المسافة والإزاحة على مستوى: دليل فيزياء HSC

يقول متتبّع اللياقة البدنية إنك مشيت 420 m. وتقول الخريطة إنك أنهيت رحلتك على بُعد 110 m فقط من نقطة البداية. أي القياسين خطأ؟

لا أحد منهما. فكل منهما يقيس شيئًا مختلفًا. تهتم المسافة بالمسار الكامل الذي قطعته. أما الإزاحة فتهتم فقط بالتغيّر من موضع البداية إلى موضع النهاية.

ويصبح هذا الاختلاف مهمًا بصورة خاصة عندما تحدث الحركة في بُعدين. فبمجرد أن تتضمن الرحلة حركة شرقًا وغربًا وشمالًا وجنوبًا، لا يعود مجرد جمع الأعداد كافيًا. بل تحتاج إلى المتجهات.

01ابدأ بالمسار الذي يمكنك تصوّره

تخيّل أنك تمشي 60 m شرقًا، ثم تنعطف يسارًا وتمشي 80 m شمالًا.

قبل إجراء أي حساب، توقّع الآتي: هل إزاحتك تساوي 140 m؟

لا يمكن أن تكون كذلك. فالقيمة 140 m تصف المسار الذي مشيته بالفعل. أما إزاحتك فهي التغيّر في الموضع على خط مستقيم من البداية إلى النهاية.

وهذا يعطينا أول تمييز مفيد:

للكمية القياسية مقدار فقط. أما المتجه فله مقدار واتجاه معًا.

لذلك فإن 140 m قيمة صحيحة للمسافة. لكنها لا تمثل معلومات كافية لتحديد الإزاحة، لأنه لم يُذكر أي اتجاه.

02الإزاحة تتجاهل المسار بين نقطتي البداية والنهاية

فكّر في الإزاحة كما لو كانت صديقًا شديد الاستعجال. تبدأ في سرد القصة الكاملة لرحلتك، فيقاطعك قائلًا: «حسنًا، لكن من أين بدأت، وأين انتهيت؟»

كل ما يحدث بين هاتين النقطتين لا يؤثر في الإزاحة.

رياضيًا، تُعطى الإزاحة بالعلاقة

\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]

حيث:

• \(\Delta \vec r\) هو متجه الإزاحة
• \(\vec r_i\) هو متجه الموضع الابتدائي
• \(\vec r_f\) هو متجه الموضع النهائي

يرمز المثلث \(\Delta\) إلى «التغيّر في».

يوضح هذا التعريف نتيجة مهمة. فإذا غادرت منزلك، وتجولت لمسافة 2 km، ثم عدت وانتهيت عند منزلك، فإن المسافة التي قطعتها تساوي 2 km، لكن إزاحتك تساوي صفرًا.

الإزاحة الصفرية لا تعني عدم وجود حركة.

03جمع الحركة في بُعدين

لنفترض أن جسمًا يتحرك عدة مرات قبل أن يصل إلى موضعه النهائي. يمكن تمثيل كل حركة بمتجه.

الإزاحة الكلية هي مجموع المتجهات:

\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]

حيث يمثل كل \(\vec d\) إزاحة واحدة أثناء الرحلة.

توجد طريقتان رئيسيتان لإجراء هذا الجمع:

• رسم المتجهات بحيث يبدأ كل متجه من رأس المتجه السابق
• تحليل كل متجه إلى مركبتين متعامدتين، ثم جمع المركبات

تساعد طريقة الرسم على بناء الفهم الحدسي. أما طريقة المركبات فهي أكثر موثوقية في الحسابات.

04لماذا لا يمكن استخدام فيثاغورس مباشرة دائمًا

من الأخطاء الشائعة رؤية متجهي إزاحة وكتابة العلاقة الآتية فورًا:

\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]

لا تصلح هذه المعادلة إلا عندما تكون الكميتان المربعتان مركبتين متعامدتين.

فإذا كانت إحدى الإزاحتين باتجاه الشمال الشرقي والأخرى باتجاه الغرب، فليستا بالضرورة متعامدتين. يجب أولًا تحليل المتجه المائل إلى مركبتين: شرق-غرب وشمال-جنوب.

وهذه هي الخطوة الأساسية في معظم مسائل الإزاحة ثنائية الأبعاد.

05تحليل المتجه إلى مركبات

لنفترض أن إزاحة مقدارها \(d\) تصنع زاوية \(\theta\) شمالًا عن الشرق.

يمكنك استبدال ذلك المتجه المائل بمتجهين متعامدين:

\[ d_x = d\cos\theta \]

\[ d_y = d\sin\theta \]

حيث:

• \(d_x\) هي المركبة الأفقية
• \(d_y\) هي المركبة الرأسية
• \(d\) هو مقدار الإزاحة الأصلية
• \(\theta\) هي الزاوية المقاسة من الاتجاه الأفقي الموجب

لماذا نستخدم جيب التمام للمركبة الأفقية والجيب للمركبة الرأسية؟

في المثلث القائم الذي يشكله المتجه، تكون المركبة الأفقية مجاورة للزاوية \(\theta\)، بينما تكون المركبة الرأسية مقابلة لها.

لذلك:

\[ \cos\theta=\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} \]

و

\[ \sin\theta=\frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} \]

لم ينقسم المتجه فعليًا إلى حركتين. فالمركبتان مجرد وصف رياضي للحركة نفسها.

06اختر الاتجاهات الموجبة قبل إجراء الحسابات

للإشارات أهمية لأن الإزاحة لها اتجاه.

ومن الاصطلاحات الشائعة:

• الشرق: \(x\) موجب
• الغرب: \(x\) سالب
• الشمال: \(y\) موجب
• الجنوب: \(y\) سالب

يمكنك اختيار الاصطلاح المعاكس والحصول مع ذلك على فيزياء صحيحة، بشرط أن تظل متسقًا.

فعلى سبيل المثال، تمثَّل إزاحة مقدارها 25 m غربًا بالعلاقة

\[ d_x=-25\text{ m} \]

بينما تمثَّل إزاحة مقدارها 12 m شمالًا بالعلاقة

\[ d_y=+12\text{ m} \]

لا تعني الإشارة السالبة وجود مسافة سالبة. وإنما تسجل الاتجاه على طول المحور الذي اخترته.

07اجمع المركبات قبل إيجاد المحصلة

بعد تحليل كل إزاحة، اجمع جميع المركبات الأفقية معًا وجميع المركبات الرأسية معًا:

\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]

\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]

هنا، تمثل \(\Delta x\) الإزاحة الأفقية المحصلة، وتمثل \(\Delta y\) الإزاحة الرأسية المحصلة.

ثم احسب مقدار الإزاحة الكلية:

\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

واستخدم حساب المثلثات لتحديد اتجاهها.

ينجح ذلك لأن \(\Delta x\) و\(\Delta y\) متعامدتان، حتى إذا لم تكن متجهات الإزاحة الأصلية متعامدة.

08يجب التحقق منطقيًا من اتجاه المحصلة

قد تعطيك الآلة الحاسبة زاوية مثل \(30^\circ\)، لكن الزاوية وحدها لا تخبرك بالربع الذي يقع فيه المتجه.

لنفترض أنك حسبت

\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]

تشير الإزاحة غربًا وشمالًا، ولذلك لا بد أن تقع في الربع الشمالي الغربي.

إذا حسبت

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]

فإن الاتجاه الكامل هو \(36.9^\circ\) شمالًا عن الغرب.

افحص دائمًا إشارات المركبات قبل ذكر الاتجاه.

فالنتيجة التي تعطيها الآلة الحاسبة ليست بديلًا عن معرفة الاتجاه الذي يشير إليه المتجه.

09تخضع المسافة والإزاحة لقواعد مختلفة

يحاول الطلاب أحيانًا التعامل مع المسافة كما لو كانت مجرد حساب آخر للمركبات.

لكنها ليست كذلك.

بالنسبة إلى رحلة مكوّنة من عدة مقاطع مستقيمة:

\[ \text{المسافة}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]

حيث يمثل كل \(d\) الطول الموجب لأحد المقاطع.

أما في الإزاحة، فالاتجاه مهم:

\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]

ويؤدي ذلك إلى قاعدة مفيدة:

\[ \text{مقدار الإزاحة}\leq \text{المسافة المقطوعة} \]

ولا تتساوى الكميتان إلا عندما يتحرك الجسم مباشرة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية دون تغيير اتجاهه أو الرجوع إلى الخلف.

إذا أعطاك حسابك مقدار إزاحة أكبر من المسافة المقطوعة، فهناك خطأ ما.

10طريقة موثوقة للرحلات ثنائية الأبعاد

في معظم مسائل الإزاحة بأسلوب HSC، استخدم التسلسل الآتي:

1. اختر الاتجاهين الموجبين لـ\(x\) و\(y\).
2. حلّل كل إزاحة مائلة إلى مركبتين \(x\) و\(y\).
3. أعطِ كل مركبة الإشارة الصحيحة.
4. اجمع جميع مركبات \(x\).
5. اجمع جميع مركبات \(y\).
6. استخدم نظرية فيثاغورس على المركبتين المحصلتين.
7. استخدم حساب المثلثات لإيجاد الاتجاه.
8. افحص الإشارات لتحديد الربع الصحيح.
9. إذا كان مطلوبًا إيجاد المسافة أيضًا، فاجمع أطوال مقاطع المسار الفعلية بصورة منفصلة.

الفكرة المهمة هي الخطوة 6. يُستخدم فيثاغورس في النهاية، بعد تكوين مركبتين محصلتين متعامدتين.

11أسئلة وحلول

السؤال 1

يتحرك راكب دراجة 90 m شرقًا ثم 120 m شمالًا.

احسب المسافة الكلية المقطوعة وإزاحة راكب الدراجة من نقطة البداية.

الحل 1

يقطع راكب الدراجة مسافة مقدارها 210 m، وتكون إزاحته 150 m بزاوية \(53.1^\circ\) شمالًا عن الشرق.

المسافة هي طول المسار الكامل:

\[ \text{المسافة}=90+120=210\text{ m} \]

الإزاحتان شرقًا وشمالًا متعامدتان، ولذلك يكون مقدار الإزاحة

\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]

ولإيجاد الاتجاه،

\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]

إذن فإن التغيّر في الموضع على خط مستقيم يساوي 150 m بزاوية \(53.1^\circ\) شمالًا عن الشرق. أما جمع 90 m و120 m للحصول على 210 m فيعطي المسافة، لا الإزاحة.

السؤال 2

تتحرك طائرة مسيّرة للمسح مسافة 150 m بزاوية \(40^\circ\) شمالًا عن الشرق. ثم تتحرك 90 m جنوبًا تمامًا.

أوجد مقدار واتجاه إزاحتها النهائية من نقطة البداية.

الحل 2

تبلغ الإزاحة النهائية للطائرة المسيّرة تقريبًا 115 m بزاوية \(33^\circ\) شمالًا عن الشرق.

حلّل أولًا الإزاحة البالغة 150 m:

\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]

\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]

الحركة الثانية مقدارها 90 m جنوبًا، ولذلك فإن مركبتها الرأسية تساوي \(-90\text{ m}\).

لذلك،

\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]

\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]

المقدار هو

\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]

ولإيجاد الاتجاه،

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]

إذن تبلغ الإزاحة تقريبًا 115 m بزاوية \(3.2^\circ\) شمالًا عن الشرق.

الفخ المهم هنا هو افتراض أن الحركة الثانية البالغة 90 m يجب طرحها مباشرة من مقدار 150 m. لا يمكن فعل ذلك، لأن المتجهين لا يقعان على الخط نفسه. ولا يمكن جمع أو طرح سوى المركبات المتناظرة مباشرة.

السؤال 3

يمشي طالب 70 m شرقًا، و40 m شمالًا، و70 m غربًا، و10 m جنوبًا.

يدّعي زميل له أن الإزاحة تساوي صفرًا لأن الحركتين شرقًا وغربًا تلغي إحداهما الأخرى.

حدّد المسافة المقطوعة والإزاحة الفعلية. واشرح الخطأ في استدلال الزميل.

الحل 3

يقطع الطالب مسافة مقدارها 190 m، وتكون إزاحته 30 m شمالًا.

المسافة الكلية هي

\[ \text{المسافة}=70+40+70+10=190\text{ m} \]

بالنسبة إلى الإزاحة، نجمع المركبات.

أفقيًا،

\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]

ورأسيًا،

\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]

لذلك،

\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]

الزميل محق جزئيًا فقط. فالمركبتان شرقًا وغربًا تلغي إحداهما الأخرى، لكن المركبتين شمالًا وجنوبًا لا تفعلان ذلك. ينتهي الطالب على بُعد 30 m شمالًا من نقطة البداية.

يمكن أن تكون إزاحة المتجه صفرًا في بُعد واحد دون أن تكون الإزاحة الكلية صفرًا.

السؤال 4

لكل من متجهي إزاحة مقدار يساوي 50 m. والزاوية بينهما \(60^\circ\).

يدّعي طالب أن الإزاحة المحصلة لا بد أن تكون 100 m لأن \(50+50=100\).

من دون افتراض أن المتجهين متعامدان، أوجد مقدار محصلتهما.

الحل 4

يبلغ مقدار الإزاحة المحصلة تقريبًا 86.6 m، وليس 100 m.

اختر متجه الإزاحة الأول البالغ 50 m ليشير على امتداد محور \(x\) الموجب. وتكون مركبتاه

\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]

يقع المتجه الثاني بزاوية \(60^\circ\) فوقه، ولذلك

\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]

\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]

إذن المركبتان المحصلتان هما

\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]

\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]

أصبحت المركبتان المحصلتان الآن متعامدتين، ولذلك يمكن استخدام نظرية فيثاغورس:

\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]

\[ d\approx86.6\text{ m} \]

كانت نتيجة الطالب البالغة 100 m ستصح فقط إذا كانت الإزاحتان تشيران في الاتجاه نفسه تمامًا.

وسيكون من الخطأ أيضًا حساب \(\sqrt{50^2+50^2}\)، لأن الزاوية بين المتجهين الأصليين هي \(60^\circ\)، وليست \(90^\circ\).

السؤال 5

يتحرك روبوت أولًا مسافة 100 m بزاوية \(30^\circ\) شمالًا عن الشرق. ثم يتحرك غربًا تمامًا.

بعد الحركتين، يصبح الروبوت شمال نقطة بدايته مباشرة.

حدّد مسافة الحركة غربًا والإزاحة النهائية للروبوت.

الحل 5

يجب أن يتحرك الروبوت 86.6 m غربًا، وتكون إزاحته النهائية 50.0 m شمالًا.

حلّل الإزاحة الأولى:

\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]

\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]

لكي ينتهي الروبوت شمال نقطة البداية مباشرة، يجب أن تكون إزاحته الأفقية المحصلة مساوية للصفر.

لذلك يجب أن تلغي الحركة غربًا المركبة الشرقية البالغة 86.6 m:

\[ 86.6-d_{\text{west}}=0 \]

ومن ثم

\[ d_{\text{west}}=86.6\text{ m} \]

ليس للحركة غربًا أي مركبة رأسية، ولذلك تظل المركبة الشمالية البالغة 50.0 m دون تغيير.

إذن،

\[ \Delta x=0 \]

\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]

وتكون الإزاحة النهائية 50.0 m شمالًا.

الفكرة الخفية هنا هي أن عبارة «شمالًا مباشرة» ليست مجرد وصف للزاوية، بل تفرض قيدًا رياضيًا: يجب أن تساوي المركبة الأفقية النهائية صفرًا.

12ما الذي يتيحه لك هذا بعد ذلك

تحليل الإزاحة إلى مركبات ليس مجرد حيلة لمسائل الرحلات. فالتركيب نفسه يظهر في مواضع كثيرة في فيزياء HSC.

يمكن تحليل السرعة المتجهة إلى مركبتين أفقية ورأسية. وينطبق الأمر نفسه على التسارع والقوة. وتصبح حركة المقذوفات أسهل في المعالجة لأن الحركة الأفقية والرأسية يمكن تحليلهما كلٌّ على حدة قبل إعادة جمعهما.

والعادة التي ينبغي الاحتفاظ بها بسيطة: عندما تبدو مسألة متجهات معقدة، اسأل أي الأجزاء يشير على امتداد المحاور التي اخترتها. اجمع تلك المركبات أولًا. ولا تُعِد تكوين المحصلة إلا بعد أن تصبح الاتجاهات المنفصلة واضحة.