HSC 物理：鏡面的反射與成像

平面浴室鏡、彎曲的化妝鏡和汽車側鏡都遵守相同的反射定律，卻可以形成大小相同、較大、較小、正立或倒立的像。那麼，這些鏡子實際上有甚麼不同之處？

繼續閱讀之前，先作一個預測：如果反射光線離開鏡面後彼此散開，它們仍然可以形成像嗎？答案似乎應該是否定的，因為光線永遠不會相交。但你的眼睛可以把這些光線向後追溯，使它們看起來像是來自同一點。這正是理解虛像的關鍵。

01光線圖實際上要找甚麼

假設光線從物體頂端出發並射到鏡面。只追蹤一條光線，並不足以判斷像的位置。你需要從物體上的同一點追蹤至少兩條光線，看看它們反射後會怎樣傳播。

有兩種可能：

• 反射光線實際相交。它們的交點就是實像。
• 反射光線彼此散開，但把它們向後延長後，延長線會相交。這個看似相交的位置就是虛像。

可以把你的眼睛想像成在做一點偵查工作。眼睛接收到一條反射光線，並假設光線一直沿直線朝眼睛傳播。它會在概念上把這條光線向後追溯。如果數條反射光線看起來都來自同一位置，你就會在那裏看見像。

這個比喻也有其限制。你的大腦並不是真的在畫虛線的輔助線。光線圖是一個模型，用來預測光線看起來來自哪裏。

實像與虛像

這個分別很重要，因為只有實像可以直接投影到屏幕上。

如果反射光線實際到達放在像的位置上的一張紙，光線就可以在那裏形成可見的圖案。如果是虛像，實際上並沒有光線穿過那個看似形成像的位置，因此把屏幕放在那裏也無法接收到像。

因此可以用以下方式判斷：

02從反射定律開始

所有鏡面光線圖都源自同一條定律：

\[
\theta_i = \theta_r
\]

其中 \(\theta_i\) 是入射角，\(\theta_r\) 是反射角。

兩個角度都是由法線量起，而不是由鏡面量起。

法線是一條假想直線，在光線射到鏡面的那一點與鏡面垂直。

一個常見錯誤是從鏡面本身量度角度。例如，如果一條光線與鏡面形成 \(20^\circ\) 的角，它與法線的夾角就是 \(70^\circ\)。因此，它的入射角是 \(70^\circ\)，而不是 \(20^\circ\)。

03平面鏡：為甚麼像看起來位於鏡後

站在一面平面鏡前看看自己的倒影。來自你臉部的光向鏡面傳播，經反射後進入你的眼睛。

反射光實際上正離開鏡面。鏡後並沒有一個真實的你坐在那裏。

然而，你的眼睛會把這些反射光線向後追溯。它們向後延長後會在鏡後相交，因此你會覺得像位於那裏。

對平面鏡而言，所成的像：

• 與物體大小相同
• 正立
• 是虛像
• 位於鏡後，且到鏡面的垂直距離等於物體在鏡前到鏡面的垂直距離

像亦具有左右對調的效果。如果你舉起右手，像看起來會舉起位於像另一側的手。

更準確地說，鏡面反轉的是垂直於鏡面的方向。我們常說的「左右倒轉」，其實源於我們把自己與一個看起來面向自己的像作比較。

04曲面鏡會改變反射光線傳播的方向

平面鏡各處的朝向都相同。曲面鏡則不是。

因此，兩條平行光線可以射到鏡面的不同位置，而這些位置的法線方向不同。光線仍然遵守 \(\theta_i=\theta_r\)，但反射後會沿不同方向離開。

曲面鏡正是藉此使光線會聚或發散。

有兩種重要類型。

凹面鏡的反射面向內彎曲，就像湯匙的內側。

凸面鏡則朝物體方向向外隆起，就像湯匙的背面。

對球面鏡而言，我們會使用幾個參考點：

• 主軸是穿過鏡面中央的直線
• 頂點是主軸與鏡面相交的位置
• 曲率中心 \(C\) 是可以想像出鏡面原本屬於哪個球面時，該球的球心
• 焦點 \(F\) 是與平行於主軸傳播的光線相關的點
• 焦距 \(f\) 是頂點至 \(F\) 的距離

對球面鏡而言，若使用接近主軸的光線，

\[
f \approx \frac{R}{2}
\]

其中 \(R\) 是曲率半徑。

「接近主軸的光線」這句話很重要。完全球形的鏡面並不會把所有彼此相距很遠的平行光線精確地聚到同一點。標準 HSC 光線模型使用的是近軸光線，即相當接近主軸的光線。

05凹面鏡的主要光線

你可以在曲面鏡上的每一點分別應用反射定律。這樣做確實可行，但會非常費時。

因此，光線圖通常採用幾條路徑容易預測的光線。

對凹面鏡而言：

通過 \(C\) 的光線會沿原路返回，因為它沿球面的半徑方向射到鏡面。半徑就是表面的法線，所以入射角為 \(0^\circ\)。

一般只需要其中兩條光線就能找出像的位置。第三條光線可用作檢查。

06如何繪畫凹面鏡光線圖

所有光線都要從同一點開始，通常是物體的頂端。

先畫一條平行於主軸的光線。反射後，讓它通過 \(F\)。

再畫另一條方便使用的主要光線，例如一條朝 \(F\) 傳播的光線。反射後，它會平行於主軸傳播。

反射光線相交的位置就是像的頂端。

如果它們實際上不會相交，就用虛線把反射光線向後延長。這些延長線相交的位置就是虛像所在的位置。

不要把入射光線延長到鏡後。你的眼睛接收到並向後追溯的，是光線反射後的路徑。

07凹面鏡可以形成幾種不同的像

以下規律值得真正理解，而不是盲目背誦。

表格中其實隱藏着一個規律。

當物體位於焦點之外時，反射光線可以在鏡前實際會聚。所成的像是實像，而且倒立。

當物體移到焦距之內時，反射光線離開鏡面後會發散。把它們向後延長，延長線會在鏡後相交。此時，像會變成正立的虛像。

這就是為甚麼使用凹面化妝鏡或刮鬍鏡時，只要把臉移得足夠接近鏡面，就能看見放大的臉部影像。

08焦點是一條分界，不是一堵神奇的牆

現在預測一下：當物體從焦距之外逐漸接近 \(F\) 時，會發生甚麼事？

你可能會以為像也會逐漸靠近鏡面。實際上，情況正好相反。

反射光線的會聚程度逐漸減弱，因此它們會在愈來愈遠的位置相交。當物體恰好位於 \(F\) 時，在理想化模型中，來自主軸上一點的光線會以平行方向射出。平行光線不會在任何有限距離處相交。

我們會把這種情況描述為像位於無窮遠處。

然後，把物體移到 \(F\) 內側一點。此時反射光線會發散。它們向後延長後會在鏡後相交，形成正立的虛像。

這種轉變正是焦點在光線圖中如此重要的原因。

09凸面鏡的反射光線總是發散

凸面鏡的情況不同。

一條平行於主軸傳播的光線反射後會遠離主軸。如果把反射光線向後延長，它看起來就像是從鏡後的焦點射出。

對凸面鏡而言：

• 一條平行於主軸的光線反射後，看起來像是從 \(F\) 射出
• 一條朝鏡後 \(F\) 射去的光線反射後會平行於主軸
• 一條朝鏡後 \(C\) 射去的光線會沿原來路徑返回

\(F\) 和 \(C\) 都位於鏡後。

無論一般的實物放在凸面鏡前哪個位置，它的像都是：

• 虛像
• 正立
• 比物體小
• 位於鏡後
• 位於鏡面與 \(F\) 之間

這解釋了為甚麼當需要較廣闊的視野時，凸面鏡特別有用。把每個像縮小，便能讓來自更廣方向範圍的光線呈現在鏡中。

但這也有一個重要代價：物體看起來較小，所以如果只根據表觀大小來判斷距離，可能會產生誤差。

10描述任何鏡像的可靠方法

畫好光線後，可以用四項特徵描述所成的像：

1. 大小：放大、縮小，或大小相同。
2. 方向：正立或倒立。
3. 位置：相對於 \(F\)、\(C\) 和鏡面在哪裏形成。
4. 類型：實像或虛像。

有些學生用 SALT 來記憶：size、attitude、location、type，也就是大小、方向、位置、類型。這個縮寫很有用，但答案仍然必須由光線圖支持。

不要只因為你畫出的線有相交，就判定所成的像是實像。要問的是：相交的是哪一種線？

如果是實線表示的反射光線相交，所成的是實像。

如果只有向後延長線相交，所成的是虛像。

11最容易犯的光線圖錯誤

錯誤 1：強行把所有像都畫在鏡前

這通常是因為學生認為像一定要出現在光線實際到達的位置。

虛像正好違反這種直覺。即使沒有反射光實際傳播到鏡後，像的位置仍可以在鏡後。

錯誤 2：延長了錯誤的光線

對虛像而言，應把反射光線向後延長。

不要只是把入射光線筆直延伸穿過鏡面。表觀像的位置必須對應反射光看起來是從哪個方向傳來。

錯誤 3：只畫一條光線便猜測其餘結果

一條光線只提供一個方向，不能確定唯一的像點。

只要從物體上的同一點正確畫出兩條光線，就足以利用它們的交點找出像的位置。

錯誤 4：把焦點視為所有光線都必須經過的位置

只有某些特定的主要光線才有這種行為。

對凹面鏡而言，平行於主軸的光線會反射並通過 \(F\)。任意方向入射的光線並不會自動在反射後通過焦點。

錯誤 5：即使畫出不可能的光線圖，仍盲目相信方程式

鏡公式很有用，但光線圖能告訴你各個符號和計算結果在物理上代表甚麼。

如果計算結果顯示 \(d_i<0\)，但你卻畫出實線反射光線在鏡前相交，那便出現了矛盾。應檢查光線圖和符號約定。

12問題與解答

問題 1

一輛玩具車放在平面鏡前 \(45\ \text{cm}\) 處。

寫出其像的位置、大小、方向和類型。並求出玩具車與其像之間的距離。

解答 1

所成的像是位於鏡後 \(45\ \text{cm}\)、與玩具車大小相同、正立，而且是虛像；玩具車與像之間的距離為 \(90\ \text{cm}\)。

平面鏡形成的像在鏡後的垂直距離，等於物體在鏡前的垂直距離。

因此，

\[
\text{間距}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm}
\]

這個像是虛像，因為反射光線實際上並沒有通過鏡後的那一點。只有它們向後延長的延長線在那裏相交。

問題 2

一名學生為凸面鏡畫了一幅光線圖。反射光線彼此散開，因此學生得出結論：「因為光線永遠不相交，所以不會形成任何像。」

解釋這個錯誤，並描述實際形成的像。

解答 2

確實會形成像，而且它是虛像、正立、縮小，並位於鏡後、鏡面與 \(F\) 之間。

這名學生的錯誤，是假設只有當光線實際相交時才會形成像。

光線經凸面鏡反射後會發散。不過，觀察者會沿直線把這些光線向後追溯。向後延長線會在鏡後相交，形成一個光線的表觀來源。

因為只有反射光線的延長線在那裏相交，所以所成的是虛像，而不是實像。

問題 3

一面凹面鏡的 \(f=8.0\ \text{cm}\)。一個物體放在鏡前 \(24\ \text{cm}\) 處。

計算像的位置和放大率，然後描述所成的像。

解答 3

像形成於鏡前 \(12\ \text{cm}\) 處，並且是實像、倒立，高度為物體的一半。

使用

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]

代入 \(f=8.0\ \text{cm}\) 和 \(d_o=24\ \text{cm}\)：

\[
\frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i}
\]

\[
\frac{1}{d_i}
=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}
=\frac{3-1}{24}
=\frac{1}{12}
\]

因此，

\[
d_i=12\ \text{cm}
\]

正的像距表示實像形成於鏡前。

現在計算放大率：

\[
m=-\frac{d_i}{d_o}
=-\frac{12}{24}
=-0.50
\]

負號表示倒立，而 \(|m|=0.50\) 表示像的大小是物體的一半。

還可以用光線圖作一個實用檢查。由於 \(C=2f=16\ \text{cm}\)，位於 \(24\ \text{cm}\) 的物體是在 \(C\) 之外。因此，凹面鏡應該在 \(C\) 與 \(F\) 之間形成一個較小的實像。計算所得的位置 \(12\ \text{cm}\) 正好位於這個區域。

問題 4

一個物體緩慢移向凹面鏡。它一開始位於 \(C\) 之外，之後通過 \(C\)，再繼續向 \(F\) 移動，但沒有移到 \(F\) 內側。

一名學生聲稱，由於物體正在移向鏡面，所以像也一定會持續移向鏡面。

這個預測正確嗎？描述像實際上會如何變化。

解答 4

這個預測不正確。當物體從 \(C\) 之外向 \(F\) 移動時，實像整體上會遠離鏡面，同時變得更大。

當物體位於 \(C\) 之外時，像位於 \(F\) 與 \(C\) 之間，而且是縮小的。

當物體到達 \(C\) 時，像也位於 \(C\)，並與物體大小相同。

當物體移到 \(C\) 與 \(F\) 之間時，像會移到 \(C\) 之外，並變得放大。

當物體接近 \(F\) 時，反射光線愈來愈接近平行，因此它們的交點會移得愈來愈遠。在理想模型中，當物距趨近焦距時，像距會趨向無窮大。

容易犯的錯誤，是假設物體和像的移動方向必定相同。像的位置是由反射光線方向的變化決定，而不是機械式地跟隨物體的移動。

問題 5

一個小物體恰好放在理想凹面鏡的焦點上。

一名學生說實像會形成在 \(F\)，因為「焦點就是反射光線相交的地方」。另一名學生則說不會發生反射，因為鏡子不能形成像。

評價這兩個說法，並指出光線模型的預測。

解答 5

兩個說法都不正確。鏡面仍然會反射光線，但理想光線模型預測在任何有限距離都不會形成像。

考慮從物體上一點發出的光線。一條在射到鏡面前通過 \(F\) 的主要光線，反射後會平行於主軸。更一般地，在近軸模型中，位於焦平面上的物體所發出的光經反射後，對應的像實際上位於無窮遠處。

第一名學生的錯誤，是把 \(F\) 當成所有反射光線都必定相交的位置。焦點有特定的定義：對凹面鏡而言，平行於主軸入射的光線反射後會通過 \(F\)。這並不表示所有反射光線都一定會通過 \(F\)。

第二名學生的錯誤，是把「沒有有限位置的像」與「沒有反射」混為一談。反射定律仍然會在鏡面上正常適用。

鏡公式顯示了這種極限行為：

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]

當 \(d_o=f\) 時，

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i}
\]

所以

\[
\frac{1}{d_i}=0
\]

這對應 \(d_i\) 趨向無窮大。

因此，這裏有趣的物理現象並不是光消失了，而是反射光線無法在任何有限位置會聚。

13這個概念接下來會延伸到哪裏

光線圖把反射定律轉化成對觀察者實際看到甚麼的預測。一旦你能判斷反射光線在哪裏相交，或它們只是看起來在哪裏相交，同樣的推理便能自然延伸到折射和透鏡。

當光線跨越不同介質時，幾何關係會有所改變，因為光線可以折射而不是反射，但核心問題仍然相同：光線改變方向之後，實際會往哪裏傳播？而觀察者把它們向後追溯時，又會認為它們來自哪裏？