Pistas peraltadas: fuerza normal y velocidad de diseño en Física HSC

Un automóvil entra en una curva en una carretera plana. Si los neumáticos no proporcionan fricción lateral, el automóvil no puede seguir la curva. En su lugar, sigue intentando moverse a lo largo de la tangente.

Ahora inclina la carretera de modo que el borde exterior quede más alto. ¿Podría el automóvil girar incluso si la fricción lateral desapareciera por completo? Antes de seguir leyendo, predice de dónde podría provenir la fuerza dirigida hacia el centro. Solo queda una fuerza de contacto, aparte del peso: la fuerza normal ejercida por la carretera.

Ese es el propósito de una pista peraltada. Al inclinar la carretera, también se inclina la fuerza normal, lo que le da una componente horizontal dirigida hacia el centro de la curva. Pero hay una condición: para un radio y un ángulo de peralte determinados, solo una velocidad permite describir una trayectoria circular perfectamente horizontal sin depender de la fricción.

01Por qué el peralte cambia la fuerza normal

En una carretera plana, la fuerza normal \(N\) apunta verticalmente hacia arriba. Si no hay aceleración vertical, simplemente equilibra el peso \(mg\) del automóvil.

Una carretera peraltada es diferente. La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie de la carretera, por lo que inclinar la carretera también inclina \(N\).

Imagina a un portero de seguridad empujándote para alejarte de una pared. Si el portero está erguido, el empuje es recto. Si se inclina mientras empuja, ese mismo empuje pasa a tener una componente vertical y otra lateral. La fuerza normal se comporta de manera parecida: el peralte hace que una sola fuerza tenga componentes en dos direcciones.

La analogía termina ahí. Una fuerza normal no es una persona que elige una dirección. Su dirección está determinada por la superficie, y su magnitud está determinada por el movimiento del automóvil y por las demás fuerzas.

Supongamos que la carretera está peraltada un ángulo \(\theta\) respecto de la horizontal. Como la fuerza normal es perpendicular a la carretera, \(N\) está inclinada el mismo ángulo \(\theta\) respecto de la vertical.

Descompón \(N\) en dos componentes:

• \(N\cos\theta\) actúa verticalmente hacia arriba.
• \(N\sin\theta\) actúa horizontalmente hacia el centro de la trayectoria circular.

Esta segunda componente es la que puede producir la aceleración centrípeta necesaria.

Esta forma de expresarlo es importante. No existe una fuerza separada llamada «fuerza centrípeta» que aparezca además de \(N\). La fuerza centrípeta describe la fuerza neta dirigida hacia el centro que se necesita para el movimiento circular. Si esta distinción no está clara, repasa cómo identificar la fuerza real que proporciona la fuerza centrípeta.

02Construcción de la ecuación de la velocidad de diseño

Supongamos que el automóvil se mueve alrededor de un círculo horizontal de radio \(r\), sin fricción lateral.

Su aceleración vertical es cero, así que las fuerzas verticales deben equilibrarse:

\[ N\cos\theta = mg \]

donde:

• \(N\) es la fuerza normal en newtons,
• \(\theta\) es el ángulo de peralte,
• \(m\) es la masa del automóvil en kilogramos, y
• \(g\) es la aceleración gravitatoria, aproximadamente \(9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Horizontalmente, el automóvil necesita una aceleración dirigida hacia el centro de

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

por lo que la fuerza neta necesaria hacia el centro es

\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

La componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro proporciona esta fuerza:

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

Ahora tenemos dos ecuaciones que describen la misma fuerza normal:

\[ N\cos\theta=mg \]

y

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

Divide la segunda ecuación entre la primera:

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg}. \]

\(N\), \(m\) y varias otras distracciones desaparecen:

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

Al despejar, obtenemos la velocidad de diseño sin fricción:

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

Esta es la relación clave para una pista peraltada.

Observa que la masa se ha cancelado. Un automóvil más pesado no tiene una velocidad ideal diferente simplemente por ser más pesado. Necesita una fuerza centrípeta mayor, pero su mayor peso también produce una fuerza normal proporcionalmente mayor.

03Por qué solo hay una velocidad sin fricción

Una predicción tentadora es pensar que cualquier velocidad inferior a la velocidad de diseño también debería funcionar. Al fin y al cabo, un automóvil más lento necesita menos fuerza centrípeta.

El problema es que el peralte fija la dirección de la fuerza normal.

La razón entre su componente hacia el centro y su componente vertical es

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta}=\tan\theta. \]

Esa razón no puede cambiar a menos que cambie el ángulo de peralte.

Sin embargo, para una trayectoria circular horizontal, la razón necesaria es

\[ \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}. \]

Por tanto, la geometría de la carretera exige una razón, mientras que la velocidad y el radio del automóvil exigen otra. Solo coinciden cuando

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

Por eso la velocidad de diseño no es simplemente una velocidad conveniente. En el modelo ideal sin fricción, es la única velocidad que permite que ese radio y ese ángulo de peralte produzcan una trayectoria circular horizontal.

04¿Qué cambia cuando la velocidad no es la adecuada?

Las carreteras y pistas reales tienen fricción, por lo que los automóviles no están restringidos a una única velocidad exacta.

Pero antes de añadir ecuaciones, predice la dirección de la fricción.

Supongamos que el automóvil se desplaza más lentamente que la velocidad de diseño sin fricción. ¿Apunta la fricción más hacia el centro o más hacia el exterior?

A baja velocidad, el automóvil tiende a desplazarse cuesta abajo por la pendiente, hacia el lado inferior e interior del peralte. Por tanto, la fricción actúa cuesta arriba, hacia el lado superior y exterior.

A alta velocidad ocurre lo contrario. El efecto hacia el centro disponible debido a la geometría de la fuerza normal sin fricción no es suficiente para la curvatura requerida a esa velocidad, por lo que el automóvil tiende a desplazarse hacia el lado exterior y más alto. La fricción actúa cuesta abajo por la pendiente, añadiendo una componente hacia el centro.

Los tres casos son:

Ten cuidado con el lenguaje en el caso de alta velocidad. No existe ninguna misteriosa «fuerza hacia afuera» real que actúe sobre el automóvil en un sistema de referencia inercial. La velocidad del automóvil tiende a continuar más aproximadamente a lo largo de una tangente, a menos que una fuerza suficiente hacia el centro curve su trayectoria.

Aquí hay otra trampa importante: la fricción no es automáticamente \(f=\mu N\).

La fricción estática se ajusta al valor que sea necesario, hasta alcanzar su máximo:

\[ f\leq\mu_sN. \]

Solo cuando los neumáticos están justo a punto de deslizarse lateralmente se puede establecer

\[ f=\mu_sN, \]

donde \(\mu_s\) es el coeficiente de fricción estática.

05Descomposición de la fricción en un peralte

Si el automóvil está por debajo de la velocidad de diseño, la fricción actúa cuesta arriba por la pendiente.

Sus componentes son:

• \(f\cos\theta\) horizontalmente hacia afuera,
• \(f\sin\theta\) verticalmente hacia arriba.

Las ecuaciones de fuerzas pasan a ser

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

y

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

Por encima de la velocidad de diseño, la fricción actúa cuesta abajo por la pendiente. Los signos se invierten:

\[ N\sin\theta+f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

y

\[ N\cos\theta-f\sin\theta=mg. \]

No necesitas memorizar cuatro signos a ciegas. Dibuja la fuerza en la dirección que se opone al deslizamiento lateral inminente y después descomponla.

Este enfoque es mucho más seguro en un examen.

06Lo que el modelo ideal deja fuera

La ecuación de la velocidad de diseño

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta} \]

solo es exacta para el modelo que hemos construido.

Supone que:

• el automóvil sigue un círculo horizontal de radio fijo,
• no hay fricción lateral,
• la carretera tiene un ángulo de peralte definido,
• el automóvil puede tratarse como una partícula para el análisis de fuerzas, y
• la aceleración vertical es cero.

Los vehículos reales también presentan movimiento de la suspensión, deformación de los neumáticos, fuerzas aerodinámicas, cambios en la superficie de la carretera y límites en la adherencia de los neumáticos. Esos detalles son importantes en ingeniería, pero no cambian la idea central de HSC: el peralte redirige la fuerza de contacto para que una parte de ella pueda proporcionar la aceleración necesaria hacia el centro.

07Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Una curva de radio \(40.0\ \text{m}\) está peraltada \(10.0^\circ\). Supón que no hay fricción.

Calcula la velocidad de diseño.

Solución 1

La velocidad de diseño es \(8.31\ \text{m s}^{-1}\), o aproximadamente \(29.9\ \text{km/h}\).

Para una curva peraltada sin fricción,

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

Sustituyendo \(r=40.0\ \text{m}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) y \(\theta=10.0^\circ\),

\[ v = \sqrt{(40.0)(9.8)\tan10.0^\circ} = \sqrt{69.1} = 8.31\ \text{m s}^{-1}. \]

El error tentador es utilizar \(mg\tan\theta\) como expresión de la velocidad porque el peso aparece en el diagrama de fuerzas. La masa se cancela cuando se dividen las ecuaciones vertical y horizontal, por lo que la velocidad de diseño depende únicamente de \(r\), \(g\) y \(\theta\).

Pregunta 2

Un automóvil de \(950\ \text{kg}\) se mueve por una curva peraltada sin fricción de radio \(90.0\ \text{m}\). Un sensor de fuerza indica que la carretera ejerce una fuerza normal de \(9.92\ \text{kN}\) sobre el automóvil.

Determina:

a. el ángulo de peralte, y
b. la velocidad del automóvil.

Solución 2

El ángulo de peralte es aproximadamente \(20.2^\circ\), y la velocidad del automóvil es aproximadamente \(18.0\ \text{m s}^{-1}\).

Primero utiliza el equilibrio de fuerzas verticales. El automóvil no tiene aceleración vertical, por lo que

\[ N\cos\theta=mg. \]

Aquí,

\[ N=9.92\ \text{kN}=9920\ \text{N} \]

y

\[ mg=(950)(9.8)=9310\ \text{N}. \]

Por tanto,

\[ \cos\theta = \frac{9310}{9920} = 0.9385, \]

de modo que

\[ \theta=\cos^{-1}(0.9385)\approx20.2^\circ. \]

Ahora utiliza la relación de la pista peraltada:

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

Por tanto,

\[ v = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(90.0)(9.8)\tan20.2^\circ} \approx 18.0\ \text{m s}^{-1}. \]

Una estrategia tentadora es suponer que \(N=mg\). Eso es cierto en una superficie horizontal sin ninguna otra geometría de fuerzas verticales, pero no aquí. La fuerza normal debe tener componentes tanto verticales como horizontales, por lo que su magnitud es mayor que \(mg\).

Pregunta 3

Un automóvil de \(1000\ \text{kg}\) recorre una curva de radio \(70.0\ \text{m}\) peraltada \(16.0^\circ\).

El automóvil circula al \(75\%\) de la velocidad de diseño sin fricción, pero sigue la misma trayectoria circular horizontal.

Determina:

a. la velocidad de diseño sin fricción,
b. la dirección de la fuerza de fricción, y
c. el coeficiente mínimo de fricción estática necesario.

Solución 3

La velocidad de diseño es \(14.0\ \text{m s}^{-1}\), la fricción actúa cuesta arriba por el peralte y el coeficiente mínimo de fricción estática es aproximadamente \(0.120\).

Primero halla la velocidad de diseño:

\[ v_d = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(70.0)(9.8)\tan16.0^\circ} = 14.0\ \text{m s}^{-1}. \]

La velocidad real es

\[ v=0.75v_d=(0.75)(14.0)=10.5\ \text{m s}^{-1}. \]

Como el automóvil se desplaza por debajo de la velocidad de diseño, tendería a deslizarse cuesta abajo por el peralte. Por tanto, la fricción estática debe actuar cuesta arriba por el peralte.

Sea \(f\) la fuerza de fricción necesaria.

Para la fricción que actúa cuesta arriba por la pendiente,

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

y

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

La fuerza necesaria hacia el centro es

\[ \frac{mv^2}{r} = \frac{(1000)(10.5)^2}{70.0} \approx 1.58\times10^3\ \text{N}. \]

Al descomponer la fuerza resultante necesaria en direcciones perpendicular y paralela al peralte se obtiene

\[ N = \left(\frac{mv^2}{r}\right)\sin\theta + mg\cos\theta \approx 9.86\times10^3\ \text{N}, \]

y

\[ f = mg\sin\theta - \left(\frac{mv^2}{r}\right)\cos\theta \approx 1.18\times10^3\ \text{N}. \]

En el valor límite,

\[ f=\mu_sN. \]

Por tanto,

\[ \mu_s = \frac{f}{N} = \frac{1.18\times10^3}{9.86\times10^3} \approx 0.120. \]

El punto sutil es la dirección. Es tentador decir que la fricción debe apuntar hacia el centro porque el movimiento circular requiere una fuerza hacia el centro. Sin embargo, a esta baja velocidad, la fuerza normal de la superficie peraltada ya proporciona una componente hacia el centro demasiado grande en relación con la necesaria mientras sostiene al automóvil verticalmente. La fricción apunta cuesta arriba por la pendiente, proporcionando una componente hacia afuera que reduce la fuerza neta hacia el centro.

Pregunta 4

Una pista tiene dos carriles concéntricos con el mismo ángulo de peralte de \(20.0^\circ\).

El carril interior tiene un radio de \(50.0\ \text{m}\), y el carril exterior tiene un radio de \(80.0\ \text{m}\).

El automóvil A circula por el carril interior a su velocidad de diseño sin fricción. El automóvil B circula por el carril exterior y completa cada vuelta exactamente en el mismo tiempo que el automóvil A.

a. Halla la velocidad del automóvil A y su tiempo por vuelta.
b. Halla la velocidad del automóvil B.
c. Halla la velocidad de diseño sin fricción para el carril exterior.
d. Decide si el automóvil B puede circular sin fricción y determina en qué dirección tendría que actuar la fricción.
e. Demuestra de forma general por qué dos radios diferentes con el mismo ángulo de peralte no pueden ser ambos sin fricción si los automóviles también tienen el mismo tiempo por vuelta.

Solución 4

El automóvil B no puede circular sin fricción. Se desplaza más rápido que la velocidad de diseño del carril exterior, por lo que la fricción debe actuar cuesta abajo por el peralte.

Para el automóvil A,

\[ v_A = \sqrt{r_1g\tan\theta} = \sqrt{(50.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 13.35\ \text{m s}^{-1}. \]

La circunferencia de la trayectoria interior es \(2\pi r_1\), por lo que su período es

\[ T = \frac{2\pi r_1}{v_A} = \frac{2\pi(50.0)}{13.35} = 23.5\ \text{s}. \]

El automóvil B tiene el mismo período, pero un radio mayor. Por tanto, su velocidad es

\[ v_B = \frac{2\pi r_2}{T} = \frac{2\pi(80.0)}{23.5} = 21.4\ \text{m s}^{-1}. \]

La velocidad de diseño sin fricción a \(80.0\ \text{m}\) es

\[ v_{d,2} = \sqrt{(80.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 16.9\ \text{m s}^{-1}. \]

Como

\[ 21.4\ \text{m s}^{-1}>16.9\ \text{m s}^{-1}, \]

el automóvil B está por encima de su velocidad de diseño. Tiende a desplazarse hacia el lado exterior y más alto del peralte, por lo que la fricción debe actuar cuesta abajo por la pendiente.

La razón más profunda aparece al comparar las leyes de proporcionalidad.

Para un ángulo de peralte fijo,

\[ v_d=\sqrt{rg\tan\theta}, \]

por lo que

\[ v_d\propto\sqrt r. \]

Pero si dos automóviles tienen el mismo período,

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

por lo que

\[ v\propto r. \]

Por tanto, la velocidad lineal aumenta con el radio más rápidamente que la velocidad de diseño sin fricción.

De manera más formal, como el automóvil A está a su velocidad de diseño,

\[ v_A^2=r_1g\tan\theta. \]

Tener períodos iguales exige

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{r_2}{r_1}. \]

Mientras tanto,

\[ \frac{v_{d,2}}{v_A} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

Por tanto,

\[ \frac{v_B}{v_{d,2}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

Para cualquier \(r_2>r_1\), esta razón es mayor que \(1\).

La suposición tentadora es que un ángulo de peralte corresponde a un único tiempo por vuelta. No es así. El peralte fija la relación entre la velocidad lineal y el radio, mientras que los tiempos por vuelta iguales imponen una relación diferente. Esas dos condiciones son incompatibles para dos radios distintos.

Pregunta 5

Una curva de radio \(60.0\ \text{m}\) está peraltada \(15.0^\circ\). El coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera es \(0.300\).

Un estudiante afirma:

«Una curva peraltada con fricción siempre debe tener una velocidad mínima y una máxima».

Investiga la afirmación.

a. Determina si un automóvil estacionario puede permanecer en reposo sobre este peralte sin deslizarse.
b. A partir de ello, determina la verdadera velocidad mínima permitida.
c. Calcula la velocidad máxima antes de que el automóvil empiece a deslizarse cuesta arriba por el peralte.
d. Explica por qué intentar calcular una velocidad límite inferior positiva puede producir un valor negativo aparentemente imposible para \(v^2\).

Solución 5

La afirmación del estudiante es falsa para esta curva: la velocidad mínima es \(0\), mientras que la velocidad máxima es aproximadamente \(19.1\ \text{m s}^{-1}\).

Empieza con el caso límite \(v=0\). Esta es la parte que resulta fácil pasar por alto.

Si el automóvil está estacionario, la gravedad tiende a hacerlo deslizarse cuesta abajo por el peralte. Por tanto, la fricción estática actúa cuesta arriba por el peralte.

Al descomponer las fuerzas perpendicularmente a la pendiente se obtiene

\[ N=mg\cos\theta. \]

La fricción necesaria a lo largo de la pendiente es

\[ f=mg\sin\theta. \]

Por tanto, la razón de fricción necesaria es

\[ \frac{f}{N} = \frac{mg\sin\theta}{mg\cos\theta} = \tan\theta. \]

Para \(\theta=15.0^\circ\),

\[ \tan15.0^\circ=0.268. \]

El coeficiente disponible es

\[ \mu_s=0.300. \]

Como

\[ 0.268<0.300, \]

la fricción estática es suficientemente grande para mantener el automóvil en reposo incluso cuando su velocidad es cero.

Por tanto, la velocidad mínima real es

\[ v_{\min}=0. \]

Para la velocidad máxima, el automóvil está a punto de deslizarse cuesta arriba por el peralte. Por tanto, la fricción actúa cuesta abajo por el peralte con su magnitud límite

\[ f=\mu_sN. \]

La ecuación de fuerzas hacia el centro es

\[ N\sin\theta+\mu_sN\cos\theta = \frac{mv^2}{r}, \]

mientras que el equilibrio vertical da

\[ N\cos\theta-\mu_sN\sin\theta=mg. \]

Divide la primera ecuación entre la segunda:

\[ \frac{v^2}{rg} = \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta}. \]

Por tanto,

\[ v = \sqrt{ rg \left( \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \right) }. \]

Sustituyendo \(r=60.0\ \text{m}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\), \(\theta=15.0^\circ\) y \(\mu_s=0.300\),

\[ v = \sqrt{ (60.0)(9.8) \left( \frac{\sin15.0^\circ+(0.300)\cos15.0^\circ} {\cos15.0^\circ-(0.300)\sin15.0^\circ} \right) } \]

\[ v\approx19.1\ \text{m s}^{-1}. \]

Por tanto,

\[ v_{\max}\approx19.1\ \text{m s}^{-1}, \]

o aproximadamente \(68.6\ \text{km/h}\).

Ahora viene la parte extraña.

Si supones que debe existir una velocidad límite inferior en la que la fricción ya haya alcanzado su valor máximo cuesta arriba por la pendiente, las ecuaciones conducen a

\[ \frac{v_{\min}^2}{rg} = \frac{\sin\theta-\mu_s\cos\theta} {\cos\theta+\mu_s\sin\theta}. \]

Aquí,

\[ \sin15.0^\circ-(0.300)\cos15.0^\circ<0. \]

Esto daría \(v_{\min}^2<0\), algo que ninguna velocidad real puede satisfacer.

El resultado negativo no es un fallo matemático. Es una evidencia de que la situación física supuesta no existe.

La derivación suponía que, en el límite inferior de velocidad, la fricción había alcanzado su máximo valor posible. Pero cuando \(v=0\), el automóvil solo necesita

\[ \frac{f}{N}=\tan15.0^\circ=0.268, \]

que es menor que el \(0.300\) disponible.

La fricción estática no tiene por qué utilizar su valor máximo. Simplemente se ajusta al valor menor que sea necesario. Por tanto, no existe un límite inferior positivo de velocidad.

Ese es el punto clave del problema: un resultado matemático extraño puede revelar que una de las suposiciones físicas utilizadas para construir la ecuación era incorrecta.

08Con qué se conectan después las pistas peraltadas

Las curvas peraltadas reúnen tres ideas: componentes de fuerzas, aceleración circular y la relación entre velocidad y radio. Una vez que el diagrama de fuerzas está claro, los cambios de radio o de tiempo por vuelta resultan mucho más fáciles de analizar porque puedes combinar

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

con las fuerzas de contacto adecuadas en lugar de buscar una fórmula nueva cada vez.

El siguiente paso útil es relacionar este análisis de fuerzas con la velocidad, el radio y el período en el movimiento circular uniforme. Esto te permite pasar de la geometría de una pista a su velocidad de diseño y al tiempo necesario para completar una vuelta.