HSC 物理：二维相对位置与运动

想像你站在一艘向东行驶的渡轮上，同时一艘快艇沿东北方向横越港湾。岸上的人测得快艇的一个速度，而你测得另一个速度。这两个测量结果都不一定是错的。

在进行任何数学运算之前，先预测一下：如果快艇和渡轮刚好以完全相同的速度运动，从渡轮上看，快艇会是甚么样子？

它看起来会是静止的。它相对于你的速度会是零。

这个简单的概念就是二维相对运动的核心。我们透过相减两个物体的位置向量或速度向量来比较它们。

01从位置开始：A 相对于 B 在哪里？

假设两个物体 A 和 B 正在一个平面上运动。位于固定原点的观察者测得它们的位置向量：

• \(\vec r_A\)：A 的位置
• \(\vec r_B\)：B 的位置

两个向量都必须从同一个原点量度，而且是在同一时刻量度。

现在想像你正坐在 B 上。你其实不太在意 A 相对于某个遥远原点的位置。你在意的是 A 相对于你的位置。

由 B 指向 A 的向量是：

\[ \vec r_{A/B} = \vec r_A - \vec r_B \]

这里，\(\vec r_{A/B}\) 表示「A 相对于 B 的位置」。

为甚么要相减？

想像两位朋友站在公园里。一位朋友位于 \((8,5)\) m，另一位位于 \((3,2)\) m。

从第二位朋友的角度来看，第一位朋友的位置是：

\[ (8,5) - (3,2) = (5,3)\text{ m} \]

因此，第一位朋友位于第二位朋友以东 5 m、以北 3 m。

相减会消去它们相对于原来原点所共有的那一部分位置。

一个有点滑稽的类比，是比较两个人的银行余额。如果 Alex 有 $80，而 Bailey 有 $50，那么 Alex 比 Bailey 多 $30。相对位置的概念也很相似，不过我们相减的是向量，所以方向也很重要。

这个类比到这里就不再适用了。位置具有空间方向，而且会随物体移动而连续改变。

02以分量表示相对位置

对于平面上的运动，通常最容易的方法是使用水平和垂直分量。

如果

\[ \vec r_A = x_A\hat i + y_A\hat j \]

而

\[ \vec r_B = x_B\hat i + y_B\hat j \]

那么

\[ \vec r_{A/B} = (x_A-x_B)\hat i + (y_A-y_B)\hat j \]

其中：

• \(x_A\) 和 \(x_B\) 是 A 和 B 的水平座标，通常以米为单位
• \(y_A\) 和 \(y_B\) 是垂直座标
• \(\hat i\) 是正 \(x\) 方向的单位向量
• \(\hat j\) 是正 \(y\) 方向的单位向量

在涉及罗盘方向的问题中，我们通常选择：

• 东为正 \(x\)
• 北为正 \(y\)

这种选择并不是强制的。重要的是你要选定座标轴，并始终一致地使用它们。

范例：无人机相对于船在哪里？

一架无人机相对于某个港口标记的位置是 \((420,310)\) m。一艘船相对于同一标记的位置是 \((170,190)\) m。求无人机相对于船的位置。

步骤 1：写出相对位置方程式。

\[ \vec r_{\text{无人机/船}} = \vec r_{\text{无人机}} - \vec r_{\text{船}} \]

步骤 2：将对应的分量相减。

\[ \begin{aligned} \vec r_{\text{无人机/船}} &= (420-170)\hat i + (310-190)\hat j\\ &= 250\hat i + 120\hat j\text{ m} \end{aligned} \]

步骤 3：解释这些分量。

无人机位于船以东 250 m、以北 120 m。

如果我们想求它们之间的直线距离：

\[ \begin{aligned} |\vec r_{\text{无人机/船}}| &= \sqrt{250^2+120^2}\\ &\approx 277\text{ m} \end{aligned} \]

相对位置向量提供的资讯不只是距离。它同时告诉我们距离和方向。

03现在让两个物体都移动

位置告诉我们在某一时刻 A 相对于 B 在哪里。通常，更有用的问题是这个相对位置如何随时间改变。

假设：

• A 的速度为 \(\vec v_A\)
• B 的速度为 \(\vec v_B\)

将相对位置方程式对时间微分：

\[ \vec r_{A/B} = \vec r_A-\vec r_B \]

因此

\[ \vec v_{A/B} = \vec v_A-\vec v_B \]

这就是相对速度的核心方程式。

\[ \boxed{\vec v_{A/B} = \vec v_A-\vec v_B} \]

它的意思是：

从 B 观察到的 A 的速度 = A 的速度减去 B 的速度。

次序很重要。

\[ \vec v_{A/B} \neq \vec v_{B/A} \]

相反地，

\[ \vec v_{B/A}=-\vec v_{A/B} \]

如果我看到你以 4 m s\(^{-1}\) 向东北移动，你就会看到我以 4 m s\(^{-1}\) 向西南移动。

大小相同，方向相反。

04为甚么相对速度是向量相减

假设两辆汽车沿相邻车道向东行驶。

A 车以 25 m s\(^{-1}\) 行驶，而 B 车以 20 m s\(^{-1}\) 行驶。

从路旁看，A 以 25 m s\(^{-1}\) 移动。不过，从 B 看，A 只会以以下速度慢慢向前拉开距离：

\[ v_{A/B}=25-20=5\text{ m s}^{-1} \]

现在改变 B 的速度。如果 B 以 20 m s\(^{-1}\) 向西移动，我们把它表示为 \(-20\text{ m s}^{-1}\)。

那么：

\[ v_{A/B}=25-(-20)=45\text{ m s}^{-1} \]

相减仍然适用。正负号包含了方向资讯。

在二维情况中，完全相同的概念仍然适用，只是相减要逐个分量进行。

05平面上的相对速度

假设

\[ \vec v_A=v_{Ax}\hat i+v_{Ay}\hat j \]

而

\[ \vec v_B=v_{Bx}\hat i+v_{By}\hat j \]

那么：

\[ \vec v_{A/B} = (v_{Ax}-v_{Bx})\hat i + (v_{Ay}-v_{By})\hat j \]

得到各分量后，其大小为：

\[ |\vec v_{A/B}| = \sqrt{(v_{Ax}-v_{Bx})^2+(v_{Ay}-v_{By})^2} \]

如果需要求方向，可以利用相对速度的分量做三角运算。

例如，如果相对速度为 \(6\hat i+8\hat j\text{ m s}^{-1}\)，那么它的大小为：

\[ \sqrt{6^2+8^2}=10\text{ m s}^{-1} \]

方向为：

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\approx53.1^\circ \]

因此，相对于 B，A 以 \(10\text{ m s}^{-1}\) 运动，方向为东偏北 \(53.1^\circ\)。

判断方向时要小心。反正切函数会给你一个角度，但分量的正负号才会告诉你向量实际位于哪一个象限。

06最容易犯的错误：相减速率而不是速度

考虑两架飞机：

• A 以 \(200\text{ m s}^{-1}\) 向东飞行
• B 以 \(200\text{ m s}^{-1}\) 向北飞行

有学生可能会说：

「它们的速率相同，所以它们的相对速率是零。」

如果只看数字，这似乎很合理。

但速度包含方向。

以东为 \(+x\)、北为 \(+y\)：

\[ \vec v_A=200\hat i \]

\[ \vec v_B=200\hat j \]

因此：

\[ \vec v_{A/B} = 200\hat i-200\hat j \]

相对速率为：

\[ |\vec v_{A/B}| = \sqrt{200^2+(-200)^2} \approx283\text{ m s}^{-1} \]

相同的速率并不表示相对速度为零。相对速度为零要求两者的速度向量相同。

也就是大小和方向都相同。

07一个实用的判断规则

每当你看到相对运动问题时，问自己：

「我要描述的是谁的运动？它是相对于谁？」

然后先写标记，再代入数值。

例如：

\[ \vec v_{\text{飞机/空气}} = \vec v_{\text{飞机}} - \vec v_{\text{空气}} \]

或

\[ \vec v_{\text{船/水}} = \vec v_{\text{船}} - \vec v_{\text{水}} \]

这种符号可以避免其中一个最常见的错误：把相减次序颠倒。

一个可靠的文字记法是：

第一个物体减去第二个物体。

所以「A 相对于 B」就是 \(A-B\)。

08范例：两艘船向不同方向移动

A 船以 \(12.0\text{ m s}^{-1}\) 向东行驶。B 船以 \(8.0\text{ m s}^{-1}\) 行驶，方向为东偏北 \(30^\circ\)。求 A 相对于 B 的速度。

步骤 1：选择座标轴。

令东为 \(+x\)，北为 \(+y\)。

A 船的分量为：

\[ \vec v_A=12.0\hat i\text{ m s}^{-1} \]

首先必须把 B 船的速度分解成分量：

\[ \begin{aligned} v_{Bx}&=8.0\cos30^\circ=6.93\text{ m s}^{-1}\\ v_{By}&=8.0\sin30^\circ=4.00\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

因此：

\[ \vec v_B = 6.93\hat i+4.00\hat j\text{ m s}^{-1} \]

步骤 2：用 A 的速度减去 B 的速度。

\[ \begin{aligned} \vec v_{A/B} &=\vec v_A-\vec v_B\\ &=(12.0-6.93)\hat i+(0-4.00)\hat j\\ &=5.07\hat i-4.00\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

负的垂直分量表示，相对于 B，A 看起来向南移动。

步骤 3：求大小。

\[ \begin{aligned} |\vec v_{A/B}| &=\sqrt{5.07^2+(-4.00)^2}\\ &=6.46\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 4：求方向。

相对速度具有正的向东分量和负的向北分量，所以它指向东偏南。

\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{4.00}{5.07}\right)\\ &=38.3^\circ \end{aligned} \]

因此：

\[ \boxed{\vec v_{A/B}=6.46\text{ m s}^{-1},\ \text{东偏南 }38.3^\circ} \]

从 B 船上看，A 船似乎斜向东南移动，尽管相对于岸边，A 实际上正向正东行驶。

09相对速度的三角形形式

方程式

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

可以改写为：

\[ \vec v_A=\vec v_{A/B}+\vec v_B \]

当某个速度很自然地是相对于移动中的介质或观察者来量度时，这种形式特别有用。

例如，飞机相对于地面的运动可以表示为：

\[ \vec v_{\text{飞机/地面}} = \vec v_{\text{飞机/空气}} + \vec v_{\text{空气/地面}} \]

这里：

• \(\vec v_{\text{飞机/空气}}\) 是飞机相对于周围空气的速度
• \(\vec v_{\text{空气/地面}}\) 是风速
• \(\vec v_{\text{飞机/地面}}\) 是固定在地面的观察者量得的速度

这不是一条新的定律。它只是把同一个相对速度关系重新排列。

10范例：侧风中的研究无人机

一架无人机必须相对于地面以 \(15.0\text{ m s}^{-1}\) 向正北飞行。风以 \(6.0\text{ m s}^{-1}\) 向东吹。求无人机相对于空气所必须具有的速度。

一开始，你可能会预测无人机只需要朝正北飞。

但它不能这样做。如果它相对于空气朝正北飞，风就会把它吹向东方。它必须稍微朝西，使它相对于空气的向西运动抵消向东的风速。

步骤 1：写出速度关系。

\[ \vec v_{\text{无人机/地面}} = \vec v_{\text{无人机/空气}} + \vec v_{\text{空气/地面}} \]

重新排列：

\[ \vec v_{\text{无人机/空气}} = \vec v_{\text{无人机/地面}} - \vec v_{\text{空气/地面}} \]

步骤 2：把所需的地面速度和风速写成分量形式。

以东为 \(+x\)、北为 \(+y\)：

\[ \vec v_{\text{无人机/地面}} = 0\hat i+15.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ \vec v_{\text{空气/地面}} = 6.0\hat i+0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

步骤 3：相减向量。

\[ \begin{aligned} \vec v_{\text{无人机/空气}} &=(0-6.0)\hat i+(15.0-0)\hat j\\ &=-6.0\hat i+15.0\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 4：求所需的空速。

\[ \begin{aligned} |\vec v_{\text{无人机/空气}}| &=\sqrt{(-6.0)^2+15.0^2}\\ &=\sqrt{261}\\ &=16.2\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步骤 5：求航向。

速度方向为北偏西。

\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{15.0}\right)\\ &=21.8^\circ \end{aligned} \]

因此，无人机必须以以下速度飞行：

\[ \boxed{16.2\text{ m s}^{-1},\ \text{北偏西 }21.8^\circ} \]

这个航向会产生 \(6.0\text{ m s}^{-1}\) 的向西分量，恰好抵消风的向东速度。因此，最终相对于地面的运动是向正北。

11相对位置会依照相对速度而改变

位置方程式和速度方程式彼此相连。

在速度恒定时：

\[ \vec r_{A/B}(t) = \vec r_{A/B}(0) + \vec v_{A/B}t \]

其中：

• \(\vec r_{A/B}(0)\) 是 A 相对于 B 的初始位置
• \(\vec v_{A/B}\) 是 A 相对于 B 的恒定速度
• \(t\) 是经过的时间，以秒为单位
• \(\vec r_{A/B}(t)\) 是经过时间 \(t\) 后的相对位置

这个方程式可以把许多「它们会相遇吗？」或「它们最接近时有多近？」的问题转化成普通的运动问题。

其中有一种情况特别重要。

如果：

\[ \vec r_{A/B}(t)=\vec 0 \]

那么 A 和 B 在该时刻位于同一位置。

在速度恒定的情况下，要发生碰撞或拦截，同一个 \(t\) 值必须使相对位置的两个分量都等于零。

最后这个条件很重要。在某一时间有 \(x=0\)，而另一时间有 \(y=0\)，并不代表物体会碰撞。

12相对加速度

相同的规律可以继续延伸。

从：

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

再次微分：

\[ \vec a_{A/B}=\vec a_A-\vec a_B \]

其中 \(\vec a_{A/B}\) 是 A 相对于 B 的加速度。

如果两个物体具有完全相同的加速度，那么：

\[ \vec a_{A/B}=\vec 0 \]

它们的相对速度会保持不变。

这个简单模型有一个重要限制。我们的方程式假设观察者所使用的座标轴彼此保持平行，不会互相旋转。旋转参考系需要额外的项，因为观察者座标轴方向的改变会影响所量得的运动。

对于标准 HSC 相对运动题中涉及平移观察者的情况，向量相减就是你需要使用的模型。

13一种简洁的解题整理方式

当二维相对运动问题变得复杂时，可以依照以下次序：

1. 选定正 \(x\) 和正 \(y\) 方向。
2. 画出或辨认每一个相关的速度向量。
3. 把有角度的向量分解成分量。
4. 明确判断题目要求哪一个相对量。
5. 先写符号方程式，例如 \(\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B\)。
6. 相减 \(x\) 分量。
7. 相减 \(y\) 分量。
8. 只有在题目要求时才求大小和方向。
9. 从物理意义上解释结果。

在代入数值之前先写符号方程式，多写这一行是值得的。这样更容易发现相减次序颠倒的错误。

14问题与解答

问题 1

一名单车手以 \(9.0\text{ m s}^{-1}\) 向东行驶。旁边另一名单车手以 \(6.5\text{ m s}^{-1}\) 向东行驶。

求第一名单车手相对于第二名单车手的速度。

解答 1

第一名单车手相对于第二名单车手以 \(2.5\text{ m s}^{-1}\) 向东移动。

令向东为正方向。那么：

\[ \begin{aligned} v_{1/2} &=v_1-v_2\\ &=9.0-6.5\\ &=2.5\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

正的结果表示单车手 1 相对於单车手 2 向东移动。

虽然两名单车手相对于道路都移动得快得多，但他们之间的距离只以 \(2.5\text{ m s}^{-1}\) 增加。

问题 2

一个气象气球的地面速度为

\[ \vec v_B=4.0\hat i+7.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

而一架监测飞机的地面速度为

\[ \vec v_A=10.0\hat i+3.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

求气象气球相对于飞机的速度，包括其大小和方向。

解答 2

气象气球相对于飞机以 \(7.21\text{ m s}^{-1}\)、西偏北 \(33.7^\circ\) 移动。

所求的是气象气球相对于飞机的速度，因此次序为：

\[ \vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A \]

代入：

\[ \begin{aligned} \vec v_{B/A} &=(4.0-10.0)\hat i+(7.0-3.0)\hat j\\ &=-6.0\hat i+4.0\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

其大小为：

\[ \begin{aligned} |\vec v_{B/A}| &=\sqrt{(-6.0)^2+4.0^2}\\ &=\sqrt{52}\\ &=7.21\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

这个向量具有负的向东分量和正的向北分量，所以它指向西偏北。

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4.0}{6.0}\right) = 33.7^\circ \]

最主要的陷阱是把相减次序颠倒。这样得到的会是飞机相对于气象气球的速度。该向量的大小相同，但方向相反。

问题 3

一艘船在静水中以 \(10.0\text{ m s}^{-1}\) 航行，相对于水的方向为正北。河水以 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 向东流。

有学生声称，船相对于河岸的速率是 \(10.0-4.0=6.0\text{ m s}^{-1}\)。

解释为甚么这个说法不正确，并求船相对于河岸的实际速度。

解答 3

船相对于河岸以 \(10.8\text{ m s}^{-1}\)、北偏东 \(21.8^\circ\) 移动。学生的相减方法不正确，因为这两个速度指向互相垂直的方向。

速度关系为：

\[ \vec v_{\text{船/岸}} = \vec v_{\text{船/水}} + \vec v_{\text{水/岸}} \]

令东为 \(+x\)、北为 \(+y\)：

\[ \vec v_{\text{船/水}} = 0\hat i+10.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ \vec v_{\text{水/岸}} = 4.0\hat i+0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

因此：

\[ \vec v_{\text{船/岸}} = 4.0\hat i+10.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

其大小为：

\[ \begin{aligned} |\vec v_{\text{船/岸}}| &=\sqrt{4.0^2+10.0^2}\\ &=\sqrt{116}\\ &=10.8\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

方向为：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4.0}{10.0}\right) = 21.8^\circ \]

由北向东量度。

容易犯的错误，是把向量当成普通的正数。只有当相关速度位于同一直线上，而且方向已经用正负号妥善处理时，才能直接相减速率。

问题 4

在 \(t=0\) 时，A 车位于 B 车以东 \(240\text{ m}\)、以南 \(120\text{ m}\)。

它们相对于地面的速度为：

\[ \vec v_A=-8.0\hat i+6.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

以及

\[ \vec v_B=4.0\hat i\text{ m s}^{-1} \]

其中东为 \(+x\)，北为 \(+y\)。

如果两车都维持恒定速度，判断它们是否会碰撞。

解答 4

两车会碰撞，时间为 \(20.0\text{ s}\) 后。

首先写出 A 相对于 B 的初始位置。A 位于 B 以东 240 m、以南 120 m，因此：

\[ \vec r_{A/B}(0) = 240\hat i-120\hat j\text{ m} \]

现在求 A 相对于 B 的速度：

\[ \begin{aligned} \vec v_{A/B} &=\vec v_A-\vec v_B\\ &=(-8.0-4.0)\hat i+(6.0-0)\hat j\\ &=-12.0\hat i+6.0\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

时间 \(t\) 时的相对位置为：

\[ \vec r_{A/B}(t) = \vec r_{A/B}(0)+\vec v_{A/B}t \]

所以：

\[ \vec r_{A/B}(t) = (240-12t)\hat i+(-120+6t)\hat j \]

要发生碰撞，两个分量必须在同一时间等于零。

对 \(x\) 分量：

\[ \begin{aligned} 240-12t&=0\\ t&=20.0\text{ s} \end{aligned} \]

对 \(y\) 分量：

\[ \begin{aligned} -120+6t&=0\\ t&=20.0\text{ s} \end{aligned} \]

两个分量都在 \(20.0\text{ s}\) 时变为零，因此：

\[ \boxed{t=20.0\text{ s}} \]

重要的推理并不只是两车大致朝彼此移动。它们的相对位置向量必须恰好变为零。在这里，两个座标条件都在同一时刻成立。

问题 5

两个探测器 P 和 Q 在一个平坦的测试场上移动。

在某一时刻：

\[ \vec r_{P/Q}=80\hat i-60\hat j\text{ m} \]

以及

\[ \vec v_{P/Q}=-12\hat i+9\hat j\text{ m s}^{-1} \]

有学生注意到 \(\vec v_{P/Q}\) 的方向与 \(\vec r_{P/Q}\) 相反，因此得出结论：如果它们的速度保持不变，两个探测器最终必定会碰撞。

这个结论正确吗？如果正确，求碰撞发生的时间。如果不正确，解释原因。

解答 5

这个结论在这个特定情况下是正确的，而且两个探测器会在 \(6.67\text{ s}\) 后碰撞。不过，仅仅「大致朝向彼此」移动并不足够。相对速度必须具有恰好能使整个相对位置向量减小至零的方向。

碰撞要求：

\[ \vec r_{P/Q}(t) = \vec r_{P/Q}(0) + \vec v_{P/Q}t = \vec 0 \]

使用 \(x\) 分量：

\[ \begin{aligned} 80-12t&=0\\ t&=\frac{80}{12}\\ &=6.67\text{ s} \end{aligned} \]

使用 \(y\) 分量：

\[ \begin{aligned} -60+9t&=0\\ t&=\frac{60}{9}\\ &=6.67\text{ s} \end{aligned} \]

两个分量在同一时间变为零，因此两个探测器会碰撞。

还有一个更快的概念性检查方法。比较分量的比值：

\[ \frac{-12}{80}=-0.15\text{ s}^{-1} \]

以及

\[ \frac{9}{-60}=-0.15\text{ s}^{-1} \]

相对速度的两个分量都是相对位置对应分量的同一个负倍数：

\[ \vec v_{P/Q}=-0.15\vec r_{P/Q} \]

因此，相对速度的方向与相对位置向量完全相反。在相对参考系中，两个探测器正直接朝彼此移动。

如果这些比值不同，两个探测器可能会很接近彼此，但不会碰撞。当学习最近接距离和更复杂的拦截问题时，这个区别会变得很重要。

15这个模型接下来能让你做甚么

相对运动可以把一个双物体问题转化成单物体问题。

你不需要分别追踪 A 和 B，而可以想像 B 固定在原点，然后研究 A 相对于它如何运动。核心方程式是：

\[ \vec r_{A/B}=\vec r_A-\vec r_B \]

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

以及在需要时：

\[ \vec a_{A/B}=\vec a_A-\vec a_B \]

这种观点对于拦截、碰撞、最近接、风、水流和移动观察者问题特别有用。下一步是学习如何使用相对位置方程式，不只是判断两个物体看起来如何相对运动，而是判断它们的路径实际上是否会相交。