以實驗驗證拋體運動：HSC 物理
學習如何運用 HSC 物理模型、圖表與實驗證據，設計、分析及評估拋體運動關係的實際測試。
從長椅上放下一顆球，同時從相同高度水平發射一顆完全相同的球。哪一顆會先碰到地面？
一個常見的預測是，發射出去的球應該會在空中停留更久，因為它「有更多運動」。然而，在標準拋體模型下，兩顆球會同時落地。水平速度會改變第二顆球前進的距離，但不會改變重力把它向下拉的快慢。
這是一個很巧妙的預測。而且，這正是物理學應該透過實驗來證實的那類主張。
01我們實際上想驗證甚麼？
對於在地球表面附近運動的拋體，常用的 HSC 模型有兩個重要假設：
- 重力加速度為常數，方向垂直向下，
- 空氣阻力可忽略不計。
令 \(+x\) 為沿發射方向的水平方向，\( +y \) 為垂直向上的方向。則
\[ a_x = 0 \]
以及
\[ a_y = -g \]
其中 \(g\) 是重力加速度的大小，在地球表面附近約為 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
因此會同時發生兩個方向的運動：
\[ x = u_x t \]
以及
\[ y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]
其中：
- \(x\) 是以公尺為單位的水平位移，
- \(y\) 是以公尺為單位的垂直位移，
- \(u_x\) 是初始水平速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，
- \(u_y\) 是初始垂直速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，
- \(t\) 是以秒為單位的時間。
對於水平發射，\(u_y=0\)。方程式變成
\[ x=u_x t \]
以及
\[ y=-\frac{1}{2}gt^2 \]
重要之處不只是有兩條方程式，而是水平方程式中沒有垂直速度，垂直方程式中也沒有水平速度。
你可以把這顆球想像成同時過著兩段彼此獨立的感情生活。水平方向上，它一直以相同速率前進。垂直方向上，重力則是它生命中唯一認真的「關係」。兩種運動共用同一個時鐘，但彼此不會告訴對方該怎麼做。
不過，這個比喻有其限制。一旦空氣阻力變得重要，阻力就會取決於拋體相對空氣的運動。此時，水平與垂直方向的行為便可能互相耦合。
02一個值得測試的預測
假設一顆球從高度 \(h\) 水平發射。
當它到達地面時，垂直位移為 \(y=-h\)，所以
\[ -h=-\frac{1}{2}gt^2 \]
因此得到
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
注意少了甚麼：\(u_x\)。
因此，模型預測飛行時間不取決於水平發射速度。
水平射程 \(R\) 為
\[ R=u_x t \]
所以
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
在固定發射高度下，模型預測
\[ R\propto u_x \]
把水平發射速度加倍，射程也應該加倍。
在固定水平速度下，
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]
所以
\[ R^2\propto h \]
這些關係讓我們可以進行多種實驗測試，而不只是含糊地問軌跡是否「看起來像拋物線」。
| 模型預測 | 有用的實驗測試 |
|---|---|
| \(a_x=0\) | 繪製水平位置 \(x\) 對時間 \(t\) 的圖。圖形應為直線。 |
| \(a_y=-g\) | 繪製向下位移對 \(t^2\) 的圖。圖形應為直線。 |
| 固定 \(h\) 時 \(R\propto u_x\) | 繪製 \(R\) 對實測 \(u_x\) 的圖。 |
| 固定 \(u_x\) 時 \(R^2\propto h\) | 繪製 \(R^2\) 對 \(h\) 的圖。 |
| \(t\) 與 \(u_x\) 無關 | 保持 \(h\) 不變並改變 \(u_x\)，比較飛行時間。 |
這才是「驗證拋體運動關係」應有的意思。你要測試的是模型的具體預測。
03第一種設計：讓球從長椅邊緣滾落
最簡單的版本只需要很少的器材。
在長椅上放置一條斜坡，使其最後一段為水平。一顆球沿斜坡向下滾動，經過水平段後離開長椅邊緣。
在發射點正下方懸掛鉛垂線，以標示地面上的水平原點。再往外放置紙張覆蓋在複寫紙或其他可留下撞擊痕跡的表面上，以便找出第一次接觸的位置。
測量：
- 垂直落差 \(h\)，
- 水平射程 \(R\)，
- 球在斜坡上的釋放位置。
每個釋放位置都重複多次。
應該會發生甚麼？
在查看任何測量結果之前，先預測趨勢。
如果球從斜坡較高的位置釋放，它離開斜坡時應該具有較大的速度。如果發射點相對地面的高度保持不變，它在空中的時間應該大致不變。因此，額外的速度應主要表現為更大的水平射程。
所以，較高的釋放位置應產生較大的 \(R\)。
這是朝正確方向的證據，但存在一個問題。
第一種設計沒有測量發射速度
斜坡上的釋放位置並不是拋體方程式中的物理量。方程式包含的是 \(u_x\)。
你或許會嘗試從重力勢能計算發射速度。但這樣一來，你就需要考慮球的轉動動能、滾動行為、摩擦，以及斜坡上的任何能量損失。
這個實驗不小心把兩個模型混在了一起：
- 球沿斜坡運動的力學，
- 球離開斜坡後的拋體運動。
如果你的目的是驗證 \(R\propto u_x\)，直接測量 \(u_x\) 會乾淨得多。
04改良設計：測量方程式真正包含的變量
更有力的裝置會直接測量拋體的發射速度與運動軌跡。
由左至右排列：
- 一個發射器或帶有短水平出口段的斜坡，
- 一對靠近出口的光閘，兩者相距已知的水平距離，
- 發射邊緣，
- 拋體的飛行區域，
- 撞擊表面或接球箱。
把相機放在運動路徑的側面。其光軸應盡可能垂直於拋體軌跡所在的平面。並把校準尺放在與運動相同的平面內。
球先通過第一個光閘，再通過第二個。如果兩者的間距為 \(d\)，球在兩者之間的通行時間為 \(\Delta t\)，則其水平發射速度約為
\[ u_x=\frac{d}{\Delta t} \]
接著，球離開發射器，穿過相機的視野，最後落到撞擊表面。影片可以提供已知時間下的位置，而撞擊痕跡則提供總射程的獨立測量值。
這套裝置能測試的遠不只是「球落在哪裡？」
05變量與控制
假設目標是測試 \(R\propto u_x\)。
自變量是發射速度 \(u_x\)。因變量是水平射程 \(R\)。
另外幾個物理量也需要加以控制。
| 物理量 | 為甚麼要控制？ |
|---|---|
| 發射高度 \(h\) | 改變 \(h\) 會改變飛行時間。 |
| 發射方向 | 即使只有很小的向上或向下角度，也會使 \(u_y\neq0\)。 |
| 拋體 | 不同質量、大小和形狀可能受到不同程度的空氣阻力。 |
| 發射位置 | 會改變 \(h\) 與 \(R\) 的參考點。 |
| 相機位置 | 改變視角會改變量得的距離。 |
| 著陸表面 | 會反彈或傾斜的表面可能使第一次接觸點難以判定。 |
在改變發射速度的同時，不小心也改變發射角度尤其麻煩。兩種改變都會影響射程，因此你便無法知道是哪個變量造成結果。
06一個能取得有用數據的實際程序
一項合理的探究可以這樣進行：
- 固定發射器，並檢查其出口是否水平。
- 標記發射點，並用鉛垂線建立水平零位置。
- 測量從拋體發射高度到其第一次接觸地面時所在高度之間的垂直落差。
- 把相機放置成垂直於運動平面。
- 在拋體運動的平面內放置刻度尺，以便校準影片中的距離。
- 選擇一個發射設定，釋放拋體時不要額外施加推力。
- 使用光閘測量 \(u_x\)。
- 記錄軌跡和著陸位置。
- 將該次試驗重複數次。
- 改變發射速度並重複實驗。
- 繪製實測 \(R\) 對實測 \(u_x\) 的圖。
步驟的先後次序沒有控制物理條件那麼重要。例如，即使你使用五個間隔非常漂亮的發射設定，如果每次調整時發射器都稍微傾斜，那也沒有幫助。
07甚麼樣的數據才有說服力？
假設發射高度保持固定。
如果模型在所測速度範圍內表現良好，\(R\) 對 \(u_x\) 的圖應接近一條直線。
由
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
可知，斜率應為
\[ \sqrt{\frac{2h}{g}} \]
其單位是秒。
這在物理上是合理的。斜率表示水平速度每增加一公尺每秒，射程會增加多少公尺。從數值上看，它就是拋體的飛行時間。
與只檢查一次試驗相比，圖表能提供更多資訊。它可以顯示：
- 關係是否為線性，
- 截距是否接近零，
- 是否有某個數據點是離群值，
- 誤差是否在較高速度時增大，
- 是否存在系統性的彎曲。
不要因為理論說直線應通過原點，就自動強迫擬合線通過原點。應先查看實測截距是否包含關於系統誤差的有用證據。
08測試軌跡本身
射程只是最後的結果。影片數據可以測試飛行過程中的運動。
對於水平發射，
\[ x=u_x t \]
所以 \(x\) 對 \(t\) 的圖應為線性。
對於垂直運動，定義 \(d_y\) 為向下為正的下落距離。則
\[ d_y=\frac{1}{2}gt^2 \]
因此，\(d_y\) 對 \(t^2\) 的圖應為直線，其斜率為
\[ \frac{g}{2} \]
你也可以完全消去時間。
由於
\[ t=\frac{x}{u_x} \]
代入垂直運動方程式可得
\[ d_y=\frac{g}{2u_x^2}x^2 \]
所以 \(d_y\) 對 \(x^2\) 的圖應為線性。
這比只說軌跡「看起來像拋物線」有力得多。許多稍微彎曲的路徑肉眼看起來都像拋物線。
例題：實測射程是否與模型一致？
一顆球以 \(3.20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度從 \(0.900\ \text{m}\) 的高度水平發射。實測水平射程為 \(1.34\ \text{m}\)。使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
計算理論射程，並與測量值比較。
步驟 1
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(0.900\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.429\ \text{s} \]
模型預測拋體應在空中停留約 \(0.429\ \text{s}\)。
步驟 2
\[ R=u_x t =(3.20\ \text{m s}^{-1})(0.429\ \text{s}) =1.37\ \text{m} \]
步驟 3
兩者之差為
\[ 1.37\ \text{m}-1.34\ \text{m}=0.03\ \text{m} \]
相對於預測值的百分比差異約為
\[ \frac{0.03}{1.37}\times100\%\approx2.2\% \]
實測射程比理想模型的預測值低約 \(2.2\%\)。
這並不自動表示空氣阻力造成了 \(2.2\%\) 的減少。發射速度的不確定度、發射角度、高度測量、射程測量和空氣阻力都可能有所貢獻。
正確的結論取決於實驗不確定度。
例題：利用軌跡估算 \(g\)
對水平發射的小球進行影片分析，得到向下位移 \(d_y\) 對 \(x^2\) 的圖。其斜率為 \(0.620\ \text{m}^{-1}\)。
實測水平速度為 \(2.80\ \text{m s}^{-1}\)。估算 \(g\)。
步驟 1
對於水平拋體運動，
\[ d_y=\frac{g}{2u_x^2}x^2 \]
因此，\(d_y\) 對 \(x^2\) 圖的斜率 \(m\) 為
\[ m=\frac{g}{2u_x^2} \]
步驟 2
\[ g=2u_x^2m \]
步驟 3
\[ g=2(2.80\ \text{m s}^{-1})^2(0.620\ \text{m}^{-1}) \]
\[ g=9.72\ \text{m s}^{-2} \]
單位正確地化簡為加速度。
估算值 \(9.72\ \text{m s}^{-2}\) 接近 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)。更重要的是，這個實驗測試了整條軌跡的形狀，而不只是利用著陸點。
09驗證並不等於證明
實驗數據不能證明理想拋體方程式是適用於所有情況的精確定律。
這些方程式本身已經包含假設。
一個審慎的結論會更像這樣：
在所測量的發射速度範圍內，數據在實驗不確定度範圍內與預測的拋體運動關係一致。
這比「實驗證明了拋體運動」更符合科學寫作。
為甚麼？因為高爾夫球、一張紙和流星所受的空氣阻力不可能都可以忽略。模型是否有用取決於所處的條件。
10可靠性、效度與準確度各自代表不同的事情
這些詞經常被混為一談。
可靠性
如果重複測量時能得到一致的結果，就表示結果具有可靠性。
假如五次理應相同的發射分別落在
\(1.31\)、\(1.32\)、\(1.31\)、\(1.32\) 和 \(1.31\ \text{m}\)，
那麼結果具有高度重複性。
但這並不能保證結果正確。若射程的原點位置設錯，所有測量值都可能被同樣地偏移。
效度
一項具有良好效度的探究，必須真正測試它聲稱要測試的關係。
如果你正在測試 \(u_x\) 對 \(R\) 的影響，那麼發射高度和角度就不能同時悄悄地改變。
直接測量發射速度也能提高效度，因為模型中真正出現的變量是 \(u_x\)，而不是斜坡上的釋放位置。
準確度
準確度涉及測量值與公認值或預期值的一致程度。
測量可以很可靠，卻不準確。五個讀數可能非常漂亮地集中在錯誤答案附近，原因是存在系統誤差。
11隨機誤差與系統誤差會留下不同線索
隨機誤差會使重複測量的結果出現散布。
例子包括：
- 判定精確第一次接觸點時的不確定度，
- 發射器操作上的微小變化，
- 逐格選取拋體中心位置時的不確定度。
重複試驗有助於顯示並降低隨機誤差的影響。
系統誤差則會把測量值持續推向同一方向。
例子包括：
- 從錯誤的水平原點測量射程，
- 相機沒有垂直於運動平面，
- 校準尺的校準不正確，
- 發射器略微向上傾斜，
- 從錯誤的參考高度測量發射高度。
重複實驗無法消除系統誤差。你可以做 500 次測量，仍然得到一個非常精密但錯誤的答案。
12為甚麼圖形形狀可以診斷誤差
假設理論預測應是一條通過原點的直線，但你的實驗圖卻是一條具有明顯非零截距的直線。
這種模式本身就是證據。
它可能表示你的零位置有誤。也可能表示你假設為零的某個變量其實並不為零。又或者，圖表變換與測量誤差之間存在較不明顯的相互作用。
這就是為甚麼殘差模式與截距都很有用。不要把它們當成斜率周圍惱人的裝飾。
如果理論預測是直線，但圖形卻呈彎曲狀，往往更有資訊價值。這可能表示：
- 所提出的關係在該範圍內並不正確，
- 某個原本應受控制的物理量其實正在改變，
- 某個被忽略的效應隨自變量增大而變得更重要。
空氣阻力就是很好的例子。在速度足夠大時，假設阻力為零會變得越來越缺乏說服力。
13一個特別常見的陷阱：假設發射一定是水平的
即使發射器看起來水平，它仍可能使拋體具有一個很小的垂直速度分量。
如果
\[ u_y>0 \]
拋體會先向上升，然後才下落。其飛行時間會比水平發射的預測值更長。
如果
\[ u_y<0 \]
它會立即開始向下運動，使飛行時間縮短。
影片追蹤可以揭示這個問題。對真正的水平發射而言，把垂直位置對時間進行擬合時，所得初始垂直速度應與零一致。
如果你對把發射速度分解成分量已經有些生疏，可先複習 HSC 物理中的拋體初速度分量，再解讀斜向發射的數據。
14實驗結論應包含甚麼？
一個有用的結論應把數據直接與被測試的關係連繫起來。
例如：
- 說明圖形是否具有預測的形式，
- 比較實測斜率與理論值，
- 討論截距是否與零一致，
- 提及測量不確定度或數據散布，
- 指出數據所暗示的系統性效應，
- 說明模型在甚麼條件下獲得支持。
避免使用「實驗很成功，因為圖看起來正確」這類結論。
真正有意思的問題是，這些測量結果能多強地限制模型。
15問題與解答
問題 1
一顆球以 \(2.50\ \text{m s}^{-1}\) 的速度從 \(0.800\ \text{m}\) 的高度水平發射。
使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。
- 計算其預測飛行時間。
- 計算其預測水平射程。
- 實驗得到的射程為 \(0.980\ \text{m}\)。這一個結果本身是否足以驗證拋體模型？
解答 1
預測飛行時間為 \(0.404\ \text{s}\)，預測射程為 \(1.01\ \text{m}\)，而單一次 \(0.980\ \text{m}\) 的測量本身不足以驗證模型。
對於垂直運動，
\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]
所以
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(0.800\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.404\ \text{s} \]
水平射程為
\[ R=u_x t =(2.50\ \text{m s}^{-1})(0.404\ \text{s}) =1.01\ \text{m} \]
實驗值比理論值低約 \(0.030\ \text{m}\)，也就是 \(3.0\%\)。
很容易得出的結論是：「3% 很接近，所以模型獲得驗證。」問題在於，我們還不知道相對於實驗不確定度而言，\(3\%\) 的差異到底算不算小。
而且我們只測試了一個發射速度。系統誤差可能碰巧讓結果接近預測值。
更有力的探究應使用重複試驗和多個不同的 \(u_x\) 值，然後測試 \(R\) 是否隨 \(u_x\) 線性變化。
問題 2
一個水平發射器保持在著陸高度以上 \(1.00\ \text{m}\)。得到以下示例數據。
| \(u_x\)（\(\text{m s}^{-1}\)） | \(R\)（m） |
|---|---|
| 1.50 | 0.69 |
| 2.00 | 0.89 |
| 2.50 | 1.14 |
| 3.00 | 1.37 |
對 \(R\) 相對於 \(u_x\) 進行直線擬合，約得到
\[ R=(0.458\ \text{s})u_x-0.008\ \text{m} \]
- 解釋為甚麼 \(R\) 對 \(u_x\) 是適當的圖。
- 使用斜率估算 \(g\)。
- 個別射程測量的解析度約為 \(0.01\ \text{m}\)。解釋這個截距能告訴你甚麼，以及不能告訴你甚麼。
解答 2
數據與 \(R\propto u_x\) 一致，而斜率可給出 \(g\approx9.5\ \text{m s}^{-2}\) 的實驗估算值。
在固定高度下，
\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
其形式為
\[ R=mu_x \]
其中理論斜率為
\[ m=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
實測斜率為 \(0.458\ \text{s}\)，所以
\[ m^2=\frac{2h}{g} \]
因此
\[ g=\frac{2h}{m^2} \]
代入數值，
\[ g=\frac{2(1.00\ \text{m})}{(0.458\ \text{s})^2} \approx9.5\ \text{m s}^{-2} \]
此結果與 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) 相當接近。
擬合線的截距為 \(-0.008\ \text{m}\)，即 \(-8\ \text{mm}\)。相較於約 \(0.01\ \text{m}\) 的測量解析度，這個數值很小，因此單憑這些數據，沒有強而有力的證據顯示該截距具有實際的物理意義。
很容易採取的做法，是因為理論預測 \(u_x=0\) 時 \(R=0\)，便立即強迫圖線通過原點。這樣做可能會掩蓋系統性偏移。較好的方法是先檢查不受限制的擬合結果，再判斷截距是否與零一致。
另一個很容易採用的方法，是分別從每一列計算 \(g\)，然後把答案取平均。這樣做可以奏效，但圖表能同時測試線性、斜率和截距，因此更能揭示這個關係本身是否有效。
問題 3
一項影片分析以發射點為原點，其中 \(+x\) 為水平向前方向，\(+y\) 為垂直向上方向。
擬合所得的位置方程式為
\[ x=(2.60\ \text{m s}^{-1})t \]
以及
\[ y=(0.100\ \text{m s}^{-1})t-(4.90\ \text{m s}^{-2})t^2 \]
著陸高度比發射點低 \(0.900\ \text{m}\)。
- 求 \(u_x\)、\(u_y\)、\(a_x\) 和 \(a_y\)。
- 計算高於水平方向的發射角。
- 計算實際飛行時間與射程。
- 解釋為甚麼把這次發射視為完全水平發射會造成一個雖小但具系統性的誤差。
解答 3
拋體以高於水平線約 \(2.20^\circ\) 的角度發射，因此實際飛行時間為 \(0.439\ \text{s}\)，射程為 \(1.14\ \text{m}\)。
比較
\[ x=u_x t+\frac{1}{2}a_xt^2 \]
與
\[ x=(2.60)t \]
可得
\[ u_x=2.60\ \text{m s}^{-1} \]
以及
\[ a_x=0 \]
對於垂直運動，
\[ y=u_y t+\frac{1}{2}a_yt^2 \]
把它與
\[ y=(0.100)t-(4.90)t^2 \]
比較，可得
\[ u_y=0.100\ \text{m s}^{-1} \]
而且，由於
\[ \frac{1}{2}a_y=-4.90\ \text{m s}^{-2} \]
因此得到
\[ a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2} \]
發射角為
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{u_y}{u_x}\right) \]
所以
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{0.100}{2.60}\right) \approx2.20^\circ \]
著陸時，
\[ y=-0.900\ \text{m} \]
因此
\[ -0.900=(0.100)t-4.90t^2 \]
或者
\[ 4.90t^2-0.100t-0.900=0 \]
取正解可得
\[ t=0.439\ \text{s} \]
於是水平射程為
\[ R=u_xt =(2.60\ \text{m s}^{-1})(0.439\ \text{s}) =1.14\ \text{m} \]
如果錯誤地把這次發射視為水平發射，預測飛行時間將為
\[ t=\sqrt{\frac{2(0.900)}{9.8}} =0.429\ \text{s} \]
因此得到
\[ R=(2.60)(0.429)=1.11\ \text{m} \]
很容易作出的假設是，發射器看起來水平，就一定有 \(u_y=0\)。但擬合軌跡顯示事實並非如此。
微小的正 \(u_y\) 使拋體在空中停留得稍久，令射程增加約 \(0.03\ \text{m}\)。如果從未檢查發射角度，這個系統性差異很容易被錯誤歸因於空氣阻力。
問題 4
一名學生把實測水平發射速度保持在 \(3.00\ \text{m s}^{-1}\)，並改變實測發射高度 \(h\)。
他們測試以下預測關係
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]
所得圖線為
\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]
數據點非常接近一條直線。
學生提出兩個可能解釋非零截距的原因：
- 實測高度存在恆定的零點誤差，
- 實測射程存在恆定的零點誤差。
判斷哪一種解釋與這條直線圖較自然地一致。估算相應的零點誤差。
解答 4
高度測量中的恆定誤差較自然地與這條筆直的 \(R^2\)-對-\(h\) 圖一致，而所暗示的高度偏移約為 \(4.5\ \text{cm}\)。
假設實測高度為 \(h_m\)，而真實高度為
\[ h=h_m+\Delta h \]
拋體方程式變成
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}(h_m+\Delta h) \]
展開得
\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h_m+ \frac{2u_x^2}{g}\Delta h \]
這對實測高度 \(h_m\) 而言仍然是完全線性的。因此，恆定的高度零點誤差可以產生非零截距，而不會產生彎曲。
利用實驗直線
\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]
偏移量為
\[ \Delta h=\frac{\text{截距}}{\text{斜率}} \]
所以
\[ \Delta h= \frac{0.080\ \text{m}^2}{1.79\ \text{m}} =0.0447\ \text{m} \]
也就是約
\[ 4.5\ \text{cm} \]
現在考慮恆定的射程誤差 \(\Delta R\)。
如果
\[ R_m=R+\Delta R \]
那麼
\[ R_m^2=(R+\Delta R)^2 \]
所以
\[ R_m^2=R^2+2R\Delta R+(\Delta R)^2 \]
但是 \(R\propto\sqrt{h}\)。因此，中間那一項隨 \(\sqrt{h}\) 變化，而不是隨 \(h\) 變化。
因此，一個相當大的恆定射程偏移通常會使 \(R_m^2\) 對 \(h\) 的圖出現彎曲。
很容易得出的說法是：「任何零點誤差都只會改變截距。」對某些圖表形式而言確實如此，但把實測變量平方後就不一定成立。變換方式很重要。
實驗斜率也合理。理論預測
\[ \frac{2u_x^2}{g} = \frac{2(3.00\ \text{m s}^{-1})^2}{9.8\ \text{m s}^{-2}} =1.84\ \text{m} \]
這與實測的 \(1.79\ \text{m}\) 很接近。
因此，近乎正確的斜率、很強的線性，以及正截距這三者的組合，與約 \(4.5\ \text{cm}\) 的高度零點誤差一致。
問題 5
兩顆完全相同的球從相同的 \(1.20\ \text{m}\) 高度水平發射。
A 球的初始水平速度為 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。B 球的初始水平速度為 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)。
重複進行高速測量後得到
\[ t_A=0.496\pm0.001\ \text{s} \]
以及
\[ t_B=0.503\pm0.001\ \text{s} \]
理想拋體模型預測兩者具有相同的飛行時間。
現在假設空氣阻力在定性上由下式描述：
\[ \vec F_d=-c v\vec v \]
其中 \(c\) 為正常數，\(v\) 為拋體的總速率，而 \(\vec v\) 為其速度向量。
一名學生認為：
B 球在空中停留較久，所以水平方向移動得更快必定以某種方式削弱了重力。
評估這個說法。解釋阻力模型如何能產生所觀察到的差異方向，為甚麼這會對「水平與垂直運動彼此獨立」這個簡單說法構成挑戰，以及甚麼後續測試有助於區分空氣阻力與計時誤差。
解答 5
這些測量結果並沒有顯示重力會在水平速度較高時變弱；它們與空氣阻力使水平與垂直運動互相耦合的情況一致，而這正是理想拋體模型所排除的效應。
先檢查理想模型的預測。
對兩顆球而言，
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]
所以
\[ t=\sqrt{\frac{2(1.20\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.495\ \text{s} \]
A 球的實測值 \(0.496\ \text{s}\) 與這個結果非常接近。
B 球比 A 球多花約
\[ 0.503\ \text{s}-0.496\ \text{s} =0.007\ \text{s} \]
這個差異大於每個個別結果所述的 \(0.001\ \text{s}\) 測量不確定度，因此值得進一步調查，而不應只把它當作簡單的測量解析度問題而忽略。
現在考慮題目給出的阻力：
\[ \vec F_d=-c v\vec v \]
此力的方向與拋體速度方向相反。
在完全水平發射後的瞬間，垂直速度為零，所以阻力在那一瞬間沒有垂直分量。
接著，重力產生向下速度。
一旦 \(v_y\) 向下，部分阻力便會指向上方。這個向上的分量會阻礙下落。
關鍵的相互作用在這裡：阻力的大小取決於總速率 \(v\)，而不只是垂直速率。
B 球一開始具有大得多的水平速度分量，所以即使兩顆球的垂直速度相近，B 球的總速率仍可能較大。在這個阻力模型下，B 球下落時因此可能受到較大的向上垂直阻力分量。
其向下加速度的大小可以略小於 A 球，使它能在空中停留更久。
重力本身並沒有改變。改變的是淨垂直力，因為現在還存在另一個力。
很容易犯的錯誤，是把「水平與垂直運動彼此獨立」當成自然界的普遍事實。它並不是。
在理想 HSC 拋體模型中，各分量之所以彼此獨立，是因為
\[ a_x=0 \]
以及
\[ a_y=-g \]
而且兩個加速度都不依賴另一個速度分量。
但在題目給出的阻力定律中，垂直阻力部分取決於總速率
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]
因此，改變 \(v_x\) 便可能改變垂直方向的力。此時兩個分量彼此耦合。
一個有用的後續實驗，是使用大小與形狀相同但質量有明顯差異的拋體重複實驗，同時測量它們實際的發射速度。
對相同的空氣動力阻力而言，由阻力造成的加速度為
\[ a_d=\frac{F_d}{m} \]
因此，較重的拋體應該呈現較小的阻力所造成的飛行時間變化。如果使用較重的拋體時，\(t_B-t_A\) 的差異變得小得多，便支持空氣阻力的解釋。
如果無論拋體質量或發射速度如何，都維持相同而固定的時間差，那麼系統性的計時或觸發誤差便較為合理。
更深一層的教訓是，實驗並不只是檢查某個數值是否「接近」。它會告訴你哪些假設通過了測試，以及哪些假設需要另一個模型來處理。
16接下來可以往哪裡延伸
一旦理解水平發射實驗，斜向拋體就不再是一個完全不同的問題。相同的水平與垂直模型仍然適用，只是現在兩個初始速度分量都很重要：
\[ u_x=u\cos\theta \]
以及
\[ u_y=u\sin\theta \]
這就帶來一個要求更高的實驗問題：如果保持發射速率不變而改變角度，實測高度、飛行時間和射程是否符合預測的關係？
下一個有用的步驟，是把這些測量結果與拋體發射角：高度、飛行時間與射程連繫起來。實驗習慣應保持不變：推導一個預測，決定哪種圖表最能清楚揭示它，測量模型中真正出現的物理量，並把任何系統性的偏差視為證據，而不是試圖掩蓋的東西。