折射率：在 HSC 物理中使用 n = c/v

一個雷射脈衝先穿過 30 cm 的真空，再穿過 30 cm 的玻璃。哪一段需要較長時間？

玻璃那一段需要較長時間。光在玻璃中仍然傳播得非常快，但沒有在真空中那麼快。折射率是一個數值，用來表示光在某種材料中的傳播速度，比起在真空中的速度慢了多少。

在看方程式之前，先作一個預測。假設材料 A 的折射率是 \(1.3\)，材料 B 的折射率是 \(1.8\)。光在哪一種材料中傳播得較快？

材料 A。折射率越大，光速越低。以下方程式會清楚顯示原因。

01從比較速度開始

在真空中，光的傳播速度為

\[
c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

其中 \(c\) 是光在真空中的速度。

現在想像光進入玻璃。它的速度變成 \(v\)，其中 \(v\) 是光在該特定介質中的速度。

折射率就是比較這兩個速度：

\[
n = \frac{c}{v}
\]

其中：

• \(n\) 是介質的折射率
• \(c\) 是光在真空中的速度，\(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是光在介質中的速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)

這個方程式其實是在問：

真空中的光速是光在這種材料中速度的多少倍？

如果光在某種玻璃中的速度是 \(2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)，那麼

\[
n = \frac{3.00 \times 10^8}{2.00 \times 10^8} = 1.50
\]

所以，真空中的光速是光在這種玻璃中速度的 1.50 倍。

請注意，\(n\) 沒有單位。分子和分母都是速度，因此單位會互相約掉。

02為甚麼折射率越大，光速越低

方程式

\[
n = \frac{c}{v}
\]

顯示 \(n\) 和 \(v\) 之間存在反比關係。

由於 \(c\) 是常數，當 \(n\) 增加時，\(v\) 必須減小。

把方程式重新排列後，這一點會更清楚：

\[
v = \frac{c}{n}
\]

假設一種材料的 \(n=1.2\)，另一種材料的 \(n=1.5\)。

當 \(n=1.2\) 時，

\[
v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.2} = 2.50 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

當 \(n=1.5\) 時，

\[
v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.5} = 2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

折射率較高的材料，光速較低。

一個有用的想像方式，是把它想成跑步者在不同表面上前進。真空就像能讓跑步者達到最快速度的跑道。折射率較大的材料，就像一種令跑步者每秒前進距離較短的表面。

不過，這個類比有其限制。光並不是因為摩擦而真的被「拖慢」，光子也不是在玻璃中跑到疲倦的小跑步者。折射率描述的是電磁波如何在材料中傳播。對 HSC 的計算而言，重要的結果是：光在介質中的傳播速度低於 \(c\)。

03\(n=1\) 代表甚麼？

把 \(n=1\) 代入

\[
v = \frac{c}{n}
\]

便得到

\[
v=c
\]

因此，真空的折射率為 \(1\)。

對一般透明材料而言，折射率大於 \(1\)，所以光速低於 \(c\)。

例如，如果某種材料的 \(n=1.50\)，

\[
v=\frac{c}{1.50}
\]

因此，光在其中的速度是真空光速的三分之二。

這一點值得理解，而不是只靠背誦。折射率為 \(1.50\) 並不表示光以光速的 1.50 倍傳播，而是表示真空中的光速是光在材料中速度的 1.50 倍。

05小心「光變慢」這種說法

在 HSC 程度，說光在介質中傳播得較慢，對你需要計算的物理量而言既實用也正確。

不過，有一個細節值得弄清楚。你不應想像一條光線在穿越邊界時，因為速度變慢而以某種方式失去能量。

當光進入透明介質時：

• 它的頻率保持不變
• 它的傳播速度改變
• 因此，它的波長也會改變

任何波的速度關係式為

\[
v=f\lambda
\]

其中 \(f\) 是以赫茲為單位的頻率，而 \(\lambda\) 是以米為單位的波長。

如果 \(v\) 減小，而 \(f\) 保持不變，那麼 \(\lambda\) 也必須減小。

這把折射率與更廣泛的折射主題連繫起來。當光以一定角度進入新的介質時，正是這種速度改變最終導致傳播方向改變。

06最容易令人誤解的地方

學生看到 \(n=1.6\)，便想：「這種材料一定會令光傳播得快 1.6 倍。」

這聽起來似乎合理，因為較大的數字通常讓人聯想到「更多」。但看看 \(v\) 出現在哪裡：

\[
n=\frac{c}{v}
\]

介質中的速度位於分母。

較小的 \(v\) 會令分數變大。因此：

即使題目不需要計算，這也提供了一條很有用的比較規則。

如果鑽石的折射率高於水，你可以立即得出結論：光在鑽石中的傳播速度比在水中慢。

08不用把所有數值都算出來，也能比較兩種材料

假設介質 X 的 \(n=1.40\)，介質 Y 的 \(n=1.70\)。

哪一種介質中的光速較低？

你可以把兩個速度都算出來，但其實沒有必要。由於

\[
v=\frac{c}{n},
\]

較大的 \(n\) 會對應較小的 \(v\)。

所以，光在介質 Y 中傳播得較慢。

你甚至可以直接比較兩者的速度：

\[
v_X=\frac{c}{1.40}
\]

以及

\[
v_Y=\frac{c}{1.70}
\]

因此，

\[
\frac{v_X}{v_Y}
=
\frac{c/1.40}{c/1.70}
=
\frac{1.70}{1.40}
\approx1.21
\]

光在 X 中的傳播速度約為在 Y 中的 \(1.21\) 倍。

這種反比關係在較難的題目中特別有用，因為它讓你在拿出計算機之前，就能先根據折射率進行推理。

09折射率可以取決於波長

把一種材料視為只有一個固定折射率，通常是很有用的初步模型，但這並不是完整的情況。

對許多透明材料而言，折射率會隨波長稍微改變。因此，不同波長的可見光在同一種材料中可以有略為不同的傳播速度。

這種效應稱為色散。它有助於解釋為甚麼稜鏡能把白光分離成不同顏色。

不過，如果一道題目只給你一個 \(n\) 值，就應使用題目提供的數值來處理所考慮的光。除非題目提供了需要作額外修正的資料，否則不要自行加入額外修正。

10問題與解答

問題 1

光在一種透明聚合物中的傳播速度為 \(2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。計算其折射率。

解答 1

折射率為 \(\boxed{1.25}\)。

使用

\[
n=\frac{c}{v}
\]

其中 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(v=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)：

\[
n
=
\frac{3.00\times10^8}{2.40\times10^8}
=
1.25
\]

速度的單位互相約掉，因此折射率沒有單位。折射率大於 \(1\)，與光在聚合物中的傳播速度比在真空中慢的情況一致。

問題 2

一種透明晶體的折射率為 \(1.80\)。計算光在晶體中的傳播速度。

解答 2

光在晶體中的傳播速度為 \(\boxed{1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}}\)。

從

\[
n=\frac{c}{v}
\]

開始，並重新排列：

\[
v=\frac{c}{n}
\]

代入數值：

\[
v
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.80}
=
1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

結果小於 \(c\)，這與折射率 \(n>1\) 的材料所預期的情況一致。

問題 3

兩種透明材料 P 和 Q 的折射率分別為 \(1.25\) 和 \(1.50\)。

一名學生聲稱：「Q 的折射率大了 20%，所以光在 Q 中一定快 20%。」

解釋這個錯誤，並計算光在兩種材料中的速度。

解答 3

這名學生的結論剛好相反：光在 Q 中傳播得較慢，因為 Q 的折射率較大。

折射率和速度的關係為

\[
v=\frac{c}{n},
\]

所以兩者呈反比。

對 P 而言：

\[
v_P
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.25}
=
2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

對 Q 而言：

\[
v_Q
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.50}
=
2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\boxed{v_P=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
\]

以及

\[
\boxed{v_Q=2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
\]

陷阱在於把折射率誤當成與速度成正比。實際上並不是。在 \(v=c/n\) 中，分母 \(n\) 越大，速度就越小。

另外，折射率增加 20% 並不代表速度會降低 20%。兩者是反比關係，不能直接用百分比相減。

問題 4

一條 \(6.00\ \text{m}\) 的光學路徑由 \(3.00\ \text{m}\) 的材料 A 和接著的 \(3.00\ \text{m}\) 材料 B 組成。它們的折射率分別為 \(1.20\) 和 \(1.80\)。

計算光穿過這兩段所需的總時間。

解答 4

總傳播時間為 \(\boxed{3.00\times10^{-8}\ \text{s}}\)。

重要概念是，光在每一段中的速度不同，因此不能把整段 \(6.00\ \text{m}\) 距離當作具有同一個折射率來處理。

對材料 A：

\[
v_A
=
\frac{c}{n_A}
=
\frac{3.00\times10^8}{1.20}
=
2.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

其傳播時間為

\[
t_A
=
\frac{d_A}{v_A}
=
\frac{3.00}{2.50\times10^8}
=
1.20\times10^{-8}\ \text{s}
\]

對材料 B：

\[
v_B
=
\frac{c}{n_B}
=
\frac{3.00\times10^8}{1.80}
=
1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]

其傳播時間為

\[
t_B
=
\frac{d_B}{v_B}
=
\frac{3.00}{1.67\times10^8}
=
1.80\times10^{-8}\ \text{s}
\]

因此，

\[
t_{\text{total}}
=
t_A+t_B
=
1.20\times10^{-8}+1.80\times10^{-8}
=
3.00\times10^{-8}\ \text{s}
\]

所以，

\[
\boxed{t_{\text{total}}=3.00\times10^{-8}\ \text{s}}
\]

即使兩段長度相同，折射率較高的第二段仍會佔用較多傳播時間，因為光在那裡傳播得較慢。

問題 5

一名學生測得光在某種未知透明材料中的速度為 \(1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。他把其折射率報告為 \(0.50\)，理由是光的速度是真空光速的一半。

指出錯誤，並求出正確的折射率。

解答 5

正確的折射率是 \(\boxed{2.00}\)，而不是 \(0.50\)。

這名學生把比值顛倒了。

折射率的定義是

\[
n=\frac{c}{v},
\]

而不是 \(v/c\)。

代入測得的速度：

\[
n
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
{1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
=
2.00
\]

介質中的光速是真空光速的一半，意味著真空光速是介質中光速的兩倍。這正是 \(n=2.00\) 所表示的意思。

一個有用的檢查方法是：對一般透明介質而言，如果光在其中的傳播速度低於 \(c\)，就應有 \(n>1\)。因此，學生所得的 \(0.50\) 應該會令人懷疑。

問題 6

兩塊板的厚度相同。板 R 的折射率為 \(1.40\)，板 S 的折射率為 \(1.60\)。

一個光脈衝穿過板 R 需要 \(7.00\ \text{ns}\)。在不先計算任何一塊板厚度的情況下，求光脈衝穿過板 S 所需的時間。

解答 6

光脈衝穿過板 S 需要 \(\boxed{8.00\ \text{ns}}\)。

對厚度為 \(d\) 的板，

\[
t=\frac{d}{v}
\]

而由於

\[
v=\frac{c}{n},
\]

我們可以代入：

\[
t
=
\frac{d}{c/n}
=
\frac{dn}{c}
\]

當厚度相等時，\(d\) 和 \(c\) 都相同，因此傳播時間與折射率成正比：

\[
\frac{t_S}{t_R}
=
\frac{n_S}{n_R}
\]

代入數值：

\[
t_S
=
t_R\frac{n_S}{n_R}
=
7.00\ \text{ns}\times\frac{1.60}{1.40}
=
8.00\ \text{ns}
\]

所以，

\[
\boxed{t_S=8.00\ \text{ns}}
\]

關鍵的細節是：速度與折射率成反比，但穿越一段固定距離所需的時間則與折射率成正比。較高的 \(n\) 會帶來較低的速度，因此需要較長的傳播時間。

11接下來會延伸到哪裡

方程式 \(n=c/v\) 賦予折射率一個物理意義：它比較了光在真空中的速度與光在介質中的速度。

這種速度改變，是理解折射的起點。當光以一定角度到達邊界時，波前的一部分會比另一部分先進入新的介質。先進入的部分會先改變速度，使波前轉動，光線因而改變方向。

所以，之後使用斯涅耳定律時，不要把折射率只當成正弦旁邊一個莫名其妙的數字。它實際上告訴你，光如何在每一種介質中傳播。