}
\]

因此水平位移为

\[
\begin{aligned}
\Delta x&=u_xt\\
&=(14.74)(2.71)\\
&=40.0\text{ m}
\end{aligned}
\]

水平速度维持为

\[
v_x=14.74\text{ m s}^{-1}
\]

最终垂直速度为

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=10.32-(9.8)(2.71)\\
&=-16.23\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

负号表示抛体正在向下运动。

其最终速率为

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\
&=\sqrt{(14.74)^2+(16.23)^2}\\
&=21.9\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

求方向时，

\[
\tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x}
\]

所以

\[
\phi=\tan^{-1}\left(\frac{16.23}{14.74}\right)=47.7^\circ
\]

因此，撞击速度为 \(21.9\text{ m s}^{-1}\)，方向是水平方向下方 \(47.7^\circ\)。

第 3 题

一个抛体从 \(y=0\) 以 \(16.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、相对水平方向向上 \(55.0^\circ\) 发射。

一个薄的水平平台表面位于 \(y=+5.00\text{ m}\)，并从 \(x=19.0\text{ m}\) 延伸至 \(x=22.0\text{ m}\)。忽略平台厚度以及任何垂直前缘。

抛体会落在平台上吗？如果会，请指出著地位置，以及当时是向上还是向下运动。

解答 3

会。抛体会在 \(x=20.3\text{ m}\) 处落在平台上，大约是发射后 \(2.21\text{ s}\)，而且当时正在向下运动。

最容易走的错误路线，是找到抛体第一次到达 \(5.00\text{ m}\) 高度的正时间后就停止。真正改变答案的限制条件，是平台的水平位置。

分解速度：

\[
\begin{aligned}
u_x&=16.0\cos55.0^\circ\\
&=9.18\text{ m s}^{-1}
\\[4pt]
u_y&=16.0\sin55.0^\circ\\
&=13.11\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

在平台高度，

\[
\Delta y=+5.00\text{ m}
\]

所以

\[
5.00=13.11t-4.90t^2
\]

或

\[
4.90t^2-13.11t+5.00=0
\]

解得

\[
t_1=0.461\text{ s}
\]

以及

\[
t_2=2.21\text{ s}
\]

两个时间都代表抛体实际可能通过 \(5.00\text{ m}\) 高度的时刻。

现在检查它们发生的位置。

第一次通过时，

\[
\begin{aligned}
x_1&=u_xt_1\\
&=(9.18)(0.461)\\
&=4.23\text{ m}
\end{aligned}
\]

那里没有平台。

第二次通过时，

\[
\begin{aligned}
x_2&=(9.18)(2.21)\\
&=20.3\text{ m}
\end{aligned}
\]

这位于平台从 \(19.0\text{ m}\) 到 \(22.0\text{ m}\) 的范围内。

若要检查运动方向，

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=13.11-(9.8)(2.21)\\
&=-8.59\text{ m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

因此抛体正在向下运动。

第一个正根并不是「错误」的。它描述了一个真实发生、但位于错误水平位置的事件。几何条件会选出第二次通过作为著地时刻。

第 4 题

一个目标位于发射点水平 \(30.0\text{ m}\) 处，并比发射点低 \(5.00\text{ m}\)。抛体必须以恰好 \(20.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率发射。

求出所有介于 \(0^\circ\) 和 \(90^\circ\) 之间、能击中目标的发射角。

然后求每一条轨迹的飞行时间与撞击速率。

一名学生认为，较陡的轨迹一定会以更大的速率撞击，因为重力对它作用的时间更久。评估这个说法。

解答 4

有两个发射角，约为 \(12.3^\circ\) 和 \(68.2^\circ\)。对应的飞行时间分别为 \(1.54\text{ s}\) 和 \(4.04\text{ s}\)，但两者击中目标时的速率相同，都是 \(22.3\text{ m s}^{-1}\)。

学生的说法看起来很合理，因为较陡的抛体确实在空中停留得久得多。遗漏的条件是：它也把一部分额外时间花在向上运动并减速。在没有空气阻力的情况下，两个抛体以相同速率出发，并且最后都位于同一发射高度下方 \(5.00\text{ m}\)。

令发射角为 \(\theta\)。

在水平方向，

\[
30.0=(20.0\cos\theta)t
\]

所以

\[
t=\frac{30.0}{20.0\cos\theta}
\]

在垂直方向，

\[
-5.00=(20.0\sin\theta)t-4.90t^2
\]

代入 \(t\) 的表示式：

\[
-5.00
=
30.0\tan\theta
–
11.025\sec^2\theta
\]

使用

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta
\]

并定义

\[
T=\tan\theta
\]

可得

\[
-5.00=30.0T-11.025(1+T^2)
\]

所以

\[
11.025T^2-30.0T+6.025=0
\]

二次公式给出

\[
T=0.2184
\]

或

\[
T=2.503
\]

因此，

\[
\theta_1=\tan^{-1}(0.2184)=12.3^\circ
\]

以及

\[
\theta_2=\tan^{-1}(2.503)=68.2^\circ
\]

对较低的轨迹，

\[
\begin{aligned}
t_1
&=\frac{30.0}{20.0\cos12.3^\circ}\\
&=1.54\text{ s}
\end{aligned}
\]

对较高的轨迹，

\[
\begin{aligned}
t_2
&=\frac{30.0}{20.0\cos68.2^\circ}\\
&=4.04\text{ s}
\end{aligned}
\]

两者的飞行时间差异很大。

现在不用分别进行两套冗长的分量计算，就能比较撞击速率。

在垂直方向，

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

对任一条轨迹而言，

\[
a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}
\]

而且

\[
\Delta y=-5.00\text{ m}
\]

所以

\[
v_y^2=u_y^2+98.0
\]

最终总速率满足

\[
v^2=v_x^2+v_y^2
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v^2
&=u_x^2+u_y^2+98.0\\
&=u^2+98.0\\
&=(20.0)^2+98.0\\
&=498
\end{aligned}
\]

所以

\[
v=22.3\text{ m s}^{-1}
\]

两条轨迹皆是如此。

撞击方向不同，但撞击速率相同。在理想抛体模型中，高轨迹额外的飞行时间本身并不会造成更大的最终速率。

第 5 题

一个抛体从水平地面发射。稍后，当它在上升途中穿过一个高于地面 \(5.00\text{ m}\) 的感测器时，测得其速度分量为

\[
v_x=12.0\text{ m s}^{-1}
\]

以及

\[
v_y=+8.00\text{ m s}^{-1}
\]

感测器在该瞬间把时钟设为 \(t=0\)，并把自己的位置设为 \(x=0,\ y=0\)。

忽略空气阻力。

求：

a. 相对于感测器时钟，抛体位于地面高度的每一个时刻
b. 相对于感测器，每次穿过地面高度时的水平位置
c. 抛体从发射到著地的总水平射程。

一名学生得到一个负时间，便立即把它舍去。这里这样推理正确吗？

解答 5

抛体穿过地面高度的时刻为 \(t=-0.482\text{ s}\) 和 \(t=2.12\text{ s}\)。负时间不能舍去：它代表真正的发射时刻，而发射发生在感测器把 \(t=0\) 设定下来之前。从地面发射到重新落回地面的总射程为 \(31.2\text{ m}\)。

这里的关键是：负时间并不代表「不符合物理」。它表示「发生在被标记为 \(t=0\) 的事件之前」。在一般发射题中，两者通常是一回事，因为时钟从发射时开始。但本题刻意让它们不同。

相对于感测器，地面位于

\[
\Delta y=-5.00\text{ m}
\]

在 \(t=0\) 时，对这个新的时间座标而言，抛体的垂直速度是

\[
u_y=+8.00\text{ m s}^{-1}
\]

使用垂直运动方程：

\[
\begin{aligned}
-5.00&=8.00t-4.90t^2\\
4.90t^2-8.00t-5.00&=0
\end{aligned}
\]

二次公式给出

\[
t=\frac{8.00\pm\sqrt{(-8.00)^2-4(4.90)(-5.00)}}{9.80}
\]

所以

\[
t=-0.482\text{ s}
\]

以及

\[
t=2.12\text{ s}
\]

两个根都描述了题目所述运动中实际发生的事件。

水平速度恒定为

\[
v_x=12.0\text{ m s}^{-1}
\]

因为没有水平加速度。

因此，较早的地面交点相对于感测器的位置为

\[
\begin{aligned}
x_{\text{launch}}
&=(12.0)(-0.482)\\
&=-5.79\text{ m}
\end{aligned}
\]

较晚的交点位于

\[
\begin{aligned}
x_{\text{landing}}
&=(12.0)(2.12)\\
&=25.4\text{ m}
\end{aligned}
\]

总水平射程就是这两个位置之差：

\[
\begin{aligned}
R
&=25.4-(-5.79)\\
&=31.2\text{ m}
\end{aligned}
\]

容易套用的规则是「舍去负时间」。更精确的正确规则应该是：舍去位于所建模实际物理时间区间之外的时间。

因为感测器在飞行途中重新设定了时钟，所以发射本身完全可以合理地具有负的时间戳记。

08接下来你能做到什么

一旦你能正确处理 \(\Delta y\)，并从物理意义上解释二次方程的根，从悬崖、坑洞、阳台和高架平台发射的抛体，就不再是彼此分离的不同题型。它们其实都是同一个模型，只是最终座标不同。

下一个有用的步骤，是把这个飞行时间与射程、撞击方向和最终速率连结起来。在最困难的判断完成之后，数学通常都很直接：先找出正确的垂直位移，再找出正确的时间。