السيارات على المنعطفات الدائرية المستوية: الاحتكاك والقوة المركزية
تعرّف كيف يوفر الاحتكاك السكوني القوة المركزية التي تجعل السيارة تنعطف على طريق مستوٍ، وكيفية حساب حدود التماسك والسرعة القصوى.
تخيّل سيارة تدخل منعطفًا مستويًا إلى اليسار. يدير السائق عجلة القيادة إلى اليسار، لكن افترض أن الطريق أصبح فجأة عديم الاحتكاك تمامًا. ماذا يحدث؟
من التوقعات الشائعة أن السيارة ستنعطف قليلًا لأن العجلات موجهة إلى اليسار. لكنها لا تفعل ذلك. فمع عدم وجود قوة أفقية يؤثر بها الطريق، تستمر السيارة في الحركة تقريبًا على امتداد خط المماس المستقيم الذي كانت تسير فيه بالفعل.
وهذا يوضح ما يجعل السيارة تنعطف فعليًا على طريق مستوٍ: ليس عجلة القيادة وحدها، ولا قوة إضافية غامضة تسمى «القوة المركزية». يدفع الطريق الإطارات جانبيًا من خلال الاحتكاك. وفي منعطف مستوٍ ثابت، يشير هذا الاحتكاك نحو مركز المسار الدائري.
01ما الذي يجعل السيارة تنعطف فعليًا؟
تخيّل السيارة من أعلى. تتجه سرعتها المتجهة على امتداد الطريق، مماسةً للدائرة. وبعد لحظة، تصبح سرعة السيارة المتجهة في اتجاه مختلف قليلًا.
يتطلب تغيير السرعة المتجهة وجود تسارع. وفي الحركة الدائرية، يتجه هذا التسارع نحو مركز الدائرة.
في الحركة الدائرية المنتظمة،
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
حيث:
- \(a_c\) هو التسارع المركزي بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)،
- \(v\) هي السرعة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)، و
- \(r\) هو نصف قطر المسار الدائري بالأمتار.
إذا كنت بحاجة إلى مراجعة سبب اتجاه هذا التسارع إلى الداخل حتى عندما تكون سرعة السيارة ثابتة، فراجع التسارع المركزي: لماذا يتجه إلى الداخل في فيزياء HSC.
يخبرنا قانون نيوتن الثاني بعد ذلك بأنه لا بد من وجود قوة محصلة متجهة إلى الداخل:
\[ F_{\text{المحصلة، إلى الداخل}}=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]
لكن هذه المعادلة لا تُسمّي قوة جديدة. إنها تخبرنا فقط بمقدار القوة المحصلة التي يجب أن تتجه إلى الداخل.
إذن ما القوة الحقيقية التي توفرها؟
في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة، تكون هذه القوة هي الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق.
\[ f_s=\frac{mv^2}{r} \]
هذه هي الفكرة الأساسية في هذا الموضوع بأكمله.
02لماذا يكون الاحتكاك سكونيًا؟
قد يبدو هذا غير صحيح في البداية. فالسيارة تتحرك، لذا أليس من المفترض أن يكون الاحتكاك حركيًا؟
انظر بدقة إلى منطقة التلامس بين إطار متدحرج والطريق. إذا كان الإطار يتدحرج من دون انزلاق، فإن الرقعة الصغيرة من المطاط الملامسة للطريق تكون ساكنة لحظيًا بالنسبة إلى الطريق.
لا يوجد انزلاق عند نقطة التلامس تلك. وهذا يجعل الاحتكاك سكونيًا.
لا يعني الاحتكاك السكوني ببساطة أن «الجسم ساكن». بل يعني أن السطحين لا ينزلق أحدهما فوق الآخر عند موضع تلامسهما.
وهذا يفسر أيضًا خطأ شائعًا آخر: لا يتجه الاحتكاك دائمًا عكس سرعة السيارة المتجهة.
في منعطف ثابت، تتحرك السيارة إلى الأمام بينما يؤثر الاحتكاك السكوني جانبيًا نحو مركز المنعطف. فالاحتكاك يعارض ميل الإطار إلى الانزلاق بالنسبة إلى الطريق، وليس بالضرورة حركة السيارة ككل.
ومن الصور المفيدة لتصور ذلك عربة تسوق على أرضية متجر زلقة بشكل مبالغ فيه. يمكنك توجيه عجلاتها حيثما شئت، لكن من دون تماسك جانبي كافٍ مع الأرض، لن تتبع العربة ببساطة الاتجاه الذي تشير إليه العجلات. يحدد التوجيه كيفية تفاعل الإطارات مع الطريق. أما قوة الإطار والطريق فهي التي تغيّر الحركة فعليًا.
لهذا التشبيه حدود. فالإطار الحقيقي يتشوه، ومنطقة تلامسه معقدة، ولا يمكن تمثيل تماسكه تمثيلًا مثاليًا بنموذج بسيط لعجلة صلبة. ومع ذلك، ففي فيزياء HSC يُعد تمثيل قوة الإطار الجانبية على أنها احتكاك سكوني تقريبًا مفيدًا.
03للاحتكاك قيمة عظمى، وليس قيمة ثابتة
إليك على الأرجح أهم فخ متعلق بالمعادلات في هذا الموضوع:
\[ f_s=\mu_sN \]
ليست صحيحة بوجه عام.
العلاقة الصحيحة هي
\[ f_s\leq \mu_sN \]
حيث:
- \(f_s\) هي قوة الاحتكاك السكوني الفعلية،
- \(\mu_s\) هو معامل الاحتكاك السكوني، و
- \(N\) هي القوة العمودية.
يتكيف الاحتكاك السكوني ليأخذ القيمة المطلوبة، حتى قيمة عظمى معينة.
فكّر في سيارة تتحرك ببطء حول منعطف واسع جدًا. لا تحتاج الإطارات إلى استخدام كل التماسك المتاح. ولا يوفر الاحتكاك إلا القوة الصغيرة نسبيًا المطلوبة إلى الداخل.
ومع زيادة سرعة السيارة، يزداد الاحتكاك المطلوب. وفي النهاية قد تصل الإطارات إلى أقصى احتكاك سكوني متاح لها.
عند هذه النقطة يصل نموذج عدم الانزلاق البسيط إلى حدوده.
04إيجاد السرعة القصوى على منعطف مستوٍ
على طريق مستوٍ، لا يوجد للسيارة تسارع رأسي. لذا تتوازن قواها الرأسية:
\[ N=mg \]
حيث \(m\) هي كتلة السيارة و\(g\) هي شدة مجال الجاذبية، وتبلغ تقريبًا \(9.8\text{ m s}^{-2}\) بالقرب من سطح الأرض.
ولذلك يكون أكبر احتكاك سكوني متاح
\[ f_{s,\max}=\mu_smg \]
أما القوة المطلوبة إلى الداخل فهي
\[ f_{\text{المطلوب}}=\frac{mv^2}{r} \]
ولكي لا تنزلق الإطارات،
\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]
نختصر \(m\):
\[ \frac{v^2}{r}\leq\mu_sg \]
وعند أكبر سرعة ممكنة من دون انزلاق،
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
يتيح ذلك عدة تنبؤات مفيدة قبل استخدام الآلة الحاسبة.
| التغيير | التأثير في نموذج HSC المثالي |
|---|---|
| زيادة \(v\) | يزداد الاحتكاك المطلوب بما يتناسب مع \(v^2\) |
| زيادة \(r\) | يقل الاحتكاك المطلوب |
| زيادة \(\mu_s\) | يتوفر تماسك أكبر |
| زيادة \(m\) | يزداد كل من الاحتكاك المطلوب والاحتكاك الأقصى تناسبيًا |
| مضاعفة \(\mu_s\) | تزداد \(v_{\max}\) بمعامل \(\sqrt{2}\)، وليس 2 |
| مضاعفة \(r\) | تزداد \(v_{\max}\) بمعامل \(\sqrt{2}\) |
لاحظ النتيجة التي قد تبدو غريبة بالنسبة إلى الكتلة. في هذا النموذج المبسط، لا تكون للسيارة الأثقل سرعة قصوى أقل عند الانعطاف لمجرد أنها أثقل.
تحتاج السيارة الأثقل إلى قوة مركزية أكبر، لكن القوة العمودية الأكبر تزيد أيضًا أقصى احتكاك متاح بالمقدار النسبي نفسه. لذلك تُختصر الكتلة.
الإطارات الحقيقية أكثر تعقيدًا من نموذج الاحتكاك البسيط هذا، لذلك لا تحوّل نتيجة HSC هذه إلى ادعاء عام عن هندسة المركبات الحقيقية.
مثال محلول: هل تمتلك هذه السيارة تماسكًا كافيًا؟
تتحرك سيارة كتلتها \(1200\text{ kg}\) بسرعة \(14\text{ m s}^{-1}\) حول منعطف دائري مستوٍ نصف قطره \(50\text{ m}\). معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق هو \(0.55\). أوجد قوة الاحتكاك المطلوبة وحدد ما إذا كانت السيارة تستطيع اتباع المنعطف من دون انزلاق.
الخطوة 1
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{14^2}{50} =3.92\text{ m s}^{-2} \]
إذن تحتاج السيارة إلى تسارع متجه إلى الداخل مقداره \(3.92\text{ m s}^{-2}\).
الخطوة 2
\[ f_s=ma_c =(1200)(3.92) =4704\text{ N} \]
إذن يجب أن توفر الإطارات احتكاكًا سكونيًا مقداره \(4.70\times10^3\text{ N}\) نحو المركز.
الخطوة 3
لأن الطريق مستوٍ،
\[ N=mg \]
إذن
\[ f_{s,\max}=\mu_smg =(0.55)(1200)(9.8) =6468\text{ N} \]
الخطوة 4
\[ 4704\text{ N}<6468\text{ N} \]
الاحتكاك المطلوب أقل من أقصى احتكاك سكوني متاح، لذا تستطيع السيارة اتباع المنعطف من دون انزلاق وفقًا لهذا النموذج.
والتفصيل المهم هو أن الاحتكاك الفعلي يساوي \(4704\text{ N}\)، وليس \(6468\text{ N}\). فالعدد الأكبر هو فقط أقصى قيمة يمكن للطريق توفيرها قبل أن يفشل الاحتكاك السكوني.
مثال محلول: أوجد السرعة القصوى على منعطف مبلل
لمنعطف مستوٍ نصف قطره \(75\text{ m}\). يبلغ معامل الاحتكاك السكوني \(0.80\) على طريق جاف، لكنه ينخفض إلى \(0.36\) عندما يكون الطريق مبللًا. أوجد السرعة القصوى من دون انزلاق في كل حالة.
الخطوة 1
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
الخطوة 2
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.80)(9.8)(75)} =\sqrt{588} =24.2\text{ m s}^{-1} \]
بالتحويل إلى كيلومترات في الساعة،
\[ 24.2\times3.6=87.3\text{ km h}^{-1} \]
الخطوة 3
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.36)(9.8)(75)} =\sqrt{264.6} =16.3\text{ m s}^{-1} \]
لذلك،
\[ 16.3\times3.6=58.6\text{ km h}^{-1} \]
يتنبأ النموذج بسرعات قصوى تبلغ نحو \(87\text{ km h}^{-1}\) عندما يكون الطريق جافًا و\(59\text{ km h}^{-1}\) عندما يكون مبللًا.
لاحظ أن معامل الاحتكاك انخفض من \(0.80\) إلى \(0.36\)، أي بانخفاض قدره \(55\%\)، لكن السرعة القصوى لم تنخفض بنسبة \(55\%\). فالسرعة تعتمد على الجذر التربيعي لـ \(\mu_s\).
05لا توجد «قوة مركزية» منفصلة
افترض أنك رسمت مخطط قوى للسيارة وأدرجت الأسهم الآتية:
- الوزن إلى الأسفل،
- القوة العمودية إلى الأعلى،
- الاحتكاك إلى الداخل، و
- «القوة المركزية» إلى الداخل.
لقد حسبت القوة المتجهة إلى الداخل مرتين.
كلمة «مركزية» تصف ما تفعله القوة المحصلة. وهي لا تُسمّي عادةً تفاعلًا فيزيائيًا إضافيًا.
بالنسبة إلى هذا المنعطف المستوي ذي السرعة الثابتة،
\[ F_{\text{المركزية}}=f_s \]
ينطبق المنطق نفسه على مسائل أخرى في الحركة الدائرية، لكن القوة الحقيقية قد تختلف. فقد توفر الجاذبية القوة المركزية لجسم في مدار. وقد يوفر الشد هذه القوة لكرة تتحرك في دائرة مربوطة بخيط.
والسؤال المفيد دائمًا هو:
أي قوة حقيقية، أو أي مجموعة من القوى الحقيقية، تتجه نحو المركز؟
يُطوَّر هذا الأسلوب بمزيد من التفصيل في القوة المركزية: كيفية تحديد القوة الحقيقية في فيزياء HSC.
06ماذا يحدث إذا كان الاحتكاك المطلوب أكبر مما ينبغي؟
افترض أن
\[ \frac{mv^2}{r}>\mu_smg \]
لا يستطيع الطريق توفير الاحتكاك السكوني المطلوب.
قد يكون من المغري القول: «تتعرض السيارة لقوة متجهة إلى الخارج فتُدفع نحو الخارج». لكن هذا ليس النموذج الصحيح.
المشكلة هي عدم وجود قوة كافية إلى الداخل.
يعني القصور الذاتي للسيارة أنها تميل إلى الاستمرار تقريبًا على امتداد المماس الحالي، بينما يعجز الطريق عن ثني سرعتها المتجهة نحو الداخل بالسرعة الكافية. لذلك، بالنسبة إلى الطريق المنحني، تتحرك السيارة نحو خارج المنعطف.
لا حاجة إلى افتراض وجود قوة حقيقية متجهة إلى الخارج في إطار مرجعي عطالي.
وبمجرد أن تبدأ الإطارات في الانزلاق فعلًا، يتغير الوضع أيضًا. لم يعد الاحتكاك السكوني يصف تفاعل الإطار والطريق بالطريقة نفسها، ولا يمكنك افتراض أن السيارة ستستمر تلقائيًا في الحركة على نصف القطر الأصلي. إن مجرد استبدال \(\mu_s\) بمعامل احتكاك حركي في
\[ \frac{mv^2}{r}=\mu mg \]
وافتراض استمرار المسار الدائري نفسه يمكن أن يعطي نتيجة مضللة فيزيائيًا.
07ماذا لو كانت السيارة تتسارع أو تكبح أيضًا؟
حتى الآن، تحركت السيارة حول المنعطف بسرعة ثابتة. وهذا يجعل مهمة الاحتكاك بسيطة: فهو لا يحتاج إلا إلى مركبة متجهة إلى الداخل.
لكن افترض أن السائق يزيد سرعة السيارة أثناء الانعطاف.
تنبأ باتجاه قوة الاحتكاك. هل يجب أن تظل متجهة بالضبط نحو المركز؟
لا.
إذا كانت الإطارات الدافعة تحتاج إلى مركبة احتكاك إلى الأمام لزيادة سرعة السيارة، مع حاجتها أيضًا إلى مركبة متجهة إلى الداخل للانعطاف، فإن قوة الاحتكاك الكلية بين الإطار والطريق تتجه في اتجاه يقع بين الأمام والداخل.
وبالمثل، قد يتطلب الكبح أثناء الانعطاف مركبة احتكاك إلى الخلف إضافةً إلى مركبة متجهة إلى الداخل.
في النموذج المبسط، إذا كانت \(f_r\) هي المركبة الشعاعية للاحتكاك و\(f_t\) هي المركبة المماسية، فإن مقدار الاحتكاك الكلي هو
\[ f_s=\sqrt{f_r^2+f_t^2} \]
ويجب أن يحقق
\[ \sqrt{f_r^2+f_t^2}\leq\mu_sN \]
وبالنسبة إلى طريق مستوٍ، تؤدي القسمة على \(m\) إلى صيغة مريحة بدلالة التسارع:
\[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2+a_t^2}\leq\mu_sg \]
حيث \(a_t\) هو التسارع المماسي.
يكشف هذا فكرة مهمة: تماسك الإطارات مورد مشترك.
فإذا كانت الإطارات تستخدم بالفعل معظم الاحتكاك المتاح لديها للانعطاف، فلن يتبقى إلا القليل من الاحتكاك للكبح الشديد أو التسارع.
سلوك الإطارات الحقيقية أعقد من «ميزانية الاحتكاك» الدائرية الأنيقة هذه، ولا سيما بسبب تشوه الإطارات وانتقال الأحمال. لكن النموذج يجسد الفكرة الأساسية في فيزياء HSC: قوة الاحتكاك بين الإطار والطريق هي قوة محصلة واحدة، وليست إمدادات منفصلة وغير محدودة من الاحتكاك الجانبي والاحتكاك الأمامي.
08أربعة أخطاء يجدر الانتباه إليها
«الاحتكاك يساوي \(\mu N\).»
يكون ذلك صحيحًا فقط عند القيمة الحدية. قبل الانزلاق، يتكيف الاحتكاك السكوني حتى يصل إلى \(f_{s,\max}=\mu_sN\).«الاحتكاك يؤثر دائمًا عكس حركة السيارة.»
يعارض الاحتكاك السكوني الانزلاق النسبي عند موضع تلامس الإطار بالطريق. وفي منعطف ثابت، يؤثر جانبيًا بينما تتحرك السيارة إلى الأمام.«القوة المركزية قوة إضافية إلى الداخل.»
لا. ففي هذا المنعطف المستوي، الاحتكاك السكوني هو القوة الحقيقية التي توفر القوة المحصلة المركزية المطلوبة.«السيارة المنزلقة تُدفع إلى الخارج.»
في إطار عطالي، تكمن المشكلة الأساسية في عدم كفاية القوة المتجهة إلى الداخل. ولذلك لا تنحني حركة السيارة بحدة تكفي لمجاراة انحناء الطريق.
09الأسئلة والحلول
السؤال 1
تتحرك سيارة كتلتها \(1000\text{ kg}\) بسرعة ثابتة مقدارها \(18\text{ m s}^{-1}\) حول منعطف دائري مستوٍ نصف قطره \(90\text{ m}\).
احسب:
a. التسارع المركزي للسيارة، و
b. قوة الاحتكاك المؤثرة في السيارة.
اذكر اتجاه قوة الاحتكاك.
الحل 1
التسارع المركزي هو \(3.60\text{ m s}^{-2}\)، ويجب أن يؤثر الطريق بقوة احتكاك مقدارها \(3.60\times10^3\text{ N}\) نحو مركز المنعطف.
بالنسبة إلى الجزء a،
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{18^2}{90} =\frac{324}{90} =3.60\text{ m s}^{-2} \]
وبالنسبة إلى الجزء b،
\[ f_s=ma_c =(1000)(3.60) =3600\text{ N} \]
إذن،
\[ f_s=3.60\times10^3\text{ N} \]
وتتجه أفقيًا نحو مركز المسار الدائري.
ومن الأخطاء المغرية أن تسمي \(3600\text{ N}\) «القوة المركزية» ثم تضيف الاحتكاك كقوة أخرى. هنا، الاحتكاك هو القوة الفيزيائية التي توفر القوة المحصلة المركزية المطلوبة.
السؤال 2
تقترب سيارة كتلتها \(1300\text{ kg}\) من منعطف مستوٍ نصف قطره \(55\text{ m}\). معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق هو \(0.45\).
تدخل السيارة المنعطف بسرعة \(17\text{ m s}^{-1}\) من دون كبح أو تسارع.
a. احسب قوة الاحتكاك المطلوبة إلى الداخل للحفاظ على المسار الدائري.
b. احسب أقصى احتكاك سكوني متاح.
c. حدد ما إذا كانت السيارة تستطيع اتباع المنعطف من دون انزلاق.
d. أوجد السرعة القصوى التي يتنبأ بها النموذج.
e. يركب السيارةَ راكب كتلته \(100\text{ kg}\). اشرح ما إذا كان ذلك يغير السرعة القصوى في هذا النموذج المثالي.
الحل 2
لا تستطيع السيارة الحفاظ على نصف قطر \(55\text{ m}\) عند سرعة \(17\text{ m s}^{-1}\)؛ إذ يعطي النموذج سرعة قصوى تبلغ نحو \(15.6\text{ m s}^{-1}\)، كما أن إضافة الراكب لا تغير هذه السرعة الحدية في النموذج المثالي.
بالنسبة إلى الجزء a، يكون التسارع المركزي المطلوب
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{17^2}{55} =5.25\text{ m s}^{-2} \]
ومن ثم يكون الاحتكاك المطلوب
\[ f_{\text{المطلوب}} =ma_c =(1300)(5.25) \approx6.83\times10^3\text{ N} \]
بالنسبة إلى الجزء b،
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.45)(1300)(9.8) =5.73\times10^3\text{ N} \]
بالنسبة إلى الجزء c،
\[ 6.83\times10^3\text{ N}>5.73\times10^3\text{ N} \]
لذلك لا يوجد احتكاك سكوني كافٍ لتوفير القوة المطلوبة إلى الداخل. ولا تستطيع السيارة اتباع المسار الدائري المحدد من دون انزلاق.
بالنسبة إلى الجزء d،
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
إذن
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.45)(9.8)(55)} =\sqrt{242.55} =15.6\text{ m s}^{-1} \]
وهو ما يعادل تقريبًا
\[ 15.6\times3.6=56.1\text{ km h}^{-1} \]
بالنسبة إلى الجزء e، تؤدي إضافة الراكب إلى زيادة القوة المركزية المطلوبة لأن الكتلة الكلية تزداد. لكنها تزيد أيضًا القوة العمودية، ومن ثم تزيد أقصى قوة احتكاك سكوني متاحة بالنسبة نفسها:
\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]
تُختصر الكتلة، ولذلك لا تتغير \(v_{\max}\) في هذا النموذج المثالي.
والمسار المغري في التفكير هو القول إن السيارة الأثقل لا بد أن تنزلق في وقت أبكر لأنها تحتاج إلى قوة مركزية أكبر. وهذا يأخذ في الاعتبار نصف المقارنة فقط. فالسيارة الأثقل تمتلك أيضًا أقصى قوة احتكاك أكبر بالنسبة نفسها.
السؤال 3
تتبع سيارة كتلتها \(1400\text{ kg}\) منعطفًا دائريًا مستويًا نصف قطره \(80\text{ m}\) في لحظة تكون فيها سرعتها \(22\text{ m s}^{-1}\). وفي تلك اللحظة، تتسارع أيضًا إلى الأمام بمقدار \(2.0\text{ m s}^{-2}\).
معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق هو \(0.75\).
افترض أن قوة الاحتكاك الأفقية بين الإطار والطريق توفر كلًا من التسارع الشعاعي والتسارع المماسي.
a. أوجد المركبة الشعاعية لقوة الاحتكاك.
b. أوجد المركبة المماسية.
c. احسب مقدار قوة الاحتكاك الكلية.
d. حدد ما إذا كانت الإطارات تستطيع توفير هذه القوة من دون انزلاق.
e. اشرح لماذا يكون القول «يجب أن يتجه الاحتكاك نحو المركز في المنعطف» غير مكتمل هنا.
الحل 3
الاحتكاك الكلي المطلوب يساوي نحو \(8.92\times10^3\text{ N}\)، وهو أقل من القيمة القصوى \(1.03\times10^4\text{ N}\)، لذلك تستطيع السيارة اتباع المنعطف مع التسارع وفقًا لهذا النموذج.
بالنسبة إلى الجزء a،
\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{22^2}{80} =6.05\text{ m s}^{-2} \]
لذلك،
\[ f_r=ma_r =(1400)(6.05) =8470\text{ N} \]
نحو المركز.
بالنسبة إلى الجزء b،
\[ f_t=ma_t =(1400)(2.0) =2800\text{ N} \]
إلى الأمام.
المركبتان متعامدتان، ولذلك بالنسبة إلى الجزء c،
\[ f_s =\sqrt{f_r^2+f_t^2} =\sqrt{8470^2+2800^2} \approx8.92\times10^3\text{ N} \]
بالنسبة إلى الجزء d، يكون أقصى احتكاك سكوني
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.75)(1400)(9.8) =1.029\times10^4\text{ N} \]
وبما أن
\[ 8.92\times10^3\text{ N}<1.029\times10^4\text{ N} \]
فإن الاحتكاك المطلوب متاح.
بالنسبة إلى الجزء e، لا يتجه الاحتكاك بالضبط نحو المركز إلا عندما لا تكون له مهمة مماسية. هنا، تعمل إحدى مركبتي الاحتكاك على جعل السيارة تنعطف، بينما تعمل الأخرى على تسريعها إلى الأمام. ولذلك تتجه قوة الاحتكاك المحصلة قطريًا بين الاتجاه إلى الداخل والاتجاه إلى الأمام.
والطريقة المغرية هي التحقق فقط مما إذا كانت القوة الشعاعية \(8470\text{ N}\) أصغر من حد الاحتكاك. لكن ذلك يتجاهل مركبة الاحتكاك المتجهة إلى الأمام. فالحد ينطبق على مقدار قوة الاحتكاك الكلية بين الإطار والطريق.
السؤال 4
تقوم سيارة بالكبح أثناء اتباعها منعطفًا دائريًا مستويًا نصف قطره \(60\text{ m}\). مقدار تباطؤها المماسي هو \(3.0\text{ m s}^{-2}\)، ومعامل الاحتكاك السكوني هو \(0.70\).
افترض أن قوة الاحتكاك بين الإطار والطريق توفر كلًا من قوة الكبح والقوة المتجهة إلى الداخل.
ما أكبر سرعة لحظية يمكن للسيارة عندها الحفاظ على نصف القطر هذا أثناء الكبح بمقدار \(3.0\text{ m s}^{-2}\)؟
قارن نتيجتك بالسرعة القصوى إذا كانت السيارة تتحرك حول المنعطف نفسه بسرعة ثابتة.
الحل 4
أكبر سرعة لحظية أثناء الكبح بمقدار \(3.0\text{ m s}^{-2}\) تبلغ نحو \(19.2\text{ m s}^{-1}\)، وهي أقل من حد السرعة الثابتة البالغ نحو \(20.3\text{ m s}^{-1}\).
أقصى تسارع كلي يمكن للاحتكاك السكوني توفيره هو
\[ a_{\text{الاحتكاك، الأقصى}}=\mu_sg =(0.70)(9.8) =6.86\text{ m s}^{-2} \]
ويُستخدم بالفعل جزء من ميزانية الاحتكاك هذه للكبح المماسي:
\[ a_t=3.0\text{ m s}^{-2} \]
التسارعان الشعاعي والمماسي متعامدان، لذا عند الحالة الحدية،
\[ \sqrt{a_r^2+a_t^2}=6.86 \]
ولذلك،
\[ a_r =\sqrt{6.86^2-3.0^2} =\sqrt{47.06-9.00} =6.17\text{ m s}^{-2} \]
وفي الحركة الدائرية،
\[ a_r=\frac{v^2}{r} \]
إذن
\[ \frac{v^2}{60}=6.17 \]
ومن ثم
\[ v=\sqrt{(6.17)(60)} =19.2\text{ m s}^{-1} \]
أما عند الانعطاف بسرعة ثابتة، فلا يوجد احتياج إلى احتكاك مماسي، لذلك
\[ v_{\max} =\sqrt{\mu_sgr} =\sqrt{(0.70)(9.8)(60)} =20.3\text{ m s}^{-1} \]
وهكذا يقلل الكبح السرعة القصوى اللحظية للانعطاف من نحو \(20.3\text{ m s}^{-1}\) إلى \(19.2\text{ m s}^{-1}\).
والحجة المغرية هي أن الكبح يجب أن يجعل السيارة أكثر أمانًا تلقائيًا لأن سرعتها تتناقص. وفي النهاية، تقلل السرعة المنخفضة فعلًا التسارع الشعاعي المطلوب. لكن في اللحظة المدروسة، يتطلب الكبح نفسه احتكاكًا من الإطارات أيضًا. لذلك يجب استخدام جزء من التماسك المتاح في الاتجاه إلى الخلف بدلًا من الاتجاه إلى الداخل.
السؤال 5
تتحرك سيارة كتلتها \(1000\text{ kg}\) حول مضمار اختبار دائري مستوٍ نصف قطره \(50\text{ m}\). معامل الاحتكاك السكوني بين إطاراتها والطريق هو \(0.60\).
تتحرك السيارة في البداية بسرعة تساوي بالضبط أقصى سرعة ثابتة ممكنة من دون انزلاق.
في هذه اللحظة، يُنظر في تجربتين محتملتين:
- في التجربة A، يستخدم السائق مكابح العجلات بحيث تكون هناك حاجة إلى مركبة احتكاك مقدارها \(500\text{ N}\) إلى الخلف بين الإطار والطريق.
- في التجربة B، لا تُستخدم مكابح العجلات. وبدلًا من ذلك، يولد جهاز سحب هوائي مثبت بالسيارة قوة مقدارها \(500\text{ N}\) إلى الخلف من خلال تفاعله مع الهواء.
في كلتا التجربتين، يُطلب من السيارة الاستمرار في اتباع نصف القطر الدائري نفسه عند اللحظة الابتدائية.
أي التجربتين يمكنها تحقيق الشروط المذكورة من دون تجاوز حد الاحتكاك السكوني بين الإطار والطريق؟ اشرح بعناية. افترض أن الجهاز الهوائي لا يغير القوة العمودية ولا معامل الاحتكاك.
الحل 5
يمكن للتجربة B تحقيق الشروط المذكورة عند اللحظة الابتدائية؛ أما التجربة A فلا يمكنها ذلك. والمفتاح هو أن حد الاحتكاك السكوني يقيّد قوة الاحتكاك بين الإطار والطريق، وليس مقدار كل القوى الأفقية المؤثرة في السيارة مجتمعة.
في البداية، تتحرك السيارة عند أقصى سرعة ثابتة للانعطاف، ولذلك تستخدم إطاراتها بالفعل كامل الاحتكاك السكوني المتاح في الاتجاه إلى الداخل.
أقصى احتكاك سكوني بين الإطار والطريق هو
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.60)(1000)(9.8) =5880\text{ N} \]
ولأن السيارة تكون في البداية عند حد الانعطاف بسرعة ثابتة،
\[ f_r=5880\text{ N} \]
إلى الداخل.
في التجربة A، ستحتاج الإطارات أيضًا إلى توفير مركبة احتكاك مقدارها \(500\text{ N}\) إلى الخلف.
ولذلك تكون قوة الاحتكاك الكلية المطلوبة بين الإطار والطريق
\[ f_s =\sqrt{5880^2+500^2} \approx5901\text{ N} \]
لكن
\[ 5901\text{ N}>5880\text{ N} \]
لذلك لا تستطيع الإطارات توفير كلتا المركبتين مع البقاء ضمن حد الاحتكاك السكوني المفترض.
ولا تستطيع السيارة في تلك اللحظة أن تحافظ في الوقت نفسه على نصف القطر المحدد وتحصل على مركبة كبح مقدارها \(500\text{ N}\) من خلال الإطارات.
التجربة B مختلفة. فالقوة البالغة \(500\text{ N}\) إلى الخلف تأتي من التفاعل بين الجهاز الهوائي والهواء، وليس من احتكاك الإطار بالطريق.
ولذلك لا تزال الإطارات بحاجة إلى توفير قوة مقدارها \(5880\text{ N}\) فقط إلى الداخل عند اللحظة الابتدائية:
\[ f_s=5880\text{ N} \]
وهذا يساوي بالضبط حد الاحتكاك السكوني، ولذلك يكون الشرط ممكنًا في النموذج المثالي. وتمنح القوة الهوائية المنفصلة السيارة تسارعًا مماسيًا إلى الخلف.
وبعد لحظة، ستكون السيارة تتحرك بسرعة أقل قليلًا. وإذا استمرت في السير على نصف القطر نفسه، فإن القوة المطلوبة إلى الداخل
\[ \frac{mv^2}{r} \]
ستكون عندئذ أصغر، ولذلك لن تحتاج الإطارات إلى كامل قدرتها الاحتكاكية للانعطاف.
والطريقة المغرية هي حساب محصلة القوة البالغة \(5880\text{ N}\) إلى الداخل والقوة الهوائية البالغة \(500\text{ N}\)، ثم مقارنة تلك القوة الكلية بـ \(\mu_smg\). لكن ذلك سيعامل \(\mu_smg\) خطأً على أنها حد للقوة الأفقية الكلية المؤثرة في السيارة.
وهي ليست كذلك. إنها حد لقوة الاحتكاك السكوني بين الإطار والطريق.
وهذا التمييز هو القاعدة الأعمق وراء مسائل القوى في الحركة الدائرية: حدد أولًا التسارع المطلوب، ثم حدد أي تفاعلات حقيقية يمكنها توفير كل مركبة من مركبات القوة. في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة، يوفر الاحتكاك كل القوة المطلوبة إلى الداخل. أما في منعطف مائل، فيمكن للقوة العمودية أيضًا أن تسهم في الاتجاه نحو المركز، مما يغير حساب التماسك بأكمله.