向心力：如何在 HSC 物理中辨识真正的作用力

一辆汽车以稳定的 15 m/s 绕过一个平坦弯道。它的速度表读数没有变化，因此很容易让人以为它没有加速度，也就没有合力。但如果真的没有合力，汽车就会继续沿直线行驶。

在继续阅读之前，先预测汽车向左转弯时合力的方向。向前？向后？向外？向内？

合力必须指向内侧，也就是朝向圆形路径的中心。这个向内的合力，就是我们所称的向心力。

这里重要的字是「合」。向心力不是某种神秘的额外力，并不会在物体沿圆周运动时突然出现。它是我们对摩擦力、张力、重力或正向力等真实作用力所产生的合并向内效果的称呼。

01为什么圆周运动需要力

想像把一颗球沿著完全光滑的地板滚动。在没有水平力作用的情况下，球会沿直线运动。

现在想像你希望球沿著圆形路径运动。你必须持续改变它的速度方向。这表示即使球的速率保持不变，它仍然在加速。

在每一个位置：

• 速度沿著圆的切线方向；
• 向心加速度指向圆心；
• 造成该加速度的合力也指向圆心。

如果向内的力突然消失，物体不会沿半径方向向外飞出。它会沿著原本正在运动的方向继续前进，也就是沿圆的切线方向。

这可以直接由牛顿第一运动定律推得。

如果你想先加强对这个运动情境中加速度部分的理解，请参阅向心加速度：为什么在 HSC 物理中它指向内侧。

02从向心加速度到向心力

对于以速率 \(\ v\ \) 沿半径为 \(\ r\ \) 的圆形路径运动的物体，其向心加速度的大小为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(\ a_c\ \) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(\ v\ \) 是速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(\ r\ \) 是圆形路径的半径，单位为公尺。

牛顿第二运动定律指出：

\[ F_{\text{net}}=ma \]

因此，所需的向内合力为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(\ F_c\ \) 是向心力，单位为牛顿；\(\ m\ \) 是物体的质量，单位为公斤。

更精确地表达相同概念，可以写成

\[ \sum F_{\text{inward}}=\frac{mv^2}{r} \]

在 HSC 考题中，这种写法通常更实用，因为它提醒你，可能有多个真实作用力共同构成向内的合力。

03向心力是一种作用功能，而不是一种新力

把「向心力」想成一种工作职责。

如果有人说「那个扶著门的人」，这并不能告诉你对方是你的朋友、老师，还是某个尴尬地被困在那里、眼睁睁看著十个人进出却连一句谢谢都没听到的人。这句话只告诉你对方正在做什么。

「向心力」的概念也是如此。它的作用是：

产生一个朝向圆形路径中心的合力。

实际上负责这项作用的力，取决于具体情境。

不过，这个类比只能到此为止。真实作用力是向量，因此必须以数学方式将它们的方向与分量相加。

这是解答圆周运动题目时最重要的判断原则之一：

1. 找出圆形路径的中心。
2. 判断图示瞬间的向内方向。
3. 画出所有真实作用力。
4. 求出这些真实作用力在向内方向上的分量。
5. 将它们的向内合力设为 \(\frac{mv^2}{r}\)。

如果你已经画出真实作用力，就不要再另外画一个标示为「向心力」的箭头，否则就会把同一个物理效果计算两次。

范例：汽车在平坦道路上转弯

一辆质量为 \(\ 900\text{ kg}\ \) 的汽车，以 \(\ 14\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，沿半径为 \(\ 35\text{ m}\ \) 的平坦圆形弯道行驶。计算维持汽车沿圆形路径运动所需的水平力，并指出提供此力的作用力。

步骤 1：判断方向及实际作用力。

所需的合力水平指向弯道的中心。在平坦道路上，能够对轮胎施加侧向力的作用力是静摩擦力。

步骤 2：使用向心力公式。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900)(14^2)}{35}\\ &=5040\text{ N} \end{aligned} \]

步骤 3：解释结果。

道路对汽车施加的静摩擦力为

\[ 5.04\times10^3\text{ N} \]

方向朝向弯道的中心。

请注意，在这个情境中，「向心力」和「摩擦力」并不是两个不同的力。摩擦力就是向心力。

04计算之前，公式已经告诉你什么

公式

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

包含几个实用的预测。

如果质量加倍，而 \(\ v\ \) 和 \(\ r\ \) 保持不变，所需的力也会加倍。

如果半径加倍，而 \(\ m\ \) 和 \(\ v\ \) 保持不变，所需的力就会减半。

速率的影响则更显著。如果速率加倍，

\[ F_c\propto v^2 \]

所需的力就会变成原来的四倍。

这也是为什么以 100 km/h 通过弯道，并不只是比以 50 km/h 通过同一个弯道「要求高一倍」。在简化的圆周运动模型中，所需的侧向力会变成四倍。

05当有多个力沿径向作用时

这正是许多向心力题目变得有趣的地方。

考虑一颗用绳子系住、沿垂直圆周运动的球。当球经过圆周最低点时，圆心位于球的上方。

试著预测哪一个力较大：绳子的张力，还是所需的向心力？

实际上，张力必须较大。

为什么？张力向上指向圆心，但重力向下，方向背离圆心。两者的差值形成所需的向内合力。

将向内方向定为正方向，

\[ T-mg=\frac{mv^2}{r} \]

因此，

\[ T=\frac{mv^2}{r}+mg \]

所以，张力本身并不等于向心力。

范例：垂直圆周最低点的张力

一颗质量为 \(\ 0.50\text{ kg}\ \) 的球，以 \(\ 6.0\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，经过半径为 \(\ 0.80\text{ m}\ \) 的垂直圆周最低点。计算绳子的张力。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

步骤 1：选定向内方向。

在圆周最低点，向内方向是向上。

张力向上作用，而重力向下作用。

步骤 2：写出径向力方程式。

\[ T-mg=\frac{mv^2}{r} \]

步骤 3：代入数值。

\[ T-(0.50)(9.8) = \frac{(0.50)(6.0^2)}{0.80} \]

所需的向内合力为

\[ \frac{(0.50)(36)}{0.80}=22.5\text{ N} \]

而重力为

\[ mg=(0.50)(9.8)=4.9\text{ N} \]

因此，

\[ T=22.5+4.9=27.4\text{ N} \]

步骤 4：解释结果。

张力为 \(\ 27.4\text{ N}\ \)，但所需的向心力只有 \(\ 22.5\text{ N}\ \)。

额外的 \(\ 4.9\text{ N}\ \) 是用来抵销球向下的重力，这样才能产生大小为 \(\ 22.5\text{ N}\ \)、方向向上的合力。

06向心方向会随著垂直圆周上的位置改变

不要死记一条公式，例如 \(\ T-mg=\frac{mv^2}{r}\ \)，然后在所有情况下都使用它。

各个力的物理性质并没有改变，但物体运动时，朝向圆心的方向会随之改变。

对于一颗用绳子系住的球：

在最高点，重力有助于提供向心力。在最低点，重力则会抵抗向心力。

因此，先辨认「向内」的方向，再写出方程式，比起试图记住一系列不同的公式，更为可靠。

07最容易犯的错误

错误 1：另外加上一个向心力箭头

假设一辆汽车因为摩擦力而转弯。常见的自由体图会先画出指向内侧的摩擦力，然后又加上一个标示为 \(\ F_c\ \) 的向内箭头。

这样就把同一个力计算了两次。

如果摩擦力是唯一的水平作用力，正确的写法是

\[ F_{\text{friction}}=\frac{mv^2}{r} \]

错误 2：以为速率不变就代表加速度为零

加速度是指速度的改变，而不只是速率的改变。

速度包含方向。物体以固定速率沿圆周运动时，方向会不断改变，因此它会持续加速。

错误 3：假设 \(\ F_c\ \) 必定是某一个单独的力

有时，一个力就能提供全部的向内合力；有时，则是多个力共同作用。

例如，在垂直圆周的最高点，如果重力和张力都指向圆心，

\[ mg+T=\frac{mv^2}{r} \]

错误 4：认为向心力消失时，物体会被向外抛出

如果绳子断裂，物体会沿著断裂瞬间的切线方向离开圆形路径。

若物体要沿半径方向向外运动，那么在绳子断裂前的瞬间，它的速度本身就必须指向半径方向的外侧。但实际上并非如此。

08题目与解答

题目 1

一辆质量为 \(\ 1500\text{ kg}\ \) 的汽车，以 \(\ 12\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，沿半径为 \(\ 60\text{ m}\ \) 的平坦圆形弯道行驶。

计算所需的向心力，并指出提供此力的真实作用力。

解答 1

所需的向心力为 \(\ 3.60\times10^3\text{ N}\ \)，方向朝向圆心，由轮胎与道路之间的静摩擦力提供。

所需的向内合力为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{(1500)(12^2)}{60}\\ &=\frac{(1500)(144)}{60}\\ &=3600\text{ N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_c=3.60\times10^3\text{ N} \]

在平坦道路上，重力和正向力都没有水平分量。因此，静摩擦力提供水平的向内作用力。

一个容易犯的错误是说摩擦力和向心力都指向内侧。在这个情境中，它们并不是两个独立的力。静摩擦力正是提供所需向心力的作用力。

题目 2

一颗质量为 \(\ 0.25\text{ kg}\ \) 的球用绳子系住，以 \(\ 4.5\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，经过半径为 \(\ 0.75\text{ m}\ \) 的垂直圆周最高点。

计算绳子的张力。如果绳子在该瞬间断裂，指出球在断裂后最初的运动方向。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 2

张力为 \(\ 4.30\text{ N}\ \)。绳子断裂后，球会立即沿著圆形路径的切线方向水平运动。

在圆周最高点，向内方向是向下。张力和重力都指向圆心。

因此，

\[ T+mg=\frac{mv^2}{r} \]

所需的向心力为

\[ \begin{aligned} \frac{mv^2}{r} &=\frac{(0.25)(4.5^2)}{0.75}\\ &=6.75\text{ N} \end{aligned} \]

球的重力为

\[ mg=(0.25)(9.8)=2.45\text{ N} \]

因此，

\[ T+2.45=6.75 \]

所以，

\[ T=4.30\text{ N} \]

学生可能会直接设 \(\ T=\frac{mv^2}{r}\ \)，得出 \(\ 6.75\text{ N}\ \)。这样就忽略了重力的贡献。在最高点，重力已经提供所需向内合力中的 \(\ 2.45\text{ N}\ \)。

如果绳子断裂，张力就会消失。球的速度方向不会突然转向外侧。球在该瞬间的速度沿著圆形路径的切线方向，而在最高点，这个方向是水平的。之后，重力会使球的运动轨迹逐渐向下弯曲。

题目 3

一辆汽车在半径为 \(\ 50\text{ m}\ \) 的平坦圆形道路上行驶。轮胎与道路之间的静摩擦系数为 \(\ 0.55\ \)。

计算汽车在不打滑的情况下所能达到的最大速率。解释为什么汽车的质量不会影响这个最大速率。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 3

最大速率约为 \(\ 16.4\text{ m s}^{-1}\ \)。质量不会影响这个最大速率，因为可提供的最大摩擦力与所需的向心力都与质量成正比。

在临界速率下，静摩擦力已达到最大值：

\[ F_{\text{friction,max}}=\mu_sN \]

在平坦道路上，

\[ N=mg \]

因此，

\[ F_{\text{friction,max}}=\mu_smg \]

在最大速率下，这个摩擦力提供所需的向心力：

\[ \mu_smg=\frac{mv^2}{r} \]

约去 \(\ m\ \)：

\[ \mu_sg=\frac{v^2}{r} \]

因此，

\[ v=\sqrt{\mu_sgr} \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(0.55)(9.8)(50)}\\ &=\sqrt{269.5}\\ &\approx16.4\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

质量会约去，是因为较重的汽车需要较大的向内作用力，但它的正向力也会按相同比例增加，因此在这个模型中，可提供的最大静摩擦力也会按相同比例增加。

一个常见的陷阱是，在每次转弯时都直接写出 \(\ F_{\text{friction}}=\mu_sN\ \)。只有当静摩擦力达到临界值时，它才会等于 \(\ \mu_sN\ \)。在较低的速率下，所需的摩擦力会比较小。

题目 4

一个质量为 \(\ 0.20\text{ kg}\ \) 的物体连接在一条长度为 \(\ 1.00\text{ m}\ \) 的绳子上，并作圆锥摆运动。它每隔 \(\ 1.50\text{ s}\ \) 完成一次水平圆周运动。

绳子与铅直方向的夹角为 \(\ \theta\ \)。

计算：

a. 角度 \(\ \theta\ \)；

b. 圆形路径的半径；

c. 物体的速率；

d. 绳子的张力。

接著，将另一个质量为原来两倍的摆球连接到长度相同的绳子上，并使它以相同的周期旋转。判断新摆球的角度会变大、变小，还是保持不变。

使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 4

角度约为 \(\ 56.1^\circ\ \)，圆形路径的半径为 \(\ 0.830\text{ m}\ \)，速率为 \(\ 3.48\text{ m s}^{-1}\ \)，张力为 \(\ 3.51\text{ N}\ \)。如果周期和绳长保持不变，将质量加倍并不会改变角度。

关键在于理解：整个张力并不是向心力。

张力的铅直分量平衡重力：

\[ T\cos\theta=mg \]

张力的水平分量提供向心力：

\[ T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

角速度为

\[ \omega=\frac{2\pi}{P} \]

其中 \(\ P=1.50\text{ s}\ \)。因此，

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{1.50}\\ &\approx4.19\text{ rad s}^{-1} \end{aligned} \]

由于

\[ v=\omega r \]

水平作用力方程式可以写成

\[ T\sin\theta=m\omega^2r \]

水平圆形路径的半径为

\[ r=L\sin\theta \]

其中 \(\ L=1.00\text{ m}\ \)。因此，

\[ T\sin\theta = m\omega^2L\sin\theta \]

对于图示的非零角度，\(\ \sin\theta\ \) 可以约去：

\[ T=m\omega^2L \]

使用铅直方向的方程式，

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

约去 \(\ m\ \)：

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} \cos\theta &=\frac{9.8}{(4.19)^2(1.00)}\\ &\approx0.558 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta\approx56.1^\circ \]

半径为

\[ \begin{aligned} r&=L\sin\theta\\ &=(1.00)\sin56.1^\circ\\ &\approx0.830\text{ m} \end{aligned} \]

速率为

\[ \begin{aligned} v&=\omega r\\ &=(4.19)(0.830)\\ &\approx3.48\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

可以利用

\[ T\cos\theta=mg \]

求出张力，因此

\[ \begin{aligned} T&=\frac{(0.20)(9.8)}{\cos56.1^\circ}\\ &\approx3.51\text{ N} \end{aligned} \]

对于第二个摆球，

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

这个方程式不包含质量。由于周期不变，\(\ \omega\ \) 也不变，而 \(\ L\ \) 同样保持不变。因此，第二个摆球的角度仍然约为 \(\ 56.1^\circ\ \)。

一个容易让人误入歧途的做法，是把 \(\ T=\frac{mv^2}{r}\ \) 当成完整的张力方程式。这会忽略张力还必须具有铅直分量来平衡重力。只有张力的水平分量才是向心力。

题目 5

一辆云霄飞车车厢沿著无摩擦的垂直圆形回圈内侧运动，回圈半径为 \(\ 12.0\text{ m}\ \)。

在回圈最低点，轨道对车厢施加的正向力为 \(\ 5mg\ \)，其中 \(\ m\ \) 是车厢的质量。

令 \(\ \theta\ \) 为从回圈最低点开始沿圆周量度的角度，因此最低点的 \(\ \theta=0^\circ\ \)，最高点的 \(\ \theta=180^\circ\ \)。

求出：

a. 车厢在最低点的速率；

b. 车厢是否能在整个过程中保持与轨道接触，直到抵达最高点；

c. 如果车厢失去接触，求出发生此情况时的 \(\ \theta\ \) 值，以及该瞬间的速率；

d. 为什么在车厢失去接触后，继续进行圆周运动计算，可能得到数学上可行、但物理上不可能的结果。

使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 5

车厢在最低点的速率约为 \(\ 21.7\text{ m s}^{-1}\ \)。它会在抵达最高点之前失去接触，脱离轨道的位置约为从最低点量起的 \(\ 132^\circ\ \)，脱离瞬间的速率约为 \(\ 8.85\text{ m s}^{-1}\ \)。在此之后，如果计算要求正向力为负值，结果在物理上就不可能成立，因为轨道无法拉著车厢朝向自己。

在最低点，向内方向是向上。正向力向上，而重力向下，因此

\[ N-mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

已知 \(\ N=5mg\ \)，

\[ 5mg-mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

因此，

\[ 4mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

约去 \(\ m\ \)：

\[ v_b^2=4gr \]

代入 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \) 及 \(\ r=12.0\text{ m}\ \)，

\[ \begin{aligned} v_b&=\sqrt{4(9.8)(12.0)}\\ &\approx21.7\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

现在考虑车厢位于角度 \(\ \theta\ \) 的位置。

车厢相对于最低点的高度为

\[ h=r(1-\cos\theta) \]

由于轨道没有摩擦力，机械能守恒：

\[ \frac12mv_b^2 = \frac12mv^2+mgh \]

代入 \(\ v_b^2=4gr\ \) 及 \(\ h=r(1-\cos\theta)\ \)，

\[ \frac12m(4gr) = \frac12mv^2 + mgr(1-\cos\theta) \]

化简后，

\[ v^2=2gr(1+\cos\theta) \]

接著，沿向内的径向方向套用牛顿第二运动定律。

在角度 \(\ \theta\ \) 的位置，径向方程式为

\[ N-mg\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

当正向力恰好降至零时，车厢就会失去接触。接触力可以推动车厢，但不能变成负值，进而将车厢拉回轨道。

令 \(\ N=0\ \)：

\[ -mg\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

因此，

\[ v^2=-gr\cos\theta \]

在脱离轨道的瞬间，这个结果也必须符合能量守恒所得到的方程式：

\[ v^2=2gr(1+\cos\theta) \]

因此，

\[ 2gr(1+\cos\theta)=-gr\cos\theta \]

约去 \(\ gr\ \)：

\[ 2(1+\cos\theta)=-\cos\theta \]

所以，

\[ 2+3\cos\theta=0 \]

因此，

\[ \cos\theta=-\frac23 \]

所以，

\[ \theta=\cos^{-1}\left(-\frac23\right)\approx131.8^\circ \]

因此，车厢会在从最低点量起约

\[ 132^\circ \]

的位置失去接触，并且在抵达最高点之前就已经脱离轨道。

脱离瞬间的速率满足

\[ v^2=-gr\cos\theta \]

因此，

\[ \begin{aligned} v^2 &=-(9.8)(12.0)\left(-\frac23\right)\\ &=78.4\text{ m}^2\text{s}^{-2} \end{aligned} \]

所以，

\[ v\approx8.85\text{ m s}^{-1} \]

其中微妙的关键，在于接下来会发生什么事。

如果你不加思索地继续在方程式中强制假设车厢沿著圆形路径运动，计算出的正向力最终会变成负值。这并不是代数运算出错，而是模型不再适用。

正向力是一种接触力。轨道可以推动车厢，但当车厢与轨道分离后，轨道就无法再向内拉住车厢。因此，\(\ N=0\ \) 是一个物理上的界限。

脱离轨道后，车厢不再沿著圆形轨道运动。它在分离瞬间的速度沿著回圈的切线方向，而重力则决定它接下来的抛体运动轨迹。

这就是向心力题目背后更深层的观念：\(\ \frac{mv^2}{r}\ \) 告诉你，如果物体正在沿著该圆形路径运动，它需要多大的向内合力。你仍然必须检查，实际存在的作用力是否真的能提供这个所需的向内合力。

09接下来，这个观念能帮你理解什么

当你习惯用

\[ \sum F_{\text{inward}}=\frac{mv^2}{r} \]

取代含糊的「向心力」一词后，较困难的圆周运动题目就会变得更有系统。

下一步是将这个径向力方程式与其他物理概念结合：垂直圆周运动中的能量守恒、弯道上的摩擦力限制、轨道运动中的重力，以及接触或绳子的约束条件即将失效时的 \(\ N=0\ \) 或 \(\ T=0\ \) 条件。通常，计算并不是最困难的部分。真正重要的技巧，是判断哪些实际作用力能够指向圆心，以及它们在物理上是否足以提供所需的向内合力。