抛体的最大高度：HSC 物理解说

一颗以某个角度发射的球会向上爬升，垂直方向的速度逐渐减小，到达轨迹最高点后再落下。在那个最高点，抛体是否已经停止运动？

继续阅读之前先预测一下：它的速率是零、加速度是零，还是只有垂直速度是零？

只有垂直速度是零。除非抛体是垂直向上发射，否则它仍然在水平方向运动。重力也仍然使它向下加速。正确计算最大高度的关键，就在于分清这一点。

01最大高度是垂直运动问题

想像一颗球以初速度大小 \(u\)，与水平方向成 \(\theta\) 角向上发射。它的初速度可以分解为两个分量：

\[
u_x = u\cos\theta
\]

\[
u_y = u\sin\theta
\]

其中：

• \(u_x\) 是初始水平速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u_y\) 是初始垂直速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u\) 是初速度的大小，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，以及
• \(\theta\) 是相对于水平方向的发射角。

如果你对把速度向量分解成分量仍不太熟悉，请先复习抛体初速度分量。

对最大高度而言，水平分量并不直接起作用。重力沿垂直方向作用，因此决定抛体能上升多高的是 \(u_y\)。

你可以把两个速度分量想像成小组作业中被分派不同工作的两个人。垂直分量要承受所有「重力带来的麻烦」，所以它会不断改变；而在理想的 HSC 模型中，水平分量基本上不受影响。

不过，这个比喻也有其限制，因为这两个分量实际上并不是两个彼此独立的运动或物体，而是同一个速度向量中互相垂直的两个分量。

在最高点究竟发生了甚么？

取向上为垂直方向的正方向。

在上升过程中：

• 垂直速度 \(v_y\) 为正，
• 重力产生垂直加速度 \(a_y=-g\)，
• \(v_y\) 持续减小。

在最大高度处：

在地球表面附近，HSC 抛体问题通常使用 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，除非题目另有给定。

因此，关键条件是

\[
v_y=0
\]

而不是 \(v=0\)。

02推导最大高度公式

我们要找的是从发射点到最高点的垂直位移。把这个高度记为 \(H\)。

垂直方向的运动学方程

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

很适合使用，因为它包含位移，而且不需要知道时间。

由发射到最大高度的过程中：

• \(v_y=0\)，
• \(a_y=-g\)，
• \(\Delta y=H\)。

代入可得

\[
0^2=u_y^2+2(-g)H
\]

因此

\[
0=u_y^2-2gH
\]

所以

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

这里的 \(H\) 是相对于发射点的最大高度。

如果抛体以速率 \(u\)、与水平方向成 \(\theta\) 角发射，那么 \(u_y=u\sin\theta\)，因此

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

这就是理想抛体运动中标准的最大高度结果。

留意这个方程在物理上的意思。较大的初始垂直速度，代表重力需要消除更多向上的运动。由于 \(u_y\) 是平方项，因此把垂直分量加倍，抛体上升的高度会变成四倍。

如果抛体从地面以上的位置开始

假设发射点本身已位于离地面 \(y_0\) 的高度。

公式

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

仍然只表示发射后额外上升的高度。

因此，相对于地面的最大高度为

\[
y_{\max}=y_0+\frac{u_y^2}{2g}
\]

这个差别会造成许多本可避免的错误。一定要先问清楚：题目要求的是相对于发射点的上升高度，还是相对于地面等参考位置的最大高度？

03为甚么用时间计算会得到相同结果

还有另一种方法可以推导出同一条公式。

由

\[
v_y=u_y+a_yt
\]

在最高点，垂直速度为零：

\[
0=u_y-gt_{\text{top}}
\]

所以

\[
t_{\text{top}}=\frac{u_y}{g}
\]

现在使用垂直位移公式：

\[
H=u_yt_{\text{top}}-\frac{1}{2}gt_{\text{top}}^2
\]

代入 \(t_{\text{top}}=u_y/g\)：

\[
H=u_y\left(\frac{u_y}{g}\right)
-\frac{1}{2}g\left(\frac{u_y}{g}\right)^2
=\frac{u_y^2}{2g}
\]

结果相同。

如果题目只要求最大高度，使用含速度平方的方程通常更快。如果题目同时要求到达最高点所需的时间，那么时间法就很有用。

04最容易犯的错误：把整个速度设为零

假设一个抛体沿斜向发射。

在它的最高点，

\[
v_y=0
\]

但是，在理想抛体模型中，

\[
v_x=u_x
\]

所以，它在最高点的总速率为

\[
v=\sqrt{v_x^2+0^2}=v_x
\]

除非抛体是垂直发射，否则这个值不会是零。

为甚么这个错误想法这么容易令人信服？在日常说法中，我们会说一个被抛出的物体「停止向上运动」。这是对的。但「停止向上运动」并不等于「停止运动」。

附近还有另一个常见陷阱：有些学生因为最高点的垂直速度为零，也会把加速度设为零。重力并没有停止作用。在整段飞行过程中，加速度仍然约为向下的 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

一个有用的比较是垂直向上抛出的球。在它恰好由上升转为下降的那一刻，速度为零，但向下的加速度仍然存在。若没有这个加速度，它就会停在最高点悬浮不动。

05简洁的判断规则

遇到最大高度问题时，可以依照以下顺序作判断：

最后一行很重要。这个公式预测的是：在此模型下，如果飞行途中没有任何东西干扰，抛体本来会到达的高度。屋顶、墙壁或其他碰撞，都可能使这个理论最高点在物理上无法到达。

06问题与解答

问题 1

一个抛体以 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、与水平方向成 \(35.0^\circ\) 角发射。计算它相对于发射点的最大高度。

解答 1

抛体到达的最大高度为发射点上方 \(9.67\ \mathrm{m}\)。

首先，把初速度分解出垂直分量：

\[
u_y=u\sin\theta
=24.0\sin35.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在最大高度处，\(v_y=0\)。因此，

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(13.8)^2}{2(9.8)}
=9.67\ \mathrm{m}
\]

一个很容易令人误用的方法，是直接把完整的 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 代入高度公式。这等于假设抛体上升时，重力也需要把水平分量消除掉。事实并非如此。最大高度取决于初始垂直分量。

问题 2

一个抛体从地面以 \(26.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率发射。在最大高度处，它的速率为 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

计算：

a. 它的初始垂直速度，

b. 它相对于水平方向的发射角，以及

c. 它的最大高度。

忽略空气阻力。

解答 2

初始垂直速度为 \(16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，发射角为 \(39.7^\circ\)，最大高度为 \(14.1\ \mathrm{m}\)。

在最高点，垂直速度为零。因此，题目所给的 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 速率必须是水平速度：

\[
u_x=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

初速度大小等于两个互相垂直分量的合成大小：

\[
u^2=u_x^2+u_y^2
\]

所以

\[
u_y=\sqrt{u^2-u_x^2}
=\sqrt{(26.0)^2-(20.0)^2}
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

对于发射角，

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{20.0}
\]

因此

\[
\theta=39.7^\circ
\]

现在计算上升高度：

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(16.6)^2}{19.6}
=14.1\ \mathrm{m}
\]

一个很容易产生的错误理解，是把最大高度处 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率看成仍然存在的垂直运动。最高点的确切条件是 \(v_y=0\)。因此，在那里任何非零的速率都必须来自水平方向。

问题 3

一个抛体从地面发射，最后落回地面。它的水平射程为 \(50.0\ \mathrm{m}\)，最大高度为 \(8.00\ \mathrm{m}\)。

求它的发射角和初速大小。

假设为理想抛体运动。

解答 3

抛体以 \(32.6^\circ\) 的角度和 \(23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的初速发射。

对于落点与发射点位于相同垂直高度的抛体，

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

其中 \(R\) 是水平射程。

它的最大高度为

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

与其分别从两条方程求 \(u\)，不如直接比较两式。最大高度的四倍为

\[
4H=\frac{2u^2\sin^2\theta}{g}
\]

利用 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)，

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

因此，

\[
\frac{R}{4H}
=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
=\cot\theta
\]

代入量得的数值：

\[
\cot\theta=\frac{50.0}{4(8.00)}
=1.5625
\]

所以

\[
\tan\theta=\frac{1}{1.5625}=0.640
\]

因此

\[
\theta=32.6^\circ
\]

现在使用最大高度方程：

\[
8.00
=\frac{u^2\sin^2(32.6^\circ)}{2(9.8)}
\]

整理得

\[
u
=\sqrt{\frac{2(9.8)(8.00)}{\sin^2(32.6^\circ)}}
=23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

一个很容易想到的方法，是因为 \(45^\circ\) 常与最大射程联系在一起，便直接假设发射角为 \(45^\circ\)。但只有在发射速率固定，而且发射高度与落地高度相同的情况下，\(45^\circ\) 才会令射程最大。题目并没有说这条特定轨迹在其速率下具有最大可能射程。已量得的射程和高度组合把角度确定为 \(32.6^\circ\)。

问题 4

一个抛体从离地面 \(5.00\ \mathrm{m}\) 高的平台发射。

当它在水平方向距离发射点 \(18.0\ \mathrm{m}\) 时，其速度大小为 \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，方向为水平方向以上 \(20.0^\circ\)。

求：

a. 抛体相对于地面的最大高度，

b. 它的初速大小，以及

c. 它的初始发射角。

忽略空气阻力。

解答 4

最大高度为离地面 \(19.0\ \mathrm{m}\)，初速大小为 \(23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，发射角为 \(44.4^\circ\)。

首先，需要把在 \(x=18.0\ \mathrm{m}\) 处量得的速度分解成分量：

\[
v_x=18.0\cos20.0^\circ
=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\[
v_y=18.0\sin20.0^\circ
=6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

由于理想模型中没有水平加速度，

\[
u_x=v_x=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

水平方向移动 \(18.0\ \mathrm{m}\) 所需的时间为

\[
t=\frac{x}{v_x}
=\frac{18.0}{16.9}
=1.064\ \mathrm{s}
\]

现在沿垂直方向倒推。使用

\[
v_y=u_y-gt
\]

可得

\[
u_y=v_y+gt
=6.16+9.8(1.064)
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在这 \(1.064\ \mathrm{s}\) 内，抛体的垂直位移为

\[
\Delta y
=u_yt-\frac{1}{2}gt^2
\]

\[
\Delta y
=(16.6)(1.064)-\frac{1}{2}(9.8)(1.064)^2
=12.1\ \mathrm{m}
\]

由于它从离地面 \(5.00\ \mathrm{m}\) 的位置开始，因此在观测点的高度为

\[
y=5.00+12.1=17.1\ \mathrm{m}
\]

此时它仍在上升，因为 \(v_y=+6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。剩余的上升高度为

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(6.16)^2}{19.6}
=1.93\ \mathrm{m}
\]

因此，

\[
y_{\max}=17.1+1.93=19.0\ \mathrm{m}
\]

初速大小为

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(16.9)^2+(16.6)^2}
=23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

而发射角满足

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{16.9}
\]

所以

\[
\theta=44.4^\circ
\]

一个很容易误走的方向，是把 \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(20.0^\circ\) 当成发射速度。它们并不是。这些数值描述的是抛体飞行一段时间之后的速度。重力已经改变了垂直分量，而水平分量仍保持不变。正是这个差异，让我们能够反推出较早的运动状态。

问题 5

一个抛体从我们定义为高度 \(0\) 的位置发射。

在飞行过程中，它两次通过高度 \(9.00\ \mathrm{m}\)：一次在上升时，一次在下降时。这两次观测相隔 \(1.60\ \mathrm{s}\)，而在这段时间内，抛体沿水平方向移动了 \(24.0\ \mathrm{m}\)。

求：

a. 相对于发射点的最大高度，

b. 最大高度处的速率，

c. 初始垂直速度，

d. 初速大小，以及

e. 发射角。

忽略空气阻力。

解答 5

最大高度为 \(12.1\ \mathrm{m}\)，最高点的速率为 \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，初始垂直速度为 \(15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，初速大小为 \(21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，发射角为 \(45.8^\circ\)。

关键在于，抛体会在上升途中和下降途中各一次经过相同高度。在向下加速度恒定且没有空气阻力的情况下，这两个时刻在时间上以最高点为中心呈对称分布。

两次观测相隔 \(1.60\ \mathrm{s}\)，所以从任一次观测到最高点的时间为

\[
\frac{1.60}{2}=0.800\ \mathrm{s}
\]

第一次经过 \(9.00\ \mathrm{m}\) 高度时，抛体正在向上运动。它的垂直速度必须在接下来的 \(0.800\ \mathrm{s}\) 内减小至零：

\[
0=v_y-g(0.800)
\]

因此，

\[
v_y=9.8(0.800)
=7.84\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

从 \(9.00\ \mathrm{m}\) 高度继续上升到最高点的额外高度为

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(7.84)^2}{19.6}
=3.136\ \mathrm{m}
\]

所以最大高度为

\[
H_{\max}=9.00+3.136
=12.136\ \mathrm{m}
\]

取三位有效数字，即为 \(12.1\ \mathrm{m}\)。

现在使用水平方向的资讯。水平速度保持不变，因此

\[
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{24.0}{1.60}
=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在最大高度处 \(v_y=0\)，所以抛体在那里的总速率就是

\[
v_{\text{apex}}=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

要反推出初始垂直速度，可以使用已知的最大高度：

\[
H_{\max}=\frac{u_y^2}{2g}
\]

因此，

\[
u_y=\sqrt{2gH_{\max}}
=\sqrt{2(9.8)(12.136)}
=15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

初始水平速度仍为

\[
u_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

所以初速大小为

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(15.0)^2+(15.4)^2}
=21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

最后，

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{15.4}{15.0}
\]

因此

\[
\theta=45.8^\circ
\]

一个很容易犯的错误，是把完整的 \(1.60\ \mathrm{s}\) 当成从第一次经过 \(9.00\ \mathrm{m}\) 到最高点所需的时间。这会令额外高度算成正确值的四倍，因为由转向点算起的位移与时间的平方有关。关键限制条件是对称性：两次通过相同高度的时刻分别位于最高点的两侧，所以最高点在时间上正好位于两者中间。

资料中还隐含著另一个有用的结果。在求最大高度之前，我们根本不需要知道原本的发射速率。后来的运动资讯已经足以让我们把它反推出来。

07最大高度能帮助你接著理解甚么

真正有用的概念，其实不只是公式 \(H=u_y^2/(2g)\)，而是公式背后的条件：在自然形成的最高点，\(v_y=0\)，但重力仍然在作用。

一旦掌握这一点，发射角问题就会容易得多。增加 \(\theta\) 会改变 \(u_y=u\sin\theta\)，从而改变最大高度；但它同时也会改变水平分量，因此影响飞行时间和射程。理解这种取舍，是下一步掌握抛体发射角如何影响高度、飞行时间和射程的关键。