Vì sao lực hướng tâm không sinh công trong chuyển động tròn đều
Tìm hiểu vì sao lực hướng tâm có thể liên tục làm vật gia tốc mà không làm thay đổi động năng, và khi nào kết quả công bằng không này không còn áp dụng.
Một nút cao su đang quay tròn trên một sợi dây với tốc độ không đổi. Sợi dây liên tục kéo vào trong, và nút cao su cũng liên tục gia tốc. Sau 20 vòng, lực hướng vào trong đó có làm nút cao su tăng thêm động năng không?
Thoạt nhìn, có vẻ là có. Có một lực tác dụng. Nút cao su đi được một quãng đường lớn. Thế nhưng trong chuyển động tròn đều lý tưởng, lực hướng tâm hoàn toàn không sinh công.
Lý do không phải vì lực quá nhỏ, cũng không phải vì vật bằng cách nào đó “triệt tiêu” công sau mỗi vòng. Lực đang hướng theo đúng phương không thể làm thay đổi tốc độ của vật.
01Một lực có thể làm thay đổi vận tốc mà không làm thay đổi tốc độ
Hãy bắt đầu từ chính chuyển động.
Tại bất kỳ thời điểm nào trong chuyển động tròn đều:
- vận tốc của vật tiếp tuyến với đường tròn,
- gia tốc hướng tâm hướng về tâm,
- hợp lực hướng về tâm, và
- tốc độ không đổi.
Nếu bạn chưa thật sự rõ sự khác nhau giữa tốc độ và vận tốc, đây là điểm cần nhớ: tốc độ cho biết một vật chuyển động nhanh đến mức nào. Vận tốc còn bao gồm cả hướng.
Vì vậy, một vật chuyển động quanh đường tròn có thể có tốc độ không đổi trong khi vận tốc thay đổi tại mọi thời điểm.
Gia tốc hướng vào trong chính là nguyên nhân gây ra sự thay đổi hướng đó. Nó liên tục làm quay vectơ vận tốc mà không làm vectơ này dài hơn hay ngắn đi.
Nếu bạn muốn ôn lại vì sao gia tốc hướng theo phương này, hãy xem Gia tốc hướng tâm: Vì sao nó hướng vào trong trong Vật lý HSC.
Một hình dung gần đúng là một người bạn đứng gần bạn và liên tục kéo ba lô của bạn sang ngang khi bạn đang chạy. Nếu mỗi lần kéo đều chính xác vuông góc với hướng chuyển động, người đó có thể làm quỹ đạo của bạn cong đi mà không đẩy bạn chạy nhanh hơn hay kéo bạn chậm lại.
Phép so sánh này không hoàn toàn đúng trong thực tế vì người bạn của bạn có lẽ sẽ không duy trì lực hoàn toàn vuông góc, và ma sát cũng sẽ có ảnh hưởng. Trường hợp vật lý lý tưởng thì đơn giản hơn.
02Công phụ thuộc vào hướng của lực
Một lực sinh công khi nó có một thành phần cùng phương với độ dời của vật.
Đối với một lực không đổi trên một độ dời thẳng,
\[ W = Fs\cos\theta \]
trong đó:
- \(W\) là công, đo bằng joule (J),
- \(F\) là độ lớn của lực, đo bằng newton (N),
- \(s\) là độ lớn của độ dời, đo bằng mét (m), và
- \(\theta\) là góc giữa lực và độ dời.
Giả sử lực cùng hướng với độ dời. Khi đó \(\theta=0^\circ\), nên \(\cos 0^\circ=1\). Lực sinh công dương.
Giả sử lực hướng hoàn toàn ngược với độ dời. Khi đó \(\theta=180^\circ\), nên lực sinh công âm.
Bây giờ hãy dự đoán. Điều gì xảy ra khi lực vuông góc chính xác với độ dời?
Tại \(90^\circ\),
\[ \cos 90^\circ=0 \]
nên công bằng không.
Đó chính xác là hình học của chuyển động tròn đều lý tưởng. Độ dời tức thời tiếp tuyến với đường tròn, trong khi lực hướng tâm có phương bán kính.
Hai đại lượng này vuông góc với nhau.
03Từ quan trọng ở đây là tức thời
Có một điểm dễ gây nhầm lẫn ở đây.
Sau một phần tư đường tròn, rõ ràng vật đã đi được một quãng đường đáng kể. Đường thẳng nối vị trí đầu và vị trí cuối nhìn chung cũng không vuông góc với lực tại vị trí ban đầu.
Vì vậy, bạn không thể lấy một vectơ lực hướng tâm, nhân với tổng quãng đường đã đi rồi dùng \(W=Fs\cos\theta\) như thể hướng của lực luôn cố định.
Hướng của lực không cố định. Lực hướng tâm liên tục đổi hướng khi vật chuyển động.
Thay vào đó, hãy hình dung quỹ đạo được chia thành một số lượng rất lớn các độ dời rất nhỏ. Với mỗi độ dời nhỏ,
\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]
trong đó \(dW\) là một lượng công rất nhỏ, \(F_c\) là độ lớn lực hướng tâm, và \(ds\) là một quãng đường rất nhỏ dọc theo quỹ đạo.
Mỗi phần đóng góp nhỏ đều bằng không. Cộng tất cả lại vẫn bằng không.
Trong các bài HSC, thường còn có một cách nhanh hơn để thấy cùng kết quả: dùng định lý công-động năng.
\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]
Động năng là
\[ K=\frac12mv^2 \]
trong đó \(m\) là khối lượng tính bằng kilôgam (kg), và \(v\) là tốc độ tính bằng mét trên giây (m s\(^{-1}\)).
Chuyển động tròn đều có tốc độ không đổi, nên \(v\) không thay đổi. Vì vậy \(K\) không thay đổi.
Do đó,
\[ \Delta K=0 \]
và vì thế
\[ W_{\text{net}}=0 \]
Đây là hai cách nhìn về cùng một hiện tượng vật lý:
- về mặt hình học, hợp lực vuông góc với chuyển động;
- về mặt năng lượng, tốc độ và động năng không đổi.
04Lực hướng tâm không phải là một lực bổ sung
Có một nguồn gây nhầm lẫn phổ biến khác.
“Lực hướng tâm” không có nghĩa là một loại lực đặc biệt mới xuất hiện bất cứ khi nào một vật chuyển động theo đường tròn. Đây là tên gọi của hợp lực hướng vào trong cần thiết để tạo ra chuyển động tròn.
Độ lớn của nó trong chuyển động tròn đều là
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]
trong đó \(r\) là bán kính quỹ đạo tròn tính bằng mét.
Lực hướng vào trong có thể được cung cấp bởi:
- lực căng,
- trọng lực,
- phản lực pháp tuyến,
- lực ma sát, hoặc
- sự kết hợp của nhiều lực thực.
Ví dụ, trọng lực cung cấp lực hướng tâm cho một vệ tinh ở quỹ đạo tròn hoàn hảo. Lực căng có thể cung cấp lực hướng tâm cho một vật chuyển động theo đường tròn nằm ngang trên một sợi dây.
Nếu một lực thực hoàn toàn theo phương bán kính và cung cấp lực hướng tâm, lực thực đó không sinh công trong chuyển động tròn đều lý tưởng.
Nhưng hãy cẩn thận với cách diễn đạt. Các lực thực riêng lẻ có thể sinh công dương hoặc công âm trong khi tổng tác dụng theo phương tiếp tuyến của chúng triệt tiêu nhau. Điều nhất thiết phải đúng trong chuyển động tròn đều là hợp lực có phương bán kính, nên công tổng cộng bằng không.
Để tìm hiểu thêm về cách xác định lực thực nào đang đóng vai trò lực hướng vào trong, hãy xem Lực hướng tâm: Cách xác định lực thực trong Vật lý HSC.
Ví dụ có lời giải: Một nút cao su đi hết một phần tư đường tròn
Một nút cao su khối lượng \(0.60\) kg chuyển động với tốc độ không đổi \(3.0\) m s\(^{-1}\) trên một đường tròn nằm ngang có bán kính \(1.2\) m. Hãy tìm lực hướng tâm và công do lực đó thực hiện khi nút cao su đi hết một phần tư vòng tròn.
Bước 1
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.60)(3.0)^2}{1.2} =4.5\text{ N} \]
Hợp lực là \(4.5\) N hướng về tâm.
Bước 2
Tại mọi thời điểm, độ dời rất nhỏ của nút cao su tiếp tuyến với đường tròn. Lực \(4.5\) N hướng theo phương bán kính vào trong.
Do đó, góc giữa chúng là \(90^\circ\).
Bước 3
Với mỗi phần rất nhỏ của quỹ đạo,
\[ dW=F_c\,ds\cos90^\circ=0 \]
nên trên toàn bộ một phần tư đường tròn,
\[ W=0\text{ J} \]
Bước 4
Động năng của nút cao su là
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.60)(3.0)^2 =2.7\text{ J} \]
Tốc độ của nó vẫn là \(3.0\) m s\(^{-1}\), nên động năng vẫn là \(2.7\) J.
Kết quả này có nghĩa là lực hướng vào trong đã làm thay đổi đáng kể hướng vận tốc của nút cao su, nhưng không truyền năng lượng ròng cho nó.
05Vì sao có gia tốc không tự động đồng nghĩa với có công
Học sinh thường suy luận theo chuỗi sau:
Có lực nên có gia tốc. Nếu có gia tốc, vật phải tăng năng lượng.
Bước đầu tiên là đúng. Bước thứ hai thì không.
Gia tốc có nghĩa là vận tốc đang thay đổi. Vận tốc có thể thay đổi theo hai cách:
- độ lớn của nó có thể thay đổi, nghĩa là tốc độ thay đổi;
- hướng của nó có thể thay đổi.
Gia tốc hướng tâm trong chuyển động tròn đều chỉ gây ra thay đổi thứ hai.
Sự khác biệt này càng rõ hơn nếu bạn tách gia tốc thành các thành phần bán kính và tiếp tuyến.
Thành phần bán kính làm thay đổi hướng. Thành phần tiếp tuyến làm thay đổi tốc độ.
Vì vậy:
| Thành phần | Hướng | Tác dụng chính |
|---|---|---|
| Bán kính hoặc hướng tâm | Hướng về tâm | Làm thay đổi hướng vận tốc |
| Tiếp tuyến | Cùng hoặc ngược hướng chuyển động | Làm thay đổi tốc độ |
| Chuyển động tròn đều thuần túy | Chỉ có thành phần bán kính | Tốc độ không đổi |
Điều này cho bạn một quy tắc hữu ích khi làm bài thi: nếu vật chuyển động quanh một đường tròn có bán kính cố định nhưng tốc độ đang thay đổi, thì hợp lực phải có một thành phần tiếp tuyến ngoài thành phần bán kính.
Ví dụ có lời giải: Vật đang tăng tốc khi chuyển động quanh đường tròn
Một vật khối lượng \(1.5\) kg chuyển động quanh một đường tròn bán kính \(3.0\) m. Tại một thời điểm, tốc độ của nó là \(4.0\) m s\(^{-1}\), và gia tốc tiếp tuyến là \(2.0\) m s\(^{-2}\). Hãy tìm thành phần lực bán kính, thành phần lực tiếp tuyến, và tốc độ tức thời mà hợp lực đang thực hiện công.
Bước 1
\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{(4.0)^2}{3.0} =5.33\text{ m s}^{-2} \]
Bước 2
\[ F_r=ma_r =(1.5)(5.33) =8.0\text{ N} \]
Thành phần \(8.0\) N này hướng về tâm. Nó làm thay đổi hướng của vận tốc nhưng không sinh công tức thời.
Bước 3
\[ F_t=ma_t =(1.5)(2.0) =3.0\text{ N} \]
Vật đang tăng tốc, nên thành phần này cùng hướng chuyển động.
Bước 4
Công suất cho biết công được thực hiện nhanh đến mức nào. Đối với một thành phần lực song song với vận tốc,
\[ P=F_tv \]
trong đó \(P\) là công suất tính bằng watt (W).
Do đó,
\[ P=(3.0)(4.0)=12\text{ W} \]
Tại thời điểm đó, hợp lực đang truyền năng lượng cho vật với tốc độ \(12\) J mỗi giây.
Điểm quan trọng là thành phần hướng tâm \(8.0\) N vẫn không sinh công. Chính thành phần tiếp tuyến \(3.0\) N làm động năng tăng lên.
06Khi nào một lực hướng vào trong bắt đầu sinh công?
Phát biểu “lực hướng tâm không sinh công” dựa trên một điều kiện mà học sinh đôi khi quên: lực hướng vào trong phải vuông góc với vận tốc của vật.
Điều này được đảm bảo trong chuyển động lý tưởng quanh một đường tròn có bán kính cố định vì vận tốc tiếp tuyến với đường tròn.
Nếu bán kính thay đổi, tình huống có thể thay đổi.
Hãy tưởng tượng một vật trượt trên bàn ngang không ma sát, gắn với một sợi dây đi qua một lỗ ở tâm. Khi vật chuyển động quanh một đường tròn có bán kính không đổi, vận tốc của nó tiếp tuyến với đường tròn. Lực căng theo phương bán kính, nên lực căng không sinh công.
Bây giờ có người kéo sợi dây xuống qua lỗ.
Vật bắt đầu chuyển động vào trong đồng thời với chuyển động quanh lỗ.
Vận tốc của nó lúc này có hai thành phần:
- một thành phần tiếp tuyến quanh lỗ, và
- một thành phần bán kính hướng về lỗ.
Lực căng vẫn hướng vào trong, nhưng không còn vuông góc với tổng vận tốc. Khi đó lực căng có thể sinh công dương.
Đó là lý do “lực hướng vào trong nghĩa là công bằng không” không phải là một quy tắc an toàn.
Quy tắc an toàn là:
Một lực có công tức thời bằng không khi nó vuông góc với vận tốc tức thời của vật.
Đối với công suất, cùng ý tưởng được viết là
\[ P=\vec F\cdot\vec v \]
Nếu lực và vận tốc vuông góc, tích vô hướng bằng không. Nếu một phần vận tốc nằm dọc theo phương của lực, công suất sẽ khác không.
07Cách nhanh nhất để quyết định trong bài thi
Khi bạn gặp bài toán kết hợp công và chuyển động tròn, hãy kiểm tra các điều kiện sau thay vì ghi nhớ một khẩu hiệu.
- Bán kính có cố định không?
- Tốc độ có không đổi không?
- Lực mà bạn đang phân tích có hoàn toàn theo phương bán kính không?
- Lực đó có vuông góc với vận tốc tức thời không?
Trong chuyển động tròn đều lý tưởng, cả bốn câu trả lời đều là có. Hợp lực theo phương bán kính không sinh công.
Nếu tốc độ thay đổi, hãy tìm thành phần lực tiếp tuyến.
Nếu bán kính thay đổi, vận tốc có thể xuất hiện một thành phần bán kính, nên ngay cả một lực bán kính cũng có thể sinh công.
Nếu có nhiều lực thực tác dụng, đừng cho rằng mỗi lực riêng lẻ đều có công bằng không chỉ vì tổng tốc độ không đổi.
08Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một vật khối lượng \(0.75\) kg chuyển động với tốc độ không đổi \(6.0\) m s\(^{-1}\) trên một đường tròn nằm ngang bán kính \(1.5\) m.
Tính:
a. lực hướng tâm, và
b. công do lực hướng tâm thực hiện trong nửa vòng tròn.
Lời giải 1
Lực hướng tâm là \(18\) N hướng vào trong, và nó thực hiện \(0\) J công trong nửa vòng tròn.
Đối với phần a,
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]
Đối với phần b, chuyển động tức thời tiếp tuyến với đường tròn trong khi lực có phương bán kính. Chúng luôn vuông góc với nhau trong suốt chuyển động.
Vì vậy, mỗi phần đóng góp rất nhỏ vào công đều bằng không, nên
\[ W=0\text{ J} \]
Sai lầm dễ mắc là tính độ dài nửa đường tròn rồi nhân với \(18\) N. Cách đó bỏ qua việc công phụ thuộc vào hướng của lực so với từng độ dời, cũng như việc hướng của lực liên tục thay đổi.
Động năng của vật cũng xác nhận kết quả:
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]
Tốc độ không thay đổi, nên động năng vẫn là \(13.5\) J.
Câu hỏi 2
Một vệ tinh khối lượng \(500\) kg chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính \(7.0\times10^6\) m với tốc độ không đổi \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\). Giả sử trọng lực là lực duy nhất tác dụng.
a. Tính độ lớn của lực hấp dẫn.
b. Xác định công do trọng lực thực hiện trong nửa quỹ đạo.
c. Một học sinh lập luận rằng độ dời tổng thể của vệ tinh sau nửa quỹ đạo đi qua tâm, gần như cùng hướng với lực hấp dẫn ban đầu, nên trọng lực phải sinh công dương. Hãy giải thích điểm sai trong lập luận này.
Lời giải 2
Trọng lực có độ lớn khoảng \(4.0\times10^3\) N, nhưng nó thực hiện \(0\) J công trong nửa quỹ đạo.
Đối với phần a,
\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]
Đối với phần b, tốc độ của vệ tinh không đổi, nên động năng của nó không thay đổi.
Dùng định lý công-động năng,
\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]
Trọng lực là lực duy nhất, nên
\[ W_g=0\text{ J} \]
Đối với phần c, lập luận của học sinh đã sai khi coi trọng lực như thể hướng của nó cố định trong suốt nửa quỹ đạo.
Thực tế không phải vậy. Trọng lực luôn hướng từ vệ tinh về tâm Trái Đất, nên vectơ lực liên tục quay khi vệ tinh chuyển động.
Không thể ghép độ dời tổng thể từ điểm đầu đến điểm cuối với vectơ lực ban đầu trong một phép tính duy nhất \(W=Fs\cos\theta\) khi lực liên tục đổi hướng dọc theo quỹ đạo.
Tại mọi thời điểm, trọng lực có phương bán kính còn vận tốc của vệ tinh có phương tiếp tuyến. Tích vô hướng của chúng bằng không, nên trọng lực không sinh công.
Một cách kiểm tra bằng năng lượng cũng cho cùng kết luận: bán kính quỹ đạo không đổi, nên thế năng hấp dẫn của vệ tinh không đổi, và tốc độ không đổi nên động năng cũng không đổi.
Câu hỏi 3
Một vật khối lượng \(2.0\) kg chuyển động với tốc độ không đổi \(4.0\) m s\(^{-1}\) quanh một đường tròn bán kính \(4.0\) m.
Hai lực thực A và B tác dụng lên vật. Xét tương đối với vật tại mọi thời điểm:
- lực A có một thành phần \(6.0\) N hướng vào trong và một thành phần tiếp tuyến \(8.0\) N hướng về phía trước;
- lực B có các thành phần cần thiết để duy trì chuyển động tròn đều.
Xác định:
a. các thành phần bán kính và tiếp tuyến của lực B,
b. công suất tức thời do mỗi lực cung cấp, và
c. phát biểu “không lực nào sinh công vì chuyển động là chuyển động tròn đều” có đúng không.
Lời giải 3
Lực B phải có thành phần \(2.0\) N hướng vào trong và thành phần tiếp tuyến \(8.0\) N hướng về phía sau; lực A cung cấp \(+32\) W, lực B cung cấp \(-32\) W, và phát biểu rằng không lực nào sinh công là sai.
Trước tiên, tìm lực bán kính tổng hợp cần thiết:
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]
Lực A đã cung cấp \(6.0\) N hướng vào trong, nên lực B phải cung cấp phần còn lại là
\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N hướng vào trong} \]
Chuyển động tròn đều cũng đòi hỏi hợp lực tiếp tuyến bằng không vì tốc độ không đổi.
Lực A có thành phần tiếp tuyến \(8.0\) N hướng về phía trước, nên lực B phải có thành phần tiếp tuyến \(8.0\) N hướng về phía sau.
Đối với lực A, chỉ thành phần tiếp tuyến của nó góp phần vào công suất:
\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]
Dấu dương xuất hiện vì thành phần này cùng hướng với chuyển động.
Đối với lực B,
\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]
Thành phần tiếp tuyến của lực B lấy năng lượng ra khỏi vật với cùng tốc độ.
Do đó,
\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]
Các thành phần bán kính không sinh công vì chúng vuông góc với vận tốc.
Cách suy luận dễ mắc sai lầm là nghe thấy “chuyển động tròn đều” rồi kết luận rằng mọi lực đều phải có công bằng không. Điều mà chuyển động tròn đều thực sự đảm bảo là công tổng cộng bằng không. Các lực riêng lẻ có thể truyền năng lượng theo các chiều ngược nhau trong khi tổng động năng vẫn không thay đổi.
Câu hỏi 4
Một hạt nhỏ khối lượng \(0.50\) kg được truyền động với tốc độ không đổi quanh một đường ray tròn thẳng đứng nhẵn có bán kính \(1.20\) m. Một động cơ có thể tác dụng lực tiếp tuyến với đường ray khi cần thiết. Tốc độ của hạt luôn là \(4.0\) m s\(^{-1}\) trong suốt chuyển động.
Lấy \(g=9.8\) m s\(^{-2}\).
a. Tìm công do trọng lực thực hiện khi hạt chuyển động từ đáy lên đỉnh đường tròn.
b. Tìm công do động cơ thực hiện trong cùng hành trình.
c. Phản lực pháp tuyến của đường ray thực hiện bao nhiêu công?
d. Ở phía bên phải của đường tròn, khi hạt đang chuyển động lên trên, hãy xác định lực tiếp tuyến mà động cơ phải tác dụng.
e. Công tổng cộng của động cơ trong một vòng tròn hoàn chỉnh bằng không. Điều đó có nghĩa là động cơ không bao giờ truyền năng lượng vào hoặc ra khỏi hạt hay không?
Lời giải 4
Trọng lực thực hiện \(-11.8\) J công từ đáy lên đỉnh, động cơ thực hiện \(+11.8\) J, phản lực pháp tuyến thực hiện \(0\) J, và ở phía bên phải động cơ phải cung cấp lực \(4.9\) N hướng lên dọc theo đường ray. Công của động cơ bằng không sau một vòng hoàn chỉnh không có nghĩa là không có sự truyền năng lượng tại mọi thời điểm.
Từ đáy lên đỉnh, hạt tăng độ cao một khoảng bằng đường kính của đường tròn:
\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]
Công của trọng lực bằng âm của độ thay đổi thế năng hấp dẫn:
\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]
Vì vậy,
\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]
Tốc độ của hạt không đổi, nên
\[ \Delta K=0 \]
và do đó tổng công phải bằng không.
Phản lực pháp tuyến luôn vuông góc với chuyển động tức thời của hạt dọc theo đường ray, nên
\[ W_N=0 \]
Do đó, động cơ phải bù chính xác lượng năng lượng bị trọng lực lấy đi:
\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]
\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]
nên
\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]
Ở phía bên phải của đường tròn, hạt đang chuyển động thẳng đứng lên trên. Trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới, hoàn toàn ngược hướng chuyển động.
Để giữ tốc độ không đổi, hợp lực tiếp tuyến phải bằng không. Vì vậy, động cơ cung cấp một lực tiếp tuyến hướng lên bằng trọng lượng của hạt:
\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]
Trong nửa vòng đi xuống, trọng lực sinh công dương. Để ngăn hạt tăng tốc, động cơ phải lấy năng lượng đó ra bằng cách sinh công âm.
Trong một vòng hoàn chỉnh, các phần công dương và âm đó triệt tiêu nhau.
Sai lầm dễ mắc là suy luận rằng tốc độ không đổi nghĩa là mọi lực đều sinh công bằng không. Tốc độ không đổi chỉ yêu cầu tổng công bằng không. Trong trường hợp này, trọng lực và động cơ trao đổi năng lượng với hạt, còn phản lực pháp tuyến theo phương bán kính không sinh công.
Câu hỏi 5
Một vật trượt khối lượng \(0.40\) kg chuyển động trên một mặt bàn ngang không ma sát và được nối với một sợi dây đi qua một lỗ nhỏ trên bàn.
Ban đầu vật chuyển động quanh lỗ. Sau đó một người làm thí nghiệm kéo sợi dây xuống dưới. Tại một thời điểm:
- vận tốc tiếp tuyến của vật là \(3.0\) m s\(^{-1}\),
- vận tốc bán kính của nó là \(0.25\) m s\(^{-1}\) hướng vào trong, và
- lực căng dây là \(18\) N hướng vào trong.
Trong \(0.12\) m chuyển động theo phương bán kính vào trong tiếp theo, lực căng tăng tuyến tính từ \(18\) N lên \(30\) N. Giả sử lực căng là lực duy nhất sinh công lên vật.
a. Tìm công suất tức thời do lực căng cung cấp tại thời điểm ban đầu.
b. Tìm công do lực căng thực hiện trong \(0.12\) m chuyển động vào trong.
c. Tìm tốc độ cuối của vật.
d. Giải thích vì sao kết quả này không mâu thuẫn với phát biểu rằng lực hướng tâm không sinh công.
Lời giải 5
Ban đầu lực căng cung cấp \(4.5\) W, nó thực hiện \(2.88\) J công dương trong chuyển động vào trong, và tốc độ cuối của vật xấp xỉ \(4.84\) m s\(^{-1}\). Không có mâu thuẫn vì vật không còn chuyển động tròn đều với bán kính cố định.
Tại thời điểm ban đầu, lực căng hướng theo phương bán kính vào trong. Vật lúc này có một thành phần vận tốc bán kính \(0.25\) m s\(^{-1}\) hướng vào trong.
Chỉ thành phần vận tốc dọc theo phương của lực mới góp phần vào công suất, nên
\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]
Công suất là dương vì lực và chuyển động theo phương bán kính cùng hướng.
Trong \(0.12\) m tiếp theo, lực căng thay đổi tuyến tính từ \(18\) N lên \(30\) N. Vì vậy, giá trị trung bình của nó trên độ dời đó là
\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]
Lực và độ dời theo phương bán kính cùng hướng, nên
\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]
Theo định lý công-động năng,
\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]
Bây giờ hãy tìm tốc độ toàn phần ban đầu. Các thành phần vận tốc bán kính và tiếp tuyến vuông góc với nhau, nên
\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]
Động năng ban đầu là
\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]
Do đó,
\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]
Dùng \(K_f=\frac12mv_f^2\),
\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]
\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]
\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]
Câu trả lời dễ bị chọn nhầm là \(0\) J vì lực căng “hướng về tâm”. Điều đó chỉ đúng khi vật chuyển động quanh một đường tròn có bán kính cố định với vận tốc hoàn toàn theo phương tiếp tuyến.
Khi sợi dây được kéo vào trong, vật có chuyển động theo phương bán kính. Vì vậy, lực căng không còn vuông góc với tổng vận tốc của vật.
Việc gọi một lực là “hướng vào trong” không tự động khiến công của nó bằng không. Kết quả công bằng không xuất phát từ việc lực và vận tốc vuông góc với nhau trong chuyển động tròn lý tưởng có bán kính cố định.
09Kiến thức này giúp bạn phân tích điều gì tiếp theo
Sự phân biệt hữu ích thực ra không phải là “lực trong chuyển động tròn so với lực thông thường”. Mà là thành phần bán kính so với thành phần tiếp tuyến.
Một thành phần lực bán kính có thể làm quay vectơ vận tốc mà không làm thay đổi tốc độ. Một thành phần tiếp tuyến làm thay đổi tốc độ và do đó làm thay đổi động năng. Nếu chính bán kính bắt đầu thay đổi, ngay cả một lực bán kính cũng có thể truyền năng lượng vì lúc này vật có chuyển động theo phương bán kính.
Sự phân tách này là điều bạn cần cho các bài toán chuyển động tròn khó hơn liên quan đến tốc độ biến đổi, đường tròn thẳng đứng, chuyển động quỹ đạo, và các tình huống trong đó nhiều lực thực cùng góp phần tạo nên chuyển động.