弹性碰撞：HSC 物理中的动量与动能

两辆小车在一条几乎无摩擦的轨道上发生碰撞。碰撞前，你可以计算它们的总动量。碰撞后，总动量保持不变。到这里，一切都很好理解。

但问题来了：有时小车会碰撞后反弹分开，有时则会撞在一起、发生变形，并一起运动。在这两种情况下，动量都可能守恒。那么，还需要满足什么额外条件，才能使碰撞成为弹性碰撞？

继续阅读之前，先预测一下。现在有两辆完全相同的小车。小车 A 向静止的小车 B 运动。它们发生完全弹性碰撞。之后会发生什么？

一种常见猜测是，两辆小车都会一起向前运动，而且各自的速度都比 A 原来的速度小。这种情况可以满足动量守恒。但它无法同时满足动能守恒。在质量相同的两个物体发生完全弹性碰撞时，A 会停下来，而 B 会以 A 原来的速度离开。

第二条守恒定律正是关键所在。

01弹性碰撞必须守恒什么

可以把碰撞想象成三个阶段。

1. 两个物体相互接近。
2. 它们在极短时间内相互作用，在彼此施力的同时发生轻微压缩或形变。
3. 它们分开。

如果在碰撞过程中，外力产生的冲量可以忽略，那么系统的总动量守恒。

对于沿同一直线运动的两个物体，

\[
m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2
\]

其中：

• \(m_1\) 和 \(m_2\) 是质量，单位为千克
• \(u_1\) 和 \(u_2\) 是初速度，单位为米每秒
• \(v_1\) 和 \(v_2\) 是末速度，单位为米每秒

速度具有方向，因此正负号很重要。例如，你可以规定向右运动为正，向左运动为负。

仅仅满足动量守恒，并不能说明碰撞是弹性的。

对于完全弹性碰撞，系统的总动能也保持不变：

\[
\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2
=
\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2
\]

动能的单位是焦耳（J）。

注意一个重要区别。在动量方程中，速度保留其正负号；但在动能方程中，速度要平方。如果规定向右为正，一个以 \(-4.0\text{ m s}^{-1}\) 运动的物体具有负动量，但它的动能仍然是正的。

02为什么仅有动量守恒还不够

假设两个质量均为 \(1.0\text{ kg}\) 的物体以相同的 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 速率相向运动，然后碰撞并粘在一起。

规定向右为正：

\[
u_1=+3.0\text{ m s}^{-1},\qquad u_2=-3.0\text{ m s}^{-1}
\]

它们的初始动量为

\[
p_i=(1.0)(3.0)+(1.0)(-3.0)=0
\]

如果它们粘在一起并停下来，末动量也为零。

动量完全守恒。

现在检查动能：

\[
K_i=\frac{1}{2}(1.0)(3.0)^2+\frac{1}{2}(1.0)(3.0)^2=9.0\text{ J}
\]

它们的末动能为

\[
K_f=0
\]

因此，这次碰撞不是弹性碰撞。

消失的 \(9.0\text{ J}\) 并没有真的消失。总能量仍然守恒。部分初始动能已经转化为内能、形变、声音、热以及其他形式的能量。

需要避免下面这个很容易产生的误解：

动量守恒并不意味着动能守恒。

对于一个孤立的碰撞系统，无论碰撞是弹性的还是非弹性的，动量都守恒。是否具有弹性，说明的是系统动能发生了什么变化。

03一个有用的物理模型

想象两辆装有弹簧的小车发生碰撞。

当它们相遇时，弹簧被压缩。一部分动能暂时转化为弹性势能。如果弹簧把储存的全部能量都重新传回小车，并且没有能量以永久形变、升温或其他内部变化的形式留下，那么碰撞后的总动能就可以等于碰撞前的总动能。

这为理解完全弹性碰撞提供了一个有用的图像。

不过，这个图像是简化的。真实物体中含有数量极其庞大的粒子，碰撞能量可能转化为振动、转动、声音、形变和热运动。“完全弹性”是一种理想模型。有些真实碰撞与这一模型足够接近，因此使用这个模型是有意义的。

04如何求解一维弹性碰撞

弹性碰撞给出了两个守恒方程：

\[
m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2
\]

以及

\[
\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2
=
\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2
\]

通常情况下，质量和初速度已知，而两个末速度未知。

由于动能方程中含有平方项，看起来会比较麻烦。不过，把这两个守恒定律结合起来，可以得到一个很有用的结果。

对于一维完全弹性碰撞，

\[
v_1-v_2=-(u_1-u_2)
\]

用文字表示就是：

分离的相对速度 = 接近的相对速度

例如，如果在发生弹性碰撞前，一个物体以 \(7.0\text{ m s}^{-1}\) 的相对速度追上另一个物体，那么碰撞后它们也会以 \(7.0\text{ m s}^{-1}\) 的相对速度彼此分离。

这个关系并不是另一条额外定律。它来自对动量和动能同时守恒的要求。

相对速度关系是怎样推导出来的

从动量守恒开始：

\[
m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2
\]

整理得：

\[
m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2)
\]

现在从动能守恒开始。两边的 \(\frac12\) 可以约去：

\[
m_1u_1^2+m_2u_2^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2
\]

整理，并利用平方差进行因式分解：

\[
m_1(u_1-v_1)(u_1+v_1)
=
m_2(v_2-u_2)(v_2+u_2)
\]

动量方程告诉我们

\[
m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2)
\]

对于一次实际发生、且速度发生变化的碰撞，这两个相同的因子可以约去。于是得到

\[
u_1+v_1=v_2+u_2
\]

因此

\[
v_1-v_2=-(u_1-u_2)
\]

这个负号很重要。碰撞前物体彼此接近，而碰撞后它们彼此分离。

06当质量不同时会发生什么？

如果两个物体质量相同，交换速度的结果非常简洁。但记住这个结论也可能带来危险，因为它只适用于这种特殊情况。

预测一下：如果一辆较轻、正在运动的小车与一辆重得多的静止小车发生弹性碰撞，会发生什么？较轻的小车还会继续向前运动吗？

实际上，它可能会反弹。

想象一个乒乓球撞上质量大得多的物体。质量很大的物体速度几乎不变，而较轻的物体可能反向运动。动量仍然守恒，因为较重物体即使只发生很小的速度变化，也可以获得相当可观的动量。

结果应由方程决定，而不是由“反弹”这个词决定。

07三个能发现大多数碰撞题错误的检查方法

1. 代入数值之前先确定正方向

速率始终为正。速度可以为正，也可以为负。

如果规定向右为正，一个以 \(5.0\text{ m s}^{-1}\) 向左运动的物体具有

\[
v=-5.0\text{ m s}^{-1}
\]

如果在动量方程中代入 \(+5.0\)，那描述的将是完全不同的运动。

2. 不要给动能规定方向

动能是标量。

如果

\[
v=-5.0\text{ m s}^{-1}
\]

那么

\[
v^2=(-5.0)^2=25\text{ m}^2\text{ s}^{-2}
\]

而不是 \(-25\text{ m}^2\text{ s}^{-2}\)。

3. 检查两条守恒定律

一个假设的答案可能满足动量守恒，却仍然不可能对应完全弹性碰撞。

假设两辆质量相同的小车初速度分别为 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 和 \(0\)，然后有人声称碰撞后两辆小车都以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 运动。

动量方面没有问题：

\[
m(4.0)=m(2.0)+m(2.0)
\]

但动能并不守恒。

初始时，

\[
K_i=\frac12m(4.0)^2=8m
\]

最终，

\[
K_f=2\left(\frac12m(2.0)^2\right)=4m
\]

末态运动中的动能少了一半。这个结果可以描述一次非弹性相互作用，其中能量转移到了其他形式，但它不能描述完全弹性碰撞。

08二维碰撞又怎样？

动量是矢量，因此在二维情况下，需要分别对各分量应用守恒：

\[
p_{x,i}=p_{x,f}
\]

以及

\[
p_{y,i}=p_{y,f}
\]

对于完全弹性碰撞，还必须满足总动能守恒。

动能方程不需要分别写出 \(x\) 和 \(y\) 方向的版本。每个物体的动能取决于它的总速率：

\[
K=\frac12mv^2
\]

其中

\[
v^2=v_x^2+v_y^2
\]

因此，一个二维弹性碰撞通常会给出：

• \(x\) 方向的动量守恒
• \(y\) 方向的动量守恒
• 总动能守恒

不应把一维情况下“接近的相对速率等于分离的相对速率”这一捷径不加判断地用于任意二维运动。在二维问题中，除非几何关系提供了更简单的方法，否则应使用动量分量和动能来求解。

09问题与解答

问题 1

一辆 \(0.40\text{ kg}\) 的小车以 \(5.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，并与一辆静止的 \(0.40\text{ kg}\) 小车发生碰撞。碰撞后，第一辆小车静止，第二辆小车以 \(5.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动。

说明这次碰撞是否与完全弹性碰撞相符。

解答 1

是的。这次碰撞中总动量和总动能都守恒，因此题目所描述的运动与完全弹性碰撞相符。

规定向右为正。

初始动量：

\[
\begin{aligned}
p_i
&=(0.40)(5.0)+(0.40)(0)\\
&=2.0\text{ kg m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

末动量：

\[
\begin{aligned}
p_f
&=(0.40)(0)+(0.40)(5.0)\\
&=2.0\text{ kg m s}^{-1}
\end{aligned}
\]

动量守恒。

初始动能：

\[
\begin{aligned}
K_i
&=\frac12(0.40)(5.0)^2\\
&=5.0\text{ J}
\end{aligned}
\]

末动能：

\[
\begin{aligned}
K_f
&=\frac12(0.40)(0)^2+\frac12(0.40)(5.0)^2\\
&=5.0\text{ J}
\end{aligned}
\]

动能也守恒。

这就是质量相同情况下速度交换的情形。只检查动量，并不足以确定碰撞具有弹性。

问题 2

一个 \(0.30\text{ kg}\) 的冰球以 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，并与一个初始静止、质量为 \(0.10\text{ kg}\) 的冰球发生正面弹性碰撞。

计算两个冰球的末速度。

解答 2

\(0.30\text{ kg}\) 的冰球以 \(2.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，而 \(0.10\text{ kg}\) 的冰球以 \(6.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动。

规定向右为正。

动量守恒给出

\[
(0.30)(4.0)+(0.10)(0)
=
0.30v_1+0.10v_2
\]

所以

\[
1.20=0.30v_1+0.10v_2
\]

对于一维弹性碰撞，

\[
v_1-v_2=-(u_1-u_2)
\]

因此，

\[
v_1-v_2=-(4.0-0)=-4.0
\]

所以

\[
v_2=v_1+4.0
\]

把它代入动量方程：

\[
\begin{aligned}
1.20
&=0.30v_1+0.10(v_1+4.0)\\
&=0.40v_1+0.40
\end{aligned}
\]

因此，

\[
0.80=0.40v_1
\]

所以

\[
v_1=2.0\text{ m s}^{-1}
\]

然后

\[
v_2=2.0+4.0=6.0\text{ m s}^{-1}
\]

质量较小的冰球最终比原先入射的冰球运动得更快。这并不违反能量守恒，因为它的质量只有入射冰球的三分之一。

检查动能可以确认这一结果：

\[
K_i=\frac12(0.30)(4.0)^2=2.4\text{ J}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
K_f
&=\frac12(0.30)(2.0)^2+\frac12(0.10)(6.0)^2\\
&=0.60+1.80\\
&=2.40\text{ J}
\end{aligned}
\]

问题 3

一名学生分析两辆小车之间的一次碰撞，计算得到

\[
p_i=1.8\text{ kg m s}^{-1},\qquad
p_f=1.8\text{ kg m s}^{-1}
\]

以及

\[
K_i=3.6\text{ J},\qquad
K_f=2.9\text{ J}
\]

这名学生得出结论：“计算一定有错，因为能量没有守恒。”

评价这个结论。

解答 3

这个结论没有充分依据。数据显示动量守恒，但动能不守恒，而这种情况完全可能出现在非弹性碰撞中。

这名学生混淆了动能和总能量。

两个动量数值相等：

\[
p_i=p_f=1.8\text{ kg m s}^{-1}
\]

因此，这些测量结果与碰撞过程中系统处于孤立状态相符。

动能的变化量为

\[
\Delta K=K_f-K_i=2.9-3.6=-0.7\text{ J}
\]

因此，有 \(0.7\text{ J}\) 的动能转化成了其他形式的能量。

例如，它可能转化成了与形变、升温、振动或声音有关的内能。

总能量仍然守恒。只不过这次碰撞不是完全弹性碰撞。

这里的陷阱是认为动量守恒会自动要求动能也守恒。事实并非如此。

问题 4

一辆 \(0.20\text{ kg}\) 的小车以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 向右运动，与一辆静止的 \(0.50\text{ kg}\) 小车发生正面碰撞。碰撞是完全弹性的。

在不预先假设第一辆小车会继续向右运动的情况下，计算两辆小车的末速度，并解释第一辆小车的运动方向。

解答 4

\(0.20\text{ kg}\) 的小车以 \(1.29\text{ m s}^{-1}\) 的速率向左反弹，而 \(0.50\text{ kg}\) 的小车以 \(1.71\text{ m s}^{-1}\) 向右运动。

规定向右为正。

动量守恒给出

\[
(0.20)(3.0)+(0.50)(0)
=
0.20v_1+0.50v_2
\]

所以

\[
0.60=0.20v_1+0.50v_2
\]

对于弹性碰撞，

\[
v_1-v_2=-(u_1-u_2)
\]

所以

\[
v_1-v_2=-3.0
\]

因此

\[
v_2=v_1+3.0
\]

代入动量方程：

\[
\begin{aligned}
0.60
&=0.20v_1+0.50(v_1+3.0)\\
&=0.70v_1+1.50
\end{aligned}
\]

因此，

\[
-0.90=0.70v_1
\]

所以

\[
v_1=-1.29\text{ m s}^{-1}
\]

然后

\[
v_2=-1.29+3.0=1.71\text{ m s}^{-1}
\]

\(v_1\) 的负号表示第一辆小车向左反弹。

第一辆小车比静止的目标小车轻。在弹性正面碰撞中，较重的目标物体可以使较轻入射物体的速度方向反转，同时自身获得足够的动量向前运动。

关键在于，方向必须由计算结果决定。如果一开始就假设两个末速度都为正，就会在守恒定律作出判断之前，提前排除一个在物理上可能出现的结果。

问题 5

两个完全相同、表面光滑的冰球在水平面上发生弹性碰撞。碰撞前，冰球 A 以速率 \(u\) 向东运动，而冰球 B 静止。碰撞后，两个冰球都在运动，其中 A 的速度为 \(\vec v_A\)，B 的速度为 \(\vec v_B\)。

证明两个末速度矢量必定相互垂直。

解答 5

两个末速度矢量相互垂直：\(\vec v_A\cdot\vec v_B=0\)。

设每个冰球的质量均为 \(m\)。

初始时，总动量为

\[
m\vec u
\]

其中 \(\vec u\) 是 A 的初速度。

碰撞后，根据动量守恒，

\[
m\vec u=m\vec v_A+m\vec v_B
\]

约去 \(m\)：

\[
\vec u=\vec v_A+\vec v_B
\]

现在对两边取模的平方：

\[
u^2=\left|\vec v_A+\vec v_B\right|^2
\]

利用矢量和的模平方恒等式，

\[
u^2=v_A^2+v_B^2+2\vec v_A\cdot\vec v_B
\]

由于碰撞是弹性的，动能也守恒：

\[
\frac12mu^2
=
\frac12mv_A^2+\frac12mv_B^2
\]

约去 \(\frac12m\)：

\[
u^2=v_A^2+v_B^2
\]

比较这两个关于 \(u^2\) 的表达式：

\[
v_A^2+v_B^2+2\vec v_A\cdot\vec v_B
=
v_A^2+v_B^2
\]

因此，

\[
2\vec v_A\cdot\vec v_B=0
\]

所以

\[
\vec v_A\cdot\vec v_B=0
\]

点积为零意味着两个速度矢量相互垂直。

这个结论依赖几个隐含条件：两个物体质量相同，其中一个冰球初始静止，而且碰撞是弹性的。只要去掉其中任意一个条件，\(90^\circ\) 的结论通常就不再成立。

问题 6

一辆质量为 \(m\) 的小车以速率 \(u\) 向右运动，并与一辆质量为 \(M\) 的静止小车发生正面弹性碰撞。

运动小车碰撞后的速度为

\[
v=\frac{m-M}{m+M}u
\]

利用这个结果，判断以下情况下会发生什么：

1. \(M=m\)
2. \(M>m\)
3. 与 \(m\) 相比，\(M\) 变得极大

解释为什么极限情况下的结果在物理上是合理的。

解答 6

当 \(M=m\) 时，入射小车停止。当 \(M>m\) 时，它会反弹。当 \(M\) 远大于 \(m\) 时，它的末速度趋近于 \(-u\)。

末速度为

\[
v=\frac{m-M}{m+M}u
\]

当 \(M=m\) 时，

\[
v=\frac{m-m}{m+m}u=0
\]

因此，入射小车停止。这与质量相同时速度传递的结果一致。

当 \(M>m\) 时，分子 \(m-M\) 为负，而分母 \(m+M\) 为正。因此，

\[
v<0
\]

入射小车反向运动。

现在考虑 \(M\) 远大于 \(m\) 的极限情况。分子和分母同时除以 \(M\)：

\[
v=
\frac{\frac{m}{M}-1}{\frac{m}{M}+1}u
\]

当 \(M\) 变得极大时，

\[
\frac{m}{M}\rightarrow 0
\]

所以

\[
v\rightarrow\frac{-1}{1}u=-u
\]

小车以速率 \(u\) 接近目标，并以几乎相同的速率沿相反方向离开。

这个结果在物理上是合理的。一个质量极大的目标物体，其速度变化会极其微小，因此从小车的角度看，它的行为几乎就像一面刚性墙壁。在理想的弹性极限下，小车反弹，但不损失动能。

需要注意的细微之处是：除非把目标物体的质量视为无穷大，否则它实际上并非完全不受影响。对于任何有限的 \(M\)，它都会获得一些动量和动能。

10这个概念接下来会引向哪里

弹性碰撞给出了一组非常强的约束条件。动量守恒告诉你系统中的运动如何重新分配，而动能守恒则排除了那些要求部分运动能量以形变、热或其他内能形式保留下来的结果。

这为你进一步用更一般的方法对碰撞进行分类做好了准备。在一个孤立系统中，动量是你预期会守恒的物理量。接下来需要判断的是动能发生了什么：如果动能也守恒，那么碰撞是弹性的；如果动能减少，那么碰撞就是非弹性的。

一旦真正掌握了这个区别，碰撞题就不再只是寻找“正确公式”。关键会变成：选择研究系统、规定方向约定，并准确判断具体物理情境允许你使用哪些守恒定律。