HSC Physics 法拉第定律：计算感应电动势

假设一个线圈置于磁场中，而磁场强度增加至原来的两倍。你可能会预测感应电动势必定会增加。但如果线圈同时旋转，使穿过线圈的磁场变少，又会怎样？

在继续之前，先作一个预测：磁场发生变化，是否一定会自动产生感应电动势？

不一定。法拉第定律并不是单独对磁场强度作出反应，而是对磁通链的变化率作出反应。如果一个变化使磁通量增加，而另一个变化恰好使磁通量减少相同的量，那么感应电动势可以是零。

法拉第定律所给出的计算就是：

\[ \mathcal{E}=-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t} \]

重点在于理解 \(N\Phi\) 代表甚么、甚么因素可以使它改变，以及负号告诉你甚么。

01实际上改变的是甚么？

想像一个单匝导线回路置于磁场中。部分磁场会穿过回路所包围的面积。

一个有用的心像模型，是把一个圆环放在落下的雨中。如果圆环正面朝向雨水，会有很多雨穿过它；如果把它转到几乎侧面朝向雨水，就几乎没有雨穿过。较大的圆环也会接到更多雨。

对磁场而言，相对应的物理量就是磁通量 \(\Phi\)。它量度有多少磁场穿过一匝线圈。

这个比喻有其限制。磁力线并不是实际穿过线圈的物质细线，而磁通量也不是会被困在线圈内的某种物质。这个图像只是帮助我们思考面积和方向。

现在假设导线不是一匝，而是有 100 匝。每一匝都有相同的磁通量穿过，因此整体效果会乘以 100。这就得到磁通链：

\[ \lambda=N\Phi \]

其中：

• \(\lambda\) 是磁通链，通常以韦伯匝（weber-turns）描述，
• \(N\) 是线圈的匝数，而
• \(\Phi\) 是穿过一匝的磁通量，以韦伯 \(\text{Wb}\) 为单位。

法拉第定律关注的是这个磁通链改变得有多快。

02在法拉第定律之前，先看磁通量

对于穿过平面线圈的均匀磁场，

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

其中 \(B\) 是以特斯拉 \(\text{T}\) 为单位的磁场强度，\(A\) 是一匝线圈的面积，以平方米 \(\text{m}^2\) 为单位，而 \(\theta\) 是磁场与垂直于线圈平面的直线之间的夹角。

最后这一句很容易造成错误。角度是从线圈的法线量起，而不是从线圈表面量起。

如果你对这个几何关系仍不太掌握，可以先复习磁通量与 \(\Phi=BA\cos\theta\)，再继续下去。

由于

\[ N\Phi=NBA\cos\theta, \]

所以磁通链可以因为 \(B\)、\(A\) 或 \(\theta\) 发生变化而改变。法拉第定律并不在乎是哪一个因素造成这个变化。

03法拉第定律把磁通量变化转换成电动势

对于匝数固定的线圈，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

或者等价地，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t}. \]

这里，\(\mathcal{E}_{\text{平均}}\) 是以伏特 \(\text{V}\) 为单位的平均感应电动势，而 \(\Delta t\) 是以秒 \(\text{s}\) 为单位的时间间隔。

其大小为

\[ |\mathcal{E}_{\text{平均}}| =\frac{|\Delta(N\Phi)|}{\Delta t}. \]

这本质上就像计算速度。速度告诉你位置改变得有多快；法拉第定律则告诉你磁通链改变得有多快。

如果磁通链在 \(1.0\ \text{s}\) 内改变 \(3.0\ \text{Wb-turn}\)，平均电动势的大小就是 \(3.0\ \text{V}\)。如果相同大小的变化只需 \(0.10\ \text{s}\)，则会得到 \(30\ \text{V}\)。

相同的变化。较短的时间。较大的变化率。

以下单位关系很有用：

\[ 1\ \text{V}=1\ \text{Wb s}^{-1}. \]

04负号代表甚么？

假设穿过线圈的正磁通量正在增加。相对于你在电路中所选定的正方向，法拉第定律会给出负的电动势。

这个负号就是楞次定律的数学形式。感应效应所反抗的是磁通量的变化，而不一定是磁场本身。

如果正磁通量正在增加，感应电流会产生一个磁场，倾向于反抗这个增加。

如果正磁通量正在减少，感应电流会产生一个磁场，倾向于维持原有的磁通量。

因此，在题目要求方向时，通常最稳妥的做法是先计算大小，再另外分析方向。

05一套可靠的计算方法

当你遇到法拉第定律的计算题时，每次都可以依照相同的步骤：

1. 判断甚么发生了变化：\(B\)、\(A\)、\(\theta\)，或它们的某种组合。
2. 使用 \(\Phi=BA\cos\theta\) 计算初始和最终磁通量。检查题目给出的角度是从线圈平面量起，还是从其法线量起。
3. 求磁通链的变化：\(\Delta(N\Phi)=N(\Phi_f-\Phi_i)\)。
4. 除以时间间隔，得到平均电动势。
5. 如果题目要求方向，利用负号和楞次定律判断感应效应必须反抗哪一个变化。

这个方法比尝试直接找捷径稍长，但面对困难得多的题目时仍然可靠。

06容易掉进的误区：\(B\) 改变就代表会有感应电动势

想像一个线圈完全静止在稳定的 \(5.0\ \text{T}\) 磁场中。它的磁通量可能很大，但磁通链并没有改变。

因此：

\[ \Delta(N\Phi)=0 \]

所以

\[ \mathcal{E}=0. \]

单单有很大的磁通量并不足够。你需要的是磁通链的变化。

现在把情况反过来。假设磁场强度完全保持不变，但线圈旋转。角度 \(\theta\) 发生变化，所以 \(BA\cos\theta\) 也会改变。即使 \(B\) 从未改变，仍会产生感应电动势。

还有一种更不容易察觉的可能性。\(B\) 和 \(\theta\) 可以同时改变，而磁通量仍然保持不变。例如，如果 \(B\) 增加至两倍，而 \(\cos\theta\) 减半，那么 \(B\cos\theta\) 就不会改变。如果 \(N\) 和 \(A\) 也保持不变，磁通链就没有改变，因此不会产生感应电动势。

法拉第定律关注的是整个乘积，而不是孤立地看某一个变数。

07平均电动势可能掩盖中间发生的事

对于有限时间间隔内的变化，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t}. \]

这告诉你两个端点之间的平均电动势。

如果磁通链以恒定速率改变，那么这个平均值也就是整个时间间隔内的电动势。

但假设磁通链在前半秒上升，然后在下一个半秒下降回原来的数值。整整一秒内的总变化是零，因此这一整秒的平均电动势也是零。

这并不代表整整一秒内的电动势一直都是零。

在任何特定瞬间，法拉第定律可以写成

\[ \mathcal{E}=-\frac{d(N\Phi)}{dt}. \]

对大多数 HSC 题目来说，你不需要使用复杂的微积分。重要的概念是，电动势取决于当下的变化率。当你计算较长时间间隔内的平均值时，正、负电动势可以互相抵消。

还有一个重要区别。即使电路是开路，也可以存在感应电动势。只有在存在导电通路时，电流才会流动。法拉第定律预测电动势；电路的电阻和连接方式则决定所产生的电流。

08问题与解答

题目 1

一个 120 匝线圈中，穿过每一匝的磁通量在 \(2.0\times10^{-2}\ \text{s}\) 内由 \(4.5\times10^{-4}\ \text{Wb}\) 减少至 \(1.5\times10^{-4}\ \text{Wb}\)。

计算平均感应电动势的大小。

解答 1

平均感应电动势为 \(1.8\ \text{V}\)。

穿过每一匝的磁通量变化为

\[ \Delta\Phi =1.5\times10^{-4}-4.5\times10^{-4} =-3.0\times10^{-4}\ \text{Wb}. \]

使用法拉第定律，

\[ \begin{aligned} |\mathcal{E}_{\text{平均}}| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=120\frac{3.0\times10^{-4}}{2.0\times10^{-2}}\\ &=1.8\ \text{V}. \end{aligned} \]

一个很诱人的做法，是把一匝的磁通量变化除以时间后就停下来。但这会忽略另外 119 匝。法拉第定律使用的是总磁通链的变化，所以每匝的变化必须乘以 \(N=120\)。

由于原来的磁通量正在减少，感应效应会反抗这个减少。

题目 2

一个 250 匝线圈的面积为 \(3.2\times10^{-3}\ \text{m}^2\)，置于一个均匀的 \(0.60\ \text{T}\) 磁场中。

起初，线圈平面垂直于磁场。之后线圈旋转，使线圈平面与磁场形成 \(50^\circ\) 的夹角。旋转需时 \(0.080\ \text{s}\)。

计算平均感应电动势的大小，并说明感应磁场会尝试对原来的磁通量产生甚么作用。

解答 2

平均感应电动势约为 \(1.4\ \text{V}\)，而感应磁场会反抗原来磁通量的减少。

起初，线圈平面垂直于磁场。因此，面积法线与磁场平行：

\[ \theta_i=0^\circ. \]

在最后，线圈平面与磁场形成 \(50^\circ\) 的夹角。因此，法线与磁场之间的夹角为

\[ \theta_f=90^\circ-50^\circ=40^\circ \]

。

穿过一匝的初始和最终磁通量分别为

\[ \begin{aligned} \Phi_i&=BA\cos0^\circ\\ &=(0.60)(3.2\times10^{-3})\\ &=1.92\times10^{-3}\ \text{Wb}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} \Phi_f &=(0.60)(3.2\times10^{-3})\cos40^\circ\\ &=1.47\times10^{-3}\ \text{Wb}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} |\mathcal{E}_{\text{平均}}| &=N\frac{|\Phi_f-\Phi_i|}{\Delta t}\\ &=250\frac{|1.47\times10^{-3}-1.92\times10^{-3}|}{0.080}\\ &\approx1.40\ \text{V}. \end{aligned} \]

一个很容易犯的错误，是直接把 \(50^\circ\) 代入 \(BA\cos\theta\)。题目给出的 \(50^\circ\) 是从线圈平面量起，而磁通量公式中的 \(\theta\) 是从其法线量起。

旋转过程中磁通量减少，因此根据楞次定律，感应磁场的方向会倾向于维持原来的磁通量。

题目 3

一个 100 匝长方形线圈最初的面积为 \(5.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\)。它的面积法线一直与磁场平行。

在最初的 \(0.10\ \text{s}\) 内，线圈面积保持不变，而磁场由 \(0.20\ \text{T}\) 均匀增加至 \(0.50\ \text{T}\)。

在接下来的 \(0.20\ \text{s}\) 内，磁场维持在 \(0.50\ \text{T}\)，而每一匝所包围的面积由 \(5.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\) 均匀减少至 \(2.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\)。

求每一阶段的平均感应电动势，并判断两个阶段的感应电动势方向相同还是相反。

解答 3

第一阶段的平均电动势大小为 \(1.5\ \text{V}\)，第二阶段为 \(0.75\ \text{V}\)，而两个电动势的方向相反。

由于 \(\theta=0^\circ\)，

\[ \Phi=BA. \]

在第一阶段，面积保持不变：

\[ \begin{aligned} \Delta(N\Phi) &=NA(B_f-B_i)\\ &=100(5.0\times10^{-3})(0.50-0.20)\\ &=0.150\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

所以

\[ \mathcal{E}_{1} =-\frac{0.150}{0.10} =-1.5\ \text{V}. \]

其大小为 \(1.5\ \text{V}\)。

在第二阶段，\(B=0.50\ \text{T}\) 保持不变，但面积改变：

\[ \begin{aligned} \Delta(N\Phi) &=NB(A_f-A_i)\\ &=100(0.50)(2.0\times10^{-3}-5.0\times10^{-3})\\ &=-0.150\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \mathcal{E}_{2} =-\frac{-0.150}{0.20} =+0.75\ \text{V}. \]

两者符号相反，是因为第一阶段的磁通链增加，而第二阶段的磁通链减少。

很容易只寻找「正在改变的磁场」，然后认为一旦 \(B\) 变为恒定，电磁感应就会停止。法拉第定律实际限制的是 \(N\Phi=NBA\cos\theta\)。即使磁场本身不变，改变回路面积仍会改变磁通量。

题目 4

一个 200 匝线圈的面积为 \(1.0\times10^{-2}\ \text{m}^2\)。其初始磁通链为

\[ \lambda_i=+0.50\ \text{Wb-turn}. \]

使用以下符号约定

\[ \mathcal{E}=-\frac{d\lambda}{dt}, \]

电压表记录如下：

• \(+4.0\ \text{V}\)，持续 \(0.10\ \text{s}\)，
• 接下来 \(0.20\ \text{s}\) 为 \(0\ \text{V}\)，
• 再接下来 \(0.30\ \text{s}\) 为 \(-1.0\ \text{V}\)。

假设在每一个指定时间间隔内，电动势皆保持恒定。

求最终磁通链和 \(B\cos\theta\) 的最终数值。零电动势的时间间隔是否能证明线圈和磁场都没有发生变化？另外，判断磁通链在任何时刻是否曾改变符号。

解答 4

最终磁通链为 \(+0.40\ \text{Wb-turn}\)，\(B\cos\theta\) 的最终数值为 \(0.20\ \text{T}\)。零电动势的时间间隔不能证明物理条件保持静止，而磁通链从未改变符号。

对于电动势保持恒定的时间间隔，

\[ \Delta\lambda=-\mathcal{E}\Delta t. \]

在第一个时间间隔内，

\[ \Delta\lambda_1 =-(+4.0)(0.10) =-0.40\ \text{Wb-turn}. \]

所以

\[ \lambda_1 =0.50-0.40 =+0.10\ \text{Wb-turn}. \]

在零电动势的时间间隔内，

\[ \Delta\lambda_2=0, \]

因此磁通链保持为

\[ \lambda_2=+0.10\ \text{Wb-turn}. \]

在最后一个时间间隔内，

\[ \Delta\lambda_3 =-(-1.0)(0.30) =+0.30\ \text{Wb-turn}. \]

因此，

\[ \lambda_f =0.10+0.30 =+0.40\ \text{Wb-turn}. \]

现在，

\[ \lambda=N\Phi=NBA\cos\theta. \]

所以

\[ \begin{aligned} B\cos\theta &=\frac{\lambda_f}{NA}\\ &=\frac{0.40}{(200)(1.0\times10^{-2})}\\ &=0.20\ \text{T}. \end{aligned} \]

零电动势的时间间隔只告诉我们磁通链保持不变：

\[ \frac{d\lambda}{dt}=0. \]

它并不能证明 \(B\)、\(A\) 和 \(\theta\) 各自都保持不变。例如，\(B\) 可以增加，同时线圈旋转，使 \(B\cos\theta\) 保持不变。

磁通链由 \(+0.50\) 降至 \(+0.10\ \text{Wb-turn}\)，维持在该数值，然后再上升至 \(+0.40\ \text{Wb-turn}\)。因此，它从未到达零，也从未改变符号。

一个很容易产生的错误理解，是认为电动势读数能直接显示磁场本身正在发生甚么变化。其实并非如此。这个量度限制的是组合量 \(NBA\cos\theta\) 的变化率，因此多种不同的物理运动或磁场变化都可以产生相同的电动势数据。

题目 5

两个实验使用同一个 200 匝、面积为 \(1.0\times10^{-2}\ \text{m}^2\) 的线圈，并连接至一个 \(4.0\ \Omega\) 电阻器。忽略所有其他电阻和自感效应。

在两个实验中，初始条件均为

\[ B_i=0.20\ \text{T},\qquad \theta_i=0^\circ. \]

经过 \(0.20\ \text{s}\) 后，最终条件均为

\[ B_f=0.40\ \text{T},\qquad \theta_f=60^\circ. \]

在实验 A 中，\(B\) 和 \(\theta\) 同时调整，使得在每一瞬间都有 \(B\cos\theta=0.20\ \text{T}\)。

在实验 B 中，最初的 \(0.10\ \text{s}\) 内，线圈保持在 \(\theta=0^\circ\)，而 \(B\) 由 \(0.20\ \text{T}\) 增加至 \(0.40\ \text{T}\)。在接下来的 \(0.10\ \text{s}\) 内，\(B\) 保持在 \(0.40\ \text{T}\)，而线圈旋转至 \(60^\circ\)。假设每一阶段的磁通链均匀改变。

一名学生认为，两个实验的初始和最终磁通链相同，因此两者在电学上等效，而且感应电动势为零。

评估这个说法。计算每个实验的电动势、电流，以及电阻器所耗散的热能。

解答 5

这两个实验在电学上并不等效。实验 A 在整个过程中的感应电动势为零、电流为零，热能耗散也为零。实验 B 在两个阶段的电动势分别为 \(-4.0\ \text{V}\) 和 \(+4.0\ \text{V}\)，电流大小均为 \(1.0\ \text{A}\) 但方向相反，而总共耗散 \(0.80\ \text{J}\) 的热能。尽管如此，两个实验在完整的 \(0.20\ \text{s}\) 内，平均电动势均为零。

先计算初始磁通链：

\[ \begin{aligned} \lambda_i &=NBA\cos\theta_i\\ &=(200)(0.20)(1.0\times10^{-2})\cos0^\circ\\ &=0.40\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

最终磁通链为

\[ \begin{aligned} \lambda_f &=(200)(0.40)(1.0\times10^{-2})\cos60^\circ\\ &=0.40\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

因此，从开始到结束的总变化确实为零。

然而，在实验 A 中，有一个更强的条件成立。题目告诉我们

\[ B\cos\theta=0.20\ \text{T} \]

在每一瞬间都成立。由于 \(N\) 和 \(A\) 保持不变，

\[ \lambda=NBA\cos\theta \]

也在每一瞬间保持不变。

因此，

\[ \mathcal{E}=0, \qquad I=\frac{\mathcal{E}}{R}=0. \]

由于没有电流，

\[ E_{\text{热}}=0. \]

现在考虑实验 B。

在第一阶段，\(\theta=0^\circ\)，所以磁通链由

\[ 0.40\ \text{Wb-turn} \]

增加至

\[ \lambda =(200)(0.40)(1.0\times10^{-2}) =0.80\ \text{Wb-turn}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_1 &=-\frac{0.80-0.40}{0.10}\\ &=-4.0\ \text{V}. \end{aligned} \]

电流为

\[ I_1=\frac{-4.0}{4.0}=-1.0\ \text{A}. \]

在第二阶段，磁通链由 \(0.80\) 降回 \(0.40\ \text{Wb-turn}\)：

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_2 &=-\frac{0.40-0.80}{0.10}\\ &=+4.0\ \text{V}. \end{aligned} \]

因此，

\[ I_2=\frac{+4.0}{4.0}=+1.0\ \text{A}. \]

由于磁通链变化的方向反转，电流方向也会反转。

在任一阶段，电阻器所耗散的功率为

\[ P=I^2R=(1.0)^2(4.0)=4.0\ \text{W}. \]

这种情况总共持续 \(0.20\ \text{s}\)，因此

\[ E_{\text{热}} =P\Delta t =(4.0)(0.20) =0.80\ \text{J}. \]

为甚么这与磁通链的整体变化为零并不矛盾？

在整个时间间隔内，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\lambda_f-\lambda_i}{0.20} =0. \]

但这是一个带符号的平均值。前半段的 \(-4.0\ \text{V}\) 贡献，会被后半段的 \(+4.0\ \text{V}\) 贡献抵消。

热能却不会以相同方式抵消，因为电阻加热取决于 \(I^2R\)。不论是 \(+1.0\ \text{A}\) 的电流还是 \(-1.0\ \text{A}\) 的电流，都会使电阻器发热。

一个很诱人的做法，是只比较初始和最终状态，然后认为 \(\Delta(N\Phi)=0\) 就代表从未出现过电动势。真正的限制其实更细致：总变化为零，只能保证完整时间间隔内的平均电动势为零。要知道这段时间内是否曾发生电磁感应，你需要知道磁通链如何随时间改变。

这个区别正是通往发电机概念的桥梁。当线圈持续旋转时，它的磁通链也会持续改变。法拉第定律于是让你从不断变化的 \(BA\cos\theta\) 推导出不断变化的感应电动势，而楞次定律则告诉你所产生电流的方向。