圓錐擺：在 HSC 物理中分解張力與重量

一個質量連在繩子上，沿著完全水平的圓周擺動。儘管重力一直向下拉著它，它的高度仍然保持不變。

所以問題來了：如果這個質量沒有垂直加速度，是甚麼阻止它下墜？而且，如果繩子是傾斜的，究竟是哪個力使質量沿圓周轉動？

繼續閱讀之前，先預測一下：繩子的張力是否等於向心力？

不是。這個看似合理的想法，正是這個模型中大多數錯誤的來源。

01一個張力同時有兩個作用

想像從側面觀察這個質量。繩子從質量的位置斜向上延伸至固定支點。

作用在質量上的力只有兩個：

• 它的重量 \(mg\)，垂直向下
• 張力 \(F_T\)，沿繩子指向支點

並不存在一個獨立、稱為「向心力」的力。向心力是指指向圓周路徑中心的合力。如果這個分別仍不清楚，可參閱 向心力：如何在 HSC 物理中辨認真正的力。

假設繩子與鉛直方向的夾角為 \(\theta\)。

張力沿斜向作用，因此可以把它分解成兩個互相垂直的分量：

• \(F_T\cos\theta\)，垂直向上
• \(F_T\sin\theta\)，水平指向圓心

垂直分量防止質量下墜。水平分量則使它轉彎。

這有點像用向上傾斜的拉桿拉動有輪子的行李箱。同一個拉力可以同時具有向上的分量和向前的分量。不過，這個類比到此為止，因為行李箱還受到地面的作用力，而我們的質量只受到張力和重量。

02先從加速度開始，而不是從力開始

「水平圓周」這個描述告訴你一個關於加速度的關鍵資訊。

質量並沒有向上或向下運動。因此，它的垂直加速度為零。

但它的水平速度方向持續改變，所以它具有指向圓心的向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) 是速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) 是水平圓周的半徑，單位為米

現在可以分別在垂直和水平方向套用牛頓第二定律。

這一對方程式就是這個模型的核心。

注意它們在物理意義上所表達的內容。並不是整個張力都用來產生向心加速度。只有它的水平分量有這個作用。

03為甚麼張力大於向心力

一個常見的初步做法是

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

但對上面所示的傾斜繩子而言，這不可能正確。

如果整個張力都用在水平方向，就不會有向上的力來平衡 \(mg\)。質量會向下加速，因此它的路徑不可能維持在同一個水平面上。

正確的是

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

以及

\[ F_T\cos\theta=mg \]

因為 \(F_T\) 必須同時提供這兩個分量，

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

所以 \(F_T\) 同時大於 \(mg\) 和所需的水平向心力。

還有另一個很有用的關係。把水平方程式除以垂直方程式：

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

因此

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

質量會約去。對於指定的速率和半徑，改變質量不會改變所需的角度，但會改變張力。

04半徑通常不等於繩長

現在假設繩長為 \(L\)。

很容易會想寫成 \(r=L\)。只有在繩子水平時，這才正確。

對於圓錐擺，水平半徑是繩長的水平分量：

\[ r=L\sin\theta \]

從支點到圓周所在平面的垂直距離是

\[ L\cos\theta \]

當題目給的是繩長而不是半徑時，這個幾何關係就很重要。

05圓錐擺的一個實用關係

還可以用角速度來描述這個運動。

角速度為

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

其中 \(\omega\) 的單位為 \(\text{rad s}^{-1}\)。

水平方向的力方程式變成

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

而因為 \(r=L\sin\theta\)，

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

對於真正的圓周運動，\(\sin\theta\neq0\)，所以

\[ F_T=m\omega^2L \]

把它和

\[ F_T\cos\theta=mg \]

結合，可得

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

因此

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

由於 \(P=2\pi/\omega\)，

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

這個關係包含一個略為出人意料的結果：週期取決於支點到圓周路徑之間的垂直距離 \(L\cos\theta\)，而不是直接取決於半徑。

這個觀察在下面最後一道問題中會變得很重要。

06一個精簡的判斷方法

當你看到一個質量連在傾斜繩子上並沿水平圓周運動時：

1. 只畫出真正存在的力：張力和重量。
2. 選擇鉛直方向和水平向內方向。
3. 利用垂直加速度為零：

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. 在水平方向使用向心加速度：

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. 如果已知繩長，就把力學模型和幾何關係連結起來：

\[ r=L\sin\theta \]

這些方程式假設 \(\theta\) 是從鉛直方向量度的。如果題目是從水平方向量度角度，正弦和餘弦的分量就會互換。重新畫出三角形，而不要試圖死記另一套方程式。

07問題與解答

問題 1

一個 \(0.30\ \text{kg}\) 的質量以 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率沿半徑 \(0.80\ \text{m}\) 的水平圓周運動。求：

a. 張力的水平分量
b. 張力的垂直分量
c. 總張力
d. 繩子與鉛直方向的夾角

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 1

水平和垂直分量分別為 \(3.38\ \text{N}\) 和 \(2.94\ \text{N}\)，因此總張力為 \(4.48\ \text{N}\)，繩子與鉛直方向的夾角為 \(48.9^\circ\)。

在水平方向，

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

所以

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

在垂直方向，加速度為零：

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

總張力是向量的大小：

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

最後，

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

所以

\[ \theta=48.9^\circ \]

一個很誘人的捷徑，是因為 \(3.38\ \text{N}\) 等於 \(mv^2/r\)，便把它稱為張力。但它其實只是張力的水平分量。同一個張力向量還必須提供 \(2.94\ \text{N}\) 的向上分量，以平衡重量。

問題 2

一個 \(0.20\ \text{kg}\) 的質量懸掛在一條 \(1.00\ \text{m}\) 長的繩子上，並作圓錐擺運動。繩子與鉛直方向成 \(50^\circ\)。

計算：

a. 圓周路徑的半徑
b. 繩子的張力
c. 質量的速率
d. 週期

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 2

半徑為 \(0.766\ \text{m}\)，張力為 \(3.05\ \text{N}\)，速率為 \(2.99\ \text{m s}^{-1}\)，週期為 \(1.61\ \text{s}\)。

先利用繩子的幾何關係：

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

在垂直方向，

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

所以

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

它的水平分量為

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

因此，

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

由此得到

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

週期為

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

一個很容易犯的錯誤是令 \(r=1.00\ \text{m}\)。繩長是幾何三角形的斜邊；圓周半徑是它的水平分量 \(L\sin\theta\)。

問題 3

一個質量作圓錐擺運動，週期為 \(1.80\ \text{s}\)。

起初，它的繩長為 \(1.00\ \text{m}\)。

a. 求繩子與鉛直方向的夾角，以及圓周的半徑。

之後，繩子縮短至 \(0.70\ \text{m}\)，同時有一個機制嘗試把週期準確維持在 \(1.80\ \text{s}\)。

b. 質量能否穩定成一個半徑非零、且週期為該數值的圓錐擺？請從物理和數學上說明你的答案。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 3

起初，角度為 \(36.5^\circ\)，半徑為 \(0.594\ \text{m}\)。把繩子縮短至 \(0.70\ \text{m}\) 後，不可能存在週期為 \(1.80\ \text{s}\)、且半徑非零的圓錐擺狀態。

與該週期相應的角速度為

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

對圓錐擺而言，

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

所以

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

當 \(L=1.00\ \text{m}\) 時，

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

因此，

\[ \theta=36.5^\circ \]

而

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

現在把繩子縮短至 \(0.70\ \text{m}\)，同時保持相同的 \(\omega\)：

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

但實數角不可能有 \(\cos\theta>1\)。

所以，所要求的穩定圓周運動是不可能的。

一個看似合理的想法是，系統只需增加張力，就能讓較短的繩子正常運作。但張力不能任意調整來獨立滿足所有限制。垂直平衡、水平向心加速度、指定的角速度，以及固定的繩子幾何關係，都必須同時成立。在這裡，它們要求 \(\cos\theta\) 取一個不可能的數值。

等價地，在這個角速度下，繩長存在一個最小可能值：

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

所提出的 \(0.70\ \text{m}\) 繩子比這個下限更短。

問題 4

一個 \(0.40\ \text{kg}\) 的質量連接在一條 \(1.00\ \text{m}\) 長的繩子上作圓錐擺運動。它的圓周路徑位於水平地面上方 \(1.25\ \text{m}\)。

繩子突然斷裂。忽略空氣阻力。質量最後落在距離繩子斷裂位置正下方地面點 \(1.10\ \text{m}\) 的水平位置。

求：

a. 繩子斷裂前一刻的速率
b. 繩子與鉛直方向的夾角
c. 繩子斷裂前一刻的張力

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 4

在斷裂前一刻，質量的速率為 \(2.18\ \text{m s}^{-1}\)，繩子與鉛直方向的夾角為 \(38.1^\circ\)，張力為 \(4.98\ \text{N}\)。

在繩子斷裂的瞬間，質量會保留當時的瞬時速度。這個速度是水平的，並且沿圓周路徑的切線方向。

因此，它的初始垂直速度為零。

對於 \(1.25\ \text{m}\) 的下落，

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

所以

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

並且

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

在水平方向，

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

在斷裂之前，圓錐擺的關係式為

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

但半徑目前仍未知。由於繩長為 \(L=1.00\ \text{m}\)，

\[ r=L\sin\theta \]

因此，

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

令 \(c=\cos\theta\)。由於 \(\sin^2\theta=1-c^2\)，

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

代入 \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\)，

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

所以

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

因此

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

具有物理意義的根為

\[ c=0.787 \]

所以

\[ \cos\theta=0.787 \]

並且

\[ \theta=38.1^\circ \]

最後，繩子斷裂前的垂直平衡給出

\[ F_T\cos\theta=mg \]

所以

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

一個很誘人的做法，是把拋射運動中的 \(1.10\ \text{m}\) 水平位移當作原本圓周的半徑。它不是。繩子一旦斷裂，質量一開始會沿原本圓周的切線方向運動。拋射運動讓我們求出切向速率；之後仍必須利用繩子的幾何關係和圓周運動方程式，求回原本的半徑。

問題 5

兩個不同的圓錐擺，其支點位於同一水平高度。

擺 A 的繩長為 \(1.20\ \text{m}\)。擺 B 的繩長為 \(0.80\ \text{m}\)。

在兩種情況下，水平圓周路徑都恰好位於支點下方 \(0.60\ \text{m}\) 的垂直距離。兩個質量不一定相等。

一名學生認為：

擺 A 的圓周半徑較大，所以它完成一周所需的時間一定較長。

判斷兩者的週期是否真的不同。然後計算每個質量的半徑和線速率。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

解答 5

兩個擺的週期完全相同，都是 \(1.55\ \text{s}\)，儘管擺 A 的半徑較大，而且具有較大的線速率。

令支點到圓周所在平面的垂直距離為 \(h\)。

由幾何關係，

\[ h=L\cos\theta \]

由力的平衡，

\[ F_T\cos\theta=mg \]

以及

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

把水平方程式除以垂直方程式：

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

但繩子的幾何關係也給出

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

因此，

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

兩個擺的半徑都不為零，所以 \(r\) 可以約去：

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

這就是關鍵限制。半徑看起來似乎很重要，但當力的方程式和繩子的幾何關係必須同時成立時，它會從角速度的表達式中消失。

取 \(h=0.60\ \text{m}\)，

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

因此

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

兩個擺皆是如此。

現在求半徑。

對擺 A，

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

對擺 B，

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

線速率為 \(v=\omega r\)。

因此，

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

以及

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

擺 A 的確沿著較長的圓周運動，但它的速率也恰好提高到足以令週期保持不變。

這名學生的說法把半徑和速率視為其中一個可以改變、而另一個保持不變。在圓錐擺中，兩者透過力的平衡和幾何關係互相連繫。當垂直距離 \(h=L\cos\theta\) 相同時，角速度由

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

決定，與質量或半徑無關。

08這個模型接下來能讓你做到甚麼

這裡最重要的習慣，不是死記兩條分量方程式，而是判斷哪個方向實際上存在加速度。

對水平圓周路徑而言，垂直加速度為零，所以垂直方向的力互相平衡。在水平方向，存在向內的加速度，因此真正作用力的水平分量必須產生 \(mv^2/r\)。

同樣的方法也適用於更複雜的圓周運動問題。如果圓周是傾斜的、垂直的，或由多於一個力支撐，分量方程式會改變，但方法不變：選定徑向方向、辨認真正存在的力、把它們分解成分量，然後才寫出牛頓第二定律。