التغيّر في السرعة المتجهة وطرح المتجهات في فيزياء HSC

تتحرك سيارة شرقًا بسرعة 15 m/s. وبعد بضع ثوانٍ، أصبحت تتحرك شمالًا بسرعة 15 m/s. ويعرض عداد السرعة الرقم نفسه في المرتين.

فهل تغيّرت سرعتها المتجهة؟

توقّع الإجابة قبل أن تواصل القراءة. قد يكون من المغري أن تقول لا لأن مقدار السرعة ظل 15 m/s. لكن السرعة المتجهة تشمل الاتجاه إلى جانب مقدار السرعة. لذا فإن الانعطاف نحو الشمال يغيّر السرعة المتجهة، حتى لو ظل مقدارها ثابتًا.

والسؤال المفيد ليس فقط: “ما مقدار سرعة الجسم الآن؟” بل هو:

ما المتجه الذي يجب إضافته إلى السرعة المتجهة الابتدائية لتحويلها إلى السرعة المتجهة النهائية؟

هذا المتجه هو التغيّر في السرعة المتجهة.

01تصوّر السرعة المتجهة على هيئة سهم

يمكن تمثيل متجه السرعة بسهم.

• يمثّل طول السهم مقدار السرعة.
• يمثّل اتجاه السهم اتجاه الحركة.

يمكن تمثيل سرعة متجهة مقدارها 10 m/s شرقًا بسهم يشير نحو الشرق. أما سرعة متجهة مقدارها 10 m/s شمالًا فلها الطول نفسه، لكنها تشير نحو الشمال.

وهذا يعني أن جسمين يمكن أن يكون لهما مقدار السرعة نفسه بينما تكون سرعتاهما المتجهتان مختلفتين تمامًا.

وهذا يعطينا أول نموذج ذهني:

التغيّر في السرعة المتجهة هو السهم الذي ينقلك من سهم السرعة المتجهة الابتدائية إلى سهم السرعة المتجهة النهائية.

هذا النموذج مفيد، لكنه يحتاج إلى شرط مهم. يجب مقارنة متجهي السرعة الابتدائية والنهائية انطلاقًا من نقطة البداية نفسها.

02قاعدة طرح المتجهات

نرمز إلى السرعة المتجهة الابتدائية بـ \(\vec v_i\)، حيث تعني \(i\) الابتدائية، ونرمز إلى السرعة المتجهة النهائية بـ \(\vec v_f\).

التغيّر في السرعة المتجهة هو

\[ \Delta \vec v = \vec v_f - \vec v_i \]

حيث:

• \(\Delta\) تعني “التغيّر في”
• \(\vec v\) تعني السرعة المتجهة
• \(\vec v_i\) هي السرعة المتجهة الابتدائية
• \(\vec v_f\) هي السرعة المتجهة النهائية

الترتيب مهم.

فهو دائمًا:

النهائية ناقص الابتدائية

وليس الابتدائية ناقص النهائية.

لماذا؟ أعد ترتيب المعادلة:

\[ \vec v_f = \vec v_i + \Delta \vec v \]

إذن \(\Delta \vec v\) هو بالضبط متجه السرعة الذي يجب إضافته إلى السرعة المتجهة الابتدائية للحصول على السرعة المتجهة النهائية.

وهذا هو المعنى الفيزيائي لعملية الطرح.

03الحركة في بُعد واحد: استخدم الإشارات لتمثيل الاتجاه

إذا كان الجسم يتحرك على خط مستقيم واحد فقط، فإن طرح المتجهات يصبح طرحًا عاديًا، بشرط إعطاء الاتجاهين المتعاكسين إشارتين متعاكستين.

فعلى سبيل المثال، يمكنك اختيار:

• الشرق موجبًا
• الغرب سالبًا

ويمكنك بنفس القدر اختيار الغرب موجبًا. لا يهم في الفيزياء أي اتجاه تختاره. المهم فقط أن تظل متسقًا.

04عكس الاتجاه هو الموضع الذي يخطئ فيه الطلاب كثيرًا

لنفترض أن عربة تتحرك شرقًا بسرعة 8.0 m/s ثم تتحرك غربًا بسرعة 6.0 m/s.

من الأخطاء الشائعة كتابة:

\[ 8.0-6.0=2.0\text{ m/s} \]

هذه العملية تطرح فقط مقداري السرعة، وتتجاهل الاتجاهين.

اختر الشرق موجبًا. عندئذٍ

\[ v_i=+8.0\text{ m/s}, \qquad v_f=-6.0\text{ m/s} \]

لذلك،

\[ \begin{aligned} \Delta v &= v_f-v_i\\ &=(-6.0)-(+8.0)\\ &=-14.0\text{ m/s} \end{aligned} \]

التغيّر في السرعة المتجهة هو 14 m/s غربًا.

فكّر فيما كان على العربة أن تفعله. كان عليها أولًا أن تفقد 8 m/s من سرعتها المتجهة نحو الشرق حتى تصل إلى سرعة متجهة مقدارها صفر، ثم تكتسب 6 m/s أخرى نحو الغرب. لذلك يكون إجمالي التغيّر في السرعة المتجهة 14 m/s نحو الغرب.

ولهذا السبب تهم إشارات السرعات المتجهة.

05طرح المتجهات على الرسم

في بُعدين، لم يعد مجرد اعتبار أحد الاتجاهات موجبًا والآخر سالبًا كافيًا. فقد يتحرك الجسم نحو الشمال الشرقي أو الجنوب الغربي أو عند أي زاوية أخرى.

وتظل معادلة المتجهات هي

\[ \Delta \vec v=\vec v_f-\vec v_i \]

هناك طريقتان بيانيتان مفيدتان لفهم عملية الطرح.

الطريقة 1: ارسم السرعتين المتجهتين من نقطة بداية مشتركة

ارسم \(\vec v_i\) و\(\vec v_f\) من النقطة نفسها.

ثم ارسم سهمًا:

من رأس \(\vec v_i\) إلى رأس \(\vec v_f\).

هذا السهم هو \(\Delta\vec v\).

الاتجاه مهم. فإذا رسمت السهم من النهائية عائدًا إلى الابتدائية، فقد أوجدت \(-\Delta\vec v\)، أي المتجه المعاكس.

الطريقة 2: حوّل الطرح إلى جمع

يمكن دائمًا إعادة كتابة طرح المتجهات على الصورة

\[ \Delta\vec v=\vec v_f+(-\vec v_i) \]

للمتجه \(-\vec v_i\) المقدار نفسه للمتجه \(\vec v_i\)، لكنه يشير في الاتجاه المعاكس.

ويمكنك بعد ذلك استخدام طريقة جمع المتجهات العادية من الرأس إلى الذيل.

إحدى الطرق الطريفة قليلًا لتذكّر ذلك هي أن تتخيل إلغاء خطة لتناول العشاء. فطرح الخطة الأصلية ليس هو نفسه التظاهر بأنها لم تكن موجودة أصلًا. بل تحتاج إلى متجه “إلغاء الخطة” مساوٍ لها في المقدار ومعاكس لها في الاتجاه. تتوقف فائدة هذا التشبيه عندما نبدأ في حساب المركبات، لكنه يوضّح لماذا يؤدي طرح متجه إلى عكس اتجاهه.

06يمكن للرسوم بمقياس رسم أن تعطي إجابة بيانية

إذا طلب منك سؤال تحديد التغيّر في السرعة المتجهة بيانيًا، فيمكنك استخدام رسم بمقياس.

على سبيل المثال، لنفترض أن مقياس الرسم هو:

1 cm يمثل 2 m/s

إذا كان طول سهم \(\Delta\vec v\) الذي قسته 4.5 cm، فإن مقداره يمثّل

\[ 4.5\times2=9.0\text{ m/s} \]

ثم تقيس اتجاهه باستخدام الرسم.

تعتمد دقة الرسم بمقياس على مدى دقة رسمك وقياساتك. وعادةً ما تعطي حسابات المركبات إجابة عددية أكثر دقة.

ومع ذلك، يظل الرسم مفيدًا للغاية لأنه يوضح ما تعنيه عملية الطرح فعليًا.

07تغيّرات السرعة المتجهة في بُعدين: اطرح المركبات

يمكن تحليل أي متجه سرعة في بُعدين إلى مركبتين متعامدتين.

ومن أنظمة الإحداثيات المناسبة:

• الشرق هو اتجاه \(x\) الموجب
• الشمال هو اتجاه \(y\) الموجب

وعندئذٍ يمكننا كتابة السرعة المتجهة على الصورة

\[ \vec v=(v_x,v_y) \]

حيث \(v_x\) هي المركبة في اتجاه الشرق والغرب، و\(v_y\) هي المركبة في اتجاه الشمال والجنوب.

لإيجاد التغيّر في السرعة المتجهة، اطرح المركبات المتناظرة:

\[ \Delta v_x=v_{fx}-v_{ix} \]

و

\[ \Delta v_y=v_{fy}-v_{iy} \]

إذن،

\[ \Delta\vec v=(\Delta v_x,\Delta v_y) \]

وبعد إيجاد هاتين المركبتين، تعطيك نظرية فيثاغورس المقدار:

\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(\Delta v_x)^2+(\Delta v_y)^2} \]

ثم يمكن إيجاد الاتجاه باستخدام حساب المثلثات.

08عندما تُعطى السرعة المتجهة باستخدام زاوية

أحيانًا لا تكون السرعة المتجهة الابتدائية أو النهائية أفقية أو رأسية بصورة مناسبة.

لنفترض أن جسمًا يتحرك بسرعة مقدارها \(v\) عند زاوية \(\theta\) إلى الشمال من الشرق.

مركبتا سرعته هما

\[ v_x=v\cos\theta \]

و

\[ v_y=v\sin\theta \]

ثم يمكنك طرح المركبات بالطريقة نفسها تمامًا كما فعلنا من قبل.

09قاعدة مفيدة لاختيار الطريقة

10أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: التغيّر في مقدار السرعة ليس التغيّر في السرعة المتجهة

تأمل جسمًا يتحرك بسرعة 10 m/s شرقًا قبل أن ينعطف ويتحرك بسرعة 10 m/s شمالًا.

التغيّر في مقدار سرعته هو

\[ 10-10=0\text{ m/s} \]

لكن التغيّر في سرعته المتجهة ليس صفرًا.

باستخدام المركبات،

\[ \vec v_i=(10,0)\text{ m/s} \]

و

\[ \vec v_f=(0,10)\text{ m/s} \]

إذن

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,10)-(10,0)\\ &=(-10,10)\text{ m/s} \end{aligned} \]

مقداره هو

\[ |\Delta\vec v|=\sqrt{(-10)^2+(10)^2}=14.1\text{ m/s} \]

ظل مقدار السرعة ثابتًا، لكن السرعة المتجهة تغيّرت بدرجة كبيرة لأن الاتجاه تغيّر.

ويصبح هذا مهمًا بوجه خاص في الحركة الدائرية، حيث يمكن أن يظل مقدار سرعة الجسم ثابتًا بينما تتغيّر سرعته المتجهة باستمرار.

11أسئلة وحلول

السؤال 1

تتحرك دراجة سكوتر غربًا بسرعة 4.0 m/s ثم تزداد سرعتها حتى تصبح 10 m/s غربًا. أوجد التغيّر في سرعتها المتجهة.

الحل 1

التغيّر في السرعة المتجهة هو 6.0 m/s غربًا.

اختر الشرق موجبًا، وبالتالي يكون الغرب سالبًا.

\[ v_i=-4.0\text{ m/s},\qquad v_f=-10\text{ m/s} \]

باستخدام النهائية ناقص الابتدائية،

\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-10)-(-4.0)\\ &=-6.0\text{ m/s} \end{aligned} \]

تعني الإشارة السالبة الاتجاه غربًا.

إذن،

\[ \boxed{\Delta v=6.0\text{ m/s غربًا}} \]

تتحرك الدراجة بالفعل غربًا، وتزداد سرعتها المتجهة نحو الغرب، لذلك يجب أن يتجه التغيّر في السرعة المتجهة أيضًا غربًا.

السؤال 2

يتحرك قرص في البداية شرقًا بسرعة 7.0 m/s. وبعد اصطدامه بحاجز، يتحرك غربًا بسرعة 3.0 m/s. أوجد التغيّر في سرعته المتجهة.

الحل 2

التغيّر في السرعة المتجهة هو 10 m/s غربًا.

اعتبر الشرق موجبًا.

\[ v_i=+7.0\text{ m/s},\qquad v_f=-3.0\text{ m/s} \]

ثم

\[ \begin{aligned} \Delta v&=v_f-v_i\\ &=(-3.0)-(+7.0)\\ &=-10\text{ m/s} \end{aligned} \]

إذن،

\[ \boxed{\Delta v=10\text{ m/s غربًا}} \]

الخطأ المغري هو طرح مقداري السرعة والحصول على 4.0 m/s. وهذا يتجاهل انعكاس الاتجاه. يجب أن يفقد القرص 7.0 m/s من سرعته المتجهة نحو الشرق، ثم يكتسب 3.0 m/s من السرعة المتجهة نحو الغرب.

السؤال 3

لروبوت سرعة متجهة ابتدائية مقدارها \((3.0,4.0)\) m/s، حيث يكون اتجاه \(x\) الموجب شرقًا واتجاه \(y\) الموجب شمالًا. وسرعته المتجهة النهائية هي \((-1.0,8.0)\) m/s.

أوجد مقدار واتجاه التغيّر في سرعته المتجهة.

الحل 3

مقدار التغيّر في السرعة المتجهة هو 5.7 m/s ويتجه بزاوية \(45^\circ\) إلى الشمال من الغرب.

اطرح المركبات الابتدائية من المركبات النهائية:

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-1.0,8.0)-(3.0,4.0)\\ &=(-4.0,4.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

مقداره هو

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-4.0)^2+(4.0)^2}\\ &=\sqrt{32}\\ &=5.7\text{ m/s} \end{aligned} \]

للمركبتين نحو الغرب ونحو الشمال المقدار نفسه، لذلك يكون الاتجاه

\[ \theta=45^\circ \]

إلى الشمال من الغرب.

إذن،

\[ \boxed{\Delta\vec v=5.7\text{ m/s عند }45^\circ\text{ شمال الغرب}} \]

يأتي الاتجاه من مركبات التغيّر في السرعة المتجهة، وليس مباشرة من اتجاه السرعة المتجهة الابتدائية أو النهائية.

السؤال 4

يتحرك عدّاء شرقًا بسرعة 5.0 m/s ثم يتحرك لاحقًا شمالًا بسرعة 5.0 m/s. يقول طالب: “لم تتغيّر السرعة المتجهة للعدّاء لأن مقدار السرعة ظل 5.0 m/s.”

قيّم العبارة واحسب مقدار التغيّر في السرعة المتجهة.

الحل 4

العبارة غير صحيحة. تتغيّر سرعة العدّاء المتجهة بمقدار 7.1 m/s، في اتجاه \(45^\circ\) إلى الشمال من الغرب.

تشمل السرعة المتجهة الاتجاه، لذلك فإن تساوي مقداري السرعة الابتدائية والنهائية لا يعني تساوي السرعتين المتجهتين.

باستخدام المركبات،

\[ \vec v_i=(5.0,0)\text{ m/s} \]

و

\[ \vec v_f=(0,5.0)\text{ m/s} \]

إذن،

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=(0,5.0)-(5.0,0)\\ &=(-5.0,5.0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

المقدار هو

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &=\sqrt{(-5.0)^2+(5.0)^2}\\ &=\sqrt{50}\\ &=7.1\text{ m/s} \end{aligned} \]

وبما أن المركبتين نحو الغرب ونحو الشمال متساويتان، يكون الاتجاه \(45^\circ\) إلى الشمال من الغرب.

يخلط استدلال الطالب بين التغيّر في مقدار السرعة، وهو صفر، والتغيّر في السرعة المتجهة، وهو ليس صفرًا.

السؤال 5

تبدأ طائرة مسيّرة فترة زمنية مدتها 8.0 s وهي تتحرك شرقًا بسرعة 6.0 m/s. وخلال هذه الفترة تتبع مسارًا منحنيًا، لكنها في النهاية تعود إلى التحرك شرقًا بسرعة 6.0 m/s بالضبط.

أوجد تسارعها المتوسط خلال فترة 8.0 s. هل يمكنك استنتاج أن تسارعها كان صفرًا طوال الفترة؟

الحل 5

التسارع المتوسط يساوي صفرًا، لكن تسارع الطائرة المسيّرة لم يكن بالضرورة صفرًا طوال الفترة.

السرعتان المتجهتان الابتدائية والنهائية متطابقتان:

\[ \vec v_i=\vec v_f \]

إذن،

\[ \Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i=\vec 0 \]

التسارع المتوسط هو التغيّر في السرعة المتجهة مقسومًا على الزمن المنقضي:

\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{\vec 0}{8.0\text{ s}}\\ &=\vec 0\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

إذن،

\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=0\text{ m/s}^2} \]

لكن هذا يقارن فقط بين السرعة المتجهة عند بداية الفترة ونهايتها. وتنص المسألة على أن الطائرة المسيّرة تتبع مسارًا منحنيًا، ولذلك لا بد أن يتغيّر اتجاه سرعتها المتجهة أثناء الرحلة. وتغيّر السرعة المتجهة يعني وجود تسارع خلال جزء من الحركة على الأقل.

وهذا قيد مهم عند التعامل مع الكميات المتوسطة. فكون التسارع المتوسط صفرًا لا يثبت أن التسارع يساوي صفرًا في كل لحظة.

السؤال 6

تتحرك مركبة بسرعة 15 m/s عند زاوية \(30^\circ\) إلى الشمال من الشرق. وبعد ثانيتين، يظل مقدار سرعتها 15 m/s، لكنها تتحرك عند زاوية \(30^\circ\) إلى الشمال من الغرب.

يجادل طالب بأن مقدار السرعة، وبالتالي الطاقة الحركية، لم يتغيّرا، ولذلك يجب أن يكون التسارع المتوسط صفرًا.

حدّد التسارع المتوسط واشرح الخطأ في حجة الطالب.

الحل 6

التسارع المتوسط هو 13 m/s² غربًا، ولذلك فإن استنتاج الطالب غير صحيح.

اعتبر الشرق اتجاه \(x\) الموجب والشمال اتجاه \(y\) الموجب.

بالنسبة إلى السرعة المتجهة الابتدائية،

\[ \begin{aligned} v_{ix}&=15\cos30^\circ=13.0\text{ m/s}\\ v_{iy}&=15\sin30^\circ=7.5\text{ m/s} \end{aligned} \]

إذن

\[ \vec v_i=(13.0,7.5)\text{ m/s} \]

بالنسبة إلى السرعة المتجهة النهائية، تتجه المركبة الأفقية غربًا بينما تظل المركبة الرأسية متجهة شمالًا:

\[ \vec v_f=(-13.0,7.5)\text{ m/s} \]

التغيّر في السرعة المتجهة هو

\[ \begin{aligned} \Delta\vec v &=\vec v_f-\vec v_i\\ &=(-13.0,7.5)-(13.0,7.5)\\ &=(-26.0,0)\text{ m/s} \end{aligned} \]

إذن، التغيّر في السرعة المتجهة هو 26.0 m/s غربًا.

التسارع المتوسط هو

\[ \begin{aligned} \vec a_{\text{avg}} &=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\ &=\frac{(-26.0,0)\text{ m/s}}{2.0\text{ s}}\\ &=(-13.0,0)\text{ m/s}^2 \end{aligned} \]

إذن،

\[ \boxed{\vec a_{\text{avg}}=13\text{ m/s}^2\text{ غربًا}} \]

خطأ الطالب هو افتراض أن ثبات الطاقة الحركية يعني ثبات السرعة المتجهة. تعتمد الطاقة الحركية على مقدار السرعة، لا على الاتجاه. لم يتغيّر مقدار سرعة المركبة، ولذلك لم تتغيّر طاقتها الحركية، لكن اتجاه سرعتها المتجهة تغيّر بدرجة كبيرة.

وهذا هو بالضبط سبب أهمية التغيّر في السرعة المتجهة في الحركة الدائرية والمنحنية. وبمجرد أن تتمكن من إيجاد \(\Delta\vec v\)، تكون الخطوة التالية هي قسمته على الفترة الزمنية لإيجاد التسارع المتوسط. ومن هنا، تفسر الفكرة المتجهة نفسها لماذا يظل الجسم الذي يتحرك بسرعة ثابتة حول دائرة في حالة تسارع.