平面上的距离与位移：HSC 物理指南

你的健身追踪器显示你走了 420 m。地图却显示，你最后的位置距离起点只有 110 m。哪一个测量结果错了？

两个都没有错。它们测量的是不同的量。距离关心的是你实际走过的整条路径。位移只关心从起始位置到最终位置的改变。

当运动发生在二维平面上时，这个差别尤其重要。只要一段路程同时包含东西方向和南北方向的运动，单纯把数字相加就不再足够。你需要用到向量。

01先从你能想像出来的路径开始

想像你先向东走 60 m，然后向左转，再向北走 80 m。

在开始计算之前，先预测一下：你的位移是 140 m 吗？

不可能。140 m 描述的是你实际走过的路径。你的位移是从起点到终点之间，位置改变所形成的直线。

这带出了第一个重要的区别：

纯量只有大小。向量同时具有大小和方向。

因此，140 m 是一个有效的距离。但这些资讯不足以描述位移，因为没有给出方向。

02位移不理会两个端点之间的路线

你可以把位移想像成一个非常没有耐性的朋友。你开始向他讲述整段旅程，他却打断你说：「好吧，但你从哪里出发，最后又到了哪里？」

中间发生的一切，对位移都没有影响。

形式上，位移为

\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]

其中：

• \(\Delta \vec r\) 是位移向量
• \(\vec r_i\) 是初始位置向量
• \(\vec r_f\) 是最终位置向量

三角形符号 \(\Delta\) 表示「变化量」。

这个定义解释了一个重要结果。如果你离开家，在外面走了 2 km，最后又回到家，你的距离是 2 km，但位移是零。

位移为零并不代表完全没有移动。

03二维运动中的向量相加

假设一个物体在到达最终位置之前移动了数次。每一次移动都可以用一个向量表示。

总位移就是这些向量的和：

\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]

其中每个 \(\vec d\) 都代表旅程中的一次位移。

进行这种加法主要有两种方法：

• 把向量首尾相接地画出来
• 把每个向量分解成互相垂直的分量，再把各分量相加

绘图法有助建立直观理解。分量法则更适合可靠地进行计算。

04为甚么不能总是立即使用毕氏定理

一个常见错误，是看到两个位移向量后便立即写出

\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]

这条方程只有在被平方的两个量是互相垂直的分量时才适用。

如果一个位移指向东北，另一个指向西，它们不一定互相垂直。你应该先把有角度的向量分解成东西方向和南北方向的分量。

这是大多数二维位移问题中的关键步骤。

05把向量分解成分量

假设一个大小为 \(d\) 的位移，方向为东偏北 \(\theta\)。

你可以把这一个倾斜的向量改写成两个互相垂直的向量：

\[ d_x = d\cos\theta \]

\[ d_y = d\sin\theta \]

其中：

• \(d_x\) 是水平分量
• \(d_y\) 是垂直分量
• \(d\) 是原本位移的大小
• \(\theta\) 是从正水平方向量度的角度

为甚么水平方向使用余弦，而垂直方向使用正弦？

在由这个向量形成的直角三角形中，水平分量是 \(\theta\) 的邻边，而垂直分量是 \(\theta\) 的对边。

因此：

\[ \cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \]

以及

\[ \sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \]

这个向量在物理上并没有真正分裂成两次运动。这些分量只是同一次运动的数学描述。

06计算前先选定正方向

正负号很重要，因为位移具有方向。

一种常见的约定是：

• 东：正 \(x\)
• 西：负 \(x\)
• 北：正 \(y\)
• 南：负 \(y\)

你也可以选择相反的约定，只要前后保持一致，仍然可以得到正确的物理结果。

例如，向西 25 m 可写成

\[ d_x=-25\text{ m} \]

而向北 12 m 可写成

\[ d_y=+12\text{ m} \]

负号并不表示「负的距离」。它只是记录沿着你所选座标轴的方向。

07先把分量相加，再求合向量

把每个位移分解后，将所有水平分量相加，再将所有垂直分量相加：

\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]

\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]

这里，\(\Delta x\) 是净水平位移，\(\Delta y\) 是净垂直位移。

然后计算总位移的大小：

\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

并利用三角学求出其方向。

这种方法之所以可行，是因为 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 互相垂直，即使原本的位移向量并不互相垂直。

08合向量的方向需要合理性检查

你的计算机可能会得出 \(30^\circ\) 之类的角度，但单凭一个角度，并不能告诉你向量位于哪一个象限。

假设你算出

\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]

这个位移同时指向西和北，因此必定位于西北象限。

如果你计算

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]

完整的方向应为西偏北 \(36.9^\circ\)。

在写出方向之前，必须先检查各分量的正负号。

计算机得出的结果，不能取代你判断向量实际指向哪一个方向。

09距离和位移遵循不同的规则

学生经常尝试把距离当成另一个需要用分量计算的量。

其实不是。

对于由数段直线组成的路程：

\[ \text{距离}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]

其中每个 \(d\) 都是其中一段路径的正长度。

对位移而言，方向则很重要：

\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]

这带出一条有用的规则：

\[ \text{位移的大小}\leq \text{走过的距离} \]

只有当物体从起点直接移动到终点，而且途中没有改变方向或折返时，两个量才会相等。

如果你的计算结果显示位移大小比走过的距离更大，那么计算一定出了问题。

10解答二维路程问题的可靠方法

对大多数 HSC 类型的位移问题，可依照以下步骤：

1. 选定正 \(x\) 和正 \(y\) 方向。
2. 把每个斜向位移分解成 \(x\) 和 \(y\) 分量。
3. 为每个分量加上正确的正负号。
4. 把所有 \(x\) 分量相加。
5. 把所有 \(y\) 分量相加。
6. 对净分量使用毕氏定理。
7. 利用三角学求出方向。
8. 检查正负号，以判断正确的象限。
9. 如果题目还要求距离，则另外把实际路径各段的长度相加。

最重要的概念是第 6 步。毕氏定理应该在最后才使用，也就是在你已经得到两个互相垂直的净分量之后。

11问题与解答

问题 1

一名单车手先向东骑 90 m，然后向北骑 120 m。

计算总行驶距离，以及单车手相对起点的位移。

解答 1

单车手行驶的距离为 210 m，而其位移为 150 m，方向是东偏北 \(53.1^\circ\)。

距离是完整的路径长度：

\[ \text{距离}=90+120=210\text{ m} \]

向东和向北的位移互相垂直，因此位移大小为

\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]

至于方向，

\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]

因此，位置的直线改变为 150 m，方向是东偏北 \(53.1^\circ\)。如果把 90 m 和 120 m 相加得到 210 m，算出的会是距离，而不是位移。

问题 2

一架测量无人机以东偏北 \(40^\circ\) 的方向飞行 150 m。之后，它向正南飞行 90 m。

求它相对起点的最终位移大小和方向。

解答 2

无人机的最终位移约为115 m，方向是东偏北 \(33^\circ\)。

首先分解 150 m 的位移：

\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]

\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]

第二次移动是向南 90 m，因此其垂直分量为 \(-90\text{ m}\)。

因此，

\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]

\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]

位移大小为

\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]

至于方向，

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]

因此，位移约为115 m，方向是东偏北 \(3.2^\circ\)。

这里的重要陷阱，是假设第二次的 90 m 移动可以直接从 150 m 的大小中减去。这是不可以的，因为两个向量并不位于同一直线上。只有同一方向轴上的对应分量，才可以直接相加或相减。

问题 3

一名学生先向东走 70 m，再向北走 40 m，接着向西走 70 m，最后向南走 10 m。

一名同学声称位移是零，因为向东和向西的移动互相抵消。

求走过的距离和实际位移，并解释该同学推理中的错误。

解答 3

学生走过的距离为 190 m，而其位移为向北 30 m。

总距离为

\[ \text{距离}=70+40+70+10=190\text{ m} \]

对位移而言，要把分量相加。

水平方向：

\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]

垂直方向：

\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]

因此，

\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]

该同学只说对了一部分。东西方向的分量确实互相抵消，但南北方向的分量并没有抵消。学生最后位于起点以北 30 m 的位置。

一个向量可以在其中一个维度上的位移为零，但总位移仍然不为零。

问题 4

两个位移向量的大小都是 50 m。它们之间的夹角为 \(60^\circ\)。

一名学生认为合位移一定是 100 m，因为 \(50+50=100\)。

在不假设两个向量互相垂直的情况下，求它们合向量的大小。

解答 4

合位移的大小约为86.6 m，而不是 100 m。

选择第一个 50 m 位移沿正 \(x\) 轴方向。它的分量为

\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]

第二个向量位于它上方 \(60^\circ\)，因此

\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]

\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]

所以净分量为

\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]

\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]

现在净分量互相垂直，因此可以使用毕氏定理：

\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]

\[ d\approx86.6\text{ m} \]

只有当两个位移都指向完全相同的方向时，该学生所得的 100 m 才会正确。

计算 \(\sqrt{50^2+50^2}\) 也同样错误，因为原本两个向量之间的夹角是 \(60^\circ\)，而不是 \(90^\circ\)。

问题 5

一台机械人首先以东偏北 \(30^\circ\) 的方向移动 100 m。然后，它向正西移动。

完成两次移动后，机械人位于起点的正北方。

求向西移动的距离，以及机械人的最终位移。

解答 5

机械人必须向西移动 86.6 m，而其最终位移为向北 50.0 m。

分解第一个位移：

\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]

\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]

要使机械人最后位于起点的正北方，它的净水平位移必须为零。

因此，向西的移动必须抵消向东 86.6 m 的分量：

\[ 86.6-d_{\text{west}}=0 \]

所以

\[ d_{\text{west}}=86.6\text{ m} \]

向西的移动没有垂直分量，因此向北 50.0 m 的分量保持不变。

因此，

\[ \Delta x=0 \]

\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]

而最终位移为向北 50.0 m。

这里隐藏的关键概念是，「正北方」不只是对角度的描述。它施加了一个数学限制：最终的水平分量必须等于零。

12这会为下一步带来甚么

把位移分解成分量，不只是解答路程问题的一个技巧。同样的结构会在 HSC Physics 的不同部分反复出现。

速度可以分解成水平和垂直分量。加速度和力也可以。抛体运动之所以变得容易处理，是因为我们可以先分别分析水平和垂直方向的运动，再把它们重新组合。

要养成的习惯很简单：当一个向量问题看起来很复杂时，先问自己哪些部分沿着你所选的座标轴。先把这些分量相加。只有在各个独立方向都已经清楚之后，才重新建立合向量。