侧风中的飞机：航向、地面航迹与风

有一架飞机机头正朝东，发动机使它相对空气保持稳定速度，但站在地面上的观察者却看见它向东北方向漂移。

并没有任何东西把飞机的机头推向另一个方向。那么，它怎么会朝著与机头所指不同的方向移动呢？

继续阅读之前，先作一个预测。假设飞机相对周围空气以 \(80\text{ m s}^{-1}\) 向东移动，而风使这些空气以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 向北移动。地面上的观察者会看见飞机向东、向北，还是朝两者之间的某个方向移动？

答案是两者之间。飞机相对空气有一个速度，而移动中的空气本身相对地面又有另一个速度。地面观察者看到的是这两个速度的组合。

这一个概念就能解释飞机的航向与地面航迹之间的差异。

01先从同时发生的两种运动开始

想像你在机场的一条移动步道上，笔直地横向走过去。

相对于步道，你是直接向侧面移动。但步道本身同时把你向前带。站在静止地面上的人会看到你沿对角线方向移动。

飞机在风中飞行时，道理相同：

• 飞机相对周围空气移动
• 空气相对地面移动
• 因此，飞机相对地面的速度，是这两种运动的速度组合

这个类比之所以有用，是因为它把两种运动分开来看。它的限制在于，真实飞机可以改变速度和方向，而机场的移动步道通常具有固定的运动。不过，对 HSC 的向量题来说，这个基本的向量相加概念正是我们所需要的。

我们可以把这个关系写成

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

其中：

• \(\vec v_{PG}\) 是飞机相对地面的速度
• \(\vec v_{PA}\) 是飞机相对空气的速度
• \(\vec v_{AG}\) 是空气相对地面的速度，也就是风速

这些下标值得按字面来理解。\(PG\) 表示「飞机相对地面」。\(PA\) 表示「飞机相对空气」。\(AG\) 表示「空气相对地面」。

这是一条向量方程。方向和大小同样重要。

02航向与地面航迹不是同一回事

航向是飞机机头所指的方向。

在简化的 HSC 模型中，飞机相对空气的速度 \(\vec v_{PA}\) 沿著航向方向。

地面航迹是飞机实际在地球表面上方移动的方向，也就是 \(\vec v_{PG}\) 的方向。

没有风时，

\[ \vec v_{AG}=0 \]

所以

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA} \]

此时航向与地面航迹相同。

有侧风时，它们通常就不同。

这个差别很容易被忽略，因为在许多较早接触的力学题目中，物体的运动方向就是它正在前进的方向。但在这里，我们必须问：相对于什么而移动？

「相对于」这几个字，承担了这里大部分的物理概念。

04为什么飞行员要朝侧风方向偏转机头

假设上一个例子中的飞机实际上需要保持正向东的地面航迹。

机头正朝东并不可行。向北的风速分量会使飞机发生漂移。

飞行员应该怎样做？

一个很自然的预测是，飞机应该朝东南方向，这是正确的。它相对空气的速度必须有一个向南的分量，恰好抵消向北的风速。

这称为风修正。

重要的概念不是把「逆著风转」当成死记硬背的规则。真正的要求是

\[ \text{飞机的横向速度分量}+\text{风的横向速度}=0. \]

如果这两个分量互相抵消，合成后的地面速度就没有横向分量。

想像一场安排得有点尴尬的第一次约会，其中一个人不停向北乱走，另一个人则不停把谈话往南拉。如果这两种倾向大小相等、方向相反，两个人居然还是可以一起向东移动。这个类比所代表的是向量分量的互相抵消。至于开始追问为什么两个人要这样走时，这个类比就不再有用了。

06使用分量可令侧风问题容易得多

对于简单的互相垂直向量，一个三角形通常已经足够。对于方向较不方便的情况，可以把每个速度分解成分量。

选择向东为正 \(x\) 方向，向北为正 \(y\) 方向。

那么

\[ v_{PG,x}=v_{PA,x}+v_{AG,x} \]

以及

\[ v_{PG,y}=v_{PA,y}+v_{AG,y}. \]

知道合速度的分量后，其大小为

\[ v_{PG}=\sqrt{v_{PG,x}^{\,2}+v_{PG,y}^{\,2}} \]

而方向则可以利用三角函数求出。

例如，如果

\[ v_{PG,x}=70\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}, \]

那么

\[ v_{PG}=\sqrt{70^2+25^2}=74.3\text{ m s}^{-1}. \]

东偏北的角度为

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{25}{70}\right)=19.7^\circ. \]

所以速度为 \(74.3\text{ m s}^{-1}\)，方向是东偏北 \(19.7^\circ\)。

最重要的判断始终相同：把各个速度分解到同一组座标方向上，然后把相对应的分量相加。

07小心风向的描述

在物理计算中，风速向量必须描述空气实际移动的方向。

所以，如果空气以 \(20\text{ m s}^{-1}\) 向北移动，那么

\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ 向北}. \]

日常语言和气象学中的风向描述，有时会使用风所吹来自的方向。例如，「南风」一般表示风从南方吹来，向北方移动。

这种用语很容易造成原本可以避免的正负号错误。

在 HSC 计算中，先把文字描述转换成真正的向量，再进行任何数学运算：

空气正朝哪个方向移动？

知道答案之后，就把箭头画向那个方向。

08最常见的误解：风把飞机向侧面推

说「风把飞机向北推」有时可以帮助你想像结果，但对这类相对速度问题来说，这并不是最清楚的模型。

方程

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

描述的是在不同参考系中测量的速度。它不是一条力的方程。

这个区别很重要，因为速度和力回答的是不同的问题。

速度计算告诉你，飞机相对空气的运动如何与空气相对地面的运动结合。

力的计算则会涉及升力、阻力、推力、加速度和牛顿定律等量。这些概念对理解飞机如何建立或改变自身速度十分重要，但如果只是要把相对空气的速度转换成相对地面的速度，就不需要用到它们。

所以，不要自动画出一个「风力」然后尝试使用 \(F=ma\)。如果题目给的是速度，并询问航向、航迹或地速，通常就是一道向量相加问题。

09一个有用的极限情况

假设一架飞机的空速为 \(50\text{ m s}^{-1}\)，而侧风以 \(60\text{ m s}^{-1}\) 向北移动。飞行员能否选择某个航向，使地面航迹正向东？

先预测，再计算。

要正向东移动，飞机需要一个 \(60\text{ m s}^{-1}\) 向南的空气速度分量来抵消风。

但飞机的全部空速只有 \(50\text{ m s}^{-1}\)。

一个大小为 \(50\text{ m s}^{-1}\) 的向量，不可能有任何一个分量的大小达到 \(60\text{ m s}^{-1}\)。

所以这是不可能的。

在数学上，我们需要

\[ 50\sin\theta=60, \]

这会得到

\[ \sin\theta=1.2. \]

不存在正弦值大于 1 的实数角。

这不只是计算机出错而已。它具有实际的物理意义：飞机无法产生足够大的横向空气速度来抵消风。

正是这类极限情况的推理，让向量计算真正成为物理学。

10解答 HSC 题目的可靠方法

看到飞机与风的题目时，可以依照以下步骤：

1. 说明参考系。 找出飞机相对空气的速度，以及空气相对地面的速度。

2. 写出向量关系。

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]

1. 选择座标方向。 东西方向和南北方向通常最方便。

2. 把有角度的向量分解成分量。

3. 连同正负号相加各分量。 如果把北和东定为正方向，那么向南和向西的分量就是负值。

4. 如有需要，求合向量的大小和方向。

5. 解释方向的意义。 明确说明它是航向还是地面航迹。

最后一步可以避免一个非常常见的错误：三角形完全算对了，却把最后的角度说成错误的物理方向。

11问题与解答

问题 1

一架飞机机头正向北，相对空气以 \(90\text{ m s}^{-1}\) 飞行。风以 \(40\text{ m s}^{-1}\) 向东移动。

求飞机的地速以及地面航迹方向。

解答 1

飞机的地速约为 \(\boxed{98.5\text{ m s}^{-1}}\)，地面航迹为 \(\boxed{\text{北偏东 }24.0^\circ}\)。

飞机相对空气的速度与风速互相垂直：

\[ v_{PA}=90\text{ m s}^{-1}\text{ 向北} \]

以及

\[ v_{AG}=40\text{ m s}^{-1}\text{ 向东}. \]

利用

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]

地面速度的大小为

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{90^2+40^2}\\ &=\sqrt{9700}\\ &=98.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

设 \(\theta\) 为北偏东的角度。那么

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{40}{90}\\ \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{90}\right)\\ &=24.0^\circ. \end{aligned} \]

飞机的航向仍然正向北，但它的地面航迹是北偏东 \(24.0^\circ\)。常见陷阱是认为飞机机头所指的方向必定也是它相对地面移动的方向。

问题 2

一架飞机的空速为 \(150\text{ m s}^{-1}\)。风以 \(45\text{ m s}^{-1}\) 向西移动。飞行员希望地面航迹正向北。

求：

a. 所需的航向，以北偏东的角度表示

b. resulting 地速。

解答 2

所需航向为 \(\boxed{\text{北偏东 }17.5^\circ}\)，而 resulting 地速约为 \(\boxed{143\text{ m s}^{-1}}\)。

要使地面航迹正向北，飞机地面速度的东西方向分量必须为零。

风提供

\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ 向西}. \]

因此，飞机必须提供一个大小相等的分量，

\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ 向东}. \]

设 \(\theta\) 为飞机北偏东的航向角。由于空速为 \(150\text{ m s}^{-1}\)，

\[ \begin{aligned} 150\sin\theta&=45\\ \sin\theta&=0.300\\ \theta&=17.5^\circ. \end{aligned} \]

对 a 部分，

\[ \boxed{\theta=\text{北偏东 }17.5^\circ}. \]

飞机相对空气速度的向北分量为

\[ \begin{aligned} v_{\text{north}} &=150\cos(17.5^\circ)\\ &=143\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

风没有南北方向的分量，所以

\[ \boxed{v_{PG}=143\text{ m s}^{-1}\text{ 向北}}. \]

地速小于空速，因为飞机的一部分空气速度被用来抵消横向的风。

问题 3

一架飞机的空速为 \(120\text{ m s}^{-1}\)，航向是东偏北 \(20^\circ\)。同时，风速为 \(35\text{ m s}^{-1}\)，正向南。

求飞机的地面速度，包括速度大小和方向。

解答 3

飞机的地面速度约为 \(\boxed{113\text{ m s}^{-1}}\)，方向为 \(\boxed{\text{东偏南 }2.5^\circ}\)。

取向东为正 \(x\) 方向，向北为正 \(y\) 方向。

飞机相对空气的速度分量为

\[ \begin{aligned} v_{PA,x}&=120\cos20^\circ\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} v_{PA,y}&=120\sin20^\circ\\ &=41.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

风速正向南，所以

\[ v_{AG,x}=0 \]

以及

\[ v_{AG,y}=-35\text{ m s}^{-1}. \]

把相应的分量相加，

\[ \begin{aligned} v_{PG,x}&=112.8+0\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} v_{PG,y}&=41.0-35\\ &=6.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

这个结果其实仍然稍微偏向东的北方，而不是南方。因此，正确方向应由下式求出：

\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{112.8}\right)\\ &=3.0^\circ. \end{aligned} \]

地速为

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{112.8^2+6.0^2}\\ &=113.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{v_{PG}\approx113\text{ m s}^{-1}\text{，方向为东偏北 }3.0^\circ}. \]

关键推理在于正负号。飞机的航向使它具有 \(41.0\text{ m s}^{-1}\) 的向北分量，而风只抵消其中 \(35\text{ m s}^{-1}\)。快速画一张草图或检查各分量，可以避免一个很有诱惑力但错误的结论：只要有向南的风，地面航迹就一定会偏到东方以南。

问题 4

一架飞机可以维持 \(70\text{ m s}^{-1}\) 的空速。它需要沿著正向东的地面航迹飞行。风正向北移动。

对以下每一个风速，判断正向东的地面航迹是否可能。如果可能，求所需航向。

a. \(42\text{ m s}^{-1}\)

b. \(70\text{ m s}^{-1}\)

c. \(75\text{ m s}^{-1}\)

对任何无法向东飞行的情况，解释其物理原因。

解答 4

a 部分可以形成正向东的航迹；b 部分是向东速度为零的极限情况；c 部分则不可能。

要形成正向东的地面航迹，飞机必须产生一个向南的空气速度分量，其大小等于向北的风速。

对 a 部分，

\[ 70\sin\theta=42. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \sin\theta&=0.600\\ \theta&=36.9^\circ. \end{aligned} \]

所以飞机必须采取

\[ \boxed{\text{东偏南 }36.9^\circ} \]

的航向。

它向东的地速为

\[ \begin{aligned} v_{PG} &=70\cos36.9^\circ\\ &=56.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

对 b 部分，

\[ 70\sin\theta=70, \]

所以

\[ \sin\theta=1 \]

以及

\[ \theta=90^\circ. \]

飞机必须把机头正向南。它全部的 \(70\text{ m s}^{-1}\) 空速都会被用来抵消 \(70\text{ m s}^{-1}\) 向北的风。

因此，它向东的分量为

\[ 70\cos90^\circ=0. \]

所以它的合地面速度会是零。它可以避免向北漂移，但实际上无法向东前进。这就是极限情况。

对 c 部分，要抵消风就需要

\[ 70\sin\theta=75, \]

也就是

\[ \sin\theta=\frac{75}{70}=1.07. \]

没有任何实数角能满足这个条件。

因此，当风速为 \(75\text{ m s}^{-1}\) 时，正向东的地面航迹

\[ \boxed{\text{不可能}}. \]

物理原因是，飞机需要一个比其总空速 \(70\text{ m s}^{-1}\) 更大的向南速度分量。一个向量的任何分量都不可能超过该向量本身的大小。

微妙之处在于 b 部分。仅仅能够抵消横向风，并不保证飞机可以沿目标航迹有效前进。当风速恰好等于这个极限值时，已经没有任何速度剩下来用于向前移动。

问题 5

两名学生分析同一个情况。

一架飞机相对空气以 \(100\text{ m s}^{-1}\) 正向东飞行。风以 \(25\text{ m s}^{-1}\) 向北移动。

学生 A 说：

「飞机一定会向北加速，因为它的地面速度具有向北的分量。」

学生 B 说：

「即使没有向北的加速度，飞机仍然可以具有恒定的向北地面速度分量。」

哪一名学生正确？解释为什么飞机即使航向仍然向东，也可以用恒定速度向东北移动。

解答 5

\[ \boxed{\text{学生 B 正确。}} \]

存在向北的速度分量，并不会自动表示必须存在向北的加速度。

飞机的地面速度为

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}. \]

如果飞机相对空气的速度与风速都保持不变，那么它们的向量和也保持不变。

各分量为

\[ v_{PG,x}=100\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}. \]

因此，飞机以恒定的东北向地面速度移动。它相对地面的加速度因此为

\[ \boxed{\vec a=0}. \]

航向可以仍然向东，因为航向描述的是 \(\vec v_{PA}\) 的方向，也就是飞机相对周围空气的速度方向。移动中的空气本身会把飞机相对地面向北带动。

学生 A 的错误在于混淆了速度和加速度。物体不需要在其每一个速度分量的方向上都受到一个力。只有当速度发生改变时，才需要加速度。

12这个概念接下来会延伸到哪里

侧风问题是相对速度的一个例子；对同一个物体，不同观察者可以测得不同的速度。

当你熟悉如何理解像下面这样的方程：

\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]

同样的推理也可以应用于船只横越水流、人在移动中的交通工具内行走，以及其他从不同参考系观察的运动。

一个很有用的习惯，是不要只问「它的速度是多少？」，而要进一步问：「它是相对于什么的速度？」

正是这个问题，把飞机的航向与它实际相对地面的航迹区分开来。