HSC 物理：垂直向量分量的相加

你向东走 30 m，然后向北走 40 m。你走过的总路程是 70 m，但假设一位朋友从你的起点直线走到你的终点。他要走多远？

一个很容易想到的答案是 70 m。毕竟，\(30 + 40 = 70\)。但东和北是不同的方向，因此这些距离不能像普通数字一样直接相加。直线位移是 50 m。

这个简单的问题包含了垂直向量分量的核心概念：分别合并各方向的分量，然后利用这些分量重新组合成单一的合向量。

01先从图像开始

想像你在一个方格座标上移动。

• 向东 30 m 的移动只改变你的东西方向位置。
• 向北 40 m 的移动只改变你的南北方向位置。
• 你的最终位移从起点斜向指向终点。

这两段移动形成一个直角三角形的两条互相垂直的直角边。斜边就是合向量。

由于这两个分量互相垂直，可以利用毕氏定理求出大小：

\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]

这里的 \(R\) 是合位移的大小。

请注意 50 m 所代表的意义。它不是你实际走过的距离。你沿路径仍然走了 70 m。50 m 是你相对于起点的位移大小。

当向量代表位移、速度、加速度、力、电场，或任何同时具有大小和方向的物理量时，这项区别都十分重要。

02为甚么分量很有用

直接处理一个斜向向量有时会很麻烦。分量可以把它拆成两个较简单的部分：

• \(x\) 分量，通常是水平方向
• \(y\) 分量，通常是垂直方向

这两个分量互相垂直。

假设一个向量的分量为 \(R_x\) 和 \(R_y\)。它的大小为

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

其中：

• \(R\) 是合向量的大小
• \(R_x\) 是它的水平分量
• \(R_y\) 是它的垂直分量

这个关系成立，是因为两个分量形成直角三角形互相垂直的两条直角边。

这个方程式并不是凭空出现的特殊向量公式。它其实就是毕氏定理。

03分量需要正负号

现在还需要多一层精确性。

只说某个分量的大小是 8 N 并不足够。向东的 8 N 力和向西的 8 N 力并不相同。

一个实用的正负号约定是：

• 东或右：正 \(x\)
• 西或左：负 \(x\)
• 北或上：正 \(y\)
• 南或下：负 \(y\)

因此：

• 向东 6 m 表示为 \(R_x = +6\text{ m}\)
• 向西 6 m 表示为 \(R_x = -6\text{ m}\)
• 向北 4 m 表示为 \(R_y = +4\text{ m}\)
• 向南 4 m 表示为 \(R_y = -4\text{ m}\)

你也可以选择相反的约定。在物理学中，把哪个方向定为正方向并不重要；重要的是你必须保持一致。

因此，可以把向量分量想像成资金进出两个不同的银行帐户。东西方向有一个帐户，南北方向有另一个帐户。向西的分量可以抵消向东的分量，但不能直接抵消向北的分量。

这个比喻只到此为止。分量是具有方向的几何量，并不是真正的金融交易。

04先把同方向的分量相加

假设有几个向量同时作用。不要一开始就计算每个向量的大小，再把这些大小相加。

相反，先把所有 \(x\) 分量相加：

\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]

然后把所有 \(y\) 分量相加：

\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]

完成这两步之后，才重新组合出合向量：

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

这样可以得到大小。我们仍然需要求出方向。

05求回方向

假设合向量有正的水平分量和正的垂直分量。

如果方向角 \(\theta\) 是从正 \(x\) 轴量起，那么

\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]

所以

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]

对于向东 30 m、向北 40 m 的位移：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]

因此，位移为

\[ 50\text{ m，方向为东偏北 }53.1^\circ \]

「东偏北」这个说法很重要。它表示先面向东，再向北转 \(53.1^\circ\)。

如果改为从北方量角，角度就是

\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]

所以同一个方向也可以写成北偏东 \(36.9^\circ\)。

06计算机不知道向量在哪个象限

以下是一个常见陷阱。

假设

\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]

负的 \(x\) 分量代表向西。正的 \(y\) 分量代表向北。在使用计算机之前，你已经知道合向量指向西北方。

如果你计算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]

你得到的是向量与向西水平方向之间的锐角，也就是参考角。你仍然需要利用分量的正负号来判断正确的象限。

一个实用的判断表如下：

在求相对于水平方向的小角度时，通常最清楚的方法是使用分量的大小：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]

然后再利用正负号正确描述方向。

范例：两个互相垂直的位移分量

一辆研究探测车向东移动 9.0 m，再向北移动 12.0 m。求其合位移的大小和方向。

步骤 1：选择分量方向。

取东为正 \(x\) 方向，北为正 \(y\) 方向：

\[ R_x = 9.0\text{ m}, \qquad R_y = 12.0\text{ m} \]

步骤 2：利用毕氏定理求大小。

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(9.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{225} = 15.0\text{ m} \]

步骤 3：求相对于东方的方向。

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{9.0}\right) = 53.1^\circ \]

步骤 4：完整写出向量。

合位移为

\[ \boxed{15.0\text{ m，方向为东偏北 }53.1^\circ} \]

探测车距离起点 15.0 m，方向为从东向上偏 \(53.1^\circ\)。

范例：先把两个力的分量相加

两个力作用在一个小物体上。力 A 的水平分量为 \(+12\text{ N}\)，垂直分量为 \(-5\text{ N}\)。力 B 的水平分量为 \(-4\text{ N}\)，垂直分量为 \(+11\text{ N}\)。求合力的大小和方向。

步骤 1：将水平分量相加。

\[ R_x = 12 + (-4) = 8\text{ N} \]

所以合水平分量为向东 8 N。

步骤 2：将垂直分量相加。

\[ R_y = -5 + 11 = 6\text{ N} \]

所以合垂直分量为向北 6 N。

步骤 3：求合力的大小。

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ N} \]

步骤 4：求方向。

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) = 36.9^\circ \]

两个合分量都是正数，因此力位于东北象限。

所以，

\[ \boxed{R = 10\text{ N，方向为东偏北 }36.9^\circ} \]

最关键的一步发生在使用毕氏定理之前：我们先把所有水平方向的作用彼此相加，并把所有垂直方向的作用彼此相加。

07容易犯的错误：把大小直接相加

假设一个 10 N 的力向东作用，另一个 10 N 的力向北作用。

合力的大小是多少？

学生可能会猜是 20 N，因为有两个 10 N 的力。只有当两个力指向相同方向时，这个答案才正确。

对于互相垂直的力，

\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]

为甚么它小于 20 N？

因为两个力都没有把完整的 10 N 贡献在合力的方向上。这两个力指向不同方向。

这也告诉我们一个有用的大小范围。对于两个非零且互相垂直的分量，合向量的大小一定：

• 大于任一个个别分量
• 小于两个分量大小之和

对于 10 N 和 10 N 的分量：

\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]

这是一个快速检查计算机输入错误的方法。

08如果其中一个分量是零，会怎样？

当 \(R_x = 0\) 时，使用正切的方法需要特别小心。

假设

\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]

完全没有水平分量。这个向量只会指向南方，大小为 7 m/s。

尝试计算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]

并没有必要。分量本身已经告诉你方向。

还有一个更值得注意的边界情况：

\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]

那么

\[ R = 0 \]

零向量没有定义方向。因为根本没有箭头可以指向任何方向。

当两个或更多向量完全抵消时，这一点十分重要。

09一个可靠的方法

当你需要合并互相垂直的分量时，可以依照以下顺序：

1. 选定正 \(x\) 和正 \(y\) 方向。
2. 为每个分量写上正确的正负号。
3. 将所有 \(x\) 分量相加，求出 \(R_x\)。
4. 将所有 \(y\) 分量相加，求出 \(R_y\)。
5. 使用 \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) 求大小。
6. 利用分量的比值求参考角。
7. 利用 \(R_x\) 和 \(R_y\) 的正负号写出实际方向。
8. 检查大小和象限在物理上是否合理。

不要略过第 7 步。反正切计算可以给你一个角度，但不会告诉你完整的物理方向。

10问题与解答

问题 1

一个力的水平分量为向东 5.0 N，垂直分量为向北 12.0 N。求这个力的大小和方向。

解答 1

这个力为13.0 N，方向为东偏北 \(67.4^\circ\)。

取东和北为正方向：

\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]

大小为

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]

从东方量起的方向角为

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]

两个分量都是正数，因此向量指向东北方。

所以，

\[ \boxed{R = 13.0\text{ N，方向为东偏北 }67.4^\circ} \]

这个结果是合理的，因为 13.0 N 大于任一个分量，但小于 \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\)。

问题 2

一架无人机相对于地面的速度分量为向西 8.0 m/s 和向北 15.0 m/s。求其速率和方向。

解答 2

无人机的速度为17.0 m/s，方向为西偏北 \(61.9^\circ\)。

以东为正 \(x\) 方向、北为正 \(y\) 方向：

\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]

速率就是速度向量的大小：

\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]

对于从水平方向量起的参考角：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]

负的 \(x\) 分量和正的 \(y\) 分量表示向量位于西北象限。

所以，

\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s，方向为西偏北 }61.9^\circ} \]

一个常见错误是把方向写成东偏北 \(61.9^\circ\)。计算机只会给出参考角的大小，而分量的正负号才决定正确的象限。

问题 3

一个向量最初的分量为向东 6.0 N 和向北 8.0 N。之后，它的向东分量加倍，而向北分量保持不变。

有学生声称，向量的大小也一定会加倍。判断这个说法是否正确，并计算新的大小和方向。

解答 3

这个说法不正确。新向量的大小为 14.4 N，方向为东偏北 \(33.7^\circ\)，并不是原来大小的两倍。

最初，

\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

所以

\[ R_{\text{initial}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]

向东分量加倍后：

\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

新的大小为

\[ R_{\text{new}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]

方向为

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]

所以，

\[ \boxed{R_{\text{new}} = 14.4\text{ N，方向为东偏北 }33.7^\circ} \]

只把其中一个分量加倍，并不会令整个向量的大小加倍，因为另一个分量并没有改变。方向也会改变：由于向东分量变得更占主导，合向量会转得更接近东方。

问题 4

有四个分力作用在一个物体上：

• 向东 9.0 N
• 向西 4.0 N
• 向南 12.0 N
• 向北 7.0 N

求合力的大小和方向。

另一名学生直接把四个力的大小相加，得到 32 N。解释这个错误。

解答 4

合力为7.07 N，方向为东偏南 \(45.0^\circ\)。32 N 的答案是错的，因为方向相反的分量会互相部分抵消，而不是全部朝同一方向作用。

首先合并水平分量：

\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]

所以合水平分量为向东 5.0 N。

接著合并垂直分量：

\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]

所以合垂直分量为向南 5.0 N。

大小为

\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]

参考角为

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]

由于 \(R_x\) 为正，而 \(R_y\) 为负，因此合向量指向东南方。

所以，

\[ \boxed{R = 7.07\text{ N，方向为东偏南 }45.0^\circ} \]

直接计算 \(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\)，等于把每个力都当成沿同一直线、朝同一方向作用。这种做法既忽略了相反方向分量的抵消，也忽略了最终水平和垂直分量之间互相垂直的关系。

问题 5

把作用在一个物体上的所有力分量相加后，结果为

\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]

有学生写道：「大小是零，所以方向一定是 \(0^\circ\)。」

这个说法正确吗？解释合向量实际上告诉了你甚么有关物体的资讯。

解答 5

这名学生的结论不正确。合力的大小为 0 N，而且没有定义方向。

利用大小方程式：

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]

但是，方向是用来描述一个非零向量指向何处。零向量没有长度，因此不存在可以量度方向的箭头。把它的方向称为 \(0^\circ\)，会错误地暗示它指向东方。

合力为零也不会自动表示物体静止。根据牛顿第二定律，

\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]

所以，对于质量非零的物体，合力为零表示

\[ \vec a = 0 \]

因此，它的速度保持不变。物体可以是静止的，也可以已经以恒定速度运动。

这个边界情况提醒我们，分量所提供的资讯比计算机更多。在求角度之前，应先问：是否真的存在一个非零合向量，需要我们求它的方向？

当你掌握如何把互相垂直的分量相加并求回合向量之后，下一步就是反过来分解一个向量：由它的大小和角度出发，求出它的 \(x\) 和 \(y\) 分量。这其实是把同一套几何关系反向运用，也正因如此，我们才能逐个分量处理倾斜的力、速度、场和抛体运动。