抛射发射角：高度、飞行时间与射程

两个抛射体以完全相同的速率从地面射出。一个以 \(30^\circ\) 发射，另一个以 \(60^\circ\) 发射。哪一个会落得更远？

\(60^\circ\) 发射的抛射体在空中停留更久，也上升得高得多，因此很容易直觉地选它。但在通常的理想抛射运动假设下，两者的水平落点距离其实完全相同。

这个结果正是理解发射角的关键。增大角度会让抛射体具有较大的向上速度，但较小的水平方向速度。随著发射角变陡，最大高度和飞行时间都会持续增加，但射程不会一直增加。

01先把发射速度分解

假设一个抛射体以速率 \(u\)，相对水平面以角度 \(\theta\) 射出。

它的初速度可以分解成两个互相垂直的分量：

\[
u_x=u\cos\theta
\]

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中：

• \(u_x\) 是初始水平速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u_y\) 是初始铅直速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u\) 是发射速率，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，以及
• \(\theta\) 是相对水平面的发射角。

如果你想复习为甚么这里会出现正弦和余弦，请参阅 HSC 物理：抛射运动初速度分量。

一个实用的初步想像方式，是把发射速率看成固定的「速度预算」。把速度向量向上倾斜时，这个预算会有更多分配到铅直分量，而较少分配到水平分量。

这个类比并不完全精确。这些分量并不是在飞行过程中会被消耗或互相交换的量。抛射体一旦离开发射点，重力会持续改变铅直速度，而在理想模型中，水平速度则保持不变。

这个差别几乎可以解释发射角造成的所有影响。

02当角度增加时会发生甚么？

保持发射速率 \(u\) 不变。

当 \(\theta\) 从 \(0^\circ\) 增加并趋近 \(90^\circ\) 时：

• \(\cos\theta\) 减小，因此 \(u_x\) 减小，
• \(\sin\theta\) 增大，因此 \(u_y\) 增大，
• 抛射体上升得更高，
• 它在空中停留得更久，但
• 它的水平移动距离不一定更远。

目前先假设：

• 空气阻力可以忽略，
• 重力加速度保持不变，
• 抛射体落在与发射点相同的铅直高度，以及
• \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

这些假设很重要。特别是大家熟悉的 \(45^\circ\) 最大射程结论，取决于发射点与落点位于相同高度。你可以在 HSC 物理中的抛射运动假设详解 复习这个模型。

03发射角与最大高度

想像两个球以相同速率发射。一个以 \(20^\circ\) 射出，另一个以 \(70^\circ\) 射出。

哪一个能到达较大的高度？

\(70^\circ\) 的抛射体会到达较大的高度，因为最大高度取决于铅直分量 \(u_y\)，而不是直接取决于总发射速率。

在最大高度时，铅直速度已降至零。使用

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

并令 \(v_y=0\)、\(a_y=-g\) 以及 \(\Delta y=H\)，

\[
0=u_y^2-2gH
\]

因此

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}.
\]

由于 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}.
\]

这里的 \(H\) 是相对发射点的最大高度，以米为单位。

当发射速率固定时，

\[
H\propto\sin^2\theta.
\]

因此，增加发射角会使最大高度持续增加，一直到 \(90^\circ\)。

铅直向上发射能达到最大的可能高度，因为所有初速度都在铅直方向。

04发射角与飞行时间

现在考虑在空中的时间。

对于最后落回发射高度的抛射体，铅直运动的上升部分与下降部分是对称的。

到达最大高度所需的时间可由

\[
v_y=u_y-gt
\]

求出。

在最高点，\(v_y=0\)，所以

\[
t_{\text{上升}}=\frac{u_y}{g}.
\]

总飞行时间 \(T\) 是这个时间的两倍：

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

代入 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

因此，当发射速率固定时，

\[
T\propto\sin\theta.
\]

发射角越陡，抛射体在空中停留得越久。

这一点有时会与射程混淆。在空中停留得更久，听起来似乎必然代表水平距离更远。但角度较陡的抛射体同时也有较小的水平速度。射程取决于这两种效应共同作用的结果。

05发射角与水平射程

在理想抛射运动模型中，水平加速度为零，因此

\[
R=u_xT,
\]

其中 \(R\) 是以米为单位的水平射程。

使用

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g},
\]

可得

\[
R=(u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right).
\]

因此，

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
\]

使用恒等式

\[
2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta,
\]

射程方程变成

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

这条方程包含了一个重要而出人意料的结果。

射程取决于 \(\sin2\theta\)，而不是单纯取决于 \(\sin\theta\) 或 \(\cos\theta\)。

06为甚么 \(45^\circ\) 会得到最大射程

当 \(u\) 和 \(g\) 固定时，在

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

中唯一会改变的部分是 \(\sin2\theta\)。

正弦函数的最大可能值是 \(1\)。因此，当

\[
\sin2\theta=1
\]

时，射程最大。

这代表

\[
2\theta=90^\circ
\]

因此

\[
\theta=45^\circ.
\]

所以，在理想情况下，如果抛射体的发射高度与落地高度相同，最大射程出现在 \(45^\circ\)。

留意这并不代表 \(45^\circ\) 在每一道抛射运动题目中都是最佳发射角。如果落点高于或低于发射点、空气阻力不可忽略，或有障碍物限制路径，答案都可能改变。

07互为余角的发射角具有相同射程

回到最开始的 \(30^\circ\) 与 \(60^\circ\) 问题。

对 \(30^\circ\) 而言，

\[
\sin(2\theta)=\sin60^\circ.
\]

对 \(60^\circ\) 而言，

\[
\sin(2\theta)=\sin120^\circ.
\]

但是

\[
\sin60^\circ=\sin120^\circ.
\]

因此两者的射程相等。

更一般地说，当发射速率相同，而且落点高度也相同时，两个相加等于 \(90^\circ\) 的发射角会产生相同的射程。

例子包括：

• \(20^\circ\) 和 \(70^\circ\)，
• \(35^\circ\) 和 \(55^\circ\)，
• \(40^\circ\) 和 \(50^\circ\)。

这些角互为余角。

它们的射程相等，但轨迹并不相同。

低角度抛射体具有较大的水平分量，因此能较快地越过地面距离。

高角度抛射体具有较大的铅直分量，因此会在空中停留长得多的时间。

当两个角互为余角时，这两种效应刚好完全平衡。

08直接比较高度、时间和射程

当发射速率固定，而且发射高度与落地高度相同时：

例如，取 \(u=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

在这个例子中，\(60^\circ\) 抛射体上升的高度是 \(30^\circ\) 抛射体的三倍，而且在空中停留得久得多，但两者的射程仍然相等。

这就是为甚么只根据轨迹形状来判断射程可能会产生误导。

09最容易出现的误解

一个常见的预测是：

发射角越大，射程越大，因为抛射体在空中停留得更久。

前半句是正确的。只要发射速率保持不变，增加角度确实会增加飞行时间。

问题在于，水平速度同时会减小：

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

接近 \(0^\circ\) 时，抛射体有很大的水平速度，但几乎没有多少飞行时间。

接近 \(90^\circ\) 时，它有很长的飞行时间，但几乎没有水平速度。

最大射程出现在这两个极端之间，也就是两种效应达到平衡的位置。当发射高度与落地高度相同时，这个平衡出现在 \(45^\circ\)。

另一个很容易采用的捷径，是认为互为余角的发射角一定具有相同射程。其实不一定。

这个结果取决于发射速率相同，而且发射高度与落地高度相同。如果从悬崖发射，额外的下落时间便会改变这个平衡。

10如果抛射体落在不同高度呢？

假设一个抛射体从悬崖发射。

即使发射速率相同，\(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 发射也不再必须在撞到地面前移动相同的水平距离。

为甚么？

方程

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

是根据铅直运动的对称性得出的。它假设抛射体落回原来的高度。

从悬崖发射时，抛射体通过发射高度后仍会继续下落。因此，其总飞行时间必须改用铅直位移方程求出：

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

一旦求出飞行时间，水平射程仍然是

\[
R=u_xt.
\]

所以，速度分量的概念仍然适用，但方便的同高度公式不再适用。

这是一个重要的 HSC 解题习惯：在使用背熟的抛射公式前，先检查使该公式成立的物理条件是否符合题目。

11问题与解答

问题 1

一个抛射体从水平地面以 \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，相对水平面以 \(40^\circ\) 发射。忽略空气阻力。

计算：

a. 它的最大高度，

b. 它的总飞行时间，以及

c. 它的水平射程。

解答 1

抛射体的最大高度为 \(6.83\ \mathrm{m}\)，在空中停留 \(2.36\ \mathrm{s}\)，并在水平方向移动 \(32.6\ \mathrm{m}\)。

先分解初速度：

\[
\begin{aligned}
u_x&=18\cos40^\circ\\
&=13.79\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
u_y&=18\sin40^\circ\\
&=11.57\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

对最大高度而言，

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(11.57)^2}{2(9.8)}\\
&=6.83\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

对总飞行时间而言，

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(11.57)}{9.8}\\
&=2.36\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

因此射程为

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(13.79)(2.36)\\
&=32.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一个很容易犯的错误，是把完整的 \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 当成水平速度。只有水平分量会使抛射体沿地面方向移动。

问题 2

一个发射器从水平地面以 \(28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 发射抛射体。抛射体必须落在 \(60.0\ \mathrm{m}\) 外、与发射点相同的高度。

忽略空气阻力：

a. 求出两个可能的发射角，

b. 求每条轨迹的飞行时间，以及

c. 求每条轨迹的最大高度。

解答 2

有两个可能的发射角：约为 \(24.3^\circ\) 和 \(65.7^\circ\)。它们具有相同射程，但飞行时间与最大高度非常不同。

使用同高度射程方程

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

代入 \(R=60.0\ \mathrm{m}\)、\(u=28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 和 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)：

\[
\begin{aligned}
60.0&=\frac{28^2\sin2\theta}{9.8}\\
\sin2\theta&=\frac{(60.0)(9.8)}{28^2}\\
&=0.750.
\end{aligned}
\]

其中一个解是

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.750)=48.59^\circ.
\]

但正弦在第二象限也是正值，所以

\[
2\theta=180^\circ-48.59^\circ=131.41^\circ.
\]

因此，

\[
\theta=24.30^\circ
\]

或

\[
\theta=65.70^\circ.
\]

两个角相加等于 \(90^\circ\)，符合等射程互余轨迹的预期。

对较低的轨迹而言，

\[
u_y=28\sin24.30^\circ=11.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

因此

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(11.52)}{9.8}\\
&=2.35\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(11.52)^2}{19.6}\\
&=6.77\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

对较高的轨迹而言，

\[
u_y=28\sin65.70^\circ=25.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(25.52)}{9.8}\\
&=5.21\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(25.52)^2}{19.6}\\
&=33.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一个很容易采用但错误的做法，是在计算机得到 \(2\theta=48.59^\circ\) 后就停下来。这样会漏掉第二条实际可行的轨迹。由于正弦函数在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之间的两个角可以具有相同的正值，因此对于能到达的同高度目标，通常会有一个低角度解和一个高角度解。

问题 3

一个抛射体从地面以 \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 发射。目标位于更远处的地面上，但在距离发射器 \(20.0\ \mathrm{m}\) 的位置有一道垂直墙壁。墙高为 \(8.00\ \mathrm{m}\)。

现正考虑两个发射角：\(30^\circ\) 和 \(60^\circ\)。

a. 证明两个发射角在没有障碍物时会产生相同射程。

b. 求每个抛射体到达墙壁位置时的高度。

c. 说明哪一条轨迹可以越过墙壁并继续飞向目标所在的一侧。

解答 3

两个抛射体在没有障碍物时的射程都为 \(55.2\ \mathrm{m}\)，但只有 \(60^\circ\) 的抛射体能越过 \(8.00\ \mathrm{m}\) 高的墙。

对射程而言，

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

在 \(30^\circ\) 时，

\[
\begin{aligned}
R_{30}&=\frac{25.0^2\sin60^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

在 \(60^\circ\) 时，

\[
\begin{aligned}
R_{60}&=\frac{25.0^2\sin120^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

两者射程相同，因为 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 互为余角。

不过，相同射程并不代表路径相同。若要求抛射体在水平位置 \(x\) 时的高度，可使用

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta},
\]

其中 \(x\) 和 \(y\) 都是相对发射点量度的。

对 \(30^\circ\) 的抛射体，在 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 时，

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan30^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^230^\circ}\\
&=7.37\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

由于 \(7.37\ \mathrm{m}<8.00\ \mathrm{m}\)，它会撞上墙壁。

对 \(60^\circ\) 的抛射体而言，

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan60^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^260^\circ}\\
&=22.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

由于 \(22.1\ \mathrm{m}>8.00\ \mathrm{m}\)，它可以越过墙壁。

一个很容易得出的错误结论，是认为相同射程使两个发射角可以互相替代。只有在落点是唯一限制条件时，它们才可以互换。一旦存在障碍物，而题目关心轨迹在中途某个位置的高度，两条轨迹的表现就会非常不同。

问题 4

一个抛射体从水平地面发射。影片分析显示，当它在水平方向距离发射点 \(30.0\ \mathrm{m}\) 时，其速度分量为

\[
v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

以及

\[
v_y=+3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

忽略空气阻力。

求：

a. 自发射后经过的时间，

b. 初始水平和铅直速度分量，

c. 发射速率和发射角，

d. 抛射体在被观察时刻的高度，

e. 它的最大高度，以及

f. 它最终的水平射程。

解答 4

这个抛射体的发射速率约为 \(27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，发射角约为 \(56.4^\circ\)，而不是它在被观察时刻速度方向所对应的 \(11.3^\circ\)。它的最大高度约为 \(26.1\ \mathrm{m}\)，射程约为 \(69.2\ \mathrm{m}\)。

关键条件是水平速度保持不变。因此，

\[
u_x=v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

经过时间可由水平运动求出：

\[
\begin{aligned}
x&=u_xt\\
30.0&=(15.0)t\\
t&=2.00\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

在铅直方向，

\[
v_y=u_y-gt.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
u_y&=v_y+gt\\
&=3.00+(9.8)(2.00)\\
&=22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

发射速率为

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{15.0^2+22.6^2}\\
&=27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

发射角满足

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{22.6}{15.0}\right)\\
&=56.4^\circ.
\end{aligned}
\]

现在求 \(t=2.00\ \mathrm{s}\) 时的高度：

\[
\begin{aligned}
y&=u_yt-\frac{1}{2}gt^2\\
&=(22.6)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2\\
&=25.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

最大高度为

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(22.6)^2}{19.6}\\
&=26.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

这个结果很合理：抛射体已经在 \(25.6\ \mathrm{m}\) 的高度，而且仍以只有 \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度向上移动，因此它必定已经接近最高点。

总飞行时间为

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(22.6)}{9.8}\\
&=4.61\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

因此射程为

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(15.0)(4.61)\\
&=69.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一个很容易采用的错误做法，是计算目前速度的角度：

\[
\tan^{-1}\left(\frac{3.00}{15.0}\right)=11.3^\circ
\]

然后把它当成发射角。但重力已经把铅直速度从 \(22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 降至 \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。目前的运动方向并不是最初的发射方向。

问题 5

一个抛射体从地面以 \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 发射。观察发现，它会通过一个水平距离发射器 \(20.0\ \mathrm{m}\)、高于发射高度 \(10.0\ \mathrm{m}\) 的位置。

忽略空气阻力。

a. 求出 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之间所有可能的发射角。

b. 对每个发射角，判断抛射体通过该观察点时正在向上还是向下运动。

c. 求每条轨迹最终的射程。

d. 解释为甚么这两个发射角并不互为余角，尽管同一个发射速率可以产生两条通过同一点的可能轨迹。

解答 5

有两个可能的发射角：约为 \(36.6^\circ\) 和 \(79.9^\circ\)。\(36.6^\circ\) 的抛射体会在上升时通过该点，最终落在距离发射器约 \(61.1\ \mathrm{m}\) 处。\(79.9^\circ\) 的抛射体则会在下降时通过同一点，并在距离发射器仅约 \(21.9\ \mathrm{m}\) 处落地。

重要的限制条件是，题目要求抛射体通过一个中途位置，而不是在该位置落地。因此，熟悉的互余角结果并不适用。

使用轨迹方程

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

代入 \(x=20.0\ \mathrm{m}\)、\(y=10.0\ \mathrm{m}\) 和 \(u=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)：

\[
10.0
=
20.0\tan\theta
–
\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^2\theta}.
\]

由于

\[
\frac{(9.8)(20.0)^2}{2(25.0)^2}=3.136,
\]

所以

\[
10.0=20.0\tan\theta-3.136\sec^2\theta.
\]

现在使用

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.
\]

令

\[
p=\tan\theta.
\]

则

\[
10.0=20.0p-3.136(1+p^2).
\]

整理后，

\[
3.136p^2-20.0p+13.136=0.
\]

使用二次方程公式，

\[
p=
\frac{20.0\pm\sqrt{20.0^2-4(3.136)(13.136)}}
{2(3.136)}.
\]

得到

\[
p=0.743
\]

或

\[
p=5.63.
\]

因此，

\[
\theta=\tan^{-1}(0.743)=36.6^\circ
\]

或

\[
\theta=\tan^{-1}(5.63)=79.9^\circ.
\]

现在判断每个抛射体到达 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 时的运动状态。

对 \(36.6^\circ\) 发射而言，

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos36.6^\circ\\
&=20.06\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
u_y=25.0\sin36.6^\circ=14.92\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

到达 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 所需的时间为

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{x}{u_x}\\
&=\frac{20.0}{20.06}\\
&=0.997\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

此时它的铅直速度为

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=14.92-(9.8)(0.997)\\
&=+5.15\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

正号表示它仍在上升。

它的总射程为

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{u^2\sin2\theta}{g}\\
&=\frac{25.0^2\sin(73.2^\circ)}{9.8}\\
&=61.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

对 \(79.9^\circ\) 发射而言，

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos79.9^\circ\\
&=4.37\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
u_y=25.0\sin79.9^\circ=24.62\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

到达 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 所需的时间为

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{20.0}{4.37}\\
&=4.58\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

此时它的铅直速度为

\[
\begin{aligned}
v_y&=24.62-(9.8)(4.58)\\
&=-20.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

负号表示它正在下降。

它的总射程为

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{25.0^2\sin(159.9^\circ)}{9.8}\\
&=21.9\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

所以，高角度抛射体是在即将撞到地面前不久才通过这个观察点。

一个很容易作出的预测，是认为只要存在两个有效的发射角，它们就一定互为余角。这个规则属于另一种条件：两次发射具有相同速率，而且都落在相同的水平位置及发射高度。

在这里，点 \((20.0\ \mathrm{m},10.0\ \mathrm{m})\) 并不是落点。其中一条轨迹会较早在上升过程中到达该点，另一条则会晚得多，并在下降过程中到达该点。因此，两个角没有理由必须相加成 \(90^\circ\)，实际上

\[
36.6^\circ+79.9^\circ=116.5^\circ.
\]

这就是发射角问题更广泛的重点。角度并不是独立控制高度、时间和射程。它改变的是同一个初速度的水平与铅直部分，而题目的条件则决定这两个分量必须如何共同作用。下一个值得掌握的能力，是辨认甚么时候可以使用方便的同高度公式，以及甚么时候必须回到水平和铅直方向的运动学方程来解题。