等高与不等高落点下的抛体飞行时间

将两个抛体从同一点踢出，给它们相同的向上速度，但让其中一个具有大得多的水平速度。哪一个会在空中停留得更久？

如果落地点与发射点等高，答案是两者都不会较久。它们会同时落地。水平速度会改变抛体落在哪里，却不会改变它何时回到原来的高度。

这个结果很有用，因为它能把二维抛体问题化成一个简单得多的问题：垂直方向上发生了甚么？不过，这个捷径只有在抛体落回与发射点相同高度时才成立。如果落点在悬崖下方、山谷中或较高的平台上，我们就必须更仔细处理。

01飞行时间主要是垂直运动的问题

抛体的水平运动和垂直运动会同时发生。

可以把这两种运动想像成同赴一次约会、却几乎不交谈的两个人。它们共用同一个时钟，但重力只会影响垂直方向的那一个。水平运动决定抛体在哪里，而垂直运动决定它有多高。

这个图像很有用，但也有其限制。如果落地高度本身取决于水平位置，例如落在斜坡上，两种运动便会透过落地条件连系起来。我们稍后会再讨论这一点。

对一般的 HSC 抛体题目，除非题目另有说明，我们假设：

• 空气阻力可忽略
• 重力加速度为常数
• \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，方向向下
• 水平加速度为零。

如果抛体以速率 \(u\)、相对水平线向上成 \(\theta\) 角发射，其初始垂直速度为

\[
u_y=u\sin\theta
\]

而其初始水平速度为

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

如果你对把发射速度分解成分量仍不太熟悉，可以先复习 HSC 物理中的抛体初速度分量，再继续往下学习。

02控制飞行时间的方程

取向上为正方向。令

• \(u_y\) 为初始垂直速度，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)
• \(t\) 为发射后经过的时间，单位为秒
• \(g\) 为重力加速度的大小，单位为 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)
• \(\Delta y=y_f-y_i\) 为最终高度减去初始高度，单位为米。

垂直位移方程为

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

这是求飞行时间的主要方程。

留意其中缺少了甚么：水平速度。对于位于固定高度的落地面，飞行时间由垂直运动决定。

03发射高度与落地高度相同

假设抛体落在与发射点完全相同的高度。

那么

\[
\Delta y=0.
\]

把它代入垂直位移方程：

\[
0=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

提出 \(t\)：

\[
0=t\left(u_y-\frac{1}{2}gt\right).
\]

有两个解：

\[
t=0
\]

或

\[
t=\frac{2u_y}{g}.
\]

第一个解并不是甚么神秘的额外飞行时间。它只是发射的瞬间。第二个解才是抛体回到原来高度的时刻。

因此，对于向上发射并落回相同高度的抛体，

\[
\boxed{T=\frac{2u_y}{g}}
\]

其中 \(T\) 是总飞行时间。

由于 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

为甚么飞行时间是到达最大高度所需时间的两倍？

在最大高度，垂直速度为零。

利用

\[
v_y=u_y-gt,
\]

可得

\[
0=u_y-gt_{\text{up}},
\]

因此

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

对于同高度落地的情况，下降部分在垂直方向上与上升部分对称。因此，

\[
T=2t_{\text{up}}=\frac{2u_y}{g}.
\]

这种对称性来自恒定的重力加速度，以及相同的起始与终止高度。这并不代表每一个抛体的上升时间和下降时间都一定相等。

04落地高度不同时会有甚么改变？

现在让同一个抛体从悬崖上发射。

你还会使用

\[
T=\frac{2u_y}{g}?
\]

不会。这个方程给出的是抛体回到发射高度所需的时间。之后，抛体还会继续向下落到较低的地面。

这是抛体运动中最常见的错误之一：看到物体先上升再下降，便自动把到达最大高度所需的时间乘以二。

正确的方法是使用实际的垂直位移。

例如：

• 落点比发射点低 \(12\ \mathrm{m}\)，表示 \(\Delta y=-12\ \mathrm{m}\)
• 落点比发射点高 \(5\ \mathrm{m}\)，表示 \(\Delta y=+5\ \mathrm{m}\)。

必须保留正负号。不要把所有位移都变成正的距离。

从

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2,
\]

重新整理：

\[
\frac{1}{2}gt^2-u_yt+\Delta y=0.
\]

这是一个关于 \(t\) 的二次方程。使用二次公式可得

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g}.
\]

不要把 \(+\) 号死记成「飞行时间要选的符号」。应检视各个根，选出符合实际物理情况的时间。

05落点高于发射点时情况更微妙

现在假设你想知道抛体何时位于发射点上方 \(8\ \mathrm{m}\)。

你可能会得到两个正的时间。

为甚么？

抛体可以在向上运动时通过同一个较高的位置一次，然后在向下运动时再次通过。

对于

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g},
\]

根号内的式子

\[
u_y^2-2g\Delta y
\]

能告诉我们一些有用的资讯。

如果它是：

• 正数，抛体可能会两次通过该高度
• 零，目标高度正好是最大高度
• 负数，抛体永远无法到达该高度。

这与计算抛体的最大高度时所用的物理原理相同。

还有另一个需要注意的地方。两个垂直方向的通过时间，并不会自动代表有两个可能的落地时间。

假设一个狭窄的阳台只存在于 \(x=40\ \mathrm{m}\) 至 \(x=50\ \mathrm{m}\) 之间。抛体可能先在 \(x=5\ \mathrm{m}\) 处通过阳台的高度，再在 \(x=45\ \mathrm{m}\) 处通过相同高度。只有第二次通过才可能与该阳台碰撞。

因此，对于有限长的平台：

• 用垂直运动找出抛体何时位于平台的高度
• 用 \(x=u_xt\) 求出各个时刻的水平位置
• 找出第一次真正与平台相交的位置。

这比单纯选择二次方程中较大的根更精确。

06简明判断规则

对于从高度 \(h\) 水平发射的情况，垂直方程变成

\[
-h=-\frac{1}{2}gt^2,
\]

所以

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
\]

同样地，水平速度不会影响物体落下固定垂直距离所需的时间。

07看似方便但会失效的捷径

捷径只有在你知道其适用条件时才真正有用。

「下降时间等于上升时间」在抛体最后回到发射高度时是正确的。如果它落在发射点下方，下降过程就会持续更久。

「水平速度永远不会影响飞行时间」也不完整。对固定高度的水平落地面而言，水平速度确实不影响飞行时间。但如果落地高度取决于水平位置，例如斜坡地面，水平运动就可能改变抛体何时碰到表面。

「使用二次公式时永远选正号」同样不是可靠规则。落点低于发射点时，通常会得到一个正根和一个负根，但较高的目标可能会产生两个正根。实际落地面的几何位置会决定哪一次通过才重要。

最后，不要在计算进行到一半时，把带正负号的垂直速度改成速率。如果取向上为正，而抛体正在向下移动，那么它的垂直速度就是负数。这个正负号会告诉方程抛体正在朝哪个方向运动。

08题目与解答

题目 1

一个抛体从水平地面以 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、相对水平线向上 \(30.0^\circ\) 发射。它落回相同高度。

计算其飞行时间。取 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

解答 1

抛体的飞行时间为 \(2.04\ \mathrm{s}\)。

首先求初始垂直速度：

\[
u_y=u\sin\theta
=(20.0)\sin30.0^\circ
=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

由于抛体落回发射高度，

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

因此，

\[
T=\frac{2(10.0)}{9.8}
=2.04\ \mathrm{s}.
\]

一个很容易犯的错误，是把完整的发射速率 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 代入飞行时间公式。只有垂直分量会控制抛体回到相同高度所需的时间。

题目 2

一个抛体从地面以 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、相对水平线向上 \(55.0^\circ\) 发射。

一个水平平台位于发射点上方 \(8.0\ \mathrm{m}\)，并从 \(x=45.0\ \mathrm{m}\) 延伸至 \(x=55.0\ \mathrm{m}\)。

忽略空气阻力和平台的厚度。

抛体会撞上平台吗？如果会，求它首次接触平台前的飞行时间。如果不会，求它回到地面高度所需的时间。

解答 2

抛体会在下降过程中撞上平台，时间为发射后 \(3.55\ \mathrm{s}\)。

分解初速度：

\[
u_x=(24.0)\cos55.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

\[
u_y=(24.0)\sin55.0^\circ
=19.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

在平台高度，

\[
\Delta y=8.0\ \mathrm{m}.
\]

使用垂直方向的方程：

\[
8.0=(19.7)t-4.90t^2.
\]

重新整理，

\[
4.90t^2-19.7t+8.0=0.
\]

两个根约为

\[
t=0.460\ \mathrm{s}
\]

和

\[
t=3.55\ \mathrm{s}.
\]

两者在垂直运动上都有实际物理意义。第一次是在上升途中，第二次是在下降途中。

但平台并不是在 \(y=8.0\ \mathrm{m}\) 的所有位置都存在，因此我们必须检查水平位置。

当 \(t=0.460\ \mathrm{s}\) 时，

\[
x=u_xt=(13.8)(0.460)=6.33\ \mathrm{m}.
\]

那里没有平台。

当 \(t=3.55\ \mathrm{s}\) 时，

\[
x=(13.8)(3.55)=48.9\ \mathrm{m}.
\]

这位于平台从 \(45.0\ \mathrm{m}\) 至 \(55.0\ \mathrm{m}\) 的范围内。因此，抛体在

\[
T=3.55\ \mathrm{s}
\]

时接触平台。

一个看似合理的做法，是单纯选择较大的正根，因为它「看起来像落地时间」。在这题中，这刚好会得到正确的接触时间，但它并不是普遍有效的方法。真正具决定性的条件是平台的水平位置。

题目 3

一个抛体从地面发射。

它在上升时通过 \(15.0\ \mathrm{m}\) 的高度，然后恰好在 \(1.00\ \mathrm{s}\) 后于下降时再次通过同一高度。

题目没有提供发射速率或角度。

求：

• 抛体的最大高度
• 其初始垂直速度
• 它回到地面高度的总飞行时间
• 如果实际落地面改为发射点下方 \(5.0\ \mathrm{m}\)，其总飞行时间。

取 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

解答 3

最大高度为 \(16.2\ \mathrm{m}\)，初始垂直速度为 \(17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，回到同高度的飞行时间为 \(3.64\ \mathrm{s}\)，而落到发射点下方 \(5.0\ \mathrm{m}\) 的表面所需时间为 \(3.90\ \mathrm{s}\)。

关键在于，抛体会两次通过同一高度，而最高点在时间上恰好位于两次通过之间的中点。

两次通过相隔 \(1.00\ \mathrm{s}\)，因此每一次通过与到达最大高度的时刻相差

\[
0.500\ \mathrm{s}.
\]

在最大高度，\(v_y=0\)。因此，在任一次通过 \(15.0\ \mathrm{m}\) 高度时，垂直速度的大小为

\[
|v_y|=g(0.500)
=(9.8)(0.500)
=4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

现在考虑向上通过的那一次。从 \(15.0\ \mathrm{m}\) 到最大高度，使用

\[
v_y^2=u_y^2+2a\Delta y,
\]

其中，在这一小段运动中，初始垂直速度为 \(4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，最终垂直速度为零，而 \(a=-9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

因此，

\[
0=(4.90)^2+2(-9.8)\Delta y,
\]

所以

\[
\Delta y=1.225\ \mathrm{m}.
\]

因此，最大高度为

\[
H=15.0+1.225=16.225\ \mathrm{m}
\approx16.2\ \mathrm{m}.
\]

现在从发射高度反推至最大高度：

\[
0=u_y^2+2(-9.8)(16.225).
\]

因此，

\[
u_y=\sqrt{2(9.8)(16.225)}
=17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

若回到发射高度，

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(17.8)}{9.8}
=3.64\ \mathrm{s}.
\]

然而，如果落地面位于发射点下方 \(5.0\ \mathrm{m}\)，

\[
\Delta y=-5.0\ \mathrm{m}.
\]

因此，

\[
-5.0=(17.8)t-4.90t^2,
\]

或

\[
4.90t^2-17.8t-5.0=0.
\]

解方程可得正根

\[
t=3.90\ \mathrm{s}.
\]

一个很容易犯的错误，是把两次通过 \(15.0\ \mathrm{m}\) 高度之间的 \(1.00\ \mathrm{s}\)，当成到达最大高度所需的时间，或整段飞行时间的一半。两者都不是。真正重要的是最高点两侧的对称性：在两次通过相同高度的时刻之间，最高点在时间上位于正中间。

题目 4

一个抛体从悬崖边缘射出。恰好在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 后，它向下运动并再次通过发射高度。

海面位于发射点下方 \(9.80\ \mathrm{m}\)。抛体的水平速度恒定为 \(12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

一名学生提出：

它需要 \(2.00\ \mathrm{s}\) 回到悬崖的高度。然后它只需要再下落 \(9.80\ \mathrm{m}\)，所以我可以加上从静止开始自由落体所需的时间。

求：

• 实际的总飞行时间
• 从悬崖到撞击点的水平距离
• 撞击前一刻的垂直速度
• 准确说明学生的方法为甚么失效。

解答 4

实际飞行时间为 \(2.73\ \mathrm{s}\)，抛体落在距悬崖水平距离 \(32.8\ \mathrm{m}\) 的位置，而撞击时的垂直速度约为向下 \(17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 后回到发射高度这项资讯，可以让我们求出初始垂直速度。

对于回到相同高度的情况，

\[
2.00=\frac{2u_y}{9.8}.
\]

因此，

\[
u_y=9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

在之后任何时刻，

\[
\Delta y=u_yt-\frac12gt^2.
\]

在海面处，

\[
\Delta y=-9.80\ \mathrm{m},
\]

所以

\[
-9.80=(9.80)t-4.90t^2.
\]

除以 \(4.90\)：

\[
-2=2t-t^2.
\]

因此，

\[
t^2-2t-2=0.
\]

正根为

\[
t=1+\sqrt3
=2.73\ \mathrm{s}.
\]

水平距离为

\[
x=u_xt
=(12.0)(2.73)
=32.8\ \mathrm{m}.
\]

撞击时的垂直速度为

\[
v_y=u_y-gt.
\]

因此，

\[
v_y
=9.80-(9.8)(2.73)
=-17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

负号表示方向向下。

学生把运动分成两段的想法本身并不一定错。问题出在第二段所使用的初始条件。

当抛体在 \(2.00\ \mathrm{s}\) 后回到悬崖高度时，它并不是瞬间静止。它的垂直速度为

\[
v_y=9.80-(9.8)(2.00)
=-9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

此时它已经以 \(9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度向下运动。把最后的 \(9.80\ \mathrm{m}\) 视为从静止开始的自由落体，就等于忽略了这个速度，因此会预测出过长的额外时间。

这对把运动分成不同阶段来分析是一个很有用的提醒：当一个阶段结束时，它的最终速度就是下一个阶段的初始速度。

题目 5

两个抛体从一个笔直山坡上的同一点发射，而山坡相对水平线向上倾斜 \(20.0^\circ\)。

两个抛体具有相同的初始垂直速度：

\[
u_y=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

抛体 A 的

\[
u_{x,A}=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

而抛体 B 的

\[
u_{x,B}=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

山坡无限延伸。

一名学生认为，由于两个抛体的初始垂直速度相同，因此它们的飞行时间必定相同。

求每个抛体再次与山坡相交之前的飞行时间。

接著，假设山坡改为以 \(20.0^\circ\) 向下倾斜。求新的飞行时间，并解释为甚么两者的先后次序会反转。

最后，说明在平地极限下会发生甚么。

解答 5

在向上倾斜的山坡上，抛体 A 在空中停留 \(2.69\ \mathrm{s}\)，抛体 B 则为 \(2.32\ \mathrm{s}\)；在向下倾斜的山坡上，A 在空中停留 \(3.43\ \mathrm{s}\)，B 则为 \(3.80\ \mathrm{s}\)。学生以相同 \(u_y\) 推断相同飞行时间的论证之所以失效，是因为落地高度不再固定。

把发射点设为原点。

对于以 \(20.0^\circ\) 向上倾斜的山坡，

\[
y=x\tan20.0^\circ.
\]

任一抛体的垂直位置为

\[
y=15.0t-4.90t^2.
\]

其水平位置为

\[
x=u_xt.
\]

在撞击时，抛体与山坡必须具有相同的 \(x\) 和 \(y\)，因此

\[
15.0t-4.90t^2=u_xt\tan20.0^\circ.
\]

提出 \(t\)：

\[
t\left(15.0-u_x\tan20.0^\circ-4.90t\right)=0.
\]

根 \(t=0\) 是发射瞬间。下一次相交发生在

\[
t=\frac{15.0-u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

对抛体 A，

\[
t_A
=\frac{15.0-(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.69\ \mathrm{s}.
\]

对抛体 B，

\[
t_B
=\frac{15.0-(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.32\ \mathrm{s}.
\]

因此，水平速度较快的抛体较早落地。

为甚么？由于 B 水平移动得更快，它下方那段向上倾斜的山坡高度也会更快增加。B 在碰到地面之前，不需要在垂直方向下降那么远。

现在把斜坡方向反转。对于以 \(20.0^\circ\) 向下倾斜的山坡，

\[
y=-x\tan20.0^\circ.
\]

撞击条件变成

\[
15.0t-4.90t^2=-u_xt\tan20.0^\circ.
\]

对非零的根，

\[
t=\frac{15.0+u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

因此抛体 A 有

\[
t_A
=\frac{15.0+(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.43\ \mathrm{s},
\]

而抛体 B 有

\[
t_B
=\frac{15.0+(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.80\ \mathrm{s}.
\]

现在，水平速度较快的抛体会在空中停留更久。由于它在水平方向移动得更远，它到达的下坡表面位置也更低，因此在撞击前必须下落更远。

平地极限能清楚显示背后隐藏的假设。把斜坡角设为 \(0^\circ\)：

\[
\tan0^\circ=0.
\]

两个式子都化为

\[
t=\frac{15.0}{4.90}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

这正好就是

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(15.0)}{9.8}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

因此，「相同垂直速度代表相同飞行时间」这句话的本质并不只是关于抛体。它其实是关于具有相同垂直运动，并且落在同一个固定高度上的抛体。

一旦表面倾斜，水平位置便会决定地面的高度，因此在判断碰撞时间时，水平运动和垂直运动便不能再彼此分开处理。

09知道飞行时间后还可以计算甚么

一旦知道正确的飞行时间，其他几个抛体运动量便很容易求得。

在水平速度恒定的情况下，

\[
x=u_xt,
\]

因此，利用飞行时间可以求出抛体落地时的水平位置。它的垂直撞击速度可由

\[
v_y=u_y-gt.
\]

求得。

之后便可以把这两个速度分量合成，求出撞击速率和方向。

下一个重要步骤，是理解发射角改变时会发生甚么。增大角度通常会增加 \(u_y\)，因而倾向增加飞行时间，但同时也会减少 \(u_x\)。正是这两种互相竞争的效应，形成了熟悉的抛体发射角、高度、飞行时间与射程之间的关系。